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Physik: Nichtperiodische Parkette und Kristalle
Freigegeben von matroid am Sa. 03. Dezember 2011 11:33:20
Verfasst von Hans-Juergen -   1892 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Physik

\(\begingroup\)
Nichtperiodische Parkettierungen und Kristalle

Unter einer Parkettierung versteht man das lückenlose Auslegen einer Fläche mit gerad- oder krummlinig begrenzten Figuren: Kacheln, Fliesen, Pflastersteinen - oder nur gezeichneten. Sind sie gleich geformt, gleich groß und außerdem regelmäßige Polygone, gibt es nur drei Möglichkeiten: Quadrate, Dreiecke und Sechsecke. Eine Parkettierung mit Fünfecken ist möglich; diese sind aber nicht regulär.[1]  
 
Läßt man die Forderung nach Regelmäßigkeit fallen, kommen auch Rechtecke, ja beliebige Formen in Betracht. Die Beispiele [2a,b] für Parkette mit krummlinig begrenzten Figuren stammen neben vielen anderen von dem berühmtem niederländischen Grafiker M. C. Escher. Bei dem zweiten wird zugelassen, daß die verwendeten Fliesen umgedreht werden, so daß ihre Unterseite nach oben kommt. Das Parkett stellt einen Reiter zu Pferde dar, der sich mit seinem Spiegelbild periodisch wiederholt und mit ihm ohne Zwischenräume verzahnt ist.

Werden Fliesen unterschiedlicher Form oder Größe verwendet, gelingt die Parkettierung häufig nicht mehr. Dies ist nur dann der Fall, wenn sie in ihrer Art so gewählt wurden, daß sie zueinander passen. Häufig sind dabei mehrere Fliesensorten zugleich in Gebrauch. Sind die Teile einer jeden Sorte unter sich gleich groß, lautet eine Frage, mit wie wenig verschiedenen Fliesenarten man beim Parkettieren auskommt. Die Antwort ist: es genügen zwei unterschiedliche Arten. Ein einfaches Beispiel verwendet Achteck und Quadrat:

Bild

Aus den 70er Jahren des vorigen Jahrhunderts stammt das folgende Parkett von Roger Penrose:

Bild  Fig. 1.

Entnommen habe ich das Bild der Internetseite [3] und mache im weiteren mehrfach davon Gebrauch.

Das Penrose-Parkett besteht aus zwei Rauten, einer breiten mit einem 72-Grad-Winkel an den Spitzen und einer schmalen mit 36 Grad. Die Seiten der beiden Rauten sind gleich lang.
 
Das Besondere an ihm im Unterschied zu dem Achteck-Quadrat-Parkett und vielen anderen aus zwei Sorten untereinader gleicher Fliesen besteht darin, daß es nicht periodisch ist. Das bedeutet: bestimmte Details wiederholen sich zwar ständig, aber dies geschieht nicht nach einem leicht erkennbaren Schema.

Auffällig sind die vielen, scheinbar ungeordnet verteilten fünfzackigen Sterne:

Bild

Zumindest teilweise lassen sie sich zu rotationssymmetrischen Bereichen zusammenfassen oder werden von diesen umgeben:

Bild  Fig. 2
 
Die Fünfer-Rotationssymmetrie des Penrose-Parketts tritt auch bei dessen dreidimensionalen Analogon auf: bei den von Daniel Shechtman entdeckten Quasikristallen.

 Quelle: [4]

Lange waren Gegner Shechtmans der Ansicht, daß es unperiodische kristalline Substanzen nicht gibt. Sie verspotteten ihren Entdecker und grenzten ihn aus, bis er schließlich nach fast dreißig Jahren 2011 den wohlverdienten Nobelpreis für Chemie erhielt. [5],[6],[7]

Beim Verlegen von Penrose-Parketten in Höfen und Hausfußböden mag hilfreich sein, daß außer der in Fig. 2 angedeuteten Drehsymmetrie auch Achsensymmetrien bestehen. Dies läßt sich gut erkennen, wenn ein Ausschnitt von Fig. 1 um 90° gedreht wird:

Bild (ursprünglich)

(gedreht)
Bild Bild

Schräg verlaufende Symmetrieachsen gibt es ebenfalls:

Bild Bild

In der letzten Figur deuten sich die beiden Rauten an, aus denen das Penrose-Parkett besteht. (Bilder in der Art der letzten drei sah ich noch nirgends.)

Literatur:
[1] http://www.mathematische-
basteleien.de/parkett2.htm#Parkettierung%20mit%20F%C3%BCnfecken

[2a] http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/mce/symm105.html
[2b] http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/mce/symm67.html
Weiteres bei google, Suchwort: M. C. Escher.
[3] http://tams-www.informatik.uni-hamburg.de/people/hendrich/penrose/penrose.html
[4] http://de.wikipedia.org/wiki/Quasikristall
[5] http://www.tagesschau.de/ausland/chemienobelpreis104.html
[6] http://www.zeit.de/wissen/2011-10/shechtman-quasikristalle-nobelpreis
[7] http://youtu.be/EZRTzOMHQ4s (YouTube-Video mit dem Nobelpreisträger).

