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Stern Mathematik: Berechnung der Galoisgruppe
Freigegeben von matroid am Sa. 04. August 2007 21:34:27
Verfasst von Martin_Infinite -   112018 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik


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In vielen einführenden Vorlesungen und Büchern zur Algebra wird erklärt, was die Galoisgruppe eines Polynoms bzw. einer Galoiserweiterung ist. Wenn ihr trotzdem bei der Berechnung von konkreten Galoisgruppen keine Methoden zur Hand habt, dann wird euch dieser Artikel vielleicht weiterhelfen. Es werden ein paar Verfahren mit ausführlichen Beispielen präsentiert.


Einleitung
 
Grundlegende Galoistheorie sei hier vorausgesetzt, wie sie etwa in Bosch, Algebra, Kapitel 4, dargestellt wird; dort werden auch die Galoisgruppen von kubischen Polynomen (s.u.) sowie Kreisteilungspolynomen bestimmt. Insbesondere werden symmetrische Polynome verwendet. Einfachste Beispiele wie etwa Gal(X4-2) = D4 werden nicht behandelt.

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Die Diskriminante
 
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Hier findet man eine Formel für die Diskriminante eines beliebigen Polynoms.
Affektlose Polynome

Ein separables Polynom f vom Grad n heißt affektlos, wenn seine Galoisgruppe G die volle symmetrische Gruppe Sn ist. Wir wollen hier ein Kriterium dafür herleiten, das ich hier gefunden habe. c) liefert für jede Primzahl > 3 ein Beispiel eines nicht durch Radikale auflösbares Polynom, da die Galoisgruppe Sp nicht auflösbar ist.

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Reduktionsmethode

Mit der Reduktionsmethode kann man zeigen, dass die Galoisgruppe bestimmte Permutationen eines Zykeltyps enthalten muss. Sie stellt somit ein starkes Verfahren dar, um festzustellen, dass ein Polynom affektlos ist. Ansonsten muss man es mit anderen kombinieren. Ich habe es sinngemäß entnommen aus van der Waerden, Moderne Algebra, Erster Teil, §61.

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Allgemeine Methoden

In dem Paper Luise-Charlotte Kappe; Bette Warren, An Elementary Test for the Galois Group of a Quartic Polynomial, The American Mathematical Monthly, 1989, wird eine elementare Methode für irreduzible Polynome vom Grad 4 bewiesen (sofern das Polynom nicht irreduzibel ist, greift die für Grad 3), das einfach ausnutzt, dass es wenige transitive Untergruppen der S4 gibt. Ein Spezialfall davon ist bereits hier im Forum aufgetaucht.
 
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Kombiniert man die Strategie, die Galoisgruppe aus einer Liste von transitiven Untergruppen herauszufiltern, mit der Reduktionsmethode sowie einer Verallgemeinerung des oben betrachteten Polynoms F(z,u) zu sog. Resolventen transitiver Untergruppen, erhält man allgemeine Berechnungsmethoden für die Galoisgruppe von irreduziblen rationalen Polynomen, die man o.E. immer als ganzzahlig annehmen kann. Zur Berechnung der ganzzahligen Resolventen können dann Approximationen der komplexen Nullstellen herangezogen werden. Siehe dazu Richard P. Stauduhar, The Determination of Galois Groups, Mathematics of Computation, 1973.

Solche Verfahren werden in Computeralgebrasystemen genutzt. In Maple lassen sie sich auch sichtbar machen, man teste z.B. infolevel[galois] := 2; galois(X^6 + 3*X + 3);
 
Empfehlenswert ist auch die Diplomarbeit "Ein Algorithmus zum Lösen einer
Polynomgleichung durch Radikale", die man hier findet. Dort wird die Galoistheorie von Grund auf entwickelt und ein Algorithmus zur Darstellung der Nullstellen von auflösbaren Polynomen durch Radikale gegeben, insb. zur Berechnung der Galoisgruppe. Dabei wird sozusagen der klassische Beweis dafür, dass dies überhaupt möglich ist, schrittweise umgesetzt; z.B. beginnt man mit der Suche eines primitiven Elements des Zerfällungskörpers.
   
Wenngleich man mit einem Klick die Galoisgruppe eines Polynoms berechnen lassen kann, sollte man einen Blick hinter die Kulissen geworfen haben.

