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Mathematik: Amnestie: Auch Untergruppen frei
Freigegeben von matroid am So. 14. Dezember 2008 23:12:03
Verfasst von Gockel -   2863 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)

 
Gruppenzwang XIII

Da sind wir wieder mit dem nächsten Teil der unendlichen Geschichte Gruppenzwang-Reihe.

Wir haben im letzten Artikel die freien Gruppen kennen gelernt. Diesen Artikel möchte ich nutzen, um ein wichtiges Resultat über freie Gruppen zu beweisen: Den Satz von Schreier-Nielsen, der besagt, dass jede Untergruppe einer freien Gruppe selbst frei ist. Dafür werden wir einige Hilfsmittel aus der Graphentheorie kennenlernen und benutzen.

 
Inhalt

  1. Graphen
    1. Gerichtete und ungerichtete Graphen
    2. Kreise, Wege, Bäume
    3. Quotientengraphen
  2. Cayley-Graphen
  3. Der Satz von Schreier-Nielsen
  4. Abschluss

 
Graphen



Ich kann hier keinen vollständigen Überblick über die Graphentheorie liefern. Nicht einmal eine angemessene Einführung. Ich empfehle daher allen Interessenten etwa den Artikel von jannna Warum wohnt der Nikolaus nicht im Bungalow?. Die Arbeitsgruppe Alexandria hat auch einige andere Graphentheorie-Artikel in ihrem Verzeichnis.
In diesem Artikel kann ich nur einen Crashkurs durch die allernotwendigsten Definitionen geben und ein Mindestmaß an Anschauung geben, mehr aber auch nicht.

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Es sei nochmal explizit darauf hingewiesen: Wir machen hier keine der sonst in der Graphentheorie üblichen Einschränkungen! Wir fordern weder, dass V und E endlich sind, noch dass jeder Knoten nur endlich viele Nachbarn hat o.Ä., noch verbieten wir beispielsweise, dass ein Knoten mit sich selbst verbunden ist (das ist eine so genannte "Schlinge").

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Kreise, Wege, Bäume



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Wege und Kreise haben bei mir nach Definition immer endliche Länge. Einige Resultate in der Theorie unendlicher Graphen gelten auch für (geeignet definierte) unendliche Wege und Kreise. Diese werden für uns aber keine Rolle spielen. Im Gegenteil: Kreise und Wege müssen endlich sein, sonst funktioniert Vieles von dem, was wir vorhaben, nicht mehr.
Und weil die entsprechenden Definitionen auch ausarten würden, lasse ich sie hier weg.

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Der erste Satz aus der Graphentheorie, den wir brauchen werden, ist folgender:
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Recht naheliegend und hilfreich ist auch folgender Satz:

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Quotientengraphen



Wir schauen uns jetzt eine Konstruktion analog zu Quotientenstrukturen in anderen Kategorien an und wie man sie auf Graphen übertragen kann.

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Auch auf die zweite Methode, Quotientengraphen zu erhalten, gehen wir noch genauer ein und zeigen Folgendes:
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Cayley-Graphen



Nachdem wir nun im Höchsttempo die für uns wichtigen Begriffe der Graphentheorie eingeführt haben, möchte ich die Graphen definieren, welche für den Gruppentheoretiker den besonderen Reiz ausmachen: Die Cayley-Graphen.

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Der Satz von Schreier-Nielsen



Kommen wir nun endlich zum Beweis des Satzes von Schreier-Nielsen.

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Der eben bewiesene Satz riecht natürlich schon verdächtig nach dem Satz von Schreier-Nielsen. In der Tat ist dieser Beweis nun einfach, ja beinahe trivial:

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Abschluss



Ich persönlich finde diesen Beweis sehr interessant. Zum einen, weil er wiedermal demonstriert, wie unglaublich nützlich Gruppenoperationen für das Studium von Gruppen sind, und zum anderen, weil er eine schöne Verbindung zwischen Graphentheorie und Gruppentheorie aufzeigt, die ebenfalls sehr fruchtbar sein kann.
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Die Gruppenzwang-Reihe



Teil 1: Wir rechnen mit allem
Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Teil 7: Gruppen sind immer noch top!
Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz
Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei
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Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Mathematik :: Algebra :: Gruppentheorie :: Graphentheorie :: Reine Mathematik :
Gruppenzwang XIII: Amnestie: Auch Untergruppen frei [von Gockel]  
Cayley-Graphen, Satz von Schreier-Nielsen
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
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" Mathematik: Amnestie: Auch Untergruppen frei" | 2 Kommentare
 
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Re: Amnesie: Auch Untergruppen frei
von Hanno am Mo. 15. Dezember 2008 01:10:46

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Hallo Johannes,

danke für den interessanten Artikel!

Zur Frage nach dem Rang von Untergruppen freier Gruppen kann man z.B. folgendes sagen: ist G frei vom Rang n und H eine Untergruppe vom Index k, dann ist H frei vom Rang 1 + k*(n-1).


Liebe Grüße,
Hanno\(\endgroup\)

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Re: Amnestie: Auch Untergruppen frei
von Martin_Infinite am Mi. 31. Dezember 2008 17:03:01

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Schöner Artikel.

Am Anfang wären ein paar mehr anschauliche Bemerkungen zu den Definitionen vermutlich hilfreich, wenn man das erste mal von Graphentheorie hört. Der Abschnitt über Zusammenhangskomponenten wäre deutlicher und klarer mit der Bemerkung, dass "x ~ y <=> x und y sind durch einen Weg verbunden" eine Äquivalenzrelation ist. Übrigens hast du dich oft unnötigerweise damit rumgeschlagen, Schlingen aus "Wegen" zu entfernen: Für die Frage nach dem Wegzusammenhang spielt das aber keine Rolle. Im Beweis der Kreisfreiheit in 1.2 muss man den Fall n = 1, also die Nichtexistenz von Schlingen, gesondert behandeln. Ansonsten habe ich einige Änderungsvorschläge bez. Tippos abgeschickt ;).

Übrigens liefert dieser "zornige" Beweis hier, dass Untergruppen freier Gruppen wieder frei sind, keinen Anhaltspunkt, wie man eine Basis der Untergruppe findet. Für Untergruppen von endlichem Index gibt es aber eine Methode und diese führt auch zu Hannos Formel.\(\endgroup\)

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