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Mathematik: Einfache Gruppen - Alt(n)
Freigegeben von matroid am Sa. 19. November 2011 21:10:52
Verfasst von Gockel -   2238 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Einfache Gruppen A



Hallo Gruppentheorie-Freunde.

Dieser Artikel ist der erste der Reihe "Einfache Gruppen". Wir werden uns in diesem Artikel mit Gruppenoperationen und Permutationsgruppen auseinandersetzen. Das Hauptresultat für viele kommende Artikel wird dabei das Lemma von Iwasawa sein, welches wir hier beweisen werden.

Außerdem sollen hier die neuen Hilfsmittel gleich angewendet werden, indem wir das Standardresultat beweisen, dass die alternierenden Gruppen Alt(n) für n≥5 einfache Gruppen sind.


Inhalt


Mehr über Gruppenoperationen



Wir kennen aus Teil VI des Gruppenzwangs bereits das Konzept der Gruppenoperationen. Wir wollen hier die Erinnerung daran auffrischen und noch ein paar vertiefende Begriffe einführen.

Zunächst erinnern wir an die Definition:

Definition: Gruppenoperation

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Kern und Treue



Wir wollen als nächstes den Begriff des Kerns einer Operation und den der treuen Operation einführen.

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Definition: Kern und Treue

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Transitivität



Ein weiteres wichtiges Prinzip ist das der Transitivität von Gruppenoperationen, welches uns ab jetzt ständig begleiten wird.

Definition: Transitivität

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Wir werden jetzt noch ein sehr einfaches, aber nützliches Lemma über Transitivität beweisen:
Lemma 1: Verallgemeinertes Frattini-Argument

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Primitivität



Wir haben eben eingesehen, dass jede Bahn einer jeden Operation eine transitive Operation liefert. Das kann man positiv sehen, denn daher werden uns transitive Operationen wahrscheinlich oft begegnen. Das kann man aber auch negativ sehen und sagen, dass wir aufgrund dessen nur sehr wenig allgemeines über transitive Operationen werden sagen können. Wir sollten uns also mehr als nur Transitivität wünschen, wenn wir gute Resultate haben wollen.
Es stellt sich heraus, dass höhere Transitivität ein zunehmend seltenes Phänomen ist. So selten in der Tat, dass man hoch transitive Gruppen sehr genau klassifizieren kann. In der Tat werden die natürlichen Operationen der klassischen Gruppen nur in kleinen Dimensionen mehrfach transitiv sein.

Ein Mittelding zwischen einfacher und zweifacher Transitivität ist das Konzept der Primitivität einer Operation. Das wird für uns die gewünschte Verschärfung sein, die hinreichend oft auftritt, und viele nichttriviale Resultate zulässt.

Definition: Blocksysteme, Primitivität

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Wir wollen noch zwei Lemmata über Primitivität beweisen, bevor wir zum entscheidenden Satz dieses und der folgenden Artikel kommen, dem Lemma von Iwasawa.
Wir werden die beiden nun folgenden Lemmata vor allem zum Beweis eben dieses Satzes brauchen, aber sie sind für die Theorie der primitiven Permutationsgruppen auch von eigener Bedeutung.

Lemma 2: Korrespondenzsatz für Gruppenoperationen

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Nun zum zweiten Lemma, das wir schneller beweisen können:

Lemma 3

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Das Lemma von Iwasawa



Das Lemma von Iwasawa wird in diesem und den folgenden Artikel das beweistechnische Werkzeug sein, mit dem wir u.A. die Einfachheit der betrachteten Gruppen beweisen werden. Es sieht zunächst technisch aus, wird seine Stärken aber noch zeigen:

Lemma 4 - Lemma von Iwasawa

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Mit diesem Satz, speziell der Aussage (b), werden wir in der Tat die Einfachheit der meisten Gruppen nachweisen können, die wir betrachten werden.
Die Voraussetzungen des Lemmas sind bei den klassischen Gruppen fast wie von selbst erfüllt, da es mehr oder weniger kanonische, primitive Operationen zu jeder dieser Gruppen gibt, die alle diese Voraussetzungen erfüllen.
Das Schwierigste ist oft, nachzuweisen, dass G perfekt ist, aber das werden wir noch früh genug zu spüren bekommen.