Hans-Jürgen











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Nichtperiodische Parkette und Kristalle [von Hans-Juergen]  
Nichtperiodische Parkettierungen und Kristalle Unter einer Parkettierung versteht man das lückenlose Auslegen einer Fläche mit gerad- oder krummlinig begrenzten Figuren: Kacheln, Fliesen, Pflastersteinen - oder nur gezeichneten. Sind sie gleich geformt, gleich groß und außerdem regelmäßige Polygo
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" Physik: Nichtperiodische Parkette und Kristalle" | 10 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Nichtperiodische Parkette und Kristalle
von FlorianM am Sa. 03. Dezember 2011 12:41:20

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Sehr schön! Danke! smile\(\endgroup\)

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Re: Nichtperiodische Parkette und Kristalle
von Spock am Sa. 03. Dezember 2011 13:25:10

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Hallo Hans-Jürgen,

auch von mir Danke, ich sehe jetzt meine Fliesen mit anderen Augen.

Juergen\(\endgroup\)

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Re: Nichtperiodische Parkette und Kristalle
von mathehorn am Sa. 03. Dezember 2011 15:36:23

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Sehr schöner Artikel!
Die Symmetriachsen im letzten Bild kannte ich auch noch nicht, danke dafür.\(\endgroup\)

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Re: Nichtperiodische Parkette und Kristalle
von PhysikRabe am Sa. 03. Dezember 2011 16:04:17

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Toller Artikel, vielen Dank! Ich hab mich viel mit Kristallen beschäftigt, und sehe diesen Artikel als Ergänzung meines Wissens.
Danke!\(\endgroup\)

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Re: Nichtperiodische Parkette und Kristalle
von Hans-Juergen am Sa. 03. Dezember 2011 22:08:57

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Hi liebe Planetarier,

danke für Eure freundlichen Zeilen.

Außer den Penrose-Parketten (die in dem Artikel angegebene Wikipedia-Seite enthält ein anderes als das von mir zitierte) gibt es auch nichtperiodische Parkette, die mit den Namen Ammann und Beenken verbunden sind:

Bild Quelle

Vor allem mit leicht zusammengekniffenen Augen meint man bei diesem Bild gerade Linien zu sehen, von denen einige ganz oder in Teilen (und für nicht zu große beiderseitige Entfernungen) ebenfalls Symmetrieachsen darstellen.

Im übrigen steckt hinter alledem natürlich auch noch eine, wie mir scheint, nicht leichte Aufgabe: wie erzeugt man solche nichtperiodischen Parkette mit dem Computer? Selber sehe ich im Moment nur andeutungsweise Möglichkeiten dazu.

Beste Grüße,
Hans-Jürgen

\(\endgroup\)

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Re: Nichtperiodische Parkette und Kristalle
von Slash am So. 04. Dezember 2011 01:16:19

\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

ich habe eine Anmerkung und eine Frage.

Bitte berichtigt mich, falls ich mich irre, aber hat Roger Penrose nicht sogar eine Art Patent auf "seine" Parkettierung? Soweit ich informiert bin, muss man sich von ihm die Erlaubnis einholen und auch Geld zahlen, wenn man ein Produkt mit diesem Parkett kommerziell vermarkten möchte. Ich habe mich immer darüber gewundert, wo es doch in der Mathematik sonst nie um mein und dein geht und erst recht nicht um den Kommerz.

Zur Frage: Wie beweist man eigentlich ob eine Parkettierung nicht-periodisch ist? Das muss ja für eine unendliche Fläche gelten.

hier noch ein Link(falls er nicht schon dabei war)
www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/topic.html

Gruß, Slash\(\endgroup\)

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Re: Nichtperiodische Parkette und Kristalle
von Rebecca am So. 04. Dezember 2011 02:24:44

\(\begingroup\)
Penrose Patent:
worldwide.espacenet.com/publicationDetails/biblio?locale=de_EP&CC=US&NR=4133152

Gruß
Rebecca\(\endgroup\)

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Re: Nichtperiodische Parkette und Kristalle
von Gockel am So. 04. Dezember 2011 13:03:25

\(\begingroup\)
@Slash:

Dass eine Parkettierung nichtperiodisch ist, beweist man z.B. dadurch, dass man alle periodischen Parkettierungen vollständig klassifiziert und dann feststellt, dass die Penrose-Parkettierung oder welche auch immer du gerade untersuchst, nicht in dieser Liste auftaucht.

mfg Gockel.\(\endgroup\)

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Re: Nichtperiodische Parkette und Kristalle
von Wally am So. 04. Dezember 2011 14:17:44

\(\begingroup\)
Wer's mal live sehen will, kann nach Dortmund kommen.

Der Fussboden des Audimax-Vorraums hat so eine Pflasterung (und Penrose himself ist schon mal drübergegangen).

Wally\(\endgroup\)

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Re: Nichtperiodische Parkette und Kristalle
von Slash am So. 04. Dezember 2011 14:50:15

\(\begingroup\)
Also ich muss zugeben, dass ich ein echtes Problem damit habe, dass auf so simple Geometrie, die selbst in der Ntur zu finden ist, ein Patent vergeben wird. Wer weiß, wie viele schon vor Mr. Penrose damit herumgespielt haben. Man könnte es ja auf die Spitze treiben und sich ein Quadrat oder die Differential- und Integralrechnung patentieren lassen, falls das noch niemand zuvor getan hat, und dann jeden zweiten zur Kasse bitten.

Bitte nicht falsch verstehen, Ruhm und Ehre sei jedem gegönnt und ich schätze Mr. Penrose sehr, aber ein Patent auf ein geometrisches Muster... ich weiß nicht?

Slash\(\endgroup\)

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