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Mathematik: Die Anzahl der Variablen eines Polynomrings
Freigegeben von matroid am Fr. 12. April 2013 09:23:16
Verfasst von Martin_Infinite -   3416 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)

Die Anzahl der Variablen eines Polynomrings

In diesem Artikel werden wir 9 Beweise dafür präsentieren, dass die Anzahl der Variablen eines Polynomrings eindeutig bestimmt ist. Das heißt, wenn <math>K[X_1,\dotsc,X_n]</math> und <math>K[X_1,\dotsc,X_m]</math> als <math>K</math>-Algebren isomorph sind, dann ist <math>n=m</math>. Dabei machen wir einen Streifzug durch die Algebra und lernen verschiedenste Invarianten für Ringe kennen. Frei nach dem Motto: Der Weg ist das Ziel.

Vorbemerkungen

Ist <math>K</math> ein Körper und sind <math>n,m \in \mathds{N}</math> mit <math>K[X_1,\dotsc,X_n] \cong K[X_1,\dotsc,X_m]</math> als <math>K</math>-Algebren, warum gilt dann <math>n=m</math>? Dieselbe Frage kann man sich für jeden kommutativen Koeffizientenring <math>R \neq 0</math> stellen. Durch Tensorieren mit <math>R/\mathfrak{m}</math> für ein maximales Ideal <math>\mathfrak{m} \subseteq R</math> lässt sich dies aber auf den Fall von Körpern zurückführen. Wir können sogar annehmen, dass <math>K</math> algebraisch abgeschlossen ist (durch Tensorieren mit einem algebraischen Abschluss).
 
Zunächst einmal ist es leider so, dass man die Isomorphismen <math>K[X_1,\dotsc,X_n] \cong K[X_1,\dotsc,X_m]</math> nicht klassifizieren kann. Sie können recht kompliziert sein. Die Jacobi-Vermutung besagt, dass <math>X_i \mapsto f_i</math> genau dann einen Isomorphismus definiert, wenn die Jacobi-Matrix <math>(\frac{\partial f_i}{\partial X_j})_{i,j}</math> invertierbar ist. Sie ist bis heute offen. Die Isomorphismen müssen auch nicht den Grad erhalten, wie die Beispielklasse <math>K[X_1,X_2] \to K[X_1,X_2],~ X_1 \mapsto X_1,~ X_2 \mapsto p(X_1)+X_2</math> mit <math>p \in K[X_1]</math> zeigt.
 
Völlig elementare rechnerische Lösungen scheiden daher erst einmal aus. Vielmehr müssen wir uns Invarianten überlegen, die einem kommutativen Ring eine Zahl oder zumindest eine einfachere algebraische Struktur zuordnen, aus der man dann wiederum <math>n</math> im Falle von <math>K[X_1,\dotsc,X_n]</math> ablesen kann. Isomorphe Ringe sollten dabei dieselbe Invariante bekommen (das führt zum Begriff des Funktors). Einige Invarianten beziehen sich auf die Moduln über dem Ring. Soviel zum groben Plan der nun folgenden Beweise. Sie können weitestgehend unabhängig voneinander gelesen werden. Für einige Details werde ich auf die folgenden Lehrbücher verweisen:

[Algebra] Bosch, Algebra, 7. Auflage, Springer, 2009
[AlgGeom] Bosch, Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer, 2013
[HomAlg] Weibel, Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994

1. Gradabschätzung

Wir starten mit dem wohl elementarsten Beweis.
 
Angenommen es gibt einen injektiven Homomorphismus von <math>K</math>-Algebren <math>\phi : K[X_1,\dotsc,X_n] \to K[X_1,\dotsc,X_m]</math>. Wir zeigen <math>n \leq m</math>. Es sei <math>f_i=\phi(X_i)</math> und <math>d \in \mathds{N}</math> das Maximum der Grade der <math>f_i</math>. Wenn <math>a_1+\dotsc+a_n=k</math>, dann hat <math>\phi(X_1^{a_1} \cdot \dotsc \cdot X_n^{a_n})=f_1^{a_1} \cdot \dotsc \cdot f_n^{a_n}</math> höchstens Grad <math>dk</math>. Für alle <math>k \in \mathds{N}</math> induziert <math>\phi</math> daher eine Einbettung des Raumes der Polynome in <math>X_1,\dotsc,X_n</math> vom Grad <math>k</math> in den Raum der Polynome in <math>X_1,\dotsc,X_m</math> vom Grad <math>\leq dk</math>. Ein Vergleich der Dimensionen dieser Vektorräume zeigt daher <math>\binom{n+k-1}{n} \leq \binom{m+dk}{m}</math>. Beide Binomialkoeffizienten sind Polynome in <math>k</math> mit positiven Koeffizienten, der linke hat Grad <math>n</math> und der rechte hat Grad <math>m</math>. Aus der Analysis wissen wir daher <math>n \leq m</math>.

