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Mathematik: Multilineare Algebra
Freigegeben von matroid am Di. 27. Februar 2007 21:34:03
Verfasst von Gockel -   18730 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Lineare Algebra

Multilineare Algebra für Dummköpfe

Multilineare Algebra



Ich bin im dritten Semester in den Genuss gekommen, zum Abschluss der Vorlesungen LA I bis LA III das Gebiet der multilinearen Algebra zu behandeln. Mein Professor hat dabei ein erstaunliches Geschick an den Tag gelegt, die Dinge zu verkomplizieren und die Studenten mit unsinnigen und zum Teil falschen Rechnungen zu verwirren.

Also habe ich mich entschlossen, das Thema für mich von Grund auf aufzuarbeiten und für mich verständlich darzustellen. Herausgekommen ist dieser Artikel. Ich hoffe, er hilft nicht nur mir.

Einleitung



In diesem Artikel werde ich versuchen, Grundzüge und Anwendungen der Multilinearen Algebra aufzuzeigen. Das heißt, dass wir uns mit multilinearen Abbildungen aller Art und den daraus resultierenden Tensorprodukten sowie dem Vorkommen von Tensoren in verschiedenen Bereichen der Mathematik beschäftigen werden.
Die Theorie werde ich dabei für Vektorräume entwickeln, obwohl es relativ problemlos möglich ist, einen Großteil der Theorie auch für Moduln zu entwickeln. Das hat durchaus seine Vorzüge in der Theorie, ist aber für die prinzipielle Vorgehensweise nicht von Belang.

Inhalt



Da der Artikel etwas länger ist, habe ich zu Zwecken der Übersichtlichkeit die Möglichkeit eingebaut, die Beweise ein- und auszublenden. Das kann bei jedem Beweis separat oder hier zentral getan werden. Um diese Funktion nutzen zu können, ist aktiviertes JavaScript nötig.
Alle Beweise dieses Artikels auf einmal sichtbar / unsichtbar machen.

Multilineare Abbildungen



Im Zentrum der Multilinearen Algebra steht die Untersuchung von multilinearen Abbildungen und daraus resultierend die Untersuchung von so genannten Tensoren. Diese sind eine gemeinsame Verallgemeinerung vieler schon vorher bekannter Begriffe der LA. So können spezielle Tensoren als Skalare, Vektoren, lineare Abbildungen, Bilinearformen oder Linearformen als Tensoren aufgefasst werden.


Wir schauen uns aber zunächst die dafür nötigen Grundlagen, die multilinearen Abbildungen an. Ähnliche Begriffe kennen wir schon. Zum Beispiel heißt eine Funktion von zwei Argumenten "bilinear", wenn sie in jedem Argument linear ist. Dieses Konzept wollen wir verallgemeinern zum Begriff der multilinearen Abbildung:

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Wir werden uns vor allem mit endlichen Indexmengen befassen. Dort gibt es weitere spezielle Bezeichnungen, die aus der Theorie der Bilinearformen motiviert sind:
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Beispiele



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Nicht zuletzt sind natürlich auch die Bilinearformen, d.h. die bilinearen Abbildungen in den Grundkörper, Beispiele hierfür. Von ihnen stammen auch die Bezeichnungen "symmetrisch", "schiefsymmetrisch" und "alternierend", daher fällt es nicht schwer, Beispiele zu finden.

Als alternierende Trilinearform tritt z.B. schon in der Schulmathematik das Spatprodukt auf.

Selbstverständlich sind auch allgemeine n-fach lineare Abbildungen von Bedeutung. Als wichtiges Beispiel treten die Determinantenfunktionen auf einem n-dimensionalen Vektorraum auf. Als Funktion der n Zeilen- bzw. Spaltenvektoren einer Matrix sind sie sehr interessante Vertreter von n-fach linearen Abbildungen. Die Determinantenabbildung ist bekanntermaßen sogar eine alternierende Multilinearform.

Man findet also wirklich sehr viele Beispiele für multilineare Abbildungen, sie sind dem Durchschnittsstudenten während der ersten beiden Semester in mannigfaltiger Gestalt begegnet.

Lineare und multilineare Abbildungen



Wir haben schon gesehen, dass lineare Abbildungen nun als Spezialfall der multilinearen Abbildungen wiederkehren. Aber auch umgekehrt gibt es einen Zusammenhang, der multilineare auf einfach-lineare Abbildungen zurückführt.

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Den folgenden Beweis sichtbar / unsichtbar machen.

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Den vorherigen Beweis unsichtbar machen.


