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Mathematik: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
Freigegeben von matroid am Fr. 12. Januar 2007 23:00:39
Verfasst von FlorianM -   64436 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

FlorianM und hugoles schreiben:

Geraden und Ebenen
Hinein in das tiefe Gebiet der Vektoren

Liebe Freunde der Analytischen Geometrie, mit unseren beiden letzten Artikeln haben wir eine gute Grundlage gelegt, um jetzt tiefer in das Gebiet der Analytischen Geometrie einsteigen zu können.

Wir werden uns in diesem Artikel anschauen, wie man Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum beschreibt.

Abschließend erfolgen sämtliche Lageuntersuchungen, die aber zu einem späteren Zeitpunkt noch einmal aufgegriffen werden, wenn noch mehr handwerkliche Grundlagen gelegt wurden.

"Na dann genug der Vorrede, lass uns mal beginnen!"

1. Darstellung von Geraden
   1.1 Parameterdarstellung von Geraden
   1.2 Durchstoßpunkte
   1.3 Normalform einer Gerade

2. Darstellung von Ebenen
   2.1 Aus Punkten und Geraden wird eine Ebene - Parameterdarstellung
   2.2 Die Koordinatengleichung einer Ebene
   2.3 Zeichnen von Ebenen und spezielle Ebenen

3. Lagebeziehungen
   3.1 Lagebeziehungen zwischen Gerade und Gerade
   3.2 Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene
   3.3 Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene

1. Darstellung von Geraden


Das weite Gebiet der Vektoren besteht vor allem aus Geraden (und Ebenen). Genügend Kenntnisse über diese geometrischen Gebilde sind notwendig, um später ausführliche Aufgaben der Analytischen Geometrie lösen zu können.

1.1 Parameterdarstellung von Geraden


Ziel soll es nun sein eine "vektorielle Gleichung" für eine Gerade aufzustellen.
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Zwei Punkte für eine Gerade

Bild 1.1.1: Gegeben seien zuerst zwei Punkte in einem Koordinatensystem


Zugleich zeichnen wir die Ortsvektoren zu den einzelnen Punkten. Ortsvektoren wurden schon im zweiten Teil definiert.
Hier sei der Begriff noch einmal kurz wiederholt:
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"Ja, ich erinnere mich"

Wir ändern das Bild 1.1.1 also schnell ab:

Ortsvektoren

Bild 1.1.2: Nun haben wir die Ortsvektoren zu den Punkten eingezeichnet


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Wie können wir die Gerade darstellen?

Bild 1.1.3: Wie können wir die Gerade von P1 zu P2 nun beschreiben?


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"Kannst du nochmals zusammenfassen, wie wir aus zwei gegebenen Punkten eine Parameterdarstellung einer Geraden konstruieren können?"

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Ortsvektor und Richtungsvektor

Bild 1.1.4: Ors- und Richtungsvektor einer Gerade


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Sind zwei Ortsvektoren gegeben, ist über sie und die Gleichung in Parameterdarstellung eindeutig eine bestimmte Gerade g festgelegt.

Umgekehrt gehört aber zu einer Geraden g keineswegs nur eine einzige vektorielle Parameterdarstellung, denn schon die zwei gegebenen Punkte können zwei beliebige Punkte der Geraden sein.
Genau, außerdem ist auch der Richtungsvektor nicht eindeutig bestimmt. Diesen Sachverhalt sollte man immer im Hinterkopf behalten.

1.2 Durchstoßpunkte


Jetzt gibt es einige Anwendungen und Begriffe, die wir im Zusammenhang von Geraden klären möchten bzw. müssen, um weiter arbeiten zu können.
Wenn man die Lage einer Geraden im dreidimensionalen Raum beschreiben will oder sogar eine Zeichnung anfertigen möchte, ist es zweckmäßig, die Schnittpunkte der Geraden mit den drei Koordinaten zu bestimmen. Man spricht von den Durchstoßpunkten der Geraden durch die drei Ebenen. Denn sonst kann man die Gerade sehr schwer darstellen. Dies ist dann natürlich nur ein Ausschnitt der eigentlichen Geraden.

Nehmen wir ein Beispiel:

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"OK, das verstehe ich leicht. Ich fasse die Vorgehensweise, um Durchstoßpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen zu berechnen, noch einmal zusammen:
1. Zuerst muss man sich entscheiden, für welche Ebene man den Durchstoßpunkt berechnen möchte.

