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Mathematik: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
Freigegeben von matroid am Sa. 25. November 2006 14:42:32
Verfasst von Gockel -   6130 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

 
Gruppenzwang X

"Noch nie hat ein X irgendwo, irgendwann einen bedeutenden Punkt markiert." - Indiana Jones

Hallo Freunde der Gruppentheorie

Dies ist nun der inzwischen zehnte Teil (und somit elfte Artikel ) der Gruppenzwang-Reihe, in dem ich euch Methoden vorstellen möchte, aus vorhandenen Gruppen neue zu basteln bzw. eine vorhandene Gruppe in kleinere zu zerlegen.
Allgemein heißt das, dass wir uns mit Gruppenerweiterungen auseinander setzen werden. Speziell werde ich dabei semidirekte Produkte vorstellen.



 
Inhalt




1.) Gruppenerweiterungen und Sequenzen
2.) Semidirekte Produkte
3.) Jede Menge Beispiele
4.) Der Satz von Schur-Zassenhaus

 
Gruppenerweiterungen und exakte Sequenzen



Zuerst wollen wir uns den Begriffen "Gruppenerweiterung" und "exakte Sequenz" nähern. Was bedeutet es eigentlich, eine Gruppe zu erweitern?
Grob gesprochen ist eine Gruppenerweiterung die allgemeinste Art, sich aus zwei kleineren Gruppen eine größere zu basteln.

Um besser mit der formalen Definition einer solchen Erweiterung umgehen zu können, benötigen wir zuerst etwas Wissen über exakte Sequenzen.

 
Exakte Sequenzen



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Zunächst einmal ist eine (exakte) Sequenz nichts Neues, alles Nötige ließe sich auch durch Homomorphismen, Kerne und Bilder sagen.
Das Arbeiten mit Sequenzen hat aber zunächst den kleinen Vorteil, durch die graphische Darstellung übersichtlicher zu sein. Der große Vorteil wird in diesem Artikel allerdings gar nicht offensichtlich werden, denn Sequenzen aller Art sind nicht nur für Gruppen interessant; man kann Sequenzen in jeder Kategorie definieren, exakte überall dort, wo es Kerne und Bilder gibt. Entsprechend allgemeine Resultate kann die Kategorientheorie dann zeigen.
Wer daran Interesse hat, dem seien die Artikel über Kategorientheorie hier auf dem MP empfohlen.

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Gruppenerweiterungen



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Was ist nun das Besondere an Gruppenerweiterungen? Es stellt sich heraus, dass durch die Beziehung zu den Faktorgruppen jede endliche Gruppe als iterierte Gruppenerweiterung von endlichen einfachen Gruppen zustande kommt.
Hat man nämlich eine Kompositionsreihe (siehe Gruppenzwang VI) einer endlichen Gruppe
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Dies rechtfertigt z.B. den Vergleich von einfachen Gruppen mit Primzahlen: So wie jede Primzahl sich nicht weiter in ein Produkt kleinerer, natürlicher Zahlen zerlegen lässt, dafür aber jede natürliche Zahl ein Produkt von Primzahlen ist, ist auch jede endliche Gruppe aus einfachen Gruppen aufgebaut, während sich die einfachen Gruppen nicht durch Gruppenerweiterungen in kleinere Gruppen zerlegen lassen (da sie ja keine nichttrivialen Normalteiler besitzen).


Damit lässt sich eines der Hauptziele der Gruppentheorie - die Klassifikation aller endlichen Gruppen - in zwei Teilaufgaben zerlegen:
1.) Die Klassifikation aller endlichen, einfachen Gruppen
2.) Die Klassifikation aller Erweiterungen endlicher Gruppen

Nach jahrzehntelanger, intensiver Arbeit ist der erste Teil inzwischen vollständig gelöst. Eine vollständige Lösung des zweiten Problems steht aber noch aus.

 
Semidirekte Produkte



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Wir werden gleich sehen, dass zerfallende Gruppenerweiterungen in engem Zusammenhang zu den so genannten semidirekten Produkten stehen.

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Da das nur Rechnerei ist und keine wesentlichen Einblicke bringt, lasse ich diesen Beweis weg. Wer ihn trotzdem sehen will, der kann sich den entsprechenden Eintrag in meinem Notizbuch anschauen.
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Wir kommen jetzt auf den angesprochenen Zusammenhang zwischen zerfallenden Sequenzen und dem semidirekten Produkt zurück:

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Jede Menge Beispiele



Das ist ja alles schön und gut bisher, aber so richtig vom Nutzen des Ganzen habe ich euch wahrscheinlich noch nicht überzeugt.
Daher möchte ich euch nun an ein paar Beispielen demonstrieren, dass sich ein sehr großer Teil der Gruppen in Form eines semidirekten Produkts darstellen lässt.


