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Mathematik: Konzepte der Gruppentheorie
Freigegeben von matroid am Mi. 26. Februar 2014 08:28:51
Verfasst von Martin_Infinite -   4689 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Konzepte der Gruppentheorie

Über die Grundlagen der Gruppentheorie gibt es eigentlich nichts Neues mehr zu schreiben. Auch auf dem Matheplaneten gibt es bereits die mehrteilige Gruppenzwang-Reihe von Gockel (aktuell fortgeführt durch eine Reihe über die tiefliegende Klassifikation der einfachen Gruppen). In diesem Artikel stelle ich aber einen etwas anderen Zugang vor.

Das, was in den meisten Büchern als Definition verkauft wird, ist oft in Wahrheit eine Charakterisierung. Die Eigenschaften, die normalerweise aus einer sparsamen "Definition" gefolgert werden, gehören eigentlich zur Definition dazu (etwa dass die inversen Elemente beidseitig sind). Ich werde das begründen. Darüber hinaus stelle ich Quotientengruppen nicht als Mengen von Restklassen dar, sondern als Lösungen eines universellen Problems. Das motiviert sich einfach dadurch, dass Quotientengruppen wirklich genau dafür benutzt werden. Der Homomorphiesatz, nicht die explizite Konstruktion der Elemente, macht das Arbeiten mit Quotientengruppen erst möglich.

Trotz der Abstraktion ist der Artikel elementar und hoffentlich leicht verständlich. Er richtet sich nicht nur an Studenten, sondern vor allem an alle, die sich für die Didaktik der Mathematik interessieren.
 
Die Gruppentheorie steht hier übrigens stellvertretend für viele weitere mathematische Disziplinen, deren Konzepte in vielen Darstellungen durch ad-hoc Lösungen meiner Meinung nach nicht richtig zur Geltung kommen. Ein allgemeiner Artikel über konzeptionelle Mathematik ist schon in Planung.


Inhalt

1. Was ist eine Gruppe?
2. Was ist ein Homomorphismus?
3. Was ist eine Untergruppe?
4. Was ist eine Quotientengruppe?
5. Eine neue Sichtweise auf Untergruppen
6. Bemerkungen zur Didaktik
7. Schluss

1. Was ist eine Gruppe?

Der Gruppenbegriff motiviert sich aus konkreten Beispielen. Schauen wir uns einmal den folgenden Würfel an:



Um die Rotationssymmetrien dieses Würfels zu beschreiben, betrachten wir Bewegungen, die den Würfel invariant lassen. Zum Beispiel können wir den Würfel (von vorne betrachtet) um 90° oder 180° nach links oder rechts drehen. Ebenso können wir ihn nach vorne oder nach hinten kippen, sowie seitlich nach links oder rechts kippen, jeweils um 90° oder 180°. Wir können diese Bewegungen auch hintereinander ausführen, zum Beispiel erst um 90° nach oben und dann um 90° nach rechts drehen. Außerdem können wir jede Bewegung auch rückgängig machen: Wenn wir etwa um 90° nach rechts gedreht haben, können wir danach um 90° nach links, oder äquivalent weiter um 270° nach rechts drehen, um wieder die ursprüngliche Lage des Würfels herzustellen. Außerdem gibt es noch eine Art "leere" Bewegung, die den Würfel unverändert lässt. Wenn wir diese hinter (oder vor) einer anderen Bewegung ausführen, besitzt sie keinen Einfluss auf die schon gemachte Bewegung.

Eine weitere Beobachtung ist: Wenn wir mehrere, zum Beispiel drei Bewegungen hintereinander ausführen, so kommt es nicht darauf an, wie wir sie gruppieren: Wenn wir den Würfel etwa erst um 90° nach links drehen, und dann die zusammengesetzte Bewegung (erst 90° nach hinten kippen und dann 90° nach rechts drehen) ausführen, so ist dies dasselbe, wenn wir erst die zusammengesetzte Bewegung (erst um 90° nach links drehen, dann um 90° nach hinten kippen) ausführen und schließlich um 90° nach rechts drehen. Damit ist nicht gemeint, dass wir die Reihenfolge von zwei Bewegungen austauschen können. Wenn wir etwa erst um 90° nach rechts und dann um 90° nach hinten drehen, so ist dies offenbar nicht dasselbe, als wenn man erst um 90° nach hinten und danach um 90° nach rechts dreht.
 
