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Stern Mathematik: p-adische Zahlen
Freigegeben von matroid am Fr. 21. Dezember 2007 08:22:54
Verfasst von Stefan_K -   9605 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

sqrt(2)

p-adische Zahlen

Die bekannte Darstellung einer natürlichen Zahl in einer Basis p läßt sich erweitern zu Darstellungen beliebiger ganzer Zahlen, weiterhin für rationale Zahlen, und diese schließlich zu einem Zahlenkörper, der sich von den reellen Zahlen erheblich unterscheidet. Man reduziert die Betrachtung sinnvoll auf Primzahlen p, und spricht dann von den p-adischen Zahlen.

Die p-adischen Zahlen kann man analog zu den reellen Zahlen als alternative vervollständigende Erweiterung des rationalen Zahlenkörpers Q konstruieren. In bekannter Weise betrachtet man Q als metrischen Raum, dessen Metrik der gewohnte Absolutbetrag induziert und vervollständigt ihn etwa durch Einbettung in die Äquivalenzklassen der Cauchy-Folgen von Q, man erhält R.

Es läßt sich aber auch eine andere Metrik einführen, welche die Abstände zwischen rationalen Zahlen anders mißt, und diesen neuen metrischen Raum kann man zum p-adischen Zahlenkörper vervollständigen. Diese neue Metrik wird durch den p-adischen Absolutbetrag bestimmt. Die p-adischen Zahlen werden hier zunächst noch nicht als Vervollständigung von Q betrachtet, sie sollen motiviert und formal algebraisch eingeführt werden.

 Inhalt:

  1. Hensels Analogie
  2. Die p-adische Entwicklung
  3. Die p-adischen Zahlen
  4. Zp und der projektive Limes
  5. Rechnen mit p-adischen Zahlen in PARI/GP
  6. Literatur

 Hensels Analogie


Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde die Theorie der p-adischen
Zahlen im Wesentlichen durch Kurt Hensel entwickelt. Buchveröffentlichungen Hensels sind Interessierten im Internet frei verfügbar ([3] und [4]).

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Im weiteren bezeichne p jeweils eine feste Primzahl.

 Die p-adische Entwicklung


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 Die p-adischen Zahlen


Der anfänglichen Analogie folgend erweitert man die Menge der ganzen p-adischen Zahlen, ähnlich der Laurent-Entwicklung (3), und betrachtet formale Reihen mit "endlichem Hauptteil":

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 Zp und der projektive Limes


Ein Griff in die Werkzeugkiste der Kategorientheorie: der projektive Limes, auch inverser Limes genannt, umfaßt Strukturen einer Kategorie, welche durch Morphismen untereinander verbunden sind. Wir erklären zunächst den allgemeinen Begriff, bevor wir ihn für unser spezielles Thema definieren.

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 Rechnen mit p-adischen Zahlen in PARI/GP


Manche Computer-Algebra-Systeme (CAS) verfügen über Funktionen zum Rechnen mit p-adischen Zahlen. Als Beispiel sei PARI/GP erwähnt.

PARI/GP ist ein CAS, das sich insbesondere für zahlentheoretische Berechnungen eignet. Es ist unter Unix/Linux, Mac OS und Windows lauffähig. Als freie Software steht es unter der GNU General Public License, der Quellcode ist frei verfügbar, daher läßt es sich für viele Betriebssysteme compilieren und installieren. Es gibt auch fertige Pakete ohne die Notwendigkeit der Compilierung, z.B. für Windows, Mac OS X und Debian bzw. Ubuntu Linux. In letzterem benötigt die Installation nur eine einzige Befehlszeile in der Shell oder einige Mausklicks im Synaptic Installer.

In PARI/GP gibt man p-adische Zahlen als ganzzahlige oder rationale Ausdrücke ein, zu denen O(p^n) addiert wird, wobei n die p-adische Genauigkeit angibt, die Anzahl signifikanter p-adischer Ziffern.

Dokumentation findet man bei Interesse auf der oben verlinkten PARI/GP-Homepage.