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: Mathematik :: Algebra :: Galoistheorie :: Körpertheorie :: Reine Mathematik :
Berechnung der Galoisgruppe [von Martin_Infinite]  
Darstellung von Methoden zur Berechnung von Galoisgruppen, die über die üblichen Trivialitäten hinaus gehen.
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" Stern Mathematik: Berechnung der Galoisgruppe" | 10 Kommentare
 
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Re: Berechnung der Galoisgruppe
von cow_gone_mad am Mo. 06. August 2007 01:13:34


Hallo Martin smile

Netter Artikel, aber mal eine Metafrage. Du beweist (bzw. erwähnst) "allgemeine" Resultate, wie die Galoisgruppe aussieht im Fall n=3,4 (natürlich auch n =2). Ich kenne es irgendwie so, dass n=4 ein Grenzfall für die Algebra ist, da sich die Nullstellen von Polynomen vom Grad > 4 nicht mehr durch Radikale darstellen lassen. Was ich mich nun Frage, kann es eine Klassifizierung "Galoisgruppe Gal(f) sieht so aus, also hat das Polynom f so und so aus" im Fall von Polynomen von Grad > 4 geben? Oder gibt es da auch ein fundamentales Problem?  confused

Liebe Grüsse,
cow_

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Re: Berechnung der Galoisgruppe
von Martin_Infinite am Mo. 06. August 2007 01:32:05


das gibt es - soweit ich weiß - nicht. im übrigen gibt es sehr wohl polynome vom grad > 4, die sich durch radikale auflösen lassen. es ist nur (im gegensatz zu niedrigeren graden) nicht mehr für alle polynome sichergestellt.

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Re: Berechnung der Galoisgruppe
von abbakus am Do. 06. September 2007 10:12:32


Hi Martin,
ein super Artikel! Damit hättest Du Dir im Winter viele, viele doofe Fragen von mir zu diesem Thema gespart wink

lg abbakus

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Re: Berechnung der Galoisgruppe
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 17. Februar 2011 15:05:10


Schöne Darstellung der Methode aus van der Waerden!

> Es bleibt zu zeigen, dass F^- zu f^- gehört. Das erwähnt van der
> Waerden nicht einmal. Ich habe es mir wie folgt überlegt: ...

Diese Überlegung ist überflüssig: Seien a_0,a_1,...,a_{n-1} die Koeffizienten des normierten Polynoms f(x). Der Koeffizient von z^i in F(z) hat die Form H_i(a_0,a_1,...,a_{n-1}), wo H_i ein Polynom in n Variablen über dem Koeffizientenring Z[u_1,...,u_n] ist. Die Polynome H_i sind unabhängig von f, hängen nur von n und i ab. Daher ist es egal, ob man erst die Koeffizienten von f modulo P reduziert, und dann das ensprechende Hilfspolynom bildet, oder erst F aus f bildet, und dann modulo P reduziert.

Ich denke, der Reiz des Beweises in van der Waerden liegt gerade darin, dass man keine ganzen Ringerweiterungen und kein lying-over braucht.

GruB
Peter Müller (Würzburg)


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Re: Berechnung der Galoisgruppe
von Martin_Infinite am Fr. 18. Februar 2011 00:00:06


Hallo,

schön dass sich mal jemand meldet, der sich damit auskennt :-).
Der Einwand ist natürlich berechtigt. Lying over braucht man nicht.

Gruß, Martin

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Re: Berechnung der Galoisgruppe
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 07. April 2011 11:44:06


Der Artikel ist sehr interessant, allerdings verstehe ich einen Beweisschritt nicht.

Am Schluss des ersten Beweises zur Reduktionsmethode:
"Das bedeutet, dass es einen K(u)-invarianten Körperautomorphismus von L(u) gibt.."
Warum induziert Sigma einen Automorphismus von L(u), wenn Sigma b auf ein konjugiertes Element abbildet? Wird L(u) von b über K(u) erzeugt?

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Re: Berechnung der Galoisgruppe
von Martin_Infinite am Fr. 08. April 2011 10:49:01


@Anon: Konjugierte Elemente werden ja von einem Automorphismus des algebraischen Abschlusses aufeinander abgebildet; das ist eine Folgerung aus dem Fortsetzungssatz aus der Körpertheorie, den du sicherlich kennst. Weil aber L/K algebraisch und normal ist, ist auch L(u)/K(u) algebraisch und normal, sodass sich der Automorphismus hier zu einem von L(u) einschränkt.

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Re: Berechnung der Galoisgruppe
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 08. April 2011 12:28:34


Mir ist bekannt, dass es einen K(u)-Automorphismus von L(u) gibt, der b auf Sigma(b) abbildet. Ich sehe in dem Fall nicht, warum er dann auch alle Alpha genau wie Sigma abbilden muss. Oder, von Sigma ausgegangen, jeder Automorphismus bewirkt eine Permutation der Alpha, aber nicht jede Permutation induziert einen Automorphismus. Warum induziert Sigma speziell einen Automorphismus L(u)?
 

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Re: Berechnung der Galoisgruppe
von Martin_Infinite am Fr. 08. April 2011 16:14:11


Man muss nur wissen, was mit b geschieht. Danach liefert ein Koeffizientenvergleich die gewünschte Aussage über die ai.

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Re: Berechnung der Galoisgruppe
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 09. April 2011 19:30:34


Ah, jetzt ist es mir endlich klar geworden. Vielen Dank!

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