Wenn wir uns anstelle des Würfels irgendein anderes räumliches geometrisches Objekt hernehmen, so können wir die Menge der Bewegungen genauso mit einer Zusatzstruktur versehen. Zu je zwei Bewegungen <math>A,B</math> haben wir eine neue Bewegung <math>A \circ B</math>. Auf die Gruppierung kommt es nicht an, es gilt <math>A \circ (B \circ C) = (A \circ B) \circ C</math> für je drei Bewegungen <math>A,B,C</math>. Es gibt eine "leere" Bewegung <math>1</math> mit <math>A \circ 1 = 1 \circ A = A</math> und schließlich können wir jede Bewegung <math>A</math> zu einer Bewegung <math>A^{-1}</math> umkehren, sodass also <math>A \circ A^{-1} = A^{-1} \circ A = 1</math> gilt.

Doch diese Rechenregeln kommen uns doch bekannt vor! Je zwei positive reelle Zahlen können wir miteinander multiplizieren, <math>(a,b) \mapsto a * b</math>. Es kommt auf die Gruppierung nicht an: <math>a * (b * c) = (a * b) * c</math>. Die Zahl <math>1</math> tut bei der Multiplikation nichts: <math>a * 1 = 1 * a = a</math>. Und schließlich gibt es inverse Elemente, welche die Multiplikation rückwärts machen: <math>a * a^{-1} = a^{-1} * a = 1</math>.

Es gibt etliche Beispiele, die genauso funktionieren. Der Gruppenbegriff fasst alle diese Beispiele zu einem einzigen Begriff zusammen. Der Vorteil ist unter anderem, dass wir jede allgemeine Einsicht über Gruppen auf konkrete Beispiele von Gruppen anwenden können.
 
Definition einer Gruppe. Eine Gruppe ist ein Tupel <math>G = (|G|,\circ,1,i)</math> bestehend aus
 
- einer Menge <math>|G|</math>,
- einer Verknüpfung <math>\circ : |G| \times |G| \to |G|</math>, <math>(a,b) \mapsto a \circ b</math>,
- einem Element <math>1 \in |G|</math>,
- und einer Abbildung <math>i : |G| \to |G|</math>, notiert mit <math>i(a)=a^{-1}</math>.
 
Dabei sollen die folgenden drei Gruppenaxiome gelten:
 
1. Die Verknüpfung ist assoziativ: Für alle <math>a,b,c \in |G|</math> gilt <math>a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c</math>.
2. Es ist <math>1</math> neutral bezüglich <math>\circ</math>: Für alle <math>a \in |G|</math> gilt <math>a \circ 1 = 1 \circ a = a</math>.
3. Es ist <math>i</math> eine Inversenabbildung für <math>\circ</math>: Für alle <math>a \in |G|</math> gilt <math>a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = 1</math>.

Es heißt <math>G</math> kommutativ (oder Abelsch), wenn <math>a \circ b = b \circ a</math> für alle <math>a,b \in |G|</math> gilt.
 
Die Ordnung <math>\mathrm{ord}(G):= \# |G|</math> ist die Anzahl der Elemente von <math>|G|</math>.
 
Beispiele für Gruppen. Wir haben bereits gesehen, dass die Bewegungen, die ein räumliches geometrisches Objekt invariant lassen, eine Gruppe bilden. Diese ist in der Regel nicht kommutativ. Es ist <math>(\mathds{R}^+,*,1,(-)^{-1})</math> eine kommutative Gruppe. Ein weiteres Beispiel ist <math>(\mathds{R},+,0,-)</math>, denn für reelle Zahlen <math>a,b,c</math> gelten bekanntlich die Rechenregeln <math>a+(b+c)=(a+b)+c</math>, <math>a+0=0+a=a</math> und <math>a+(-a)=(-a)+a=0</math> sowie <math>a+b=b+a</math>. Im letzten Beispiel können wir anstelle von <math>\mathds{R}</math> auch <math>\mathds{Z}</math> nehmen.
 