Wir können damit aber als besonderes Schmankerl auch die Einfachheit von Alt(5) nachweisen:

Satz 5: Kommutatoren und Einfachheit von Alt(5)

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Leider kann man das Verfahren nicht für die alternierenden Gruppen höheren Grades anwenden, denn deren Einpunkt-Stabilisatoren sind dann selbst nicht-abelsche, einfache Gruppen. Wir werden später andere Beweise angeben, die das Lemma von Iwasawa anwenden. Sie benutzen eine andere Operation von Alt(n) als die natürliche auf {1,2,...,n}.

Mit einer ganz anderen Methode werden wir aber aus der Einfachheit von Alt(5) einen induktiven Einfachheitsbeweis basteln:

Äquivalenz



Wie eine Gruppe operiert, ist natürlich a priori nicht festgelegt, es gibt i.d.R. mehrere Möglichkeiten, eine Operation festzulegen. Meistens wird eine bestimmte Operation aus dem Kontext vorgegeben sein. Es wird uns während der kommenden Beweise allerdings auch ein, zwei Mal passieren, dass wir verschiedene Operationen miteinander in Verbindung setzen müssen. Dazu definieren wir uns nun den Begriff der Äquivalenz von Gruppenoperationen:

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Äquivalenz ist der Isomorphiebegriff für Gruppen mit Operationen, denn die Definition sagt ja eigentlich nichts Anderes, als dass beide Gruppen auf ihren Mengen gleichwertig operieren, die Unterschiede sind rein kosmetischer Natur, liegen also nur in der Bezeichnung der Elemente, nicht in der Struktur an sich.
Das macht auch klar, dass sich alle Begriffe, die wir für Operationen eingeführt haben, zwischen äquivalenten Operationen übertragen: Ist eine Operation treu/primitiv/k-fach transitiv/..., so ist dies auch die dazu äquivalente. Die Stabilisatoren und der Kern der einen Operation werden durch den Gruppenisomorphismus auf die Stabilisatoren und den Kern der anderen Operation abgebildet usw., etc., pp.

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Reguläre Normalteiler



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Lemma 6

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Es gibt starke Einschränkungen, wie oft transitiv die Automorphismengruppen auf einer Gruppe operieren können. Daraus ergeben sich mittels des obigen Lemmas ebenso starke Einschränkungen für die Existenz und Struktur von regulären Normalteilern:

Lemma 7

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Da wir - wie oben gesehen - eine Bijektion von N auf Ω haben, wenn N regulär operiert, gibt es reguläre Normalteiler also nur vergleichsweise selten. Zusammen mit folgendem Satz wird diese Erkenntnis eine mächtige Waffe für Einfachheitsbeweise sein:

Lemma 8

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Normalteiler in Sym(n) und Alt(n)



Mit Hilfe des eben bewiesenen Satzes können wir uns nun auch sofort den restlichen alternierenden Gruppen zuwenden:

Satz 9: Normalteiler von Sym(n) und Einfachheit von Alt(n)

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Wir werden Lemma 7 und 8 auch benutzen, um die Einfachheit der Mathieu-Gruppen nachzuweisen, denn auch diese sind hochtransitive Gruppen. Es stellt sich in der Tat als Korollar von CFSG heraus, dass jede treue, mindestens vierfach transitive, endliche Gruppe entweder Sym(n), Alt(n) oder eine Mathieu-Gruppe ist.


Als Zugabe möchte ich einen zusätzlichen Beweis vorstellen, der die Einfachheit von Alt(n) für n>5 nur durch das Lemma von Iwasawa beweist:
Satz 10: Einfachheit von Alt(n)

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Abschluss



Nachdem wir nun das Lemma von Iwasawa kennen, haben wir das wesentliche Hilfsmittel für die kommenden Einfachheitsbeweise. Jetzt müssen wir "nur" noch dafür sorgen, dass die Voraussetzungen erfüllt sind. In den nächsten Artikeln werden wir Geometrien kennenlernen, aus denen heraus wir die klassischen Gruppen definieren werden und welche uns die natürlichen Operationen liefern, auf welche das Lemma von Iwasawa dann angewandt werden wird.