Hinter diesem Beweis steckt aber tatsächlich eine Invariante, die sogenannte Gelfand-Kirillov-Dimension (vgl. W. Borho, H. Kraft, Über die Gelfand-Kirillov-Dimension, Math. Ann. 220, 1-24 (1976)): Wenn <math>A</math> eine endlich-erzeugte <math>K</math>-Algebra ist, so wähle einen endlich-dimensionalen <math>K</math>-Unterraum <math>V</math>, der <math>A</math> erzeugt und die Eins enthält. Betrachte die Funktion <math>d_V : \mathds{N} \to \mathds{N}, k \mapsto \dim_K(V^k)</math>, wobei <math>V^k := \sum_{v_1,\dotsc,v_k \in V} K \cdot v_1 \cdot \dotsc \cdot v_k</math>. Ihr asymptotisches Wachstum wird beschrieben durch die Größe
 
<math>\displaystyle\mathrm{GK}\dim(A) := \limsup_{k \to \infty} \frac{\log d_V(k)}{\log k} = \inf \{\gamma \geq 0 : d_V(k) \geq k^{\gamma} \text{ für fast alle } k\},</math>
 
die GK-Dimension von <math>A</math>. Tatsächlich hängt sie nicht von <math>V</math> ab (Skizze: für einen weiteren solchen Unterraum <math>W</math> gibt es <math>n > 0</math> mit <math>V \subseteq W^n</math>, und daraus folgt <math>d_V(k) \leq d_W(nk)</math> etc.). Für <math>A=K[X_1,\dotsc,X_n]</math> kann man <math>V=K X_1+\dotsc+K X_n</math> nehmen und sieht <math>d_V(k)=\binom{n+k-1}{n}</math>, was ein Polynom vom Grad <math>n</math> in <math>k</math> ist. Folglich ist <math>\mathrm{GK}\dim(K[X_1,\dotsc,X_n])=n</math>. Isomorphe <math>K</math>-Algebren haben natürlich dieselbe GK-Dimension.

2. Transzendenzgrad

Jedem Integritätsring <math>R</math> können wir seinen Quotientenkörper <math>Q(R)</math> zuordnen. Falls <math>R</math> eine <math>K</math>-Algebra ist, ist <math>Q(R)</math> eine Körpererweiterung von <math>K</math>.
 
Für eine Körpererweiterung <math>L/K</math> heißt eine Teilmenge von <math>L</math> algebraisch unabhängig, wenn ihre Elemente keine nichttriviale polynomielle Relation mit Koeffizienten aus <math>K</math> erfüllen. Dieses Konzept ist analog zur linearen Unabhängigkeit bei Teilmengen von Vektorräumen, wo man sich auf lineare Polynome beschränkt. Das Zornsche Lemma zeigt, dass es stets eine maximale algebraisch unabhängige Teilmenge gibt (eine Transzendenzbasis). Es lässt sich zeigen, dass ihre Kardinalität wohldefiniert ist [Algebra, Theorem 7.1/5]. Man nennt sie den Transzendenzgrad von <math>L/K</math>.
 
Zum Polynomring <math>R=K[X_1,\dotsc,X_n]</math> gehört der Körper der rationalen Funktionen <math>Q(R)=K(X_1,\dotsc,X_n)</math>, für den offenbar <math>\{X_1,\dotsc,X_n\}</math> eine Transzendenzbasis ist. Folglich ist der Transzendenzgrad <math>n</math>. Damit sind wir fertig (isomorphe Integritätsringe haben isomorphe Quotientenkörper, und isomorphe Körpererweiterungen haben denselben Transzendenzgrad).

3. Krulldimension

Die Krulldimension <math>\dim(R)</math> eines kommutativen Ringes <math>R</math> ist die maximale Länge <math>n</math> einer Kette von surjektiven Homomorphismen <math>R \to R_0 \to \dotsc \to R_n</math>, wobei jeweils <math>R_i</math> ein Integritätsring ist und <math>R_{i} \to R_{i+1}</math> kein Isomorphismus ist (das ist zur üblichen Definition mit Primidealen äquivalent, aber etwas schöner). Zum Beispiel hat ein Körper als Krulldimension <math>0</math>, und die anderen Hauptidealringe haben Krulldimension <math>1</math>. Es gilt stets <math>\dim(R[X]) \geq \dim(R)+1</math>, denn für eine Kette wie oben erhält man die um eins längere Kette <math>R[X] \to R_0[X] \to \dotsc \to R_n[X] \xrightarrow{X \mapsto 0} R_n</math>. Ein wichtiges und nichttriviales Ergebnis der Dimensionstheorie lautet, dass für noethersche Ringe <math>R</math> die Gleichheit <math>\dim(R[X])=\dim(R)+1</math> besteht [AlgGeom, Proposition 2.4/15]. Insbesondere ergibt sich induktiv <math>\dim(K[X_1,\dotsc,X_n])=n</math> für Körper <math>K</math>. Für einen kurzen und direkten Beweis dafür, siehe die Notiz von T. Coquand und H. Lombardi, A Short Proof for the Krull Dimension of a Polynomial Ring.

