Die Mathe-Redaktion - 23.06.2017 22:52 - Registrieren/Login
Auswahl
Schwarzes Brett
Wartet auf Antwort2017-06-22 12:40 bb ?
Alte Mathematikbücher
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Apr. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 252 Gäste und 20 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Mathematik: Universelle Eigenschaften
Freigegeben von matroid am Mo. 23. Juni 2008 15:24:44
Verfasst von Martin_Infinite -   31727 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

In einer Algebra-Vorlesung etwa werden viele Objekte durch universelle Eigenschaften charakterisiert. Dieser Artikel richtet sich an die Studenten, die sich für den allgemeinen Hintergrund davon interessieren.
 
Zunächst definieren wir allgemein, was universelle Morphismen sind und interpretieren einige bekannte universellen Eigenschaften in dieser Sprache. Schließlich wird gezeigt, wie nützlich die funktorielle Sichtweise für den Umgang mit universellen Objekten ist.

1. --> Universelle Morphismen <--

Wir benutzen die Sprache der Kategorientheorie, worüber bereits hier ein einführender Artikel geschrieben wurde. Von der Fortsetzung werden wir natürliche Transformationen und das Yoneda-Lemma benötigen. Die bereits dort gegebene Sichtweise von universellen Objekten (als initiale bzw. terminale Objekte in geeigneten Kategorien) wird hier durch eine ausgearbeitete bzw. handlichere Definition ersetzt.
 
Beginnen wir mit einer universellen Eigenschaft, die aus der linearen Algebra bekannt ist: Sei V ein Vektorraum mit einer Basis B. Wir haben eine Inklusionsabbildung B -> V, oder genauer |V|, wobei |V| die Trägermenge des Vektorraumes V bezeichnet (es wird also die Vektorraumstruktur vergessen), die im folgenden Sinne universelle ist: Ist W ein Vektorraum und B -> |W| eine Abbildung, so gibt es genau eine lineare Abbildung V -> W, die B -> |W| fortsetzt, d.h. das Diagramm

Bild
 
kommutiert. Dabei induziert jede lineare Abbildung V -> W auch eine Abbildung |V| -> |W| (es wird die Linearität einfach vergessen). Wir können also sagen, dass | | ein Funktor von der Kategorie der Vektorräume (über einem fixierten Körper) in die Kategorie der Mengen ist, und im obigen Fall entsprechen Morphismen B -> |W| (von Mengen) in bijektiver Weise den Morphismen V -> W (von Vektorräumen).

Dasselbe Konzept findet sich bei Polynomringen: Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und R[X] der Polynomring in einer Unbestimmten X über R. Genauer gesagt handelt es sich sogar um eine R-Algebra, d.h. der Polynomring trägt eine mit der Ringstruktur verträgliche R-Modul-Struktur. Für jede R-Algebra S und jedes Element a in S gibt es bekanntlich genau einen R-Algebrenhomomorphismus R[X] -> S, der X auf a abbildet (den Einsetzungshomomorphismus). Dies lässt sich auch so formulieren:

Wir betrachten den Vergißfunktor | | : R-Algebren -> Mengen und betrachten eine einelementige Menge *. Es gibt eine Abbildung * -> |R[X]| (nämlich welche den Wert X besitzt), derart dass es für jede Abbildung * -> |S| mit einer R-Algebra S (das entspricht einem Element a in S) genau ein R-Algebrenhomomorphismus R[X] -> S gibt, sodass

Bild

kommutiert. Dies motiviert nun die allgemeine

fed-Code einblenden
Bild
fed-Code einblenden

Bild

fed-Code einblenden

Bild.

fed-Code einblenden
Bild
fed-Code einblenden
2. --> Beispiele <--
 
Der Leser mag mit einigen dieser Beispiele noch nicht vertraut sein, aber die Idee wird jeweils erläutert. Gegebenenfalls ist nur die kurz angedeutete Konstruktion des universellen Objektes unklar, aber auch nicht so wichtig.