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Ein komplexeres Beispiel aus der Analysis



Eine nette Anwendung ergibt sich in der Analysis, speziell bei der Differentialrechnung im Mehrdimensionalen:
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Den folgenden Beweis sichtbar / unsichtbar machen.

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Den vorherigen Beweis unsichtbar machen.

Das Tensorprodukt



Wir widmen uns nun einem sehr abstrakten aber doch nützlichen Konstrukt: Dem Tensorprodukt.

Zunächst zur Frage, was das ist:
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Den folgenden Beweis sichtbar / unsichtbar machen.

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Den vorherigen Beweis unsichtbar machen.


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Algebraische Eigenschaften des Tensorprodukts



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Den folgenden Beweis sichtbar / unsichtbar machen.

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Den vorherigen Beweis unsichtbar machen.



Diese letzten drei Eigenschaften, die als Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz interpretiert werden können, sind u.A. Rechtfertigung für den Namen Tensorprodukt, den wir diesem immer noch recht fremd anmutenden Konstrukt gegeben haben. Eine weitere Rechtfertigung für diesen Namen gibt die Dimensionsformel und eine Art von "Nullteilerfreiheit":
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Den folgenden Beweis sichtbar / unsichtbar machen.

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Den vorherigen Beweis unsichtbar machen.


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Neben diesen Eigenschaften, die zwar nützlich aber doch eher unspektakulär sind, gibt es weitere, sehr viel interessantere Dinge, die ein Tensorprodukt erfüllt:

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Den folgenden Beweis sichtbar / unsichtbar machen.

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Den vorherigen Beweis unsichtbar machen.


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Das Tensorprodukt als Vereinheitlichung



Wir haben das abstrakte Konstrukt im vorangegangenen Abschnitt mit etwas Leben gefüllt, indem wir einige algebraische Eigenschaften aufgelistet haben und auf Skalarkörpererweiterungen eingegangen sind.
Wir wollen nun etwas konkreter werden, indem wir verschiedene Interpretationen für das Tensorprodukt angeben. Es wird sich herausstellen, dass mit den Tensorprodukt "kanonische" Beschreibungen einiger Vektorräume möglich sind, d.h. ohne Rückgriff auf basisbezogene Darstellungen.

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Den folgenden Beweis sichtbar / unsichtbar machen.

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(Übrigens gilt diese Isomorphie natürlich auch für beliebig viele Vektorräume, man kann den Beweis genau für beliebige Indexmengen übernehmen)

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Den vorherigen Beweis unsichtbar machen.



Durch diese Isomorphismen kann man also viele verschiedene Konzepte aus der linearen Algebra wie Homomorphismen und Multilinearformen in einem Konstrukt zusammenführen.

Matrizen und Tensoren


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Den folgenden Beweis sichtbar / unsichtbar machen.

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Den vorherigen Beweis unsichtbar machen.



Das Kronecker-Produkt von Matrizen neben dieser Eigenschaft viele weitere strukturerhaltende Eigenschaften, so z.B.
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und diverse andere (siehe z.B. Kroneckerprodukt bei wikipedia für noch mehr Interessantes).

Abschluss



So, das soll es bis hierhin gewesen sein, obwohl es noch viel, viel mehr über Tensoren und Tensorprodukte zu sagen gäbe.
So bin ich z.B. noch überhaupt nicht auf die symmetrische und die äußere Algebra eines Vektorraums eingegangen. Die Anwendungen der Tensoren in der Physik, die das gesamte Konzept eigentlich motiviert haben, sind bisher auch nicht erwähnt worden.

Es ist also wirklich noch genug Stoff da, trotzdem reicht es fürs Erste, denke ich. Ich hoffe, der Artikel hat nicht nur mir etwas mehr Klarheit auf diesem Gebiet verschafft.

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: Lineare Algebra :: Interessierte Studenten :: Tensoren :: Multilineare Algebra :: Reine Mathematik :
Multilineare Algebra [von Gockel]  
Einführung in die multilineare Algebra mit einer ausführlichen Besprechung von multilinearen Abbildungen und Tensorprodukten.
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" Mathematik: Multilineare Algebra" | 16 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Multilineare Algebra
von Wauzi am Di. 27. Februar 2007 22:56:29


Hallo Gockel,
wie gut, daß es Professoren gibt, die schlechte Vorlesungen halten. So kommen wir hier wenigstens in den Genuß solcher hervorragender Artikel. Dieser hier ist nicht nur ausgesprochen schön gemacht, sondern auch für mich noch verständlich, obwohl es eine halbe Ewigkeit her ist, so etwas gelernt zu haben.
Ich freue mich schon auf Deine zukünftigen, schlechten Professoren und Deine daraus resultierenden tollen Artikel.
Gruß Wauzi