2. Dementsprechend setzt man die Bedingung x=0, y=0 oder z=0 voraus.

3. Durch Aufstellen der entsprechenden Gleichung lässt sich der Parameter berechnen.

4. Den Durchstoßpunkt berechnet man, indem man den berechneten Parameter-Wert in die Parameterdarstellung der Geraden einsetzt. Erhält man eine falsche Aussage, so läuft die Gerade parallel zur jeweiligen Ebene."


Durchstoßpunkte

Bild 1.2.1: So schaut die Gerade dann aus, wenn man die Durchstoßpunkte einfach verbindet...


1.3 Normalform einer Gerade


Eine Gerade können wir nicht nur in Parameterform darstellen, sondern auch in der Form fed-Code einblenden
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Diese Form nennt man Normalform der Geraden. Es stellt sich nun die Frage, wie man eine Parametergleichung einer Geraden in die Normalform und umgekehrt verwandeln kann.

Beispiel:
Betrachten wir Bild 1.2.1, dann stellen wir fest, dass die Gerade doch auch in der Form y=mx+b beschrieben werden kann. Diese Form kennen wir schon aus der Mittelstufe.
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Parameterdarstellung und Normalform

Bild 1.3.1: Eine Gerade kann sowohl in Parameterdarstellung als auch Normalform dargestellt werden...

2 Darstellung von Ebenen



2.1 Aus Punkten und Geraden wird eine Ebene - Parameterdarstellung



Eine Ebene können wir uns als ganz dünnes unendlich ausgedehntes, gewichtsloses Blatt Papier im Raum vorstellen.
Die Frage ist nun, was benötigen wir alles, um diese Fläche beschreiben zu können?


"Das allereinfachste wäre, alle Punkte aufzuzählen, die auf dieser Ebene liegen."


Na dann viel Spaß. Wir sehen uns dann in der Ewigkeit wieder.
Im Ernst, das wäre eine Möglichkeit, die aber nicht sehr praktikabel ist.

Schauen wir uns mal Beispiele für Ausschnitte aus Ebenen im Alltag an, etwa ein Drachen: Dort wird die Drachenhaut aufgespannt von einem Stab (bei uns heißt dieser dann Gerade) und einem weiteren Stab, der irgendwie schräg zum ersten liegt.

Bild 2.1.1


Man erhält dann alle Punkte auf der Drachenhaut (und auch noch mehr), wenn man von einem Punkt auf dem Stab eine bestimmte Strecke weit entlang des Stabes geht und sich von dort aus dann parallel zum zweiten Stab weiter bewegt.
Leicht erkennt man, das man damit alle Punkte auf der Ebene erreichen kann.
Das liefert uns die Parameterdarstellung einer Ebene


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Bild 2.1.2

"OK, das versteht man leicht.
Das ist ja das selbe, wie wenn man die Ebene aus zwei sich in genau einem Punkt schneidende Geraden aufspannt: man benötigt einen Aufpunkt und die Richtungsvektoren der beiden Geraden.
Nun kann man eine Ebene doch auf mit einem Punkt und einer Geraden aufstellen, ich denke da etwa an eine Abdeckung eines Flügels, die mittels Scharnieren (=Gerade) am Flügel befestigt ist und mittels einer (naja idealisierten) punktförmigen Stütze oben gehalten wird"


     

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"Puh, das war jetzt ja schon etwas aufwendiger...Machen wir mal ne Pause? Übrigens, über die Weihnachtstage war ich mal in einem Restaurant, da bediente so ein Schnösel...auf drei Fingern hat er sein Tablett balanciert und prompt ist es ihm von den Fingern geglitten...Geschah ihm ganz recht."



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"*Grummel* Na gut. Hmmmmmm...."


Was ist denn los?


"Zum Aufstellen der Ebenengleichung benötigt man ja einen Aufpunkt und zwei Richtungen. Bei drei Punkten hat man ja insgesamt 18 mehr oder weniger verrschiedene Möglichkeiten eine Ebene aufzustellen."


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"So? Kannst Du mir zeigen, wie ich das herausbekomme?"


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Bild 2.1.3

Eine letzte Möglichkeit gibt es noch: Eine Ebene wird von zwei verschiedenen, aber parallelen Geraden aufgespannt, wie im letzten Bild dargestellt.