fed-Code einblenden
 
Die universelle Eigenschaft von universellen Objekten ist zunächst einmal das Wichtigste, was man über sie wissen muss. Die zumeist unhandlichen Konstruktionen (z.B. beim Tensorprodukt) sind unwichtig. Nichtsdestotrotz ist es natürlich oft wichtig zu wissen, wie Elemente in universellen Objekten aussehen, um überhaupt etwas Neues herauszufinden (zum Beispiel Normalformen für Elemente in gewissen Gruppenpräsentationen). Aber selbst da spielen explizite Konstruktionen eine untergeordnete Rolle. Insofern sollte man etwa bei der Faktorgruppe G/N zuerst an den Homomorphiesatz, und nicht etwa an Linksnebenklassen denken. Leider wird in vielen Vorlesungen und Büchern zu viel Wert auf das Elementniveau gelegt, was bei komplizierten Objekten den wohl unabdingbaren gedanklichen Sprung auf das Niveau der Morphismen und Funktoren erschwert.
 
Für den Leser nun ein paar Fragen zum Mitdenken:
 
a) Wie kann man einen nichtkommutativen Ring "am besten" zu einem kommutativen Ring machen? Und wie findet man zu einem Ring ohne 1 "am besten" einen Ring mit 1?
b) Inwiefern ist die Vervollständigung eines metrischen Raumes universell?
c) Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf der Menge (oder dem topologischen Raum) X. Wie lässt sich X/~ als universelles Objekt beschreiben?
d) Ist der algebraische Abschluss eines Körpers K in einem gewissen Sinne universell?


3. --> Umgang mit universellen Objekten <--
 
In diesem Abschnitt soll anhand von ein paar Beispielen gezeigt werden, wie man mit universellen Eigenschaften umgeht. Dabei wird das Yoneda-Lemma benutzt, dessen Argumente bei anderen Darstellungen dieser Beispiele umständlicherweise immer wiederholt werden (vgl. z.B. Bosch, 7.2 (Tensorprodukte), 7.4 (Derivationen)).

fed-Code einblenden
Abschluss

Ich hoffe das Prinzip von universellen Eigenschaften ist nun dem einen oder anderen klarer geworden. Andernfalls können gerne in den Kommentaren Fragen gestellt werden.

Schließlich noch ein paar Ausblicke:

• Die duale Variante der oben definierten universellen Pfeile d -> F sind "ko"universelle Pfeile F -> d. Ein Prototyp dafür ist etwa das Produkt a x b von Objekten a,b, was ein darstellendes Objekt des kontravarianten Funktors Hom(-,a) x Hom(-,b) ist.
• Ist F : C -> D ein Funktor und findet man für jedes Objekt d einen universellen Morphismus d -> F(c), der bezüglich c,d natürlich ist, so kann man c = G(d) setzen und erhält einen Funktor G : D -> C mit der Gleichung HomC(G(d),e) = HomD(d,F(e)). Wie bei Operatoren zwischen Hilberträumen nennt man hier G linksadjungiert zu F. Adjunktionen sind also sozusagen parametrisierte universelle Morphismen. Hinter den hier genannten Beispielen stecken allgemeine Konstruktionen resp. Existenzsätze für adjungierte Funktoren.
• Es wurde natürlich nur eine kleine Auswahl von Beispielen getroffen. Weitere sehr wichtige Beispiele von universellen Objekten sind die sogenannten Limites bzw. Kolimites.
 