Ein etwas abstraktes Beispiel ist die kommutative Gruppe <math>\mathds{Z}/2\mathds{Z} := (\{g,u\},+,g,\mathrm{id})</math> der Ordnung <math>2</math>, wobei wir uns <math>g</math> als "gerade" und <math>u</math> als "ungerade" vorstellen und entsprechend <math>g+g:=g</math>, <math>g+u:=u+g:=u</math>, <math>u+u:=g</math> definieren. Man kann direkt nachrechnen, dass die Gruppenaxiome erfüllt sind. Das wird sich aber auch aus der Theorie in Abschnitt 4 ergeben, wo wir allgemeiner <math>\mathds{Z}/n\mathds{Z}</math> studieren. An dieser Stelle schon einmal das aus dem Alltag bekannte Beispiel <math>n=12</math>: Wenn wir auf die analoge Uhr schauen und es 11 Uhr ist, was zeigt die Uhr dann in 3 Stunden an? Nicht 14, sondern 2 Uhr. Die Menge der Stunden können wir mit einer Gruppenstruktur versehen, in der also zum Beispiel <math>11 + 3 = 2</math>, <math>5+7=0=12</math> gilt. Das <math>+</math> ist hier ein abstraktes Symbol, welches also nicht mehr mit Addition gewöhnlicher Zahlen übereinstimmt.
 
Gegenbeispiele. Für das Verständnis sind auch Gegenbeispiele hilfreich. Betrachten wir etwa die Menge der natürlichen Zahlen <math>\mathds{N}</math> zusammen mit ihrer üblichen Addition und der Null, so existiert keine Inversenabbildung, und wir erhalten daher keine Gruppe. Es ist übrigens möglich, dass alle Gruppenaxiome bis auf das Assoziativgesetz erfüllt sind. Ein einfaches Beispiel ist <math>\{0,1,2\}</math> mit dem neutralen Element <math>0</math> und der Verknüpfung <math>1+2:=1</math>, <math>2+1:=2</math> sowie <math>x+x:=0</math> für <math>x \in \{0,1,2\}</math>. Hier ist <math>1+(2 + 1)=1 \neq 0 = (1+2) + 1</math>.
 
Notation. Was die Notation angeht, unterscheiden viele Quellen nicht zwischen der Gruppe <math>G</math> und ihrer unterliegenden Menge <math>|G|</math>. Es gibt aber einen fundamentalen Unterschied zwischen diesen beiden Objekten: Wogegen <math>|G|</math> lediglich eine Menge ohne Zusatzstruktur ist, ist <math>G</math> eine Gruppe und besitzt somit insbesondere eine Verknüpfung, und so weiter. Beachte auch, dass es viele Gruppen mit derselben unterliegenden Menge gibt. Was man allerdings ohne große Probleme machen kann, ist <math>(|G|,\circ,1,i)</math> mit <math>(|G|,\circ)</math> abzukürzen, weil nämlich <math>1</math> und <math>i</math> schon eindeutig bestimmt sind:

Lemma 1 (Eindeutigkeit von <math>1</math> und <math>i</math>). Es sei <math>G</math> eine Gruppe.

(1) Ist <math>1' \in |G|</math> mit <math>a \circ 1' = a</math> für alle <math>a \in |G|</math>, so ist <math>1'=1</math>.

(2) Sind <math>a,b \in |G|</math> mit <math>a \circ b = 1</math>, so ist <math>b = a^{-1}</math>.

Also sind <math>1</math> und <math>i</math> eindeutig durch <math>(|G|,\circ)</math> bestimmt.
 
Beweis. (1) Es ist <math>1 = 1 \circ 1' = 1'</math>. (2) Es ist <math>a^{-1} = a^{-1} \circ 1 = a^{-1} \circ (a \circ b) = (a^{-1} \circ a) \circ b = 1 \circ b = b</math>. QED
 
Einige der Gruppenaxiome ergeben sich aus den anderen:
 
Lemma 2 (Charakterisierung von Gruppen). Es sei <math>|G|</math> eine Menge, <math>\circ</math> eine assoziative Verknüpfung auf <math>|G|</math> und <math>1 \in |G|</math> ein Element mit <math>a \circ 1 = a</math> für alle <math>a \in |G|</math>. Außerdem gebe es für alle <math>a \in |G|</math> ein <math>b \in |G|</math> mit <math>a \circ b = 1</math>. Dann ist <math>i(a):=b </math> eindeutig durch <math>a</math> bestimmt, und <math>(|G|,\circ,1,i)</math> ist eine Gruppe.

