Die Mathe-Redaktion - 26.02.2018 04:47 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt1 im Schwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 313 Gäste und 3 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Mathematik: Symmetriegruppen - §1 Einführung
Freigegeben von matroid am Mo. 05. Mai 2008 09:28:06
Verfasst von FlorianM -   9615 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Lineare Algebra

\(\begingroup\)

Symmetriegruppen


§1 Einführung


Symmetrie
In diesem Artikel möchte ich eine kleine Einführung in die Symmetriegruppen der Ebene geben. Da das Thema für ein Artikel zu umfangreich wäre, plane ich insgesamt drei. Voraussetzung für die gesamte Serie ist der Umgang mit Gruppen und auch Kenntnisse aus der Linearen Algebra I über orthogonale Matrizen sind nicht schlecht, aber nicht unbedingt nötig. Ich habe in einem Exkurs über Gruppen nochmal das Wichtigste über Gruppen zusammengefasst. Wer weitere und vor allem tiefgründigere Informationen über Gruppen wünscht, dem sei der Gruppenzwang von Gockel ans Herz gelegt.

Um was soll es gehen?
Die wohl schönste (für die Augen) Anwendung der Gruppentheorie ist die Beschreibung von Symmetrie.
wikipedia.de schreibt: "In der mathematischen Gruppentheorie ist die Symmetriegruppe eines geometrischen Objektes die Gruppe, die aus der Menge aller Kongruenzabbildungen besteht, die das Objekt auf sich selbst abbilden, zusammen mit der Verkettung von Abbildungen als Gruppenoperation."

Und genau das wollen wir in dieser Artikelserie mit Leben und vor allem mit Bildern und Inhalt füllen!

Diesen ersten Artikel will ich vor allem dazu erstmal nutzen, um euch einen Überblick über die Serie zu geben und der Frage nachzugehen, was wir denn alles vorhaben.
Wir werden uns auf ebene Figuren beschränken. Zunächst werden wir also mögliche Symmetrien betrachten. Im zweiten Teil folgt dann, wie wir diese Symmetrien denn nun mit Gruppen beschreiben können. Und wie uns die Gruppentheorie dabei helfen wird.
1.1 Verschiedene Symmetrien ebener Figuren

Man unterscheidet eigentlich zwischen vier verschiedenen Arten von Symmetrie einer ebenen Figur.

Da hätten wir zum einen die Spiegelung an einer Symmetrie. Dazu betrachten wir das folgende Bild, das von wikipedia.de stammt.

Spiegelsymmetrie

Diese Spiegelung an einer Spiegelachse sollte euch vertraut sein.

Weiter geht es mit Drehungen.

Drehung
Dieses Bild stammt von der Uni Giessen.

Das grüne Dreieck wurde um einen bestimmten Winkel gegen den Uhrzeigersinn (mathematisch positiv) gedreht.

Weiter gibt es noch die Verschiebungen (Translationen).

Translation
Das Bild stammt von Herrn Briegel.

Man verschiebt also einfach nur ein bestimmtes Objekt um einen bestimmten Vektor.

Eine vierte, und vielleicht etwas weniger vertraute Symmetrie, ist die Gleitspiegelung. Dies ist eine Kombination einer Spiegelung mit einer Translation. Folgendes Bild soll dies verdeutlichen:

Gleitspiegelung

Das Bild stammt wieder mal von wikipedia.de.

Nun können natürlich auch noch andere Kombinationen von Symmetrien auftreten. Zum Beispiel sind Kombinationen von Spiegelungs -und Drehsymmetrie möglich. Aber auch eine Translation mit einer Spiegelung ist denkbar. Überlegt euch doch mal schöne Symmetrien, die dies verdeutlichen und veranschaulichen. :)

Soweit erstmal zum Anschaulichen. Beginnen wir mathematisch präzise zu definieren.
1.2 Symmetrieoperation

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden
1.3 Mathematische Beschreibung der Symmetrien

fed-Code einblenden
1.4 Abschluss und Literatur

Da dieser Artikel nur als Einführung und als kleine Werbung für die folgenden Artikel gedacht war, mache ich an dieser Stelle Schluss und verrate nur noch so viel, dass wir sehen werden, dass jedes Element der Symmetriegruppe konjugiert ist zu genau einem der folgenden Typen: Identität, Translation, Spiegelung, Drehung, Gleitspiegelung.