Martin



Artikel zur Kategorientheorie
Teil 1 (von Zaos): Kategorientheorie
Teil 2 (von Zaos): Kategorien und Diagrammjagd
Teil 3: Ja Mono Epi Iso
Teil 4: Universelle Eigenschaften
Teil 5: Limites und Kolimites
Teil 6: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
Teil 7: Fixpunkte in der Kategorientheorie
Teil 8: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut
Teil 9: Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie
Teil 10: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie

Link auf diesen Artikel Link auf diesen Artikel  Druckbare Version Druckerfreundliche Version  Einen Freund auf diesen Artikel aufmerksam machen Weitersagen Kommentare zeigen Kommentare  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Mathematik :: Kategorientheorie :: Interessierte Studenten :: Reine Mathematik :
Universelle Eigenschaften [von Martin_Infinite]  
Ein Artikel über universelle Eigenschaften, Morphismen und Objekte in der Kategorientheorie.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
Verwandte Links
 
Besucherzähler 31727
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 926 externe Besuche zwischen 2017.06 und 2017.06 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://matheplanet.com202.2%2.2 %
http://google.de77783.9%83.9 %
http://google.lt424.5%4.5 %
http://google.it202.2%2.2 %
http://google.es161.7%1.7 %
http://36ohk6dgmcd1n.yom.mail.yahoo.net50.5%0.5 %
http://de.search.yahoo.com60.6%0.6 %
http://google.at30.3%0.3 %
http://google.ch20.2%0.2 %
http://suche.t-online.de40.4%0.4 %
http://r.duckduckgo.com20.2%0.2 %
http://www.bing.com171.8%1.8 %
http://www.ecosia.org30.3%0.3 %
http://search.yahoo.com10.1%0.1 %
http://search.conduit.com10.1%0.1 %
http://ecosia.org20.2%0.2 %
http://avira-int.ask.com10.1%0.1 %
http://yandex.ru10.1%0.1 %
http://int.search.tb.ask.com10.1%0.1 %
http://www.benefind.de10.1%0.1 %
http://image.search.yahoo.co.jp10.1%0.1 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 19 Aufrufe in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2017.06.19-2017.06.23 (2x)https://www.google.ch/
2017.06.03-2017.06.23 (16x)https://www.google.de/
2017.06.20 19:45https://www.google.at/

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 857 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2013-2017 (199x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2012-2013 (87x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=universelle eigenschaft
2012-2013 (48x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=universelle eigenschaft vektorraum
2012.05 (42x)http://google.lt/url?sa=t&rct=j&q=universelle eigenschaft
2013.06 (38x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=universelle+eigenschaft
201303-07 (32x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vervollständigung universelle eigenschaft
2013.04 (28x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=universelle eigenschaft nachweisen
2012.12 (27x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=universelle eigenschaft zeigen isomorphismu...
2012.04 (27x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=universelle familie mathe
2012.06 (25x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=universelle eigenschaft produkt sigma algeb...
2012.01 (25x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeige, dass es genau eine abbildung f gibt,...
2014.10 (25x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=7&ved=0CDQQFjAG
2014.06 (24x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CDIQFjAC
2014.03 (23x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=universelle eigenschaft matheplanet
2012.02 (22x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=universelle eigenschaft tensorprodukt
2012.07 (20x)http://google.it/search?biw=320&bih=480&q=universelle eigenschaft homomorphie...
2012.03 (20x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CDMQFjAA
2013.11 (19x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=universelle eigenschaft r-algebren
2014.05 (18x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CDEQFjAB
2014.11 (18x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CCMQFjAD
2013.01 (17x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=universelle eigenschaft polynomring einsetz...
2014.12 (17x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=universelle eigenschaft algebra
2012.10 (16x)http://google.es/url?sa=t&rct=j&q=
2015.04 (13x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=5&ved=0CCwQFjAE
2014.04 (11x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CDIQFjAD
2012.09 (7x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=universelle eigenschaft vervollständigung
2012.01 (5x)http://36ohk6dgmcd1n.yom.mail.yahoo.net/om/api/1.0/openmail.app.invoke/36ohk6...
2015.07 (4x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=universelle eigenschaft gruppe

[Seitenanfang]

" Mathematik: Universelle Eigenschaften" | 9 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Universelle Eigenschaften
von LutzL am Mi. 16. Juli 2008 11:39:26


Na,

die Konstruktionen sind schon wichtig, damit man weiss, dass man nicht nur heiße Luft produziert hat. Die Kategorien sollten schon nichtleer sein und das universelle Objekt bzw. der entsprechende Funktor sollten auch existieren.