Beweis. Zunächst zeigen wir eine Kürzungsregel: Aus <math>c \circ a = c' \circ a</math> folgt <math>c=c'</math>. Wir können nämlich ein <math>b</math> wählen mit <math>a \circ b = 1</math>, dann auf beiden Seiten von rechts mit <math>b</math> multiplizieren und erhalten mit Hilfe der Assoziativität <math>c \circ 1 = c' \circ 1</math>, also <math>c = c'</math>.

Nun sei <math>a \in |G|</math> und wähle ein <math>b \in |G|</math> mit <math>a \circ b = 1</math>. Es folgt <math>(1 \circ a) \circ b = 1 \circ (a \circ b) = 1 \circ 1 = 1 = a \circ b</math>, also nach der Kürzungsregel <math>1 \circ a = a</math>. Weiter folgt <math>(b \circ a) \circ b = b \circ (a \circ b) = b \circ 1 = b = 1 \circ b</math>, also nach der Kürzungsregel <math>b \circ a = 1</math>. Dass <math>b</math> eindeutig bestimmt ist, haben wir im Beweis von Lemma 1 gesehen. QED
 
Es gibt sehr viele Konstruktionen, mit denen man aus einer Menge von Gruppen eine neue Gruppe basteln kann. Hier ein Beispiel:

Produkte von Gruppen. Es seien <math>G=(|G|,\circ,1,i),~G'=(|G'|,\circ',1',i')</math> zwei Gruppen. Das Produkt von <math>G</math> mit <math>G'</math> ist definiert durch <math>G \times G' := (|G| \times |G'|,*,(1,1'),i \times i')</math>, wobei <math>(i \times i')(a,a'):=(i(a),i'(a'))</math> und <math>(a,a') * (b,b') := (a \circ b,a' \circ' b')</math>. Die Gruppenaxiome sind tatsächlich erfüllt (Übung).
 
Abuse of Notation. Schließlich noch eine Bemerkung zur Notation: Weil es so viele Gruppen, und noch viel mehr andere algebraische Strukturen gibt, ist es unzweckmäßig, jeder Gruppe ein individuelles Verknüpfungssymbol zu geben, auch wenn das formal notwendig wäre. Man schreibt in der Regel bei nicht-kommutativen Gruppen die Verknüpfung als <math>\circ</math> oder <math>*</math> oder <math>\cdot</math> (oder gar nicht, d.h. man schreibt sogar <math>ab</math> für <math>a \circ b</math>), wogegen sie bei additiven Gruppen mit <math>+</math> notiert wird. Wenn man <math>+</math> benutzt, schreibt man auch in der Regel <math>0</math> für das neutrale Element und <math>-a</math> für das zu <math>a</math> inverse Element. In der Definition des Produktes von Gruppen könnten wir also auch einfach <math>*</math> sowohl für die Verknüpfung von <math>G,G'</math> als auch von <math>G \times G'</math> und dann <math>(a,a') * (b,b') := (a*b,a'*b')</math> schreiben. Trotzdem bedeutet das etwa für das Produkt von <math>(\mathbb{Z},+,0)</math> mit sich selbst, dass wir in <math>\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}</math> also <math>(a,b) + (a',b') = (a+a',b+b')</math> rechnen.

Aufgabe. Sei <math>G</math> eine Gruppe und <math>a,b \in |G|</math>. Zeige <math>(a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1}</math>. Veranschauliche diese Rechenregel für die Bewegungsgruppe des Würfels.

2. Was ist ein Homomorphismus?

Wie können wir zwei Gruppen miteinander vergleichen, oder allgemeiner irgendwie in eine Beziehung setzen? Nun wir wissen, dass wir Mengen mit Hilfe von Abbildungen in Beziehung setzen können. Jede Gruppe besitzt auch eine unterliegende Menge. Abbildungen zwischen diesen unterliegenden Mengen sind aber erst dann interessant, wenn sie mit den Gruppenstrukturen verträglich sind; bestehend aus Multiplikation, neutralem Element und inversen Elementen. Dies führt zum Begriff der strukturerhaltenden Abbildung, im Fachjargon Homomorphismus genannt:

