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Stern Mathematik: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
Freigegeben von matroid am Fr. 18. März 2011 08:07:47
Verfasst von Gockel -   53140 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
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Der Residuensatz
Der Satz des Jahres 2011

Nachdem fast einen Monat lang der Matheplanet und seine Besucher abstimmen durften, steht das Ergebnis nun fest.

Der Gewinner ist mit mehr als hundert Stimmen Vorsprung vor dem zweitplatzierten Satz eindeutig: der Residuensatz.


Für viele Studierende, die in der Funktionentheorie ankommen, beginnt ein langer Weg.
Die komplexe Differenzierbarkeit wird genauso definiert wie im Reellen. Gilt sie in einem Gebiet, wird diese Eigenschaft mit dem seltsamen Namen "Holomorphie" belegt. Was soll das bloß?

Dass Kurvenintegrale* wegunabhängig sein können, kennt man ja schon aus der mehrdimensionalen Differentialrechnung. Der Cauchy'sche Integralsatz sagt uns dann, dass jedes geschlossene Kurvenintegral Null ist, wenn die zu integrierende Funktion im Innengebiet holomorph ist. Immer Null. Wie langweilig.

Aber es gibt eine interessante Folgerung daraus, der Traum eines jeden, der schon mal auf eine Mogelpackung hereingefallen ist. Die Cauchy'sche Integralformel sagt aus: Kennt man eine holomorphe Funktion auf dem Rand einer Kurve, kennt man sie auch im Innengebiet. Man kann also alle Eigenschaften einer holomorphen Funktion an der "Verpackungskurve" ablesen.    

Schon im ersten Semester lernt man die Taylorentwicklung kennen, die Funktionen durch Potenzreihen darstellt. Und hier stellt sich eine Besonderheit der holomorphen Funktionen ein: man kann jede (zunächst) nur einmal differenzierbare Funktion in eine Potenzreihe entwickeln. Und solche Reihen kann man beliebig oft differenzieren!

Die komplexe Differenzierbarkeit ähnelt also einer konservativen Liebesbeziehung: "einmal = für immer".
   

Jetzt guckt man noch mal auf die Cauchy'sche Integralformel: wie der Rand eines Eimers kontrolliert und bestimmt die Randkurve die Werte der Funktion im Inneren. (Man beweist z.B. auch, dass das Maximum der Beträge auf der Randkurve angenommen wird.)

Und wenn der Eimer ein Loch hat? Dann gilt das natürlich nicht mehr, aber bei endlich vielen Löchern ist noch nicht alles verloren.

Um jedes dieser Löcher herum lässt sich sich die Potenzreihenentwicklung der Funktion zu einer Laurentreihe erweitern, indem man zu den positiven Exponenten auch negative hinzunimmt. Das hängt eng damit zusammen, wie schlimm das Loch ist - im besten Fall ist es eine hebbare Lücke, vielleicht ist es eine Polstelle oder etwas sehr Seltsames wie eine "wesentliche Singularität". Auf alle Fälle aber hängt der Wert des Kurvenintegrals um dieses Loch bei einer Stelle z0 nur von einem einzigen Koeffizienten der Reihe ab: dem Vorfaktor von (z-z0)-1, der den Ehrentitel "Residuum" trägt. Zur Berechnung gibt es glücklicherweise viele nicht allzu knifflige Methoden.

Und daraus entsteht dann der Residuensatz:

Der Wert des Kurvenintegrals ist gleich der Summe der Residuen mal 2πi.

Wenn man diesen Gipfel im Land der Funktionentheorie erst einmal erklommen hat, blickt man auf den sich hinaufwindenden Weg zurück: Der Integralsatz und die Integralformeln von Cauchy sind nun einfache Spezialfälle.

Der Blick nach vorn hingegen zeigt völlig unerwartete Möglichkeiten und Anwendungen: reelle Integrale berechnet man, indem man die reelle Achse durch einen großen Bogen durch die komplexe Ebene schließt, bei kniffligen Integralen mit trigonometrischen Funktionen erhält man den Wert ohne die mühselige Berechnung von Stammfunktionen.

Dieser einzigartige Aussichtspunkt im Lande der komplexen Funktionen ist sicher ein Höhepunkt jedes Kurses über Funktionentheorie und trägt daher den Titel "Satz des Jahres 2011" zu Recht.
   