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2.2 Die Koordinatengleichung einer Ebene



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"Koordinatenform hat was mit den Koordinaten x1, x2 und x3 zu tun?"



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"Ok, das funktioniert ja immer, da die Richtungsvektoren der Ebene linear unabhängig sind. Möchte man nun überprüfen, ob unsere drei die Ebene bestimmenden Punkte A(-2|3|1), B(-4|3|2) und C(2|0|1) auch wirklich darauf liegen, muss man... "


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Ein weiterer Vorteil der Koordinatenform gegenüber der Parameterform besteht darin, dass sie bis auf Vielfache eindeutig ist, wohingegen man bei Parameterformen nicht so schnell sieht, ob zwei Ebenen identisch sind.


"Gibt's auch ein Zurück?"

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"OK, darf ich?"
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"Der erste Richtungsvektor ist ja bis auf den Faktor -1 identisch zu dem in unserer "Ausgangsparameterdarstellung", aber der Zweite hat damit gar nichts zu tun" :-(


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2.3 Zeichnen von Ebenen und spezielle Ebenen


In diesem Abschnitt wollen wir uns überlegen, wie Ebenen in Koordinatensystemen dargestellt werden können.


"Einzeichnen aller Punkte, die auf der Ebene liegen, fällt natürlich wieder aus..."


Wenn wir drei geeignete Punkte \(d.h. sie liegen nicht auf einer Geraden\) einzeichnen, ist die Ebene auch festgelegt. Diese Punkte heißen Spurpunkte und sind die Schnittpunkte von E mit den Koordinatenachsen.


Die Verbindungsgeraden der Spurpunkte, die sogenannten Spurgeraden liegen in den entsprechenden Koordinatenebenen und legen die gezeichnete Ebene eindeutig fest.


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"Ich verstehe!"


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"Damit kann man die Punkte ins Koordinatensystem eintragen und erhält folgendes Bild"


Bild 2.3.1


OK, genau so siehts aus!

Jetzt kann der Fall auftreten, dass die Ebene eine oder mehrere Koordinatenachsen gar nicht schneidet.

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"Dann ist F wohl parallel zur x3-Achse"

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3 Lagebeziehungen


Gerade und Gerade, Ebene und Ebene und Gerade und Ebene können verschiedene Lagebeziehungen zueinander annehmen. Ziel soll es nun sein, zu untersuchen, welche Lagebeziehung vorliegt, wenn nur die Parameterformen der Geraden bzw. der Ebenen gegeben sind.

3.1 Lagebeziehungen zwischen Gerade und Gerade


Geraden und Geraden können wie folgt zu einander liegen:

Sie können parallel, identisch, windschief sein oder sich in einem Punkt schneiden .
Windschief ist erst im dreidimensionalen Raum möglich, wenn beispielsweise eine Gerade "unterhalb" einer anderen nichtparallel "vorbeiläuft".
Parallel bedeutet, dass die Richtungsvektoren linear abhängig sind und die Geraden sich nicht schneiden. Wie die Fälle zu unterscheiden sind, darauf gehen wir nun gezielt ein:

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Parallelität von Geraden

Bild 3.1.1: Die Geraden verlaufen parallel


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Identität von Geraden

Bild 3.1.2: Die Geraden sind identisch!


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Falsche Aussage des LGS zeigt uns Windschiefe

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Windschiefe von Geraden

Bild 3.1.3: Die Geraden sind windschief...


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LGS eindeutig lösbar
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Schnittpunkt von zwei Geraden

Bild 3.1.4: Die Geraden schneiden sich in einem Punkt



Damit hätten wir alle Fälle, wie Gerade und Gerade liegen können, behandelt.

Du bist ja so still geworden?

"ja, ich muss mich konzentrieren, wir sitzen jetzt ja schon 'ne Weile hier und arbeiten das durch, das ist schon etwas anstrengend... Also auf geht's, frisch, fromm, fröhlich, frei weiter durch die Geometrie"

3.2 Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene


Hier gibt es nur drei Fälle, wie Gerade und Ebene liegen können.
Zum einen können Geraden und Ebene parallel verlaufen, sich in einem Punkt schneiden oder die Gerade kann komplett in der Ebene liegen.

