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Werkzeuge: Sloane's On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Freigegeben von matroid am Mo. 10. Juni 2002 00:03:18
Verfasst von matroid -   2851 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
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Meine heutige Empfehlung gilt einer Datenbank für Folgen. Darin kann man nach einem bekannten Teilstück einer Zahlenfolge suchen und erhält als Antwort alle gespeicherten Folgen, die diese Sequenz enthalten.

Meiner Erfahrung nach, findet man so gut wie alles, was eine mathematisch begründbare Herleitung hat. Die Suchergebnisse enthalten den Namen der Folge, ein Bildungsgesetz oder eine Rekursion - soweit bekannt - und durchweg Literaturhinweise oder manchmal auch Verweise auf Webseiten. Die Datenbank wächst mit der Hilfe Vieler, die weitere Folgen eintragen.

Hier geht es zu Sloane's On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.

Wie kann man diese Datenbank nutzen?

  1. Ist die Aufgabe als Rätsel gemeint, dann ist Sloane's einen Versuch wert, allerdings gibt es viele Rätsel ohne mathematischen Hintergrund. Manchmal findet man etwas, aber nicht immer.
    Beispiel: Setze die Folge 4,1,5,9,2,6 mit 5 weiteren Zahlen fort!
    Lösung: 5,3,5,8,9, denn die gegebenen Zahlen sind die 3. bis 8. Zahl aus der Dezimaldarstellung von p.
  2. Meine häufigste Anwendung: Es ist eine kombinatorische Aufgabe gestellt, in der etwas gezählt werden muß. Findet ich keinen Ansatz für eine allgemeine Formel oder Rekursion, dann bestimme ich für kleine n einige Folgenglieder. Mit dem Anfangsstück der Folge suche ich bei Sloane's. Aus der Beschreibung und den gegebenen Formeln der gefundenen Formeln erhalte ich nützliche Hinweise zur Behandlung der Aufgabenstellung oder einfach die Bestätigung, daß meine eigene Überlegung richtig war.
Beispielsweise folgende Aufgabe:
Wie viele unterscheidbare ringförmige Sitzordnungen von n Personen gibt es, bei denen - relativ zu einer vorgegebenen Anfangssitzordnung (1-2-3....-n) - jeder 2 neue Nachbarn hat?
Einige Werte der gesuchte Anzahl kann man relativ einfach durch Abzählen bekommen - unter Einsatz eines Computers -, aber irgendwann werden die Werte natürlich astronomisch.
Plätze     Sitzordnungen
------------------------
5 2
6 6
7 46
8 354
9 3106
10 29926
11 315862
12 3628906
Zum Programm, mit dem ich gezählt habe.

Mit den Zahlen 2,6,46,354,3106,29926 stieg ich in die Suche bei Sloane's ein. Und ...
... kein Treffer. Hatte ich eine unbekannte Folge entdeckt? Würde ich unsterblich werden?
Zu früh gefreut! Die Folge zur Lösung der Aufgabe ist bei Sloane's zu finden. Ich hatte zu viele Möglichkeiten mitgezählt, auch die, die durch Spiegelung auseinander hervorgehen. Ohne gespiegelte Lösungen lautet der Anfang der Folge: 1,3,23,177,1553.
Bingo! Suche danach ist ein Treffer. Unter der A-Nummer A002816 stehen die Zahlen 0, 0, 1, 3, 23, 177, 1553, 14963, 157931, 1814453, 22566237, 302267423, ... und die Beschreibung lautet:
Polygons formed from n points on circle, no 2 adjacent.
Also number of ways of seating n people around a circular table so that no one sits next to any of his neighbors in a previous seating order.
Eine Formel ist angegeben
(n^2 - 7n + 9)a(n) =   (n^3 - 8n^2 + 18n - 21)a(n - 1)
+ 4n(n - 5)a(n - 2)
- 2(n - 6)(n^2 - 5n + 3)a(n - 3)
+ (n^2 - 7n + 9)a(n - 4)
+ (n - 5)(n^2 - 5n + 3)a(n - 5)
und auch noch ein Link.

Ich habe keine Ahnung, wie man diese Rekursionsformel herleitet und muß nun gestehen, daß es sich nicht um eine Übungsaufgabe handelt, sondern um ein echtes Problem, das in der Newsgroup de.sci.mathematik vor einiger Zeit aufgetaucht war.

Der Eintrag bei Sloane's ist auch erst während dieser Diskussion entstanden. Offensichtlich hat der Fragende aus d.s.m. eine neue Folge gefunden - und eingetragen.

Trennlinie
Zum Abschluß gebe ich noch eine Erläuterung zur zweiten Bedeutung der Folge.
Betrachte den vollständigen Graphen Kn.
Kn hat n Ecken, die paarweise durch Kanten verbunden sind.
Die Namen der Ecken seien 1,2,3,...,N

Aus Kn entferne ich die Kanten
des Kreises C := 1-2-3-....-N-.
Den so verkleinerten Graphen nennen ich KnC

Nun ist die gestellte Aufgabe gleichwertig zum Problem in KnC die Anzahl der verschiedenen Kreise der Länge n zu zählen [das ist die Anzahl der Hamilton-Kreise in KnC].

Beispiel:
In K5C existiert genau ein Kreis, nämlich 13524.
K<sub>n</sub>C

In K6C kann man 3 Kreise finden: 135264, 136425, 142635.
Das ist das Gute an Sloane's, man findet auch interessante Querbezüge.
Meine ausdrückliche Empfehlung für Sloane's On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

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Sloane's On-Line Encyclopedia of Integer Sequences [von matroid]  
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" Werkzeuge: Sloane's On-Line Encyclopedia of Integer Sequences" | 4 Kommentare
 
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Re: Sloane's On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 10. Juni 2002 14:08:44


Hi!



Ich benutze diese Datenbank auch des Öfteren, kann sie daher nur weiterempfehlen!

Zu dem Grfenproblem plage ich mich momentan mit etwas ähnlichem ab.

Frage: Wieviele Möglichkeiten gibt es, das "Haus des Nikolaus" zu zeichnen?

Ich habe schon ein paar Überlegungen dazu getätigt, kann die Anzahl aber ohne stumpfes Abzählen aus den Gegebenheiten nicht bestimmen.

Ein Freund, der mir die Aufgabe stellte meinte, er habe 76 händisch gefunden. Daher interessiert ihn, ob das auch wirklich alle sind.

Weiß jemand Rat?



Gruß, mic

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Re: Sloane's On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
von buh am Mo. 10. Juni 2002 18:20:59


Ich mag mich irren, aber hast du Sloane's nicht schon mal empfohlen?



Gruß von buh

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