Definition von Homomorphismen. Es seien <math>G,H</math> zwei Gruppen. Ein Homomorphismus <math>f : G \to H</math> ist eine Abbildung zwischen unterliegenden Mengen <math>f : |G| \to |H|</math>, sodass gilt:

1. <math>f(a \cdot b)=f(a) \cdot f(b)</math> für alle <math>a,b  \in |G|</math>
2. <math>f(1)=1</math>
3. <math>f(a^{-1})=f(a)^{-1}</math> für alle <math>a \in |G|</math>

Lemma 1 (Multiplikativität reicht). Es seien <math>G,H</math> zwei Gruppen und <math>f : |G| \to |H|</math> eine Abbildung, sodass 1. oben erfüllt ist (man sagt auch, dass <math>f</math> multiplikativ ist). Dann folgen bereits 2. und 3., das heißt <math>f : G \to H</math> ist ein Homomorphismus.

Beweis. Es gilt <math>f(1) \cdot 1 = f(1) = f(1 \cdot 1) = f(1) \cdot f(1)</math>, nach Kürzen von <math>f(1)</math> also <math>1 = f(1)</math>. Für <math>a \in |G|</math> gilt <math>f(a) \cdot f(a^{-1}) = f(a \cdot a^{-1})=f(1)=1</math> und damit <math>f(a^{-1}) = f(a)^{-1}</math>. QED

Beispiele. Für <math>x,y \in \mathds{C}</math> gilt <math>e^{x+y}=e^x \cdot e^y</math>. Daher ist die Exponentialfunktion ein Homomorphismus <math>\exp : (\mathds{C},+,0) \to (\mathds{C}^*,*,1)</math>. Für jede Gruppe <math>G</math> haben wir zwei kanonische Homomorphismen <math>G \to G</math>, nämlich die Identität <math>\id : G \to G,~ a \mapsto a</math> sowie den trivialen Homomorphismus <math>1 : G \to G,~ a \mapsto 1</math>. Die Inversenabbildung <math>i : |G| \to |G|</math> ist hingegen genau dann ein Homomorphismus, wenn <math>G</math> kommutativ ist (Übung).
 
Lemma 2 (Komposition). Es seien <math>G,H,K</math> drei Gruppen. Sind <math>f : G \to H</math> und <math>g : H \to K</math> zwei Homomorphismen, so ist auch die Komposition <math>g \circ f  : G \to K</math> (definiert durch <math>(g \circ f)(a)=g(f(a))</math>) ein Homomorphismus.

Der Beweis schreibt sich ohne Probleme hin, man muss lediglich die Definitionen einsetzen.
 
Isomorphismen. Ein Homomorphismus <math>f : G \to H</math> heißt Isomorphismus, falls es einen Homomorphismus <math>g : H \to G</math> gibt mit <math>f \circ g = \mathrm{id}_H</math> und <math>g \circ f = \mathrm{id}_G</math>. Falls es einen solchen Isomorphismus gibt, nennen wir <math>G</math> und <math>H</math> isomorph (strukturgleich) und schreiben <math>G \cong H</math>. Es heißt <math>g</math> der zu <math>f</math> inverse Homomorphismus (dieser ist eindeutig bestimmt).
 
Generell gilt, dass isomorphe Gruppen "dieselbe" Struktur besitzen. Jede gruppentheoretische Eigenschaft, die auf eine Gruppe zutrifft, wird auch von jeder dazu isomorphen Gruppe erfüllt. Ein Beispiel dafür ist die Kommutativität. Ein weiteres Beispiel ist die Eigenschaft, dass jedes Element ein Quadrat ist, also <math>\forall x \in |G| \exists y \in |G| : x = y^2</math> mit <math>y^2 := y \cdot y</math>.
 
Beispiel. Die Exponentialfunktion ist ein Homomorphismus <math>\exp : (\mathds{R},+,0) \to (\mathds{R}^+,*,1)</math>. Der Logarithmus liefert einen inversen Homomorphismus. Also sind <math>(\mathds{R},+,0)</math> und <math>(\mathds{R}^+,*,1)</math> isomorph. Hingegen sind <math>(\mathds{Q},+,0)</math> und <math>(\mathds{Q}^+,*,1)</math> nicht isomorph (Übung; benutze die oben genannte Eigenschaft).