Was man unter "konjugiert" versteht und wie man dies beweist und was das denn nun alles mit Gruppen zu tun hat, werden wir im nächsten Artikel sehen.
Ich hoffe, ich habe euch neugierig gemacht und ihr werdet euch auch den nächsten Artikel durchlesen. Bis dahin viel Erfolg und Spaß!

Literaturempfehlungen sind:
- Algebrabuch von Michael Artin
- Skript über Symmetriegruppen
\(\endgroup\)

Link auf diesen Artikel Link auf diesen Artikel  Druckbare Version Druckerfreundliche Version  Einen Freund auf diesen Artikel aufmerksam machen Weitersagen Kommentare zeigen Kommentare  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Lineare Algebra :: Algebra :: Mathematik :: Gruppentheorie :
Symmetriegruppen - §1 Einführung [von FlorianM]  
Einführung zu Symmetriegruppen. Was sind Symmetrien und wie beschreibt man diese mit Hilfe der Gruppentheorie?
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
Verwandte Links
 
Besucherzähler 9615
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 2052 externe Besuche zwischen 2018.02 und 2018.02 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://matheplanet.com110.5%0.5 %
http://google.de1035%5 %
http://www.bing.com160.8%0.8 %
http://google.com50.2%0.2 %
http://google.nl146771.5%71.5 %
http://google.pt1266.1%6.1 %
http://google.lu21810.6%10.6 %
http://google.pl422%2 %
http://images.google.de120.6%0.6 %
http://google.at30.1%0.1 %
http://suche.web.de90.4%0.4 %
http://google.ch50.2%0.2 %
http://suche.t-online.de90.4%0.4 %
http://images.google.com30.1%0.1 %
http://isearch.avg.com10%0 %
http://images.google.at10%0 %
http://google.be10%0 %
http://interestuff.com10%0 %
http://de.images.search.yahoo.com40.2%0.2 %
http://www.delta-search.com10%0 %
http://images.google.nl10%0 %
http://suche.aol.de30.1%0.1 %
http://de.yhs4.search.yahoo.com10%0 %
http://192.168.0.200:191010%0 %
http://be.bing.com20.1%0.1 %
http://suche.gmx.net10%0 %
http://cgi2.nintendo.co.jp10%0 %
http://isearch.babylon.com10%0 %
http://search.conduit.com10%0 %
http://www.schnell-startseite.de10%0 %
http://de.search.yahoo.com10%0 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 12 Aufrufe in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2018.02.01-2018.02.25 (9x)https://www.google.de/
2018.02.20-2018.02.24 (2x)http://google.de/url?sa=i&rct=j&q=
2018.02.21 19:30http://www.bing.com/search?q=sid=1177 j 6&form=MSNH14&sc=8-4&sp=-1&qs=n&sk=