 
 
* "Kurven" sind in dieser Einleitung stückweise stetig differenzierbar, geschlossene Kurven sind doppelpunktfrei und haben für jeden Punkt im Inneren die Umlaufzahl eins. Für beliebige Umlaufzahlen siehe unten.

von Wally
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Inhalt



von Wally
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Der Weg zum Residuensatz - ein Funktionentheorie-Crashkurs



Der Residuensatz ist eine Aussage über die Berechnung komplexer Wegintegrale, wie sie in der Funktionentheorie vorkommen. Um zu verstehen, was der Residuensatz aussagt, muss man sich daher mit den Grundlagen der Funktionentheorie auskennen.

Differenzierbare, holomorphe, analytische Funktionen



Der grundlegende Begriff der Funktionentheorie ist der der holomorphen Funktion. Alle Funktionen, die man in der Funktionentheorie betrachtet, sind holomorph.

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Komplexe Kurvenintegrale



Das Mittel zum Zweck, Dreh- und Angelpunkt der Funktionentheorie in einer komplexen Variablen ist der Begriff des Kurvenintegrals.

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Ein erster Schritt, um diese zunächst sehr vage (und bisher auch nur mit zwei trivialen Beispielen untermauerte) Intuition präzise zu machen, ist der Cauchy'sche Integralsatz:
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Dieser Satz sagt uns also, dass Integrale über geschlossene Kurven (für die man sich vorrangig interessiert in der Funktionentheorie) stets zu Null evaluieren, falls die Geometrie des Definitionsbereiches U gutartig ist (hier: sternförmig, allgemeiner: einfach zusammenhängend) und die holomorphe Funktion f keine Singularitäten in U hat.

Gleichzeitig haben wir gesehen, dass Singularitäten des Integranden dazu führen können, dass Kurvenintegrale Werte ungleich Null haben. Indem man die Funktion 1/z von oben geschickt einsetzt, kann man in einem gewissem Sinne sogar steuern, welche Werte angenommen werden. Das macht die Cauchy'sche Integralformel präzise:
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Laurentreihen und Residuen



Eine Erweiterung des Satzes über die Entwicklung in Potenzreihen ist der Satz über die Laurent-Entwicklung, welche auch die Singularitäten von f mit einbezieht.

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Es gilt nun folgender Entwicklungssatz:
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Der Residuensatz macht diese Intuition handfest. Zunächst definieren wir den Begriff des Residuums nach dem Vorbild der eben erfolgten Überlegung:
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Umlaufzahlen und der Residuensatz



Alles, was uns jetzt noch fehlt, ist eine handfeste Definition der Umlaufzahlen, um den Residuensatz so zu formulieren, wie wir uns das oben überlegt haben.

Die Umlaufzahlen definieren sich ohne viel Aufwand ganz direkt aus der Anschauung:
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Anwendungen des Residuensatzes



Der Grund für die Existenz des Residuensatzes ist seine einzigartige Kraft, um Integrale zu berechnen. Es scheint zunächst, dass die Beschränkung auf geschlossene Kurven uns daran hindert, allzu viele nützliche Beispiele zu finden, tatsächlich kann man den Satz aber in vielerlei verschiedenen Weisen benutzen, um Integrale zu berechnen. Darunter fallen ganz besonders auch reelle Integrale, die man ohne Residuensatz mangels einer Stammfunktion nicht sofort berechnen kann.

Trigonometrische Integrale



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Dieselbe Methode ist natürlich viel allgemeiner anwendbar. Man ist offenkundig nicht auf rationale Funktionen im Integranden beschränkt. Einzige Bedingung ist, dass der Integrand einfach genug sein muss, um das Residuum bestimmen zu können. Wir können also z.B. auch folgendes Integral berechnen:
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Rationale Funktionen



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Integrale mit rationalen und trigonometrischen Funktionen



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von Wally
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Andere Integrale



Der Residuensatz ist aber noch deutlich vielseitiger als das. In den beiden ersten Beispielen hat er vor allem eine Arbeitsersparnis gebracht. Zur Not hätten wir auch Stammfunktionen bestimmen können.
Aber auch und gerade dort, wo keine elementaren Stammfunktionen gefunden werden können, ist der Residuensatz anwendbar. Wir wollen das demonstrieren, indem wir die Fresnel-Integrale ausrechnen:

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Inverse Laplacetransformation



Der Residuensatz lässt sich auch bei der inversen Laplacetransformation verwenden:
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Laplacetransformierte treten z.B. bei der Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und rechter Seite aus Polynomen, Exponential- und trigonometrischen Funktionen auf. Die Voraussetzungen sind dann stets erfüllt.

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von Wally
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Und? War das schon alles?



Nein, beileibe nicht.

Der Residuensatz hat viele weitere Anwendungen in der Funktionentheorie wie den Satz von Rouché oder das Argumentprinzip und, und, und... Eigentlich geht die Funktionentheorie jetzt erst richtig los.