Man kann die gebräuchlichen arithmetischen Operationen in Qp durchführen, im folgenden in einer Beispielsitzung demonstriert. Zunächst wird die Darstellung von Zahlen aus Beispiel 1 kontrolliert: 108 in Z7 und 216 in Z5, danach wird das Produkt 12,314*1,203 in Q7 berechnet.
PARI/GP
? 108+O(7^3)
%1 = 3 + 7 + 2*7^2 + O(7^3)
? 216+O(5^4)
%2 = 1 + 3*5 + 3*5^2 + 5^3 + O(5^4)
? m = 7^-1 + 2 + 3*7 + 7^2 + 4*7^3 + O(7^10)
%3 = 7^-1 + 2 + 3*7 + 7^2 + 4*7^3 + O(7^10)
? n = 1 + 2*7 + 3*7^3 + O(7^10)
%4 = 1 + 2*7 + 3*7^3 + O(7^10)
? m*n
%5 = 7^-1 + 4 + 4*7^2 + 6*7^3 + 4*7^4 + 5*7^5 + 5*7^6 + 7^7 + O(7^9)

Das Ergebnis ist also 14,0464551 (7). Diese Zahl können wir mit der lift-Funktion als rationale Zahl darstellen:
PARI/GP
? lift(m*n)
%6 = 10553796/7


Auch transzendente Funktionen sind implementiert, z.B. der p-adische Logarithmus und die Exponentialfunktion:
PARI/GP
? x = 341 + O(7^8)
%7 = 5 + 6*7 + 6*7^2 + O(7^8)
? log(x)
%8 = 5*7 + 5*7^2 + 5*7^3 + 3*7^5 + 3*7^6 + 2*7^7 + O(7^8)
? exp(%8)
%9 = 1 + 5*7 + 2*7^3 + 3*7^4 + 2*7^5 + 5*7^6 + 7^7 + O(7^8)
? (x/%9)^6
%10 = 1 + O(7^8)

x/exp(log(x)) ist nämlich eine (p-1)-te Einheitswurzel.

Definition und Eigenschaften der p-adischen Exponential- und Logarithmusfunktion finden sich z.B. hier auf PlanetMath.

Die Grafik der Einführung visualisiert die Approximation der Quadratwurzel von 2 in den 7-adischen Zahlen. Die Zahlenwerte dieser Grafik und das Ergebnis aus Beispiel 3 wurden mit PARI/GP berechnet und mit PGF/TikZ in LaTeX gesetzt. Ein Ausschnitt der Berechnung:
PARI/GP
? lift(sqrt(2+O(7^4)))
%11 = 2166
? sqrt(2+O(7^12))
%12 = 3 + 7 + 2*7^2 + 6*7^3 + 7^4 + 2*7^5 + 7^6 + 2*7^7 + 4*7^8 + 6*7^9
 + 6*7^10 + 2*7^11 + O(7^12)

Wer PARI/GP nicht installieren kann oder möchte, der kann z.B auf The SAGE Notebook unter SAGE mit dem PARI/GP-Interface für SAGE online rechnen.



Diese Einführung entwickelte die p-adischen Zahlen mit algebraischen Mitteln als formale Objekte. Rein über Kongruenzbetrachtungen wäre eine zahlentheoretische Herleitung auch möglich. Eine schöne topologische Herangehensweise ist die Konstruktion von Qp als Vervollständigung der rationalen Zahlen Q, analog zur Konstruktion der reellen Zahlen R als Komplettierung von Q. Bei Interesse mag vielleicht ein Zusatz hierfür folgen.

        StefanK


 Literatur und Links

Bücher

[1] George Bachman, Introduction to p-adic Numbers and Valuation Theory,
      Academic Press, New York, 1964


[2] Fernando Q. Gouvea, p-adic numbers, Springer, 1993

[3] Kurt Hensel, Theorie der algebraischen Zahlen, Teubner, 1908 (online lesbar)

[4] Kurt Hensel, Zahlentheorie, Göschen, 1913 (online lesbar)

[5] Kurt Mahler, Lectures on Diophantine Approximations, Notre Dame, 1961
      (online lesbar)

[6] Jürgen Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer, 1992

Skripte

[7] A. J. Baker, An Introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis, Glasgow, 2004

[8] Ç.K. Koç, A Tutorial on p-adic Arithmetic, Oregon, 2002

[9] K. Mathiak, Bewertungstheorie, Braunschweig, 1993

Weblinks

[10] PARI/GP

[11] MathWorld: p-adic numbers u.a.

[12] PlanetMath: p-adic integers, p-adic exponential and p-adic logarithm

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p-adische Zahlen [von Stefan_K]  
Einführung in die p-adischen Zahlen, mit funktionentheoretischer Motivation und algebraischer Konstruktion, ergänzt durch Demonstration von Berechnungen durch ein Computer-Algebra-System.
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" Stern Mathematik: p-adische Zahlen" | 14 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: p-adische Zahlen
von haha am Fr. 21. Dezember 2007 16:27:17


Schön, dass es hier auch mal einen Artikel über die p-adischen Zahlen gibt.
Leider kann man den projektiven Limes, so wie du ihn definiert hast, für beliebige Kategorien nicht definieren. Die Objekte müssen ja keine Mengen sein. Entweder müsstest du also den projektiven Limes über seine universellen Eigenschaft definieren (um allgemein zu bleiben), oder dich z.B. auf die Kategorie der abelschen Gruppen einschränken.
I.A. ist es übrigens nicht klar, dass der projektive Limes irgendeines Diagrammes in einer Kategorie existiert.

