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Stern Mathematik: Limites und Kolimites
Freigegeben von matroid am Fr. 03. Juni 2011 00:19:05
Verfasst von Martin_Infinite -   2177 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Limites und Kolimites

Im letzten Artikel über Kategorientheorie auf dem Matheplaneten ging es um universelle Eigenschaften. In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit Limites bzw. Kolimites, die man sich als Grenzwerte in der Kategorientheorie vorstellen kann. Wie jedes grundlegende Konzept der Kategorientheorie gibt es hierfür sehr viele Beispiele, von denen wir einige besprechen und die uns als Motivation für die allgemeine Definition dienen.

Der Limes eines Diagramms ist sozusagen das kleinste Objekt, welches über diesem Diagramm sitzt, wie rechts im Bild zu sehen.

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Kolimites entstehen, indem man die Pfeile herumdreht.
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1. Vorspiel

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2. Definition und Beispiele von Kolimites

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3. Konstruktion von Kolimites

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4. Limites

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über den Stefan_K hier eine schöne Einführung geschrieben hat.

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5. Abschluss
 
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Artikel zur Kategorientheorie
Teil 1 (von Zaos): Kategorientheorie
Teil 2 (von Zaos): Kategorien und Diagrammjagd
Teil 3: Ja Mono Epi Iso
Teil 4: Universelle Eigenschaften
Teil 5: Limites und Kolimites
Teil 6: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
Teil 7: Fixpunkte in der Kategorientheorie
Teil 8: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut
Teil 9: Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie
Teil 10: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie

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" Stern Mathematik: Limites und Kolimites" | 8 Kommentare
 
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Re: Limites und Kolimites
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 03. Juni 2011 21:56:52


"Die Definition eines Supremums x von T können wir allerdings als universelle Eigenschaft auffassen, indem wir wir eine Präordnung (X,<=) als Kategorie auffassen, in der es genau dann einen, und dann auch nur einen, Morphismus x \to x' gibt, wenn x <= x' ist:" passt irgendwie nicht zu "Ein Morphismus x \to y existiert genau dann, wenn für alle t \in T ein Morphismus t \to y existiert, oder kurz wir haben eine in y natürliche Bijektion Hom(x,y) ~= \Pi_(t \in T) Hom(t,y)."


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Re: Limites und Kolimites
von Gockel am Fr. 03. Juni 2011 22:10:30


@Anonymous:
Was genau meinst du? Wenn ich nichts übersehe, ist das korrekt so.

mfg Gockel.

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Re: Limites und Kolimites
von Martin_Infinite am Fr. 03. Juni 2011 22:38:16


Ich schreibe da nur etwas umständlich auf, dass sup(T) <= y <=> y ist obere Schranke von T. Hm, ich sehe auch nicht, wo da ein Fehler sein könnte.

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Re: Limites und Kolimites
von Ex_Mitglied_40174 am So. 26. Juni 2011 12:55:04


Hallo Martin,
danke fuer den Artikel, ich werde ihn nachher in Ruhe zuende lesen und mich dann unter Umstaenden nochmal melden.
Ich bin ueber dieselbe Stelle wie (der andere) Anonymus gestolpert, die Formulierung ist nicht gluecklich:
Zunaechst wird im ersten Satz dieses (des dritten) Absatzes das Supremum von T mit x benannt. Dann folgt die allgemeine Konstruktion, wie man eine Praeordnung als Kategorie auffassen kann, und hier taucht das x wieder auf, diesmal jedoch als ein beliebiges Element aus X (denn waere x hier immernoch das Supremum von T, so muesste man sich fragen, wie Morphismen y->y' aussehen sollen, wenn y nicht das Supremum von T ist), direkt danach aber ist x wieder das Supremum von T.
Diese Stelle hat mich beim ersten Lesen verwirrt.
Viele Gruesse, Lennart

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Re: Limites und Kolimites
von Martin_Infinite am So. 26. Juni 2011 22:04:15


Ah verstehe, ich habe das nun korrigiert.

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Re: Limites und Kolimites
von Lampadi am Sa. 27. April 2013 18:20:04


Sehe ich das richtig, dass dann jede Gruppe auch Kolimes ihrer zyklischen Untergruppen ist?
Vielen Dank. Toller Artikel, Martin!! biggrin

Adrian

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Re: Limites und Kolimites
von Gockel am Sa. 27. April 2013 18:37:51


Hi Adrian.

Nein, das stimmt nicht. Das Problem ist, dass die zyklischen Gruppen alleine nicht genug der Relationen abbilden. Betrachte <math>G=\mathrm{Sym}(3)</math>. Die zyklischen Untergruppen sind <math>U_0:=\langle (123)\rangle</math>, <math>U_1:=\langle (23)\rangle</math>, <math>U_2:=\langle(13)\rangle</math> und <math>U_3:=\langle(12)\rangle</math> sowie die triviale Gruppe. Diese vier Gruppen schneiden sich paarweise nur in der trivialen Gruppe, d.h. du hast als Kolimes dieses Diagramms einfach das freie Produkt <math>C_2\ast C_2 \ast C_2 \ast C_3</math>. Das ist sehr verschieden von der symmetrischen Gruppe, u.A. weil das eine unendliche Gruppe ist.

mfg Gockel.

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Re: Limites und Kolimites
von Martin_Infinite am Sa. 27. April 2013 21:15:37


Zumindest kann man sagen, dass <math>\{\mathds{Z}\}</math> kolimes-dicht in der Kategorie der Gruppen ist: Jede Gruppe kann als Kolimes eines Diagramms geschrieben werden, dessen Objekte stets <math>\mathds{Z}</math> sind. Das liegt einfach daran, dass <math>\coprod_{s \in S} \mathds{Z}</math> die freie Gruppe auf <math>S</math> ist, und jede Gruppe als Differenzkokern von zwei Homomorphismen zwischen freien Gruppen geschrieben werden kann (Stichwort Gruppenpräsentation).

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