4. Tangentialräume

Es sei <math>R</math> eine <math>K</math>-Algebra. Für ein (maximales) Ideal <math>\mathfrak{m} \subseteq R</math> kann man sich die <math>K</math>-Vektorräume <math>\mathfrak{m}^d/\mathfrak{m}^{d+1}</math> (mit <math>d \in \mathbb{N}</math>) anschauen, insbesondere deren Dimension als <math>K</math>-Vektorraum messen. Ist zum Beispiel <math>R=K[X_1,\dotsc,X_n]</math> und <math>\mathfrak{m}=(X_1,\dotsc,X_n)</math>, so besteht <math>\mathfrak{m}^d</math> aus den Polynomen, deren Monome Grad <math>\geq d</math> besitzen. Folglich ist <math>R/\mathfrak{m}=K</math> und <math>\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math> isomorph zum Teilraum der linearen Polynome <math>K \cdot X_1  + \dotsc + K \cdot X_n</math>, welcher <math>n</math>-dimensional ist. Dasselbe trifft auf die maximalen Ideale <math>\mathfrak{m}=(X_1-a_1,\dotsc,X_n-a_n)</math> zu, wobei <math>a \in K^n</math>, weil <math>X_i \mapsto X_i+a_i</math> einen Automorphismus von <math>R</math> definiert, welcher <math>\mathfrak{m}</math> auf <math>(X_1,\dotsc,X_n)</math> abbildet. Dies sind aber genau die maximalen Ideale <math>\mathfrak{m}</math> mit <math>R/\mathfrak{m}=K</math> (wähle <math>a_i \in K</math> als das Bild von <math>\overline{X_i} \in R/\mathfrak{m}</math>). Damit haben wir <math>n</math> als Invariante von <math>R</math> erkannt: Es handelt sich um die <math>K</math>-Dimension von <math>\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math>, wobei <math>\mathfrak{m}</math> irgendein maximales Ideal mit <math>R/\mathfrak{m}=K</math> ist.

Eine noch feinere Invariante ist die assoziierte graduierte Algebra <math>\bigoplus_{d \geq 0} \mathfrak{m}^d / \mathfrak{m}^{d+1}</math>. In ihr sind in Wahrheit die infinitesimalen Informationen des affinen Schemas <math>\mathrm{Spec}(R)</math> [AlgGeom] beim Punkt <math>\mathfrak{m}</math> kodiert. Speziell handelt es sich bei <math>\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math> um den Kotangentialraum, sein Dualraum <math>(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)^*</math> ist der Tangentialraum. Zum Vergleich: Ist <math>X</math> eine Mannigfaltigkeit, <math>x \in X</math>, so ist der Ring der glatten Funktionskeime bei <math>x</math> ein lokaler Ring <math>\mathcal{O}_{X,x}</math> mit maximalem Ideal <math>\mathfrak{m}_x = \{f : f(x)=0\}</math> und <math>(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)^*</math> ist zum Tangentialraum im üblichen Sinne kanonisch isomorph (Warner, Foundations of Differential Manifolds and Lie Groups, Lemma 1.16). Die Definition des Tangentialraumes <math>T_x(X) := (\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)^*</math> funktioniert aber für alle lokalgeringten Räume und damit insbesondere für Schemata über <math>K</math>.
 
Damit sollte klarwerden, dass der obige Beweis in Wahrheit geometrisch ist: Man erkennt, dass die Tangentialräume des affinen Raumes <math>\mathds{A}^n_K=\mathrm{Spec}(K[X_1,\dotsc,X_n])</math> (an <math>K</math>-rationalen Punkten) allesamt <math>n</math>-dimensional sind. Und im 3. Beweis oben haben wir entsprechend <math>\dim(\mathds{A}^n_K)=n</math> gesehen, wobei <math>\dim</math> die Krulldimension eines topologischen Raumes bezeichnet.

5. Derivationen

Wir haben gerade einen Beweis gesehen, der mit Tangenten arbeitet. Der folgende Beweis benutzt die damit verwandten Ableitungen.

Sei <math>R</math> eine <math>K</math>-Algebra und <math>M</math> eine <math>R</math>-Modul. Eine <math>K</math>-lineare Abbildung <math>d : R \to M</math> heißt Derivation, wenn die Leibniz-Regel <math>d(a \cdot b)=a \cdot d(b)+b \cdot d(a)</math> für alle <math>a,b \in R</math> erfüllt ist. Die Derivationen bilden einen <math>R</math>-Modul <math>\mathrm{Der}(R,M)</math>. Wenn <math>R</math> von Elementen <math>a_1,\dotsc,a_n</math> erzeugt wird, so folgt aus der Leibniz-Regel, dass eine Derivation <math>d</math> bereits durch <math>d(a_1),\dotsc,d(a_n)</math> bestimmt ist. Im Falle des Polynomringes <math>R=K[X_1,\dotsc,X_n]</math> gilt aber auch umgekehrt, dass es für alle <math>m_1,\dotsc,m_n \in M</math> eine Derivation <math>d : R \to M</math> gibt mit <math>d(X_i)=m_i</math>, nämlich <math>d(f) := \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial X_i} \cdot m_i</math>. Insbesondere ist <math>\mathrm{Der}(R,R)</math> ein freier <math>R</math>-Modul vom Rang <math>n</math>. Der Rang eines freien Moduls über einem kommutativen Ring <math>\neq 0</math> ist aber eindeutig bestimmt (siehe Anhang A4).
 