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Re: p-adische Zahlen
von owk am Fr. 21. Dezember 2007 18:05:41


Siehe Fußnote 4. (Allerdings sollte man in der Tat die Körper da noch herausnehmen, sie sind nicht gleichungsdefiniert.) owk

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Re: p-adische Zahlen
von huepfer am Fr. 21. Dezember 2007 19:12:07


Hallo Stefan,

ich finde es schön, hier auch mal was über p-adische Zahlen zu lesen. Du schreibst in der Einleitung, dass sich die p-adischen Zahlen wesentlich von den reellen Zahlen unterscheiden. Im Text suche ich allerdings vergeblich nach einer Erklärung dafür. Könntes Du das vielleicht noch nachholen?

Gruß,
   Felix

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Re: p-adische Zahlen
von cyrix am Fr. 21. Dezember 2007 20:31:10


@Felix: Nun, die ultrametrische Ungleichung |x+y|<=max(|x|,|y|) verändert die Analysis doch ganz schön. Natürlich kannst du analog dem reellen Fall z.B. Potenzreiehen definieren, aber die Exponentialfunktion hat dann z.B. nur noch endlichen Konvergenzradius, während automatisch jede Reihe, deren Summanden eine Nullfolge (im p-adischen Sinne) bilden, konvergiert.


Cyrix

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Re: p-adische Zahlen
von huepfer am Fr. 21. Dezember 2007 20:59:39


@cyrix,

das ändert in der Tat einiges. An genau so etwas hatte ich gedacht.
Vielen Dank.

Gruß,
   Felix

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Re: p-adische Zahlen
von Stefan_K am Fr. 21. Dezember 2007 21:39:37


Hallo,

danke für die anregenden Kommentare!
Die Existenz des projektiven Limes für bestimmte Kategorien habe ich nicht weiter verfolgt, da er hier nur für Ringe benötigt wird.

Wie Cyrix schon bemerkte, dass der p-adische Absolutbetrag der verschärften Dreiecksungleichung genügt und damit nicht-archimedisch ist, verändert die Analysis der p-adischen Zahlen erheblich gegenüber IR. Es wird nicht mehr die "Größe" einer Zahl gemessen, sondern die Teilbarkeit durch p. So liegt 1000001 2-adisch sehr nahe an 1, während 1 und 0 sehr weit auseinanderliegen. Oder die Reihe 1+2+4+8+16+32+... konvergiert 2-adisch gegen -1. Um mehr zu zeigen, sollte man noch die Metrik in Qp besprechen.

Die rationalen Zahlen lassen sich nach einem Satz von Ostrowski nur zu den reellen Zahlen oder zu einem p-adischen Zahlenkörper vervollständigen. Letztere gibt es unendlich viele, daher ist eigentlich der reelle Zahlenkörper der Ausnahmefall...

Da jetzt erstmal Weihnachten und Familie kommen, werde ich wohl erst nach den Feiertagen zum Lesen weiterer Kommentare sowie Schreiben kommen.

Viele Grüße,

StefanK

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p-adische Zahlen: pdf-Version
von Stefan_K am Mo. 31. Dezember 2007 16:49:59


Hallo,

der Artikel ist nun auch mit LaTeX gesetzt in einer pdf-Version verfügbar: hier.
Die pdf-Datei habe ich nicht direkt als Artikel-Anlage auf matheplanet.de gespeichert, weil hier der Zugriff eingeschränkt ist, nach meiner Kenntnis dürfen Suchmaschinen die pdf-Downloads nicht indizieren.

Viele Grüße,

StefanK

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Re: p-adische Zahlen
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 02. Mai 2015 19:55:48


Hi, ich habe ne Frage bzgl. der Konstruktion.Wieso betrachtet man anfangs nur die "für p ganzen Zahlen", ich sehe ein, dass wenn man im Nenner ein Teiler von p hat zieht man den raus und man kann sich darauf berufen, dass man ja schon eine Darstellung für "p ganze Zahlen" hat. Aber inwieweit bringt der Satz 1 mir was, und wieso bestimmt eine für p ganze Zahl eine Folge <math>s_n</math> von Restklassen <math> s_n = f~mod ~ p^n</math>. Das Beispiel mit 31/4 versteht ich schon, aber ich seh die Verbindung mit der Theorie nicht.