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Schauen wir uns noch ein paar Beispiel für semidirekte Produkte an:

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e) bleibt hier ohne Beweis, das würde den Artikel zu sehr aufblähen. Wer trotzdem Interesse hat, den verweise ich nochmal auf mein Notizbuch und den entsprechenden Eintrag darin.



Leider haben auch semidirekte Produkte ihre Grenzen. Einfache Gruppen kann man z.B. nicht weiter zerlegen, da sie keine nichttrivialen Normalteiler haben.
Aber auch nichteinfache Gruppen können u.U. keine Darstellung als semidirektes Produkt besitzen.

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Der Satz von Schur-Zassenhaus



Als Höhepunkt des Artikel möchte ich nun einen zwar vergleichsweise schweren, aber wahnsinnig nützlichen Satz vorstellen, der es einem erlaubt, bestimmte semidirekte Produkte sehr schnell als solche zu erkennen: Den Satz von Schur-Zassenhaus.


Bevor wir richtig loslegen, zunächst etwas Vorgeplänkel:

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Nun, dann können wir eigentlich direkt zum Beweis übergehen:

 
Der Beweis



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Der Beweis des letzten Falls wird sehr oft auch mit Mitteln der so genannten Gruppenkohomologie bewiesen. In der Sprache dieser Theorie wird im letzten Fall die Aussage H2(H/K,K)=1 bewiesen, wobei H2(H/K,K) die zweite Kohomologiegruppe von K ist, worauf H/K durch Konjugation operiert.
 
Allgemein sind kohomologische Methoden ein wichtiges Mittel zur Untersuchung von Gruppenerweiterung und viele tieferliegenden Resultate wurden damit erzielt.

Es gibt eine nette Ergänzung zum Satz von Schur-Zassenhaus. Man kann nämlich sogar zeigen, dass alle Komplemente von K in H zueinander konjugiert sind. Das würde aber hier zu weit führen, daher lasse ich den Beweis weg.

 
Abschluss



So, das war der zehnte Gruppenzwang. Ich hoffe, ich konnte euch die semidirekten Produkte etwas näher bringen und davon überzeugen, dass es unheimlich wichtig ist, sie zu kennen, weil sie einfach wahnsinnig oft auftreten.
Ich möchte natürlich auch ganz herzlichen meinen Testleserinnen Irrlicht, jannna und quakie danken, die den Artikel für mich Korrektur gelesen haben.

Beim nächsten Mal wird es wieder um Gruppenerweiterungen gehen. Wer das Thema also genauso interessant findet wie ich, darf gespannt sein, denn wir werden u.A. Kranzprodukte kennenlernen und damit die Sylowgruppen aller Sn und aller GL(n,q) klassifizieren.

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Die Gruppenzwang-Reihe



Teil 1: Wir rechnen mit allem
Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Teil 7: Gruppen sind immer noch top!
Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz
Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
Teil 13:  Amnestie: Auch Untergruppen frei

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: Mathematik :: Gruppentheorie :: Reine Mathematik :: Algebra :: Exakte Sequenzen :: Semidirektes Produkt :
Gruppenzwang X: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version [von Gockel]  
Zehnter Teil der Gruppenzwang-Reihe. In diesem Artikel werden Gruppenerweiterungen und semidirekte Produkte eingeführt. Als Anwendung wird der Satz von Schur-Zassenhaus bewiesen. Außerdem werden Darstellung häufig benötigter Gruppen als semidirekte Produkte bewiesen.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
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" Mathematik: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version" | 2 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 06. Dezember 2006 15:12:41


"
Allgemein sind kohomologische Methoden ein wichtiges Mittel zur Untersuchung von Gruppenerweiterung und viele tieferliegenden Resultate wurden damit erzielt. " Kannst du da ein paar Beispiele nennen?

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Re: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
von Martin_Infinite am Fr. 16. Dezember 2011 15:16:30


@Anonymus: Weibel, Introduction to homological algebra, Rezension, Kapitel 6. Vor allem 6.8 zeigt (Spektralsequenzen für Gruppenhomologie), wie nützlich die abstrakte Maschine ist, um auch konkrete Erweiterungen zu klassifizieren.
 
Theorem 6.6.9 in loc. cit. ist der kohomologische Beweis von Schur-Zassenhaus. Im abelschen Fall hat Gockel sozusagen genau das nachgerechnet, was passiert, wenn man die vorherigen Resultate elementar zusammensetzt. Im nicht-abelschen Fall kommt man aber auch elementar ohne Fallunterscheidungen aus. Man muss nur mit irgendeiner Sylowgruppe schneiden, induzieren, und das Zentrum herausteilen, induzieren.

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