Alternativ kann man den <math>R</math>-Modul <math>\Omega^1_{R/K}</math> benutzen, welcher die Derivationen klassifiziert, d.h. den Funktor <math>M \mapsto \mathrm{Der}(R,M)</math> darstellt [Algebra, 7.4]. Für <math>R=K[X_1,\dotsc,X_n]</math> ist er frei vom Rang <math>n</math> mit der Basis <math>d(X_1),\dotsc,d(X_n)</math>.
 
Auch hier steckt in Wahrheit ein geometrisches Konzept dahinter, das grob gesagt in der Linearisierung besteht. Das Tangentialbündel eines <math>K</math>-Schemas <math>X</math> ist das relative Spektrum [AlgGeom, 7.1] der quasikohärenten <math>\mathcal{O}_X</math>-Algebra <math>\mathrm{Sym}(\Omega^1_{X/K})</math>. Das Tangentialbündel des affinen Raumes <math>\mathds{A}^n_K</math> ist ein triviales Bündel vom Rang <math>n</math>.

6. Reduktion auf den endlichen Fall

Angenommen <math>R[X_1,\dotsc,X_n] \cong R[X_1,\dotsc,X_m]</math> und <math>R \neq 0</math>. Bezeichnet man mit <math>f_i</math> das Bild von <math>X_i</math> und mit <math>g_j</math> das Urbild von <math>X_j</math>, so kommen in <math>f_1,\dotsc,f_n,g_1,\dotsc,g_m</math> nur endlich viele Koeffizienten <math>\neq 0</math> vor. Diese erzeugen einen Teilring von <math>R</math>. Die Gleichungen, die bezeugen, dass die Homomorphismen in beide Richtungen zueinander invers sind, nämlich <math>f_i(g_1,\dotsc,g_m)=X_i</math> und <math>g_j(f_1,\dotsc,f_n)=X_j</math>, gelten dann ebenfalls als Polynome über diesem Teilring. Wir können daher oBdA annehmen, dass <math>R</math> endlich-erzeugt ist. Ein solcher Ring hat aber endliche Restklassenkörper (siehe hier)! Nach Skalarerweiterung mit einem solcher Restklassenkörper können wir daher auf den Fall reduzieren, dass <math>R</math> ein endlicher Ring <math>\neq 0</math> ist. Aber dann zählen wir einfach die Homomorphismen von <math>R</math>-Algebren nach <math>R</math>:
 
<math>|R|^n = |\hom(R[X_1,\dotsc,X_n],R)|=|\hom(R[X_1,\dotsc,X_m],R)|=|R^m| = |R|^m</math>
 
und mit <math>1 < |R| < \aleph_0</math> folgt daraus <math>n=m</math>.
 
Ist dieser Beweis nicht mysteriös?! Mich würde interessieren, ob sich daraus ein konstruktiver und damit hoffentlich konkreterer Beweis ableiten lässt. Diese Reduktionen auf den endlichen Fall sind übrigens ziemlich typisch. Sehr zu empfehlen ist Serres Preprint How to use finite fields for problems concerning infinite fields.

7. Reduktion auf Topologie

Im vorigen Beweis haben wir auf den "diskreten" Fall reduziert; man kann aber auch auf den "analytischen" Fall reduzieren, sofern der Körper <math>K</math> Charakteristik <math>0</math> hat. Auch dieses Vorgehen ist sehr typisch und wird zum Beispiel bei Fragen zu Gruppenringen benutzt.
 
Wie bei 6. reduzieren wir auf den Fall, dass <math>K</math> eine endlich-erzeugte Körpererweiterung von <math>\mathds{Q}</math> ist. Dann lässt sich <math>K</math> aber in <math>\mathds{C}</math> einbetten, weil <math>\mathds{C}</math> algebraisch abgeschlossen ist und der Transzendenzgrad über <math>\mathds{Q}</math> aus Kardinalitätsgründen unendlich ist1.
 
Wir können daher <math>K=\mathds{C}</math> annehmen. Der Sinn dieser Reduktion besteht darin, dass <math>\mathds{C}</math> im Gegensatz zu einem beliebigen Körper eine viel reichere Struktur besitzt, zum Beispiel die gewöhnliche euklidische Topologie.

Die Abbildung <math>\mathds{C}^m \to \mathds{C}^n</math>, <math>x \mapsto (f_1(x),\dotsc,f_n(x))</math> ist polynomiell und damit stetig; dasselbe gilt für die Umkehrabbildung <math>y \mapsto (g_1(y),\dotsc,g_m(y))</math>. Folglich sind <math>\mathds{C}^m</math> und <math>\mathds{C}^n</math> homöomorph. Nun können wir die Invarianz der Dimension zitieren und auf <math>n=m</math> schließen; dies ist eine typische Anwendung der algebraischen Topologie, wie Gockel in seinem Artikel erklärt hat. Der Beweis benutzt, dass die lokalen singulären Homologiegruppen <math>H_*(\mathds{R}^n,\mathds{R}^n \setminus \{p\})</math> im Grad <math>*=n</math> konzentriert ist.
 