Lemma 3 (Charakterisierung von Isomorphismen). Sei <math>f : G \to H</math> ein Homomorphismus. Genau dann ist <math>f</math> ein Isomorphismus, wenn <math>f : |G| \to |H|</math> bijektiv ist.

Beweis. Wenn <math>f</math> ein Isomorphismus ist, wähle <math>g</math> wie oben. Dann ist <math>f : |G|\to |H|</math> zu <math>g : |H| \to |G|</math> invers und daher <math>f</math> bijektiv. Sei umgekehrt <math>f : |G| \to |H|</math> bijektiv. Dann gibt es also eine inverse Abbildung <math>g : |H| \to |G|</math>. Wir müssen zeigen, dass <math>g</math> ein Homomorphismus ist. Zeigen wir dafür die Multiplikativität - der Rest ergibt sich analog (oder mit Lemma 1). Für <math>a,b \in |H|</math> gilt

<math>g(a \cdot b)=g(f(g(a)) \cdot f(g(b)))=g(f(g(a) \cdot g(b)))=g(a) \cdot g(b).</math> QED

Aufgabe. Finde eine Gruppe <math>G</math> mit genau drei Elementen. Zeige, dass je zwei solche Gruppen zueinander isomorph sind.

3. Was ist eine Untergruppe?

Definition einer Untergruppe. (vorläufig) Es sei <math>G</math> eine Gruppe. Eine Untergruppe von <math>G</math> ist eine Gruppe <math>H</math>, sodass gilt:
 
0. <math>|H| \subseteq |G|</math>
1. Die Verknüpfung von <math>H</math> ist die Einschränkung der Verknüpfung von <math>G</math>.
2. Das neutrale Element von <math>H</math> ist das neutrale Element von <math>G</math>.
3. Die Inversenabbildung von <math>H</math> ist die Einschränkung derjenigen von <math>G</math>.

Wir schreiben dann <math>H \subseteq G</math>. Wir betonen, dass Untergruppen per Definition also auch Gruppen sind. Beachte außerdem, dass 1.-3. ganz einfach so zusammengefasst werden können: Die Inklusionsabbildung <math>|H| \hookrightarrow |G|</math> ist ein Homomorphismus <math>H \to G</math> von Gruppen. Aus Lemma 1 in Abschnitt 2 ergibt sich daher, dass sich 2. und 3. bereits aus 1. ergeben. Wenn wir allerdings eine Teilmenge von <math>|G|</math> mit einer Untergruppenstruktur versehen wollen, bietet sich das folgende Kriterium an (bei dem auf 2. und 3. nicht verzichtet werden kann):
 
Untergruppenkriterium. Es sei <math>G=(|G|,\circ,1,i)</math> eine Gruppe und <math>|H| \subseteq |G|</math> eine Teilmenge mit den folgenden Eigenschaften:

1. Für <math>a,b \in |H|</math> gilt <math>a \circ b \in |H|</math>.
2. <math>1 \in |H|</math>
3. Für alle <math>a \in |H|</math> gilt <math>a^{-1} \in |H|</math>.

Dann können wir also <math>\circ,1,i</math> auf <math>H</math> einschränken und <math>H:=(|H|,\circ,1,i)</math> ist eine Gruppe, und zwar eine Untergruppe von <math>G</math>.
 
Beweis. Die Assoziativität von <math>\circ</math> auf <math>H</math> wird von der auf <math>G</math> vererbt. Der Rest der Gruppenaxiome ergibt sich sofort aus 1.-3 und denjenigen von <math>G</math>. QED

Beispiele. Jede Gruppe besitzt die triviale Untergruppe, die nur aus der <math>1</math> besteht. Ebenso ist jede Gruppe zugleich Untergruppe von sich selbst. Es ist <math>(\mathds{R}^+,*)</math> eine Untergruppe von <math>(\mathds{R}^*,*)</math>. Es gibt allgemeine Konstruktionen für Untergruppen aus Homomorphismen:
 
Bilder. Es sei <math>\phi : G \to G'</math> ein Homomorphismus. Dann erfüllt die Teilmenge <math>\{\phi(g) : g \in |G|\}</math> von <math>|G'|</math> das Untergruppenkriterium (Übung), ist also die unterliegende Menge einer Untergruppe von <math>G'</math>. Diese Untergruppe heißt das Bild von <math>\phi</math> und wird mit <math>\mathrm{Bild}(\phi)</math> bezeichnet.