Für alle, denen die kategorielle Charakterisierung der Tensoralgebra zu einfach ist: Ich suche gerade eine "Überkategorie" für die Darstellung der Clifford-Algebren als universeller Funktor, die Darstellung als universelles Objekt ist ja Standardwissen.---Die untergeordnete Kategorie ist klar, die Vektorräume mit quadratischer Form bzw. symmetrischer Bilinearform darauf, also Paare (V,q). Also muss auch auf der Algebra A eine quadratische Form Q existieren, damit der "Vergiß-Funktor" angewandt werden kann. Diese muss, in einem Morphismus j:(V,q)-> F( (A,Q) ), mit derjenigen des eingebetteten Vektorraums V übereinstimmten, Q(j(v))=q(v). Irgendwie sollte Q mit der Multiplikation der Algebra noch verträglich sein, sowas wie Q(a*b)=Q(a)*Q(b)?

Ciao Lutz

 [Bearbeiten]

Re: Universelle Eigenschaften
von Martin_Infinite am Do. 17. Juli 2008 02:38:08


hm, wie würdest du denn z.B. Q auf der clifford-algebra Cl(V,q) definieren?

 [Bearbeiten]

Re: Universelle Eigenschaften
von biomath am Do. 24. Juli 2008 14:50:35


Sehr gut geschrieben.

 [Bearbeiten]

Re: Universelle Eigenschaften
von gaussmath am Fr. 25. Juli 2008 11:25:26


Ja, Martin sehr schön geschrieben! Wie machst Du das nur?  smile

 [Bearbeiten]

Re: Universelle Eigenschaften
von jan2 am Fr. 10. Oktober 2008 11:40:49


Hallo,
sehr guter Artikel, besonders die vielen Beispiele haben mir geholfen zu sehen dass universelle Objekte wirklich überall auftauchen. Irgendwo in der mitte des Artikels ist zu lesen:

Darstellende Objekte: Wichtig ist der Spezialfall D = Set und d = * (der in Wirklichkeit alle Fälle abdeckt)...

Wie genau ist das mit alle Fälle abdecken gemeint und wie sieht man es ein?


Gruß jan

 [Bearbeiten]

Re: Universelle Eigenschaften
von Martin_Infinite am Fr. 10. Oktober 2008 12:36:23


schön, dass dir der artikel etwas gebracht hat.
 
der spezialfall beinhaltet darstellbare funktoren. ein universeller morphismus von d nach F ist eine darstellung des funktors Hom(d,F(-)).

 [Bearbeiten]

Re: Universelle Eigenschaften
von jan2 am Sa. 11. Oktober 2008 18:57:07


Danke :), hast du vor noch mehr Artikel in diese Richtung zu schreiben, z.B. die im Abschluss angesprochenen Themen?

Gruß jan

 [Bearbeiten]

Re: Universelle Eigenschaften
von Martin_Infinite am So. 12. Oktober 2008 12:17:39


der artikel ist im rahmen einer algebra-übungsleitung entstanden, wo ich den eindruck hatte, dass studenten kategorielles denken guttun würde, um nicht immer dieselben umständlichen rechnungen machen zu müssen, die auch in den meisten algebrabüchern stehen, und natürlich um einen besseren überblick über die vielen strukturen zu bekommen. ich sehe aber zur zeit keinen anlass dafür, einen artikel über adjunktionen oder limites zu schreiben. du kannst ja mal in die wikipedia-artikel reinschauen, oder noch besser in das buch categories for the working mathematician von mac lane. wenn du fragen hast, stelle sie gerne hier oder im forum.

 [Bearbeiten]

Re: Universelle Eigenschaften
von Martin_Infinite am Mo. 28. Dezember 2009 01:57:32


@LutzL: mathoverflow.net/questions/7687/clifford-algebra-as-an-adjunction

 [Bearbeiten]

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2017 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]