Auch darüber hinaus gibt es noch eine Menge weiterer Anwendungen. Vielleicht hast du, liebe Leserin oder lieber Leser (der du immerhin bis hier durchgehalten hast) ja Lust, selbst noch etwas über den Residuensatz, seine Anwendungen oder das nähere Themenfeld zu schreiben. Jeder Artikel zum Thema, der im Laufe dieses Jahres veröffentlicht wird, wird mit einem Stäbchen belohnt:
Satz des Jahres Stäbchen 2011

Wir würden uns freuen, noch ein wenig mehr dazu zu lesen  - der Matheplanet ist ja ein Gemeinschaftsprojekt, und alle sind herzlich eingeladen, dazu noch etwas beizusteuern.


Und falls das gerade nicht dein Fachgebiet ist, denke dir doch schon einmal Schönes zu anderen Themen aus, denn im nächsten Jahr gibt es den Satz des Jahres 2012 - versprochen!


Für die rege Beteiligung bedanken sich
Die Jury - Gockel, Kay_S, mathema, PhysikRabe, Wally, wasseralm und Wauzi
sowie
Der Chef - matroid
von Wally
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Querverweis



Zum Satz des Jahres 2012 (Gödels Unvollständigkeitssatz).

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: Matroids Matheplanet :: Satz des Jahres :: Analysis :: Funktionentheorie :: Laplacetransformation :: Residuensatz :: Integralrechnung :: Komplexe Zahlen :: Grundstudium Mathematik :
Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011 [von Gockel]  
Dieser Artikel gibt eine Schnelleinführung in die Grundlagen der Funktionentheorie und die Ideen hinter dem Residuensatz. Es werden außerdem typische Anwendungsbeispiele für den Residuensatz vorgeführt. Der Residuensatz ist der Satz des Jahres 2011
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" Stern Mathematik: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011" | 16 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von gaussmath am Fr. 18. März 2011 14:26:55


Sehr interessant geschrieben!

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Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von briefkasten am Sa. 19. März 2011 16:27:06


Kann mich gaussmath nur anschließen   smile  Danke für den Artikel...

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Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von matroid am Mo. 21. März 2011 08:47:47


Hallo ihr 7 von der Jury!

Ich danke euch, dass ihr die Wahl zum Satz des Jahres so hervorragend organisiert und gestaltet habt. Und mein besonderer Dank für diese gelungene Laudatio. Ich finde die Darstellung richtig gut. Ihr habt da unheimlich viel zusammengetragen, und es ist euch ein Beitrag gelungen, der wirklich ohne wesentliche Vorkenntnisse gelesen werden kann und der wunderbar zeigt, wie brilliant Mathematik ist und wie weit man damit in (zunächst) unbekannte Welten vorstoßen kann. Natürlich sind das alles klassische Ergebnisse. Aber diese Art Klassik ist einfach nur schön und reichhaltig und elegant. Ich glaube, dieser Artikel wird viele begeisterte Leser finden und leistet in hervorragender Weise das, was beabsichtigt ist: für die Mathematik werben.


Gruß
Matroid

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Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von Martin_Infinite am Mo. 21. März 2011 10:59:10


Wunderschöner Artikel!

Die Funktionentheorie steckt voller genialer Ergebnisse, die nicht mit allzu großem Aufwand bewiesen werden, und noch dazu unheimlich nützlich und schön sind. Das habt ihr mit dem Residuensatz hier eindrucksvoll bewiesen, und zwar mit einer lebhaften, bildlichen und präzisen Sprache.
 
Wie man die rationalen Integrale ohne den Weg ins Komplexe berechnet, findet man in dem Artikel Ein paar Integrale ....

Noch ein paar Anmerkungen zum Artikel:

a) Die Bemerkung am Anfang "Nichtsdestotrotz sind komplex differenzierbare Funktion grundlegend von reell differenzierbaren Funktionen verschieden." könnte man noch etwas positiver formulieren: Sie sind besser! Holomorphe Funktionen sind im Vergleich zu glatten Funktionen wesentlicher rigider, womit sich deren Berechnung erheblich vereinfacht und die Theorie potentiell reichhaltiger ist. Unterstützt wird das auch durch Serres GAGA-Korrespondenz, bei der komplexe Analysis mit komplex-algebraischer Geometrie verbunden wird.