Zum Beispiel ist für jede ganze Zahl <math>n</math> die Abbildung <math>(\mathds{Z},+) \to (\mathds{Z},+), x \mapsto n \cdot x</math> ein Homomorphismus, daher ist das Bild <math>(n \cdot \mathbb{Z},+)</math> eine Untergruppe von <math>(\mathbb{Z},+)</math>. Für <math>n=2</math> erhalten wir die Untergruppe der geraden Zahlen. Die ungeraden Zahlen bilden keine Untergruppe (die <math>0</math> ist nicht enthalten).
 
Kerne. Es sei <math>\phi : G \to G'</math> ein Homomorphismus. Dann erfüllt die Teilmenge <math>\{g \in |G| : \phi(g)=1\}</math> das Untergruppenkriterium (Übung), ist also die unterliegende Menge einer Untergruppe von <math>G</math>. Diese Untergruppe heißt der Kern von <math>\phi</math> und wird mit <math>\mathrm{Kern}(\phi)</math> bezeichnet. Der Kern besteht aus den Elementen, die von dem Homomorphismus auf das neutrale Element geschickt werden.
 
Lemma (Kriterium für Injektivität). Der Kern eines Homomorphismus <math>\phi</math> ist genau dann die triviale Untergruppe, wenn <math>\phi</math> injektiv ist.

Beweis. Die Gleichung <math>\phi(a)=\phi(b)</math> ist zu <math>b \circ a^{-1} \in |\mathrm{Kern}(\phi)|</math> äquivalent. Also ist <math>\phi(a)=\phi(b) \Rightarrow a=b</math> äquivalent zu <math>b \circ a^{-1} \in |\mathrm{Kern}(\phi)| \Rightarrow b \circ a^{-1}=1</math>. Daraus folgt die Behauptung. QED

Der Kern besitzt eine besondere Eigenschaft: Wenn <math>\phi</math> wie oben, <math>g \in |G|</math> und <math>a \in |\mathrm{Kern}(\phi)|</math>, so ist <math>g \circ a \circ g^{-1} \in |\mathrm{Kern}(\phi)|</math>. Denn es gilt

<math>\phi(g \circ a \circ g^{-1}) = \phi(g) \circ \phi(a) \circ \phi(g^{-1}) = \phi(g) \circ 1 \circ \phi(g)^{-1} = \phi(g) \circ \phi(g)^{-1} = 1.</math>
 
Untergruppen mit dieser Eigenschaft verdienen einen eigenen Namen:

Normalteiler. Eine Untergruppe <math>H</math> einer Gruppe <math>G</math> heißt Normalteiler, wenn <math>g \circ a \circ g^{-1} \in |H|</math> für alle <math>g \in |G|</math> und <math>a \in |H|</math> gilt.
 
Beispiele. In kommutativen Gruppen ist jede Untergruppe ein Normalteiler, in beliebigen Gruppen ist das nicht unbedingt der Fall. In der Bewegungsgruppe des Würfels etwa bilden die Drehungen nach links/rechts eine Untergruppe, welche kein Normalteiler ist: Wenn wir etwa erst nach hinten, dann nach links, dann nach vorne drehen, so ist die ursprüngliche Grundseite nach links gewandert, d.h. wir haben keine Drehung nach links/rechts ausgeführt. Es gibt aber einen Normalteiler, z.B. bestehend aus den Drehungen, welche jede Fläche nur mit der gegenüberliegenden Fläche vertauschen (oder festlassen).
 
Aufgabe. Zeige, dass jede Untergruppe <math>(\mathds{Z},+)</math> die Form <math>(n \cdot \mathds{Z},+)</math> für ein (eindeutiges) <math>n \in \mathds{N}</math> besitzt. Tipp: Wenn <math>H</math> eine nichttriviale Untergruppe ist, sei <math>n \in \mathds{N}^+</math> das kleinste Element von <math>|H| \cap \mathds{N}^+</math>. Zeige per Division mit Rest, dass <math>|H| = n \cdot \mathds{Z}</math>.

4. Was ist eine Quotientengruppe?

Wir haben gesehen, dass jeder Kern ein Normalteiler ist. Gilt auch die Umkehrung? Das heißt finden wir für jeden Normalteiler <math>N</math> von <math>G</math> einen Homomorphismus <math>p : G \to G'</math> mit <math>\mathrm{Kern}(p)=N</math>? Das bedeutet, dass <math>p</math> genau die Elemente von <math>|N|</math> "frisst".