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Das LGS liefert eine falsche Aussage

Parallelität von Gerade und Ebene

Bild 3.2.1: Gerade und Ebene verlaufen parallel zueinander


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LGS liefert unendlich viele Lösungen

Gerade liegt in der Ebene

Bild 3.2.2: Gerade liegt komplett in der Ebene


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LGS eindeutig lösbar

Schnittpunkt von Gerade und Ebene

Bild 3.2.3: Gerade schneidet Ebene in einem Punkt


Nun hätten wir auch alle möglichen Fälle von Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene untersucht. Kommen wir nun zum letzten Teil.

"Bleibt jetzt ja nur noch die Beziehung Ebene-Ebene"

3.3 Lagebeziehungen zwischen Ebene und Ebene


Zwei Ebenen können wie folgt liegen: Sie können parallel sein, identisch sein oder sich in einer Schnittgeraden schneiden.

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Identität von zwei Ebenen

Bild 3.3.1: Die beiden Ebenen sind identisch


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Schnittgerade zweier Ebenen

Bild 3.3.2: Die zwei Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden


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Parallelität von zwei Ebenen

Bild 3.3.3: Die beiden Ebenen verlaufen parallel


Jetzt sollte ich wohl in der Lage sein, Aussagen über Lagebeziehungen zwischen Gerade und Gerade, Gerade und Ebene und Ebene und Ebene zu treffen und diese untersuchen zu können. Ist aber schon mühsam, immer irgendwelche LGS lösen zu müssen..."

Ich kann dich beruhigen: diese Lageuntersuchungen sind mit Kenntnissen über Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Spatprodukt viel schneller durchführbar. Deswegen haben wir Kapitel 9 noch einmal diesen Lageuntersuchen gewidmet. Also noch etwas Geduld!  

"Also gut. Mit dieser Hoffnung gehen wir dann in die nächsten Teile"
Trennlinie
  • Kapitel 1: Lineare Gleichungsysteme & Co
  • Kapitel 2: Punkte, Pfeile und Vektoren
  • Kapitel 3: Geraden und Ebenen
  • Kapitel 4: Das Skalarprodukt und seine Anwendungen
  • Kapitel 5: Das Vektorprodukt und seine Anwendungen
  • Kapitel 6: Das Spatprodukt und seine Anwendungen
  • Kapitel 7: Exkurs: Die Plückerform
  • Kapitel 8: Abstandsberechnungen
  • Kapitel 9: Lageuntersuchungen
  • Kapitel 10: Kreise und Kugeln
  • Kapitel 11: Wichtige Formeln fürs Abitur


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    Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
    : Mathematik :: Analytische Geometrie :: Schule :: Vektoranalysis :: Vektorrechnung :: Vakuum :
    Kapitel 3: Geraden und Ebenen [von FlorianM]  
    Kapitel 3 der Serie "Oberstufenmathematik verständlich erklärt - Lineare Algebra und analytische Geometrie" . In diesem Abschnitt werden Geraden und Ebenen erläutert und Lageuntersuchungen dieser Gebilde vorgenommen.
    [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

     
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    " Mathematik: Kapitel 3: Geraden und Ebenen" | 32 Kommentare
     
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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von bindi am Fr. 12. Januar 2007 23:12:00


    WOW!
    Phantastischer Artikel!

    Gruß, Bindi

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von da_bounce am Fr. 12. Januar 2007 23:21:54


    Jau wie immer schön geschrieben und gute Fundgrube für LEute die noch ihr Abitur noch machen müssen smile

    lg George

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von matroid am Fr. 12. Januar 2007 23:34:09



    @hugoles&FlorianM: Den Artikel finde ich großartig!

    Es geht einem nie mehr so gut, wie als frischer Abiturient!
    Darum: macht mehr Abitur! Mit euren Artikeln werdet ihr Vielen dabei helfen!

    Gruß
    Matroid


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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von NotInterested am Sa. 13. Januar 2007 00:56:32


    Hallo @hugoles & @FlorianM, das wurde aber auch langsam Zeit...

    lg
    NotInterested

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von hugoles am Sa. 13. Januar 2007 09:32:20


    Danke euch allen!

    Das nächste Kapitel ist schon in Arbeit!
    Gruß!

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von scorp am Sa. 13. Januar 2007 13:11:23


    Was hat es mit den orangenen Zwischentexten auf sich? Wer spricht die?

