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Stern Mathematik: Unendliche Tensorprodukte
Freigegeben von matroid am Fr. 09. März 2007 21:10:26
Verfasst von Martin_Infinite -   18178 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

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1. Einleitung
 
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2. Das Tensorprodukt von Algebren
 
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Wir beweisen das entsprechende Resultat für Gruppen. Der Beweis für R-Algebren geht analog, in dem man dieselben Argumente mit der Addition, Multiplikation und R-Multiplikation durchführt.
 
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Für einen abstrakteren Zugang dieses Nachweises sei auf auf diesen Thread verwiesen. Dort erklärt owk, wie man die Aussage darauf zurückführen kann, dass filtrierende Kolimites mit endlichen Produkten (oder allgemeiner endliche Limites) zurückführen kann. Letzteres wird z.B. bewiesen in Mac Lane, Kapitel IX, Abschnitt 2, Theorem 1. Noch eine Randbemerkung: Da wir nun wissen, dass die Kategorie der R-Algebren filtrierende Kolimites, endliche Koprodukte und damit alle Koprodukte besitzt, und natürlich auch Koegalisatoren, besitzt diese Kategorie sogar alle Kolimites, d.h. sie ist kovollständig. Das ganze Vorgehen funktioniert auch für beliebige Kategorien von algebraischen Strukturen, definiert durch Operatoren und Identitäten.
 
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Viele Eigenschaften dieses Tensorprodukt übertragen sich aus dem endlichen Fall; zum Beispiel der Satz, dass das Tensorprodukt von Algebren über einem algebraisch abgeschlossenen Grundkörper genau dann nullteilerfrei ist, wenn alle beteiligten Algebren nullteilerfrei sind (für zwei Algebren findet man den Beweis in Bosch, Algebra, Kapitel 7, Lemma 12).
3. Das "multilineare" Tensorprodukt

 
3.1. Konstruktion und universelle Eigenschaft
 
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3.2. Natürliche Isomorphismen
 
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3.3 Das Beispiel fed-Code einblenden .
 
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: Mathematik :: Algebra :: Lineare Algebra :: Multilineare Algebra :: Tensoren :: Reine Mathematik :
Unendliche Tensorprodukte [von Martin_Infinite]  
Untersuchung der Sinnhaftigkeit von Tensorprodukten unendlich vieler Moduln. u.A. wird neben der üblichen Definition über multilineare Abbildungen eine weitere Definition für Algebren vorgestellt und deren Auswirkungen besprochen.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
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" Stern Mathematik: Unendliche Tensorprodukte" | 5 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Unendliche Tensorprodukte
von cow_gone_mad am Sa. 10. März 2007 15:23:31

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Hallo Martin smile

Mir ist am Anfang etwas nicht ganz klar. wink
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Der Rest ist noch nicht verdaut... wink Allerdings noch die typischen Fragen: Wie sieht es eigentlich dann mit dem nehmen des Dualraums aus? Man hat dann ja im endlich dimensionalen Fall viele netten Eigenschaften. Wie stehe es um symmetrische und alternierende Teilräume? Gitb es die?

Liebe Grüsse und danke für den Artikel,
cow_
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Re: Unendliche Tensorprodukte
von Zaos am Sa. 10. März 2007 15:24:18

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Was mir auffällt: dim(V)=|X| gilt immer, denn im Falle K=F_2 ist X einelementig. So sieht F_2 nicht mehr so pathologisch aus.

@cow Bilineare Abbildungen AxA->A (wie Multiplikationen) sind Homomorphismen A tensor A -> A\(\endgroup\)

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Re: Unendliche Tensorprodukte
von Martin_Infinite am Sa. 10. März 2007 16:23:55

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@helge: es gibt sicherlich noch viel zu ergründen, eventuell in einem zweiten teil (oder von euch?). mir ist heute nacht bei einer verallgemeinerung des beispieles noch einiges eingefallen - dabei kam ich aus *versehen* auf dualräume :-).

deine frage hätte ich eventuell schon im artikel beantworten sollen, aber nach zaos' hinweis sollte es klar sein.

@zaos: danke, das habe ich bisher übersehen *editier*.\(\endgroup\)

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Re: Unendliche Tensorprodukte
von Martin_Infinite am Sa. 16. Juni 2007 15:10:47

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noch eine kleine anmerkung: das tensorprodukt von R-algebren kann man auch als untermodul des 'multilinearen tensorproduktes' auffassen; und zwar wird dieser von den reinen tensoren erzeugt, die bis auf endlich viele einträge nur aus der 1 bestehen.
 
mehr über unendliche tensorprodukte, wo allerdings immer eine solche endlichkeitsbedingung gemacht wird, findet man z.B. hier:

www.numdam.org/numdam-bin/fitem?id=ASENS_1966_3_83_1_1_0

ich frage mich ja immer noch, ob das tensorprodukt bisher ohne eine solche bedingung untersucht wurde und ob man etwas sinnvolles darüber aussagen kann. habe zwar einige vermutungen bekommen, aber es wollen keine beweise gelingen :).\(\endgroup\)

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Re: Unendliche Tensorprodukte
von Martin_Infinite am So. 22. Juni 2008 15:09:53

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