Die Reihe "Einfache Gruppen"



Inhaltsverzeichnis
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: Mathematik :: Einfache Gruppen :: Gruppentheorie :: Permutationen :: Alternierende Gruppen :: Reine Mathematik :
Einfache Gruppen - Alt(n) [von Gockel]  
Erster Teil der Reihe über Gruppenoperationen. Die Einfachheit von Alt(n) wird auf zwei verschiedene Weisen bewiesen.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
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" Mathematik: Einfache Gruppen - Alt(n)" | 4 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Einfache Gruppen - Alt(n)
von Martin_Infinite am So. 20. November 2011 20:04:05


Vielen Dank für diesen interessanten Artikel.
 
Ein paar Anmerkungen (teilweise auch für andere Leser):

1) Warum wird bei der Definition einer Gruppenoperation angenommen, dass <math>\Omega</math> nichtleer ist? Das entspricht nicht wirklich der allgemeinen Definition aus der universellen Algebra und letzlich brauchst du es auch nicht, zumal transitive Gruppenoperationen per Definition genau eine Bahn haben, was schon <math>\Omega \neq \emptyset</math> impliziert. In deinen vorigen Artikeln war das auch nie angenommen.

2) Die k-fache Transitivität auf <math>\Omega</math> hatte ich erst verstanden, als mir jemand verraten hatte, dass dies einfach die Transitivität der Wirkung auf den k-elementigen Teilmengen von <math>\Omega</math> ist ;).

3) Eine G-invariante Äquivalenzrelationen ist eine, welche <math>gx \sim x</math> für alle <math>g,x</math> erfüllt. Man sollte daher die im Artikel eher G-äquivariant nennen.
 
4) Genauso wie eine Primzahl eine Zahl ist, welche genau zwei Teiler hat, ist eine primitive Operation eine Operation, welche genau zwei Kongruenzrelationen besitzt (diese entsprechen den G-äquivarianten Äquivalenzrelationen). Die Kongruenzrelationen entsprechen den Äquivalenzrelationen, deren Quotient wieder eine Operation ist. Das motiviert den Begriff vielleicht etwas.
 
5) Was meinst du mit "nichttrivial" bei der Aussage, dass eine nichttriviale primitive Operation stets 1-fach transitiv ist?

6) Vielleicht solltest du noch Blöcke gesondert unabhängig von Blocksystemen definieren, weil du das z.B. bei Lemma 2 brauchst.

7) Lemma 2 ist ein Korollar aus dem Homomorphiesatz für G-Mengen und dem Isomorphismus <math>\Omega \cong G/G_{\omega}</math> von <math>G</math>-Mengen. Damit will ich nur sagen, dass hier ein allgemeines Prinzip hinter steckt, dessen Inkarnationen man schon mehrmals gesehen hat und es unnötig ist, es immer wieder erneut durchzurechnen.
 
cool Die Formulierung "Ist zusätzlich ..." von (b) beim Lemma von Iwasawa klingt so, als ob man auch da noch die Transitivität von N annehmen müsste. Zugegeben das macht keinen Sinn. Aber ich würde noch klarer herausstellen, dass eigentlich (b) die Aussage des Lemmas ist und (a) eine Vorbereitung dafür ist.

9) Allgemeiner bilden die G-Mengen für variable G eine Kategorie. Das kommutative Diagramm für deren Vorstellung bleibt bestehen, und die Isomorphismen sind genau das, was du eine Äquivalenz genannt hast.
 
10) Mir gefällt dieser induktive Beweis für die Einfachheit von An. Sehe ich das richtig, dass man das Lemma von Iwasawa nur für den Fall n = 5 gebraucht hat und die Induktion dann unabhängig davon funktioniert hat?
 
Gruß, Martin
 
PS: Beim Lesen sind mir einige Tippfehler aufgefallen - Änderungsvorschläge sind bereits unterwegs.

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Re: Einfache Gruppen - Alt(n)
von Gockel am Mo. 21. November 2011 21:19:39


Hi Martin.

Ich möchte ein Dankeschön für dein (wie so oft) sehr aufmerksames Auge vorausschicken.

1. Pure Faulheit. Ich wollte nicht bei jedem Satz diesen Randfall der leeren Menge prüfen müssen. Jetzt, wo ich aber doch drüber nachdenke, stelle ich fest, dass ich dann auch bei den folgenden Lemmata an einigen Stellen fordern müsste, dass diese oder jene Menge nichtleer ist. Also werde ich die Definition ändern.