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von FlorianM am Sa. 13. Januar 2007 13:22:59


    Hallo scorp,
    dies soll ein Schüler-Lehrer-Gespräch simulieren. Der Lehrer erlärt sozusagen dem Schüler die Geraden und Ebenen und der Schüler fragt ab und zu nach, ob der Lehrer das nochmal genauer erklären oder ob er ein Beispiel geben könnte.
    Dies hatten wir beim letzten Artikel ja auch schon verwendet.

    Gruss Florian

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von hugoles am Sa. 13. Januar 2007 14:02:09


    Zu dieser Artikelform inspiriert wurde ich durch Galileis "Discorsi", Florian hat dieser ungewöhnlichen Form dann zugestimmt wink
    Wir werden diese Form solange beibehalten, bis wir ihrer überdrüssig werden biggrin

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von NotInterested am Sa. 13. Januar 2007 15:38:11


    Mir gefällt sie aber, auch wenn ich manchmal ganz andere Fragen habe, wenn die inverse Selbstgespräch-Simulation dann nicht mehr funktioniert, melde ich mich bei einem von euch per PN (wenn ich darf). wink

    lg
    NotInterested

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von FlorianM am Sa. 13. Januar 2007 15:44:38


    Selbstverständlich darfst du das. smile
    Auch von mir nochmals vielen Dank für die netten Kommentare.

    Gruss Florian

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von chrisss am Sa. 13. Januar 2007 23:21:07


    Hallo, schöner Artikel, werd mir den nochmal im Mai vornehmen smile
    mfg chrisss

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von moep am So. 14. Januar 2007 18:13:55


    Ich glaube man könnte noch hinzufügen, dass auch zwei Geraden, die sich schneiden, ebenfalls eine Ebene bilden. Es wurde lediglich erwähnt, dass zwei verschiedene, zu einander parallele Geraden eine Ebene bilden.
    Gruß,
    moep

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von hugoles am So. 14. Januar 2007 18:29:18


    Moep, du hast recht, ich werde das beim Drachen ergänzen, bzw. das steckt ja implizit schon darin!
    Danke!

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von mire2 am Mo. 15. Januar 2007 16:16:12


    Hallo Ihr Zwei,

    großes Lob auch von meiner Seite.

    Ich kann mich meinen Vorschreibern nur anschließen.

    Mich würde noch interessieren, ob Ihr die Zeichnungen mit Vectory gemacht habt oder mit einem anderen Programm?

    Zuvor genanntes Programm besitze ich nämlich, aber es gelingt mir einfach nicht, den Befehl zum Auswählen von Objekten zu finden.

    Liebe und ermunternde, aber auch fordernde smile Grüße

    mire2

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von hugoles am Mo. 15. Januar 2007 17:03:50


    Hallo mire2,

    Also, ich mache meine Bilder immer von "Hand", also mit einem gewöhnlichen Grafikprogramm, wenns nicht zu aufwendig ist.

    Danke für dein Lob, wir werden deinen Forderungen bald nachkommen.
    Gruß!

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von FlorianM am Mo. 15. Januar 2007 20:19:54


    Hi mire2,
    ja, die Bilder, die du im Abschnitt 1 und 3 siehst, sind mit Vectory (Version 0.9.4) erstellt wurden.
    Per PN können wir uns ja mal über das Programm austauschen. smile

    Gruss Florian

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von Wally am Di. 16. Januar 2007 09:13:27


    Bei der Umwandlung von der Parameter- in die Normalform (eigentlich ist mit "Normalenform" lieber) solltet ihr erwähnen, dass das mit dem Skalarprodukt aus dem nächsten Kapitel schneller gehen wird - man multipliziert die Gleichung mit einem zum Richtungsvektor senkrechten Vektor und das t ist raus.

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von FlorianM am Di. 16. Januar 2007 14:54:21


    Hi Wally,
    dort haben wir es nicht explizit erwähnt, das stimmt. (Holen wir noch nach). Aber wir sagen ja auch später, dass alle Untersuchungen mit Hilfe der Vektorprodukte viel schneller gehen. Außerdem wird dies im nächsten Artikel über das Skalarprodukt noch einmal angeführt.
    Aber es schadet ja nichts, es jetzt schon zu erwähnen. Da hast du Recht. Danke.

