Die Mathe-Redaktion - 30.04.2017 07:06 - Registrieren/Login
Auswahl
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Apr. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 313 Gäste und 3 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Stern Mathematik: Potenzsummen
Freigegeben von matroid am Fr. 30. Mai 2008 20:46:03
Verfasst von trunx -   3418 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Einige davon sind bereits auf dem Matheplaneten vorgestellt worden, z.B. im Artikel Endliche Summen oder hier im Forum. Den in diesem Artikel vorgestellten Rechenweg hat Manuel (subdubito) auf dem MPCT VIII skizziert, hier soll er etwas ausführlicher erläutert und zu Ende gebracht werden.

1. Motivation



fed-Code einblenden

2. Auswertung



fed-Code einblenden
fed-Code einblenden

Schluss


Eine weitere Idee ist nun, mit Hilfe dieser Darstellung der Potenzsummen zusätzlich auch noch eine neue Darstellung der Bernoulli-Zahlen zu entwickeln. Es ist:

fed-Code einblenden

viel Freude wünschen subdubito und trunx

Link auf diesen Artikel Link auf diesen Artikel  Druckbare Version Druckerfreundliche Version  Einen Freund auf diesen Artikel aufmerksam machen Weitersagen Kommentare zeigen Kommentare  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Mathematik :: Potenzsummen :: Folgen und Reihen :: Polynome :: Bernoulli-Zahlen :
Potenzsummen [von trunx]  
Die Berechnung des Ausdrucks sum(n^m,n=1,N) kann auf sehr verschiedene Weise vorgenommen werden. Einige davon sind bereits auf dem Matheplaneten vorgestellt worden, z.B. im Artikel Endliche Summen oder hier im Forum. Hier folgt noch ein weiterer Ansatz.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
Verwandte Links
 
Besucherzähler 3418
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 308 externe Besuche in 2017.04 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://matheplanet.com31%1 %
http://google.de27990.6%90.6 %
http://suche.t-online.de72.3%2.3 %
http://de.search.yahoo.com51.6%1.6 %
http://suche.web.de10.3%0.3 %
http://google.ch10.3%0.3 %
http://www.sm.de10.3%0.3 %
http://suche.aol.de10.3%0.3 %
http://www.bing.com61.9%1.9 %
http://google.it10.3%0.3 %
http://www.search.ask.com10.3%0.3 %
http://search.icq.com10.3%0.3 %
http://r.duckduckgo.com10.3%0.3 %

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 268 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2013-2016 (130x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2012-2013 (52x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=potenzsummen
2012-2013 (15x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=potenzsummen pascal
2012.04 (14x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=summenformel potenzsumme
2012.03 (13x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=potenzsummen beweis k²
2015.01 (10x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CCMQFjAC
2012-2013 (6x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=potenzsummen beweis
2012.08 (5x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=potenzsummen vereinfachen
2012.10 (5x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=summenformel, potenzsummen, summenformel fÃ...
2015.06 (5x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=summenformel potenzsummen
2012.05 (5x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=potenzsummen rechenweg
2014.05 (4x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CC4QFjAC
201301-05 (4x)http://suche.t-online.de/fast-cgi/tsc?sr=ptoweb&q=potenzsummen

[Seitenanfang]

" Stern Mathematik: Potenzsummen" | 5 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Potenzsummen
von durstig am Fr. 06. Juni 2008 10:39:14


Es gibt eine Summenformel für Potenzsummen (Die Nici-Formel), die ohne Rekursionen auskommt und deren Summanden von vorneherein - bis auf den Faktor n(n+1) - nach Potenzen von n geordnet sind.
Ich habe sie als Beitrag unter dem Benutzername durstig auf dem Matheplaneten veröffentlicht.
Als Nebenergebnis ergibt sich auch eine Rekursionsformel für diese Potenzsummen, die ohne Bernoulli-Zahlen auskommt.
Wer auch den Beweis dafür lesen will gehe am besten auf meine Homepage www.w-hecht.de

Prof. Dr. Günter M. Ziegler von der TU  und Prof. Dr. Martin Aigner von der FU Berlin kannten diese Formel nicht und fanden sie „sehr hübsch“.
Da ich nach anderhalb Jahren der Suche auch sonst niemanden gefunden habe, der sie kennt, gehe ich davon aus, dass sie neu ist!
Was mache ich nun damit?