2. Nein, das stimmt so nicht. Transitivität auf k-elementigen Teilmengen ist schwächer, weil die Reihenfolge der Elemente ja nicht beachtet wird. Es gilt zwar die Implikation k-fach transitiv => transitiv auf k-elementigen Teilmengen, aber die Umkehrung ist falsch: Alt(n) operiert durchaus transitiv auf den (n-1)- oder n-elementigen Teilmengen von {1,2,...,n}, aber es operiert weder (n-1)- noch n-transitiv.

5. Die triviale Operation ist definiert durch gx:=x für alle g und x. "nichttrivial" ist definiert als "nicht trivial". smile
Ich hätte an der Stelle auch feststellen können, dass eine primitive Operation, die nicht transitiv ist, sogar <math>|\Omega|\leq 2</math> nach sich zieht, weil sonst <math>\{\{a\},\{a\}^c\}</math> ein Blocksystem wäre, das der Definition widerspräche. Auch hier wieder pure Faulheit der Grund.

6.+7. Naja, "Block" alleine ist aber nicht sinnvoll. Ich glaube, es ist besser, Lemma 2 zu ändern und dort zu erläutern, dass bei einer transitiven Operation mit einem Block bereits das zugehörige Blocksystem eindeutig festgelegt ist (translatiere einfach den Block). Mit Hinblick auf deinen Punkt 7. ist es vielleicht cleverer die Formulierung gleich in "Es gibt eine Bijektion zwischen den G-äquivarianten Äquivalenzrelationen und ..." umzuändern.

4.+7.+9. Danke, das sind wichtige und sinnvolle Hinweise. Jetzt, wo du es sagst, ist es natürlich auch offensichtlich. Da hätte man sich bei Lemma 2 die Arbeit sparen können...
Als ich mir die Äquivalenzdefinition so zusammengeschustert habe, dass sie auf meine Bedürfnisse passt, habe ich noch überlegt, ob es sinnvoll ist, eine Kategorie zu diesem Isomorphie-Begriff zu finden und damit zu arbeiten, aber irgendwie habe ich den Gedanke dann wieder vergessen.

10. Ja, man braucht Iwasawas Lemma nur für den Induktionsanfang bei dieser Beweisstrategie. Der Rest geht durch, sobald man weiß, dass Alt(5) einfach ist (was man natürlich auf vielfältige Weisen beweisen kann, etwa indem man einfach feststellt, dass keine Vereinigung von Konjugationsklassen eine echte, nichttriviale Untergruppe bilden kann).

3.+8.+PS Wird geändert.

mfg Gockel.

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Re: Einfache Gruppen - Alt(n)
von Martin_Infinite am Di. 22. November 2011 07:06:25


Schön dass die Anmerkungen hilfreich waren.
 
2) Ich meinte natürlich Transitivitität auf der Menge der k-Tupel aus verschiedenen Elementen :).

5) Ja, das hatte ich mir schon gedacht. Ich war bloß etwas verwirrt wegen der Formulierung, zumal auch einige Bücher Transitivität bei der Primitivität voraussetzen.
 
6) Ein Block ist eine Teilmenge B mit der Eigenschaft, dass gB sich nur mit B schneidet, wenn gB = B. In diesem Sinne hast du es auch verwendet.

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Re: Einfache Gruppen - Alt(n)
von Dune am Mo. 30. Oktober 2017 00:29:45


Mir ist gerade aufgefallen, dass die Einfachheit von <math>A_5</math> auch eine unmittelbare Folgerung aus Lemma 7 ist. Man braucht für den Induktionsanfang in Satz 9 also gar keinen separaten Ansatz:

Angenommen es gibt einen Normalteiler <math>1 \lneq N \lneq A_5</math>. Dieser ist transitiv, also gilt <math>5 \mid |N|</math>. Wegen <math>5 \nmid |G/N|</math> müssen alle 24 Fünfzykel in <math>N</math> enthalten sein. Es folgt <math>|N| = 30</math>. Nun ist <math>N \cap A_4</math> ein Normalteiler der <math>A_4</math>, dessen Ordnung ein Teiler von <math>\mathrm{ggT}(30,12) = 6</math> ist. Es folgt <math>N \cap A_4 = 1</math>, also ist <math>N</math> ein regulärer Normalteiler der <math>A_5</math>. Das widerspricht allerdings Lemma 7.

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