Funktioniert so etwas vielleicht auch in positiver Charakteristik? Tatsächlich, wie der nächste Beweis zeigt.
 
1 Das sieht man aber auch konstruktiv: Die Zahlen <math>\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2^{2^{[nr]}}}{2^{2^{n^2}}}</math>, <math>r>0</math>, sind algebraisch unabhängig (John von Neumann, Ein System algebraisch unabhängiger Zahlen, Math. Ann. 99, 1928).

8. Lokale Kohomologie

Wenn <math>R</math> ein noetherscher kommutativer Ring und <math>I \subseteq R</math> ein Ideal ist, so definiert man den linksexakten Funktor <math>H^0_I : \mathsf{Mod}(R) \to \mathsf{Mod}(R)</math> durch <math>M \mapsto \varinjlim_n \mathrm{Hom}_R(I^n,M)</math>. Seine rechtsabgeleiteten Funktoren werden mit <math>H^q_I</math> bezeichnet. Es heißt <math>H^q_I(M)</math> die lokale Kohomologie von <math>M</math> bei <math>I</math>. Der Name rührt daher, dass sie mit der Garbenkohomologie auf <math>\mathrm{Spec}(R)</math> mit Träger in <math>V(I) \hookrightarrow \mathrm{Spec}(R)</math> übereinstimmt. Wenn <math>\mathfrak{m} \subseteq K[X_1,\dotsc,X_n]</math> ein maximales Ideal ist mit Lokalisierung <math>R:=K[X_1,\dotsc,X_n]_{\mathfrak{m}}</math>, so ist die lokale Kohomologie <math>H^q_{\mathfrak{m} R}(R)</math> nur für <math>q=n</math> nichttrivial [HomAlg, Corollary 4.6.9]. Die lokale Kohomologie der Strukturgarbe des affinen Raumes <math>\mathds{A}^n_K</math> mit Träger in <math>\mathds{A}^n_K \setminus \{p\}</math> ist also im Grad <math>n</math> konzentriert.

9. Globale Dimension

Die projektive Dimension eines <math>R</math>-Moduls <math>M</math> ist die kleinst mögliche Länge einer projektiven Auflösung von <math>M</math>, d.h. das kleinste <math>n \in \mathbb{N}</math> für das es eine exakte Sequenz <math>0 \to P_n \to \dotsc \to P_1 \to P_0 \to M \to 0</math> gibt, wobei die <math>P_i</math> projektive <math>R</math>-Moduln sind. Die globale Dimension <math>\mathrm{gl}\dim(R)</math> von <math>R</math> ist das Supremum der projektiven Dimensionen aller <math>R</math>-Moduln. Man kann <math>\mathrm{gl}\dim(R[X])=\mathrm{gl}\dim(R)+1</math> zeigen [HomAlg, Theorem 4.3.7], sodass per Induktion <math>\mathrm{gl}\dim(K[X_1,\dotsc,X_n])=n</math> folgt. Dies ist der berühmte Syzygiensatz von Hilbert.

A. Anhang

A1. Unendlich viele Variablen

Wir können uns natürlich genauso fragen, ob für Mengen <math>S,T</math> aus der Isomorphie von <math>K[\{X_i\}_{i \in S}]</math> und <math>K[\{X_i\}_{i \in T}]</math> bereits <math>|S|=|T|</math> folgt; hierbei ist <math>K</math> ein Körper (aber wieder lässt sich der Fall eines beliebigen kommutativen Ringes <math>\neq 0</math> darauf reduzieren). Das ist tatsächlich so, weil sich die Beweise 2.,4. und 5. übertragen.
 

A2. Injektive Homomorphismen

Allgemeiner kann man zeigen: Wenn <math>R \neq 0</math> ein kommutativer Ring ist und <math>S,T</math> beliebige Mengen, sodass es einen injektiven Homomorphismus von <math>R</math>-Algebren <math>R[\{X_i\}_{i \in S}] \hookrightarrow R[\{X_i\}_{i \in T}]</math> gibt, so folgt <math>|S| \leq |T|</math>. Für endliche <math>S,T</math> haben wir das bereits im 1. Beweis gesehen.

Wenn <math>R</math> ein Körper ist, dann benutze man die Additivität des Transzendenzgrades für Körpertürme, angewandt auf <math>R \hookrightarrow R(\{X_i\}_{i \in S}) \hookrightarrow R(\{X_i\}_{i \in T})</math>. Der Fall eines Integritätsringes lässt sich darauf zurückführen (Quotientenkörper). Nun sei <math>R</math> beliebig.
 