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 1954 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2013-2018 (421x)http://google.nl/url?sa=i&rct=j&q=
2012-2013 (259x)http://google.nl/imgres?q=spiegelsymmetrische figuren
201207-12 (208x)http://google.nl/imgres?q=spiegelsymmetrisch
2013.01 (126x)http://google.pt/imgres?q=Symmetrie
2014-2015 (114x)http://google.lu/url?sa=i&rct=j&q=
2013.03 (99x)http://google.nl/url?sa=i&rct=j&q=spiegelsymmetrie
2012.05 (98x)http://google.nl/imgres?um=1&biw=1280&bih=699&tbm=isch&tbnid=4YhV9gVgV3XnaM:
2013.04 (92x)http://google.nl/url?sa=i&rct=j&q=spiegelsymmetrische figuren
2013.05 (88x)http://google.nl/url?sa=i&rct=j&q=spiegelsymmetrisch
2012.10 (68x)http://google.lu/imgres?um=1&sa=N&biw=1429&bih=998&tbm=isch&tbnid=9SvZnvEuOiv...
2012.03 (54x)http://google.nl/imgres?um=1&gbv=2&biw=1600&bih=785&tbm=isch&tbnid=4YhV9gVgV3...
2012.09 (48x)http://google.nl/imgres?um=1&sa=N&biw=1309&bih=730&authuser=0&tbm=isch&tbnid=...
2012.08 (42x)http://google.pl/imgres?q=spiegelachsen
2013.09 (39x)http://google.nl/imgres?sa=X&biw=1280&bih=827&tbm=isch&tbnid=9SvZnvEuOivmsM:
2013.10 (38x)http://google.nl/imgres?sa=X&biw=1280&bih=843&tbm=isch&tbnid=4YhV9gVgV3XnaM:
2012.01 (36x)http://google.lu/imgres?q=spiegelsymmetrie
2014-2017 (28x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2012.02 (23x)http://google.nl/imgres?q=spiegelsymmetrie
2013.07 (19x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeigen sie dass es nicht möglich ist eine ...
201702-12 (14x)http://google.de/url?sa=i&rct=j&q=
2013.08 (13x)http://google.de/imgres?sa=X&tbm=isch&tbnid=9SvZnvEuOivmsM:
2016-2017 (10x)http://google.de/search?tbm=isch&source=hp&biw=&bih=&q=symmetrie
2016-2017 (7x)http://images.google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2014.06 (6x)http://google.de/search?q=symmetrie
201506-12 (4x)http://google.de/search?q=spiegelachse

[Seitenanfang]

" Mathematik: Symmetriegruppen - §1 Einführung" | 5 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Symmetriegruppen - §1 Einführung
von Martin_Infinite am Mo. 05. Mai 2008 14:37:20

\(\begingroup\)
in der definition von "symmetrie" sollte es affin-linear und nicht linear heißen.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Symmetriegruppen - §1 Einführung
von Diophant am Di. 06. Mai 2008 08:42:28

\(\begingroup\)
Hallo FlorianM,

das ist sehr anschaulich geschrieben und ich bin sehr gespannt auf die Fortsetzung!

Gruß, Diophant\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Symmetriegruppen - §1 Einführung
von Hartmut am Do. 08. Mai 2008 20:43:36

\(\begingroup\)
Hallo Florian,
ich bin gespannt auf die Fortsetzung. Symmetriegruppen fehlen bisher in meinem Repertoire.
Gruss
Hartmut
[Anmerkung wegen Fehlers gestrichen, weil zwischenzeitlich behoben]\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Symmetriegruppen - §1 Einführung
von PeterTheMaster am Sa. 14. Juni 2008 20:41:32

\(\begingroup\)
ist die gleitspiegelung nicht einfach eine komposition aus translation und spiegelung? warum wird sie exta erwaeht? sollte man nicht mit gleichem recht von gleitdrehung, drehspiegelung... reden koennen?\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Symmetriegruppen - §1 Einführung
von kolporteur am Di. 16. Mai 2017 18:09:02

\(\begingroup\)
Eine "Gleitdrehung" ist das Hintereinanderausführen (also das Produkt) aus Translation und Rotation, aber im Ergebnis wieder nur eine simple Rotation, also deshalb nicht extra ausgewiesen.
Eine "Drehspiegelung" ist das Hintereinanderausführen eine Rotation (also zweier Spiegelungen an Achsen, die sich in einem Punkt schneiden - dem Rotationspunkt) und einer weiteren Spiegelung, also im Ergebnis nur eine Hintereinanderausführung dreier Spiegelungen und deshalb auch nicht extra zu erwähnen.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]