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Mathematik: Einfache Gruppen - PSp
Freigegeben von matroid am Do. 15. November 2012 19:45:57
Verfasst von Gockel -   708 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

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Einfache Gruppen - PSp



Dies ist der dritte Artikel meiner Reihe über einfache Gruppen, der tatsächlich von einfachen Gruppen handeln soll. Nachdem wir im letzten Artikel die (projektiven) speziellen linearen Gruppen untersucht haben, wollen wir in diesem und den nächsten Artikeln die restlichen Typen von klassischen Gruppen untersuchen, die - wie bereits angekündigt - in Verbindung mit Isometriegruppen gewisser Formen auftreten.

In diesem Artikel soll es um die sogenannten symplektischen Gruppen gehen, die als Isometriegruppen von alternierenden Sesquilinearformen in Erscheinung treten. Wir wollen und werden beweisen, dass die symplektischen Gruppen bis auf ganz wenige Ausnahmen stets einfache Gruppen liefern.


Inhalt


Erinnerung: Klassifikation der symplektischen Geometrien



Wie schon gesagt, werden wir uns den klassischen Gruppen über den geometrischen Zugang nähern, wir werden also Sesquilinear- und quadratische Formen und ihre Isometriegruppen untersuchen.
Wir haben im Artikel über den Satz von Witt festgestellt, dass die interessanten Sesquilinearformen, die reflexiven, d.h. im Wesentlichen die alternierenden und die hermiteschen (inkl. der symmetrischen Bilinearformen) sind.

Wir haben in den Artikeln über Sesquilinearformen bereits festgestellt, dass nichtentartete alternierende Formen nur auf Vektorräumen gerader Dimension existieren und in diesem Fall bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt sind. Wir sprechen daher von dem symplektischen 2m-dimensionalen K-Vektorraum und der symplektischen Gruppe in dieser Dimension.

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Unmittelbar aus diesen Gleichungen folgt für m=1 sofort:
Lemma 1

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Diesen Fakt werden wir später noch als wichtigen Spezialfall brauchen, denn so können wir bei Induktionsverankerungen Eigenschaften von SL(V) nutzen, die uns bereits bekannt sind.


Symplektische Transvektionen



Die Strategie für unseren Einfachheitsbeweis soll wie zuvor sein, das Lemma von Iwasawa anzuwenden. Dafür brauchen wir zunächst geeignete Erzeuger der symplektischen Gruppe. Wie bereits bei SL(V) werden sich die Transvektionen hier als nützlich erweisen.

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Lemma/Definition 2: Symplektische Transvektionen

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Lemma 3: Eigenschaften von Transvektionen

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Aus diesen Überlegungen folgt dann sofort, dass Sp(V) von den Transvektionen erzeugt wird:
Satz 4: Transvektionen erzeugen den ganzen Raum

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Wir benutzen hier erstmals das im letzten Artikel angedeutete Argument, welches das Frattini-Argument induktiv anwendet.

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Perfektheit und Einfachheit von PSp(V)



Dann können wir ja jetzt zum großen Finale kommen:

Lemma 7: Perfektheit

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Satz 8

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Auch hier sei wieder darauf hingewiesen, dass unsere Beweise von der Struktur des Körpers keinen wesentlichen Gebrauch gemacht haben, sie gelten für alle Körper (die die oben genannte Mindestanzahlen von Elementen haben).

Die Ausnahmen



Auch hier haben wir wieder Ausnahmen für kleine Körper und Dimensionen in unseren Sätzen. Es stellt sich also wie schon bei SL(V) die Frage, ob diese Gruppen ebenfalls einfach sind oder nicht.

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Satz 10

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Abschluss



Wir haben nun die erste geometrisch motivierte Reihe der klassischen Gruppen behandelt und sind dabei schon auf ein paar Komplikationen mehr als für PSL gestoßen. Das wird sich in den weiteren Artikeln verschärfen. Sowohl die Untersuchung von PSU als auch die von PΩ wird jeweils ein bisschen komplizierter sein als zuvor.

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Die Reihe "Einfache Gruppen"



Inhaltsverzeichnis
Vorheriger Teil der Reihe: PSL
Nächster Teil der Reihe: PSU



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