Zunächst überlegt man sich leicht, dass die minimalen Primideale von <math>R[\{X_i\}_{i \in S}]</math> die Form <math>\mathfrak{p}[\{X_i\}_{i \in S}]</math> für minimale Primideale <math>\mathfrak{p} \subseteq R</math> besitzen. Außerdem erfüllen minimale Primideale stets "Lying Over": Ist <math>A \to B</math> ein injektiver Homomorphismus, und <math>\mathfrak{p} \subseteq A</math> ein minimales Primideal, so gibt es ein Primideal <math>\mathfrak{q} \subseteq B</math> mit <math>\mathfrak{p}= A \cap \mathfrak{q}</math> (Beweis: <math>A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}</math> ist injektiv, folglich ist <math>B_{\mathfrak{p}}</math> nichttrivial und hat daher ein Primideal, dessen Urbild in <math>B</math> ein Primideal <math>\mathfrak{q} \subseteq B</math> mit <math>\mathfrak{q} \cap A \subseteq \mathfrak{p}</math> ist, also <math>\mathfrak{q} \cap A = \mathfrak{p}</math> wegen der Minimalität).
 
Nun angenommen es gibt einen injektiven Homomorphismus von <math>R</math>-Algebren <math>\phi : R[\{X_i\}_{i \in S}] \to R[\{Y_i\}_{i \in T}]</math>. Wähle ein minimales Primideal <math>\mathfrak{p} \subseteq R</math>. Es gibt ein Primideal <math>\mathfrak{q} \subseteq R[\{Y_i\}]</math> mit <math>\mathfrak{p} R[\{X_i\}]=\phi^{-1}(\mathfrak{q})</math>. Wegen <math>\phi(\mathfrak{p} R[\{X_i\}]) \subseteq \mathfrak{p} R[\{Y_i\}]</math> folgt daraus <math>\mathfrak{p} [\{Y_j\}] \subseteq \mathfrak{q}</math> und weiter <math>\phi^{-1}(\mathfrak{p} R[\{Y_i\}]) \subseteq \phi^{-1}(\mathfrak{q})=\mathfrak{p} R[\{X_i\}] \subseteq \phi^{-1}(\mathfrak{p} R[\{Y_i\}])</math>. Damit induziert <math>\phi</math> einen injektiven Homomorphismus <math>R/\mathfrak{p} [\{X_i\}] \to R/\mathfrak{p} [\{Y_i\}]</math> und wir sind wieder im Fall von Integritätsringen.
 

A3. Surjektive Homomorphismen

Dual zur vorherigen Aussage gilt: Wenn <math>R \neq 0</math> ein kommutativer Ring ist und <math>S,T</math> beliebige Mengen, sodass es einen surjektiven Homomorphismus von <math>R</math>-Algebren <math>R[\{X_i\}_{i \in S}] \twoheadrightarrow R[\{Y_i\}_{i \in T}]</math> gibt, so folgt <math>|S| \geq |T|</math>. Denn man bekommt einen surjektiven Homomorphismus von <math>R[\{Y_i\}]</math>-Moduln <math>\Omega^1_{R[\{X_i\}]/R} \otimes_{R[\{X_i\}]} R[\{Y_i\}] \twoheadrightarrow \Omega^1_{R[\{Y_i\}]/R}</math> [AlgGeom, Proposition 8.1/13], welche frei vom Rang <math>S</math> bzw. <math>T</math> sind, und für freie Moduln ist die Aussage bekannt (wieder durch Tensorieren mit einem Körper und dann lineare Algebra).
 

A4. Weitere algebraische Strukturen

Man kann sich für jede Kategorie algebraischer Strukturen <math>C=\mathsf{Alg}(\tau)</math> fragen, ob <math>F(S) \cong F(T) \Rightarrow S \cong T</math>, wobei <math>F(S)</math> die freie <math>\tau</math>-Algebra auf der Menge <math>S</math> ist. Wir sagen dann, dass <math>\tau</math> IBN erfüllt (Invariant Basis Number). Ein Ring <math>R</math> habe IBN, wenn das für die <math>R</math>-Moduln zutrifft. In der linearen Algebra zeigt man, dass Körper IBN haben, d.h. die Dimension eines Vektorraumes wohldefiniert ist. Der Artikel hat davon gehandelt, dass kommutative <math>R</math>-Algebren IBN erfüllen, wobei <math>R \neq 0</math> ein kommutativer Ring ist. Für <math>R=\mathds{Z}</math> ergibt sich, dass kommutative Ringe IBN erfüllen.
 
Allgemein gilt für Homomorphismen von Theorien <math>\tau \to \sigma</math>, dass der Vergissfunktor <math>\mathsf{Alg}(\sigma) \to \mathsf{Alg}(\tau)</math> einen linksadjungierten Funktor besitzt, der dann aufgrund der universellen Eigenschaften die freie <math>\tau</math>-Algebra auf der Menge <math>S</math> auf die freie <math>\sigma</math>-Algebra auf <math>S</math> schickt. Mit <math>\sigma</math> erfüllt daher auch <math>\tau</math> IBN. Das lässt sich sehr oft anwenden:

Zum Beispiel ist der Rang einer freien abelschen Gruppe wohldefiniert, weil die Skalarerweiterung mit <math>\mathds{Q}</math> daraus den freien <math>\mathds{Q}</math>-Vektorraum macht. Alternativ kann man die Skalarerweiterung mit <math>\mathds{F}_2=\mathds{Z}/2\mathds{Z}</math> durchführen. Und im endlichen Fall folgt <math>\mathds{F}_2^n \cong \mathds{F}_2^m \Rightarrow n=m</math> sogar aus Kardinalitätsgründen! Die abelschen Gruppen erfüllen also IBN.
 