 [Bearbeiten]

Re: Potenzsummen
von trunx am Fr. 06. Juni 2008 22:06:22


Hallo,

vielen Dank für den link - mir ist Ihre Formel bisher nicht bekannt gewesen und natürlich ist es faszinierend, dass Sie ohne Rekursion auskommen smile

bye trunx

 [Bearbeiten]

Re: Potenzsummen
von Andi2 am Sa. 18. Juli 2009 08:50:48


Hallo, durch Zufall bin ich auf eure Seite gestoßen.
Ich hab zwar kein Diplom, aber vor einigen Jahren habe ich eine besondere Formel durch Rumtüfteln hergeleitet, mit der man eine Potenzsumme durch Integrale ihrer entsprechend 1-potenzgrad niedrigeren Potenzsumme ausdrücken kann. Ich meine damit folgendes, man möge mir meine mathematische Ausdrucksweise verzeihen:
Summe(k^(m+1)) mit (k = 1 bis n) in Abhängikeit von der
Summe(k^m) mit (k = 1 bis n);
Im Folgenden setzte ich die Summe(k^m) mit (k = 1 bis n) = S(m)(n),
und die Summe(k^(m+1)) mit (k = 1 bis n) = S(m+1)(n);

Die besondere Formel lautet:
S(m+1)(n)= n+ (m+1)*[Integral(S(m)(n)dn) -n*(Integral(S(m)(n)dn) 0 bis 1)];

Hier mal ein Beispiel:
S(m)(n) und m = 1, also S(1)(n) ist laut Taschenbuch n*(n+1)/2;
Jetzt eingesetzt in S(m+1)(n), also S(2)(n) ergibt sich:
S(2)(n) =
n+ 2*[Integral(S(1))dn - n*(Integral(S(1)(n)dn in Grenzen 0 bis 1)]=
n+ 2*[Integral(n*(n+1)/2)dn - n*(Integral(n*(n+1)/2)dn 0 bis 1)]=
n+ 2*[(n^3)/6 + (n^2)/4 - n *(1/6 + 1/4)]=
n+ 2*[(n^3)/6 + (n^2)/4 - n/6 - n/4]=
n+ 2*[(n^3)/6 + (n^2)/4 -5n/12]=
6n/6+ 2*(n^3)/6 + 3*(n^2)/6 -5n/6=
(2*(n^3) + 3*(n^2) + n)/6;

Im Taschenbuch steht für S(2)(n) = n*(n+1)*(2n+1)/6,
das ist ausmultipliziert (2*(n^3) + 3*(n^2) + n)/6,
Ergebnis siehe Lösung!

Die von mir hergeleitete Formel S(m+1)(n) gilt für alle m. Leider bin ich nicht in der Lage diese Formel zu beweisen, meine Herleitung liegt schon zu lange zurück.
Ich wollte damals die Liste der Potenzsummen ebenfalls vereinfachen.
Das kam dabei raus. Vielleicht hilft die Formel euch weiter oder ist evtl. ein Sonderfall einer bereits existierenden Formel?
Viel Spaß, Gruß Andi

 [Bearbeiten]

Re: Potenzsummen (in fed gesetzt)
von SchuBi am Sa. 18. Juli 2009 09:54:33


Hallo, Andi!
Ich habe deinen Beitrag im fed geschrieben (der besseren Lesbarkeit halber) smile
Allerdings hätte es gelangt, ihn einmal als Kommentar zu posten.
fed-Code einblenden

 [Bearbeiten]

Re: Potenzsummen
von Andi2 am Fr. 24. Juli 2009 11:53:00


...danke SchuBi für die Umsetzung,
nochmal zu den Potenzsummen laut meinem Beitrag.
Wenn ich die gefundene Beziehung obiger Formel
Sn(m+1)(n) oder auch S(m+1)(x)
entsprechend umforme, gelange ich zu folgender Beziehung:
S'(m)(x) - m*S(m-1)(x) - S'(m)(1) + m = 0;
wobei der Ausdruck S'(m)(1) + m immer konstant ist.
Dann weiter gilt für die Potenzsummen auch die Beziehung:
S(m)(x+1) - S(m)(x) = (x+1)^m;

Jetzt mein Gedanke, weil mir das Ganze stark nach Beziehungen der Bernoulli-Polynome richt, für die gilt doch dieses:
B'(m)(x) - m*B(m-1)(x) = 0;
Dann weiter gilt für die Bernoulli-Polynome:
B(m)(x+1) - B(m)(x) = m*x^(m-1);

Außer einem konstanten additiven Anhang, einem konstanten Faktor und einer Verschiebung in x-Richtung gibt's doch da nicht so viele Unterschiede :-).
Ist es nicht möglich sowie "durstig" die "Nicische" Formel zur Berechnung der Potenzsummen ohne Bernoulli-Zahlen, sondern über eine Determinantendarstellung entworfen hat, eine analoge Darstellung für die Bernoullipolynome B(m)(x) selbst und somit auch
für die Bernoullizahlen B(m) = B(m)(0) zu finden?
Gruß Andi

 [Bearbeiten]

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2017 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]