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Mathematik: Exkurs: Potenz eines Kreises
Freigegeben von matroid am Do. 15. März 2007 19:57:00
Verfasst von FlorianM -   6608 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik


Vergessene Sätze am Dreieck
Exkurs: Potenz eines Kreises


Potenz eines KreisesLiebe Geometrie – Freunde,
um weiter in das interessante Gebiet der vergessenen Sätze vordringen zu können, möchte ich mit diesem Exkurs Grundlagen der Eigenschaften von Kreisen legen, um im nächsten Artikel auf die Simson-Gerade eingehen zu können.

Der Kreis wurde alters her sehr stark bewundert. Nicht nur für Mathematik, sondern auch für Philoshophen und Astronomen war der Kreis wegen seiner vollendeten Form beeindruckend. Bevor Kepler seine Gesetze herleitete, war es undenkbar, dass sich die Planeten nicht auf Kreisbahnen bewegen könnten. Befreit von abergläubischen Unsinn steht er da, hochgeschätzt, wie eh und je.

Taucht also mit ein in das große Gebiet der Kreise.

Inhalt
1 Die Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises
2 Die Potenzgerade zweier Kreise
3 Koaxiale Kreise
4 Abschluss
5 Literatur

1 Die Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises


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Abbildung 1

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Abbildung 2

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Abbildung 3

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Vielleicht ging es einigen an dieser Stelle etwas zu schnell. Deshalb wollen wir die einzelnen Fälle noch einmal ganz genau betrachten:
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Abbildung 4

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2 Die Potenzgerade zweier Kreise


Dazu eine kleine Anekdote:
Die junge Prinzessin Elisabeth, die aus Böhmen verbannt war, hatte sich erfolgreich an einem elementargeometrischen Problem versucht, wobei sie jedoch die Koordinatenrechnung zur Hilfe nahm.
Elisabeths Lehrer war Rene Descartes. Seine Reaktion war, dass „er es nicht auf sich nehmen wollte, ihre Lösung innerhalb eines Monats nachzuvollziehen.“
Es ist offensichtlich, was wir hieraus lernen dürfen:
Eine Lösung, die mittels einer gewissen Methode möglich ist, braucht noch lange nicht die beste oder ökonomischste zu sein. Beim folgenden Satz jedoch bringt ein analytischer Beweis einige interessante weitere Erkenntnisse mit sich:

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Abbildung 5

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Bild

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Abbildung 7

3 Koaxiale Kreise


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Abbildung 9

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4 Abschluss


Dieser kleine Exkurs hat euch nun die Grundlagen von Potenzen eines Punktes etc. vermittelt.
Nun sollten wir im nächsten Teil ohne Probleme die Simson-Gerade herleiten können.

5 Literatur


Alle Sätze und Beweise habe ich folgendem Buch entnommen:

[1] Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, Stuttgart, 1983
[2] http://www.mathematik.uni-kassel.de/~klein/geometrie-WS2004/12_Wagner_Anja.doc

Euer
Florian Modler



Trennlinie
-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 1): Satz von Ceva und Menelaus und Sinussatz

-> Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck

-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2): Satz von Stewart und Satz von Steiner und Lehmus

-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 3): Satz von Pappus und Desargues

-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 4): Der Satz von Carnot

-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 5): Die Eulersche Gerade und der Neunpunktekreis


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" Mathematik: Exkurs: Potenz eines Kreises" | 4 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Exkurs: Potenz eines Kreises
von briefkasten am Sa. 17. März 2007 21:53:20


Wow! Danke dir Florian wieder für diesen genialen Artikel... Schon wieder etwas neues dazu gelernt  smile

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Re: Exkurs: Potenz eines Kreises
von bindi am Mo. 19. März 2007 03:16:25


Hallo Florian,

erneut ein schöner, leicht verständlicher Artikel...

Gruß, bindi  smile

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Re: Exkurs: Potenz eines Kreises
von FlorianM am So. 25. März 2007 18:11:55


Hallo,
danke euch beiden für die netten Kommentare.  smile

Gruss Florian

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Re: Exkurs: Potenz eines Kreises
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 03. Juni 2008 21:51:31


gute seiTe** smile

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