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Stern Mathematik: Die Jordan-Normalform
Freigegeben von matroid am So. 29. Oktober 2006 18:13:40
Verfasst von calabi-yau -   17151 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Lineare Algebra

BildDas Theorem über die Jordan-Normalform ist wohl eines der schwierigsten der elementaren Linearen Algebra. Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten die Existenz und Eindeutigkeit dieser eleganten Normalform zu beweisen. Da wäre zum Beispiel jene Methode, die den Zerlegungssatz endlich erzeugter Moduln über Hauptidealringen benutzt. In diesem Artikel will ich aber einen anderen Weg gehen, nämlich einen des geringsten Widerstandes. Dieser Weg ist elementarer als der über die Modultheorie und ist überdies konstruktiv.

Es werden nur elementare Resultate aus der Linearen Algebra vorausgesetzt.

Viel Spass beim Lesen...

EDIT (Juni 2012): Da nun doch so manch einer hierher findet, habe ich eine pdf angehängt, wo der Inhalt kurz und knapp, aber überarbeitet, dargestellt ist. Neben wesentlich besserem Layout gibt es dort genauere Referenzen, einen eleganteren Beweis zu Satz 1 und einen strukturierteren zu Satz 3 (näher an der Referenz).

Schritt 1: Hauptraumzerlegung


Im folgenden sei K stets ein Körper und V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum.

Satz 1:
fed-Code einblenden

Beweis:
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Bemerkung 2:
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Beweis:
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Schritt 2: Zerlegung nilpotenter Endomorphismen


Satz 3:
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Beweis:
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Schritt 3: Jordan-Normalform


Satz 4:
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Beweis:
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Anmerkung zum Satz von Cayley Hamilton


fed-Code einblenden
Quellen:

Satz 1 findet man auch in http://www.mathematik.uni-regensburg.de/Jannsen/home/UebungSS06/LinAlgII.pdf

Satz 3 findet man auch in Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg

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pdfpdf-Datei zum Artikel öffnen, 177 KB, vom 01.06.2012 16:39:11, bisher 3584 Downloads


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Lineare Algebra :: Matrizen :: Grundstudium Mathematik :
Die Jordan-Normalform [von calabi-yau]  
Elementar gehaltener Artikel über selbige inklusive eines konstruktiven Beweis' ihrer Existenz.
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" Stern Mathematik: Die Jordan-Normalform" | 2 Kommentare
 
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Re: Die Jordan-Normalform
von calabi-yau am Mo. 30. Oktober 2006 19:40:21


Eine kleine Anmerkung: Falls jemand den obigen Satz 1 schon mal in irgend einem Buch gesehen hat, bitte mir mitteilen. Entweder per pm hier auf dem matheplaneten, oder an -gelöscht- Danke...

Edit: Einen wesentlich eleganteren Beweis von Satz 1 findet man in Bröcker: Lineare Algebra und Analytische Geometrie

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Re: Die Jordan-Normalform
von isotomion am Di. 05. Dezember 2006 21:16:40


Ein Franzose hat mal Satz 1 als "Kernel lemma" erwähnt... Mehr weiß ich nicht.

  Grüße,
  Darij

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