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Re: Multilineare Algebra
von Martin_Infinite am Mi. 28. Februar 2007 01:55:10


Hi Gockel,

entschuldige, aber die Einleitung wirkt einfach nur arrogant. Das wirkt pauschal so, als ob dein Prof alles falsch macht, und du alles richtig. Und vor allem, dass du den Stoff weniger verwirrend darstellst, was du m.E. nicht geschafft hast. Formeln, die zwar richtig sind, aber überladen und unübersichtlich, tun ihren erheblichen Anteil daran (sowas macht kein "vernünftiger Mathematiker" ;-)). Davon abgesehen wird das Wesen des Tensorproduktes hier nicht richtig dargestellt.

Die universelle Eigenschaft des Tensorproduktes ist viel wichtiger als die Konstruktion selbst, und nicht nur irgendeine Eigenschaft, die man mal zeigt und hin und wieder mal benutzen könnte. Man könnte sagen: die universelle Eigenschaft IST das Tensorprodukt. Sie ist zugleich Motivation (Klassifikation multilinearer Abbildungen mit linearen Abbildungen) und Grundlage für das Arbeiten damit. Selbst dass die reinen Tensoren ein Erzeugendensystem bilden, kann man sehr leicht ohne die Konstruktion einsehen. Die konsequente Verwendung der universellen Eigenschaft ist nicht nur abstrakter Blödsinn, sondern auch ungemein praktisch beim Verständnis des Tensorproduktes. Dann wirkt es auch nie weder "skuril" noch "fremd anmutend".

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Die Dimensionsformel kann man sich auch einfacher mit den bereits gezeigten Eigenschaften klarmachen:

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Du hast in deinem Artikel auch unendliche Tensorprodukte (d.h. die Indexmenge ist unendlich) betrachtet. Darüber habe ich ja im Forum schon einige Fragen gestellt, und es ist bisher unklar, ob sie wirklich in der genannten Form Sinn machen, obwohl die universelle Eigenschaft ja erfüllt ist. Siehe hier. Hast du da noch mehr nachgeforscht, das solchen Tensorprodukten eine Daseinsberechtigung gibt? wink
//edit: die frage werde ich mir selbst bald in einem artikel beantworten wink

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Re: Multilineare Algebra
von Stefan72 am Mi. 28. Februar 2007 15:15:28


Hallo Gockel,

vielen herzlichen Dank für deine unglaubliche Mühe und dein riesiges Engagement!! smile

Der Artikel-Award ist dir, zumindestens was meine Stimme angeht, auf Jahre sicher. wink

(Den Rest habe ich gelöscht, da mein Beitrag nach Meinung der Administration nicht zum Thema passte. Es handelte sich um (sachliche und sanfte) Kritik am Vorwort, so wie bei meinem Vorredner und meiner Folgerednerin auch.)
 
Liebe Grüße
Stefan

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Re: Multilineare Algebra
von Irrlicht am Mi. 28. Februar 2007 20:27:47


@Martin
Ich höre neben mir gerade: "Das ist Algebra. Aber Gockel macht doch lineare Algebra, das bedeutet: zu Fuß gehen." Aber wen interessiert, was ich sage. Ich bestreite ja auch manchmal so einige Dinge. razz

Zu Gockels Artikel schreib ich nichts, da ich ihn nur grob überflogen habe. Die Einleitung finde ich ebenfalls mindestens unglücklich.

Gruß,
Alex

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Re: Multilineare Algebra
von matroid am Mi. 28. Februar 2007 21:59:51


Liebe Freunde,

ich finde die Einleitung gut, und die gebotene Motivation für den Artikel höchst nachvollziehbar. Viele Dinge nimmt sich jemand vor, weil er es besser machen will, als er es bisher gefunden hat. Ich finde das nicht arrogant. Ich finde auch nicht gut, daß einige Beiträge hier nicht zum Thema gehören.

@gockel: Die Idee, die Beweise ein-/ausblenden zu können, finde ich sehr gut.

Gruß
Matroid

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Re: Multilineare Algebra
von Stefan72 am Mi. 28. Februar 2007 22:19:47


Hallo Matroid,

klar, das (es besser darstellen zu wollen als in der Vorlesung oder in gängigen Lehrbüchern) ist eine sehr gute Motivation für einen Artikel, dem wird hier auch keiner widersprechen und dem hat auch keiner widersprochen. Aber der Ton ist es, der die Musik macht, und der Ton wirkt (nur im Vorwort!) etwas schief. Ich denke schon, dass man das kritisieren darf.