Grundlegende und anschauliche Bemerkungen zu komplexer Differenzierbarkeit finden sich bei stackexchange.

b) Die Voraussetzung fed-Code einblenden kann überall weggelassen werden.

c) Es wäre schön, wenn bei den verwendeten Sätzen gute Quellen (d.h. eine Einführung in die Funktionentheorie) angegeben werden, in denen man die Beweise und die ganzen Grundlagen sich genauer ansehen kann.

d) Ihr schreibt zur Anwendung des Residuensatzes "In den beiden ersten Beispielen hat er vor allem eine Arbeitsersparnis gebracht. Zur Not hätten wir auch Stammfunktionen bestimmen können. " Aber war das auch bei exp(2 cos(x)) der Fall?

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Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 13. April 2011 12:05:36


Hallo,
sehr schöner Artikel.
Gibt es irgendwo Informationen über die Geschichte des Residuensatzes, also zB wo er herkommt, woraus er entwickelt wurde und wer dafür verantwortlich war?
Fände ich super interessant.

lg Andreas

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Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von mire2 am Mi. 13. April 2011 20:22:43


Ein ganz kurzer Anfang:

books.google.de/books?id=-I7C9a4ZQM0C&lpg=PP1&dq=remmert%20funktionentheorie&num=50&pg=PA347#v=onepage&q&f=false

Gruß

mire2

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Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 16. April 2011 15:49:21


Vielen Dank schon mal. Ist manchmal gar nicht einfach, auch was zu den Hintergründen zu finden...

vg Andreas

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Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von dhochn am Di. 17. Mai 2011 00:09:32


Gute Wahl, hab meine Facharbeit darüber geschrieben wink

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Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von PhilippWehrli am Do. 12. Januar 2012 00:02:30


Ich habe den Text nur überflogen. Da sticht mir der Satz ins Auge: "Die Cauchy'sche Integralformel sagt aus: Kennt man eine holomorphe Funktion auf dem Rand einer Kurve, kennt man sie auch im Innengebiet."
Das erinnert mich stark an die Situation bei schwarzen Löchern: Dort ist die Information, die in einem schwarzen Loch ist, proportional zur Oberfläche.

 [Bearbeiten]

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 23. Juli 2012 00:41:00


Ein paar Klitzekleine Ungenauigkeiten sind drin aber tip top Artikel, hat mir sehr geholfen das letzte Semester zu reflektieren.

 [Bearbeiten]

Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von Martin_Infinite am So. 26. Mai 2013 00:52:07


Könnte man nicht etwas überspitzt sagen, dass die Integralformel und der Integralsatz von Cauchy, sowie der Residuensatz, direkte Folgerungen aus der Berechnung <math>\oint_{K} z^k = \left\{\begin{array}{cc} 0 & k \neq -1 \\ 2 \pi i & k = -1 \end{array}\right.</math> sind? Der Rest scheint nur sowas wie Vertauschung von Reihen und Integration zu sein. Ich mag mich aber irren ...

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Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von Gockel am So. 26. Mai 2013 01:47:04


Hi Martin.

Ja, etwas überspitzt kann man sagen, dass die Funktionentheorie-1-Vorlesung im Wesentlichen aus dieser Formel besteht. So falsch ist das nicht, wenn man ein wenig mit den Händen wedelt und die Details ignoriert. Genau daher kommt ja meine informelle "Herleitung" des Residuensatzes.

mfg Gockel.

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Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von muartiez am Mi. 24. Juli 2013 20:04:32


Ganz ganz starker Artikel! Hat Spaß gemacht zu lesen und mitzudenken, sehr gut strukturiert und erklärt. Danke smile

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Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 21. Januar 2014 20:46:32


Super Beitrag, es hat aber einen kleinen Tippfehler, dort wo der Entwicklungssatz erwähnt wird. Es wird unter (b) auf (b) verwiesen, statt auf (a).


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Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 07. Oktober 2014 13:07:01


Leider stimmen die Reihen für cos(z) und sin(z) nicht! Das ist vielleicht "nur" ein "Tippfehler", aber ein verheerender:

Die Reihenkoeffizenten alternieren, es fehlt also jeweils (-1)^n !

Danke für die schöne Zusammenstellung! Wenn allerdings schon bei diesen Standardreihen wesentliche Fehler zu finden sind, leidet der Gesamteindruck erheblich und macht es mir schwer den Rest als Lerngrundlage einzubeziehen, weil diese "kleinen" Fehler zu falschem Grundlagenwissen führen.

Aber nochmal: Danke für die Mühe!


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Re: Der Residuensatz - Der Satz des Jahres 2011
von fru am Di. 07. Oktober 2014 15:54:59


Danke für den Hinweis, es handelt sich vermutlich um einen copy&paste-Fehler. Die Änderung habe ich schon in die Wege geleitet ist schon durchgeführt worden.

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