Wenn allgemeiner <math>R \neq 0</math> ein kommutativer Ring ist, so können wir ein maximales Ideal <math>\mathfrak{m}</math> wählen und die Skalarerweiterung mit dem Körper <math>R/\mathfrak{m}</math> zeigt, dass <math>R</math> IBN besitzt. Für nichtkommutative Ringe ist das in der Regel falsch. Wenn zum Beispiel <math>R</math> der Ring der Endomorphismen eines unendlich-dimensionalen Vektorraumes <math>V</math> ist, so folgt aus <math>V \cong V \oplus V</math>, dass <math>R \cong R^2</math> als <math>R</math>-Moduln.
 
Der Rang einer freien Gruppe ist wohldefiniert, weil ihre Abelisierung die freie abelsche Gruppe ist. Die Gruppen erfüllen also IBN. Dasselbe Prinzip für Monoide, Halbgruppen, Quasigruppen, Loops, Magmas, etc. Ebenfalls Liealgebren über einem festen Körper erfüllen IBN: Mit Hilfe der Abelisierung lässt sich das auf Vektorräume reduzieren.
 
Etliche weitere Beispiele ergeben sich wie folgt: Sobald es eine nichttriviale endliche <math>\tau</math>-Algebra gibt, erfüllt <math>\tau</math> IBN. Das sieht man wie beim 6. Beweis durch Abzählen der Homomorphismen in diese Algebra. Für Weiteres siehe MO/126747.
 

Schluss

Dieser Artikel ist eine Zusammenfassung und Ausarbeitung dieses Threads. Dort ging es darum, einen möglichst elementaren Beweis zu finden. Ich bedanke mich bei reneeee für den Hinweis auf die Gelfand-Kirillov-Dimension. Ich hoffe, dass die hier vorgestellten Invarianten aus der kommutativen Algebra, homologischen Algebra und der algebraischen Geometrie Lust auf mehr machen. Die Anzahl der Variablen des Polynomrings hat nur als roter Faden gedient. Vielleicht fällt euch aber auch noch ein weiterer schöner Beweis ein?
 
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: Mathematik :: Algebra :: Algebraische Topologie :: Algebraische Geometrie :: Polynome :: Reine Mathematik :
Die Anzahl der Variablen eines Polynomrings [von Martin_Infinite]  
In diesem Artikel werden wir 9 Beweise dafür präsentieren, dass die Anzahl der Variablen eines Polynomrings eindeutig bestimmt ist. Das heißt, wenn K[X_1,...,X_n] und K[X_1,...,X_m] als K-Algebren isomorph sind, dann ist n=m.
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" Mathematik: Die Anzahl der Variablen eines Polynomrings" | 9 Kommentare
 
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Re: Die Anzahl der Variablen eines Polynomrings
von Ex_Mitglied_40174 am So. 14. April 2013 14:24:57

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Eine kurze Frage: Du schreibst
"Wie bei 6. reduzieren wir auf den Fall, dass <math>K</math> eine endlich-erzeugte Körpererweiterung von <math>\mathds{Q}</math> ist. Dann lässt sich <math>K</math> aber in <math>\mathds{R}</math> einbetten, weil der Transzendenzgrad von <math>\mathds{R}/\mathds{Q}</math> aus Kardinalitätsgründen unendlich ist."
Das verstehe ich nicht. Wie kann man beispielsweise den Körper <math>K=\mathds{Q}(i)</math>, über dem das Polynom <math>X^2+1</math> reduzibel ist, in <math>\mathds{R}</math> einbetten, wo das Polynom irreduzibel ist?
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Re: Die Anzahl der Variablen eines Polynomrings
von Martin_Infinite am So. 14. April 2013 15:19:06

\(\begingroup\)
Oh ja das ist Unsinn. Ich meinte eigentlich <math>\mathds{C}</math> (so war es auch in der ersten Fassung). Ich werde es ändern.\(\endgroup\)

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Re: Die Anzahl der Variablen eines Polynomrings
von Ex_Mitglied_40174 am So. 14. April 2013 15:22:09

\(\begingroup\)
Ok, danke für die Rückmeldung. Der Artikel hat mir übrigens gut gefallen smile
\(\endgroup\)

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Re: Die Anzahl der Variablen eines Polynomrings
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 15. April 2013 11:18:09

\(\begingroup\)
Kann man irgendwie die universelle Eigenschaft des Polynomrings für einen Beweis verwenden?\(\endgroup\)

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Re: Die Anzahl der Variablen eines Polynomrings
von Gockel am Mo. 15. April 2013 13:42:26

\(\begingroup\)
Hi.