Aber das ist auch nur eine Randnotiz. Viel wichtiger ist das äußerst lobenswerte Anliegen an sich, die multilineare Algebra einer breiteren Masse verständlich und nachvollziehbar nahezubringen. Und das ist, wie ich nun besser beurteilen kann, nachdem ich ca. die Hälfte ausführlicher gelesen habe, sehr gut gelungen, also nochmals meinen ganz herzlichen Dank an Gockel. smile

Welche Beiträge passen denn deiner Meinung nach nicht zum Thema?

Liebe Grüße
Stefan

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Re: Multilineare Algebra
von matroid am Mi. 28. Februar 2007 22:27:56


@Stefan72: Deiner?
Ich finde den Ton gut.

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Re: Multilineare Algebra
von matroid am Mi. 28. Februar 2007 22:28:48


Meiner auch.

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Re: Multilineare Algebra
von Stefan72 am Mi. 28. Februar 2007 22:35:56


Hmmh, das verstehe ich nicht, um ehrlich zu sein. Man kann doch dem Autor des Artikels für sein Engagement denken, oder nicht? Hat das nichts mit dem Thema zu tun? Das wird doch ansonsten auch ständig gemacht. Und darf man die Wortwahl nicht kritisieren?

Naja, aber wenn das so gesehen wird, dann editiere ich meinen Kommentar eben.

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Re: Multilineare Algebra
von Martin_Infinite am Do. 14. Juni 2007 01:49:32


hat jemand einen tipp, wie man zeigen kann, dass die beiden von gockel genannten (halb)normen auf dem tensorprodukt wirklich positiv-definit sind?

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Re: Multilineare Algebra
von Gockel am Do. 14. Juni 2007 16:17:32


Hallo Maddin.

Dieser Link/dieses Buch sollte dir da vielleicht helfen, das ist meine Quelle in Bezug auf diese beiden Aussagen: Klick mich

mfg Gockel.

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Re: Multilineare Algebra
von Martin_Infinite am Do. 14. Juni 2007 22:24:39


alles klar, danke   smile

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Re: Multilineare Algebra
von dax_riggs am Mo. 10. September 2007 03:39:21


Vorgetragen bekomme ich den Stoff zwar erst im nächsten Semester, trotzdem konnte ich dem Artikel gut folgen und fast alles verstehen. Wirklich gut geschrieben, danke!

Zur Einleitung: Gockel beschreibt doch nur seine Motivation für diesen Artikel. Sein Lehrer scheints wohl einfach nicht ganz so drauf zu haben multilineare Algebra zu unterrichten (falsche Rechnungen). Also nicht zuu ernst nehmen.

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Re: Multilineare Algebra
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 19. April 2011 18:23:08


Und was ist mit Anwendungsbeispielen (z. B. aus der Physik)? Wie ist der Zusammenhang zwischen dem Begriff des Tensors, den die Physiker verwenden und dem Tensorbegriff der Mathematiker? Der Artikel ist sehr detaillastig; da hätte man die wesentlichen Ideen schon irgendwie besser hervorheben müssen. Aber trotzdem ein sehr guter Artikel!

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Re: Multilineare Algebra
von Martin_Infinite am Mi. 26. September 2012 11:40:06


Hier noch eine Vereinfachung des Beweises für <math>V^* \otimes W \cong \hom_{\mathrm{fin}}(V,W)</math>. Beide Seiten kommutierten offensichtlich mit gerichteten Vereinigungen in <math>W</math>, daher ist oBdA <math>\dim(W)<\infty</math>. Sie kommutieren aber auch mit endlichen direkten Summen, daher kann man sogar <math>W=K</math> annehmen. Dann ist die Behauptung aber trivial mit <math>V^* \otimes K \cong V^* = \hom(V,K) = \hom_{\mathrm{fin}}(V,K)</math>.

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Re: Multilineare Algebra
von didubadap am Fr. 22. August 2014 23:36:22


Toller Artikel, ich finde lediglich die Wahl von Buchstaben mit Strichen oben als Variablen etwas unglücklich, da man dies leicht mit komplexer Konjugation verwechseln kann. Besonnders bei Billinearformen hat man schnell die Assoziation mit Sesquilinearformen. Es ist zwar klar was gemeint ist, da explizit darsteht, dass es um einen Allgemeinen Körper geht, trotzdem finde ich, dass man lieber andere Buchstaben nehmen sollte.

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