    Gruss Florian

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von Doro am Mi. 17. Januar 2007 20:44:03


    Mal wieder einfach wunderbar!
    Danke! smile

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von Hans-im-Pech am Mo. 22. Januar 2007 19:14:13


    Hallo Florian, hallo hugoles!

    Euch beiden ein großes Kompliment für diesen Artikel und die ganze Serie!

    Viele Grüße,
    HiP

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von Bernhard am Fr. 09. Februar 2007 12:40:01


    Hallo an die Florian-Hugoles MG (=Mathe-Gemeinschaft)!

    Der Artikel frischt vieles auf, vielen Dank!
    Ich habe noch eine Frage zum Thema:
    Ich meine, wenn man von zwei windschiefen Geraden die Gleichungen kennt, lassen sich auch eindeutig zwei parallele Ebenen bestimmen, auf der die beiden liegen. Deren senkrecht gemessener Abstand ist dann auch die kürzeste Enfernung zwischen einem Punkt auf der einen und der anderen Geraden. Wie könnte man das dann ausrechnen?

    Bernhard

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von hugoles am Do. 22. Februar 2007 15:20:57


    fed-Code einblenden

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von morri am Do. 26. April 2007 12:32:08


    Wie siehts eigentlcih mit den Anderen kapiteln aus? gibt es eine gewisse zeit die zwische Artikeln liegt?

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von FlorianM am Do. 26. April 2007 12:38:07


    Hallo morri,
    also der vierte Teil (Das Skalarprodukt) ist schon in Arbeit. Da Sven aber jetzt Abiturklausuren vergleichen musst, könnte es noch etwas dauern.  smile

    Gruss Florian

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von hugoles am Do. 26. April 2007 16:48:08


    Morri,
    ja, es gibt eine gewisse Zeit zwischen den Artikeln, die mal länger und mal kürzer ist.

    Dieses Mal ist sie wieder relativ lang, weil in der Tat dienstliche Belange den Vorrang haben. Im Moment ist Abizeit bei uns in BaWü und ich bin in der Tat mit Korrigieren beschäftigt. Davor war Fasnet und ...

    Ich hoffe und wünsche es mir eigentlich, dass der Artikel in den Pfingstferien fertig wird.

    Aber du weißt ja: die Hoffnung stirbt zuletzt.


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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von Taiko am Do. 25. Oktober 2007 19:22:49


    Hi,
    "bei Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden" komm ich aber auf ein anderes Ergebnis bei der Lösung des LGS.

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von Ex_Mitglied_40174 am Do. 01. Mai 2008 11:29:35


    Ich danke euch endlich mal Leute die mir das mit den Durchstoßpunkten gut erklären konnten,Ihr ward meine Rettung....DANKE DANKE DANKE

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von FlorianM am Do. 01. Mai 2008 11:57:22


    Sehr gerne.  smile

    Gruss Florian

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von Ex_Mitglied_40174 am Do. 29. Mai 2008 16:07:40


    Ein kleiner Fehler ist mir ncoh aufgefallen:
    UNd zwar bei 2.3 bei edm Schnittpunikt mit der x2-achse. Der Schnittpunkt hat im Text die falschen Koordinaten, aber in der Zeichnung stimmt es dann wieder.

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von Martin_Infinite am Mi. 29. Juni 2011 02:55:17


    Fehlen nur noch Teile 4 - 11.

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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von Ex_Mitglied_40174 am Di. 23. Oktober 2012 20:13:35


    Bei drei Punkten hat man ja insgesamt 18 mehr oder weniger verrschiedene Möglichkeiten eine Ebene aufzustellen."


    Kann mir das mal einer erklären?
    Wieso 18 ? ich komme auf 36


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    Re: Kapitel 3: Geraden und Ebenen
    von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 15. Mai 2015 19:37:49


    Hey, also ich komme bei dem Ebenenschnitt bei 3.3. 2.Fall auf eine Gerade mit dem Ortsvektor (-13,-12,47) statt (29,16,-65). Das ergibt eine parallele aber nicht identische Gerade zur hier genannten. Habe das Ergebnis mit Geogebra geprüft. Könnte man mal korrigieren, sonst rechnen sich Leute beim nachvollziehen noch zu tode... wink


    lg
    Tom Bombadil wink

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