In Beweis 6 ist das gemacht worden, um die Anzahl der Homomorphismen zu zählen.

mfg Gockel.\(\endgroup\)

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Re: Die Anzahl der Variablen eines Polynomrings
von Martin_Infinite am Mo. 15. April 2013 16:20:57

\(\begingroup\)
Das ist eine gute Frage. Es ist ja <math>R[X_1,\dotsc,X_n]</math> die freie kommutative <math>R</math>-Algebra auf <math>n</math> Erzeugern. Es kann aber keinen totalen abstract-nonsense Beweis geben, der für freie Objekte in anderen algebraischen Kategorien genauso funktionieren würde (siehe A4).

Wenn man die universelle Eigenschaft anwendet, bekommt man aus der Isomorphie der Polynomalgebren in <math>n</math> bzw. <math>m</math> Erzeugern, dass es eine natürliche Bijektion <math>|A|^n \to |A|^m</math> gibt, wobei <math>A</math> sämtliche <math>R</math>-Algebren durchläuft und <math>|A|</math> deren unterliegende Menge kennzeichnet. Sobald es also eine nichttriviale endliche <math>R</math>-Algebra gibt, dann ist man fertig, einfach durch Zählen der Elemente. Das wird im 6. Beweis gemacht. Der allgemeine Fall wird mit Standardmethoden auf den Fall reduziert, dass <math>R</math> endlich ist, und dann kann man <math>R</math> selbst als Beispiel nehmen.

Im allgemeinen Fall hat man einfach zwei Funktoren <math>\mathsf{Alg}(R) \to \mathsf{Set}</math>, die isomorph sind. Daraus folgt aber auch erst einmal rein gar nichts, wenn man diesen Funktoren keine Invarianten zuordnen kann. Das passiert aber genau in der algebraischen Geometrie. Die Kategorie der <math>R</math>-Schemata ist eine gewisse volle Unterkategorie dieser Funktoren (sie müssen Zariski-Garben und lokal darstellbar sein), und deren Objekte lassen sich geometrisch verstehen. Das ist eigentlich der ganze Punkt bei den algebraisch-geometrisch angehauchten Beweisen 4 und 5.

Der Tangentialraum eines Funktors <math>F : \mathsf{Alg}(R) \to \mathsf{Set}</math> an einem Punkt <math>s \in F(A)</math> ist definiert durch

<math>T_s(F) := F(A[\varepsilon]/(\varepsilon^2) \xrightarrow{\varepsilon \mapsto 0} A)^{-1}(\{s\}).</math>

Er besteht also aus den infinitesimalen Ausbreitungen des Punktes <math>s</math>, und ist zunächst einmal nur eine Menge, kann aber tatsächlich kanonisch zu einem <math>R</math>-Modul gemacht werden (jedenfalls wenn <math>F</math> die sog. Schlessinger-Bedingungen erfüllt). Für den durch <math>R[X_1,\dotsc,X_n]</math> dargestellten Funktor <math>\mathds{A}^n_R</math>, also <math>A \mapsto |A|^n</math>, ist der Tangentialraum bei jedem Punkt <math>s \in |A|^n</math> frei vom Rang <math>n</math>. Die Basis besteht aus den "Richtungsableitungen" <math>\frac{\partial}{\partial x_i}|_s= (s_1,\dotsc,s_i+ \varepsilon,\dotsc,s_n)</math>. Wenn man das elementar hinschreibt, bekommt man gerade die Beweise 4 bzw. 5.\(\endgroup\)

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Re: Die Anzahl der Variablen eines Polynomrings
von reneeeee am So. 05. Mai 2013 01:25:04

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ähnlich zu 4 aber:
ein iso. f: K[x_1 , ... x_n] -> K[x_1 , ... , x_m] würde (x_1 , ... ,x_n) auf (x_1 - a_1 , ... , x_m - a_m) schicken.
Mit einem Gradargument sieht man aber,dass (x_1 - a_1 , ... , x_m - a_m) als Mindesterzeugendenzahl m hat.(was eine invariante ist)\(\endgroup\)

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Re: Die Anzahl der Variablen eines Polynomrings
von Martin_Infinite am So. 05. Mai 2013 09:13:01

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Ich sehe gerade nicht, wie man ohne großen Aufwand zeigen kann, dass die Mindestzahl der Erzeuger genau n ist. Aber dagegen ist es viel sinnvoller, noch das Quadrat des maximalen Ideals herauszuteilen, weil man dann einen K-Vektorraum hat, und man die Dimension leichter ausrechnen kann. Genau das ist dann der Beweis von 4. Man vereinfacht das Objekt, bevor man die Erzeugerzahl misst.\(\endgroup\)

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Re: Die Anzahl der Variablen eines Polynomrings
von reneeeee am So. 05. Mai 2013 09:57:30

\(\begingroup\)
Ja,der Beweis von 4. ist eleganter aber es geht auch direkt(wenn man vllt nicht die idee von 4. hat):
Wenn man für (x_1 , ... , x_n) andere Erzeuger y_1 , ... , y_m hat(also polynome in x_i ),dann kann man :
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