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Re: p-adische Zahlen
von AlanTuring am Sa. 02. Mai 2015 20:00:38


Wer kennt sich noch mit dem Thema aus? ^^

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Re: p-adische Zahlen
von xiao_shi_tou_ am Di. 19. Mai 2015 18:43:41


Hi Anonymous.

Meinst du wirklich einen "Teiler von p", von denen es modulo Vorzeichen nur 1 und p gibt, oder meinst du vielleicht eine Potenz von p?

Warum man anfangs nur "fuer p ganze Zahlen nimmt":
Im Artikel wird die p-adische Entwicklung einer rationalen Zahl f definiert ueber die Koeffizienten ai. Man bekommt diese Koeffizienten, indem man Satz 1 anwendet und f modulo immer hoeheren Potenzen nimmt.

Diese Prozedur funktioniert aber nicht, wenn der Nenner durch p teilbar ist, weil man dann im Quotientenring durch 0 teilen wuerde.

Dieses Problem laesst sich aber einfach dadurch umgehen, dass man die Potenz von p im Nenner erst ausklammert, die Koeffizienten bestimmt, und dann die Potenz wieder dazumultipliziert.

Restklassen und Satz1:
Wenn f eine "fuer p ganze Zahl" ist, dann kann man durch die Projektionen modulo p^k die Restklassen f mod p^k bekommen. Aus Satz 1 folgt eine Darstellung jeder Restklasse sn durch die Koeffizienten ak und aus der Eindeutigkeit dieser ak folgt, dass sich die Koeffizienten die bei der Projektion mod p^(k+1) -> mod p^k nicht verschwinden, sich nicht aendern.

Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte =).
lg Daniel

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Re: p-adische Zahlen
von AlanTuring am Sa. 13. Juni 2015 16:00:22


Hi,
danke für die Antwort, ich war das mit der Frage^^.

Ich meinte wohl Vielfaches von p.
Bspw.: 1/10:
<math>1/10 \equiv~ x~ mod~ 5 </math>, x suchen durch multiplizieren mit 10: <math>1 \equiv 10\cdot x~ mod~ 5</math>, was ja für kein x erfüllt ist. Bei allen anderen Brüchen funktioniert das ja so.

Was meinst du jetzt mit Quotientenring - die Menge der für p ganzen Zahlen ? D.h. die Division für p bzw. kp, was kongruent zu 0 ist, im Nenner bei einer zahl f = g/h, mit g,h für p-ganze Zahlen? Ok dann versteh ich das mit dem ausklammern und späteres dranmultiplizieren.
Das ganze mit der Projektion und den Limes muss ich mir noch genauer angucken, das verstehe ich noch nicht wirklich.

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Re: p-adische Zahlen
von AlanTuring am Di. 16. Juni 2015 22:26:34


Ok, habe das jetzt eigentlich verstanden. Aber wie zeigt/beweist man genau/formal die Bijektion <math>Z_p \rightarrow lim Z/p^nZ</math>? Irgendwie ist es doch logisch, da man einfach die Zahl auf ihre Folgen von Restklassen abbildet. Die Glieder der Folgen der Partialsummen sind ja im Prinzip identisch mit denen der Folgen der Restklassen (nur das man sie im modulo Körper betrachtet, aber ändern tut sich da ja nichts). Was genau/Wie genau muss man dann da die Bijektion begründen? Und das diese Teilmenge ein Teilring ist, muss man doch eigentlich auch erst beweisen.

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Re: p-adische Zahlen
von AlanTuring am Di. 23. Juni 2015 00:13:59


ok, habe das nun auch verstanden, aber stehe hierbei auf den Schlauch:
bei (6) (die Bemerkung). Inwieweit sieht man, dass Q nach Qp injektiv ist und was heißt Q mit Bild in Qp identifizieren, sodass Q teilmenge von Qp und Z Teilmenge von Zp ?

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Re: p-adische Zahlen
von Gockel am Do. 25. Juni 2015 18:39:39


@AlanTuring:
Das kann man z.B. herausfinden, indem man nachprüft, dass diese Abbildung ein Ringhomomorphismus ist (d.h. <math>i(a+b)=i(a)+i(b)</math>, <math>i(ab)=i(a)i(b)</math> und <math>i(1)=1</math> erfüllt. Da nämlich <math>\IQ</math> ein Körper ist, sind Ringhomomorphismen aus <math>\IQ</math> in andere Ringe stets injektiv oder Null. Und weil <math>i</math> offenkundig nicht konstant Null ist, muss es somit eine Einbettung sein.

mfg Gockel.

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