Wir können <math>p</math> auch als einen surjektiven Homomorphismus <math>p : G \to \mathrm{Bild}(p)</math> auffassen, der Kern ändert sich dabei nicht. Wir können daher annehmen, dass <math>p</math> surjektiv ist. Nun angenommen es gibt einen surjektiven Homomorphismus <math>p : G \to G'</math> mit Kern <math>N</math>. Das legt <math>G'</math> eigentlich schon fest: Jedes Element von <math>|G'|</math> hat die Form <math>p(a)</math> für ein <math>a \in |G|</math>. Die Verknüpfung ist durch <math>p(a) \circ p(b) = p(a \circ b)</math> gegeben. Wann sind zwei Elemente gleich, d.h. wann gilt <math>p(a) = p(b)</math>? Nun das ist (indem man mit <math>p(b)^{-1}</math> multipliziert) genau dann der Fall, wenn <math>a \circ b^{-1}</math> im Kern von <math>p</math> liegt, also <math>a \circ b^{-1} \in |N|</math>.

Nun sehen wir aber auch umgekehrt, wie wir ein <math>p : G \to G'</math> konstruieren können (ja sogar müssen): Wir definieren auf <math>|G|</math> die folgende Äquivalenzrelation <math>\sim</math>. Es gelte <math>a \sim b</math>, wenn <math>a \circ b^{-1} \in |N|</math>. Es ist tatsächlich eine Äquivalenzrelation (Übung).
 
Es sei <math>|G'|</math> die Menge der Äquivalenzklassen. Wir definieren die Verknüpfung <math>[a] \circ [b] := [a \circ b]</math>. Diese ist wohldefiniert: Aus <math>[a]=[a']</math> und <math>[b]=[b']</math> folgt <math>a \circ a'^{-1} \in |N|</math> und <math>b \circ b'^{-1} \in |N|</math>. Weil <math>N</math> ein Normalteiler ist, gilt <math>a' \circ (b \circ b'^{-1}) \circ a'^{-1} \in |N|</math>. Es folgt

<math>(a \circ b) \circ (a' \circ b')^{-1} = (a \circ a'^{-1}) \circ \bigl(a' \circ (b \circ b'^{-1}) \circ a'^{-1}\bigr) \in |N| \circ |N| \subseteq |N|.</math>

Damit ist <math>[a \circ b] = [a' \circ b']</math> gezeigt.
 
Weiter definieren wir <math>1 := [1]</math> und <math>[a]^{-1} := [a^{-1}]</math>. Es ist klar, dass <math>G' := (|G'|,\circ,1,i)</math> damit zu einer Gruppe wird, die Gruppenaxiome werden direkt von <math>G</math> vererbt. Zum Beispiel zur Assoziativität: Nach Definition gilt <math>[a] \circ ([b] \circ [c]) = [a] \circ [b \circ c] = [a \circ (b \circ c)]</math> und entsprechend nach Definition <math>([a] \circ [b]) \circ [c] = [(a \circ b) \circ c]</math>. Diese Ausdrücke stimmen überein, weil die Verknüpfung von <math>G</math> assoziativ ist.

Es ist <math>G \to G',~ a \mapsto [a]</math> nach Konstruktion ein surjektiver Homomorphismus. Ein Element <math>a \in |G|</math> liegt genau dann im Kern, wenn <math>[a]=[1]</math>, d.h. <math>a = a \circ 1^{-1} \in |N|</math>.
 
Wir haben damit unser Ziel erreicht! Wir haben für jeden Normalteiler einen surjektiven Homomorphismus gefunden, dessen Kern der Normalteiler ist. Geben wir solchen Homomorphismen einen Namen:

Definition einer Quotientengruppe. Es sei <math>G</math> eine Gruppe und <math>N</math> ein Normalteiler von <math>G</math>. Eine Quotientengruppe von <math>G</math> nach <math>N</math> ist eine Gruppe <math>Q</math> zusammen mit einem surjektiven Homomorphismus <math>p : G \to Q</math> mit <math>\mathrm{Kern}(p)=N</math>.
 
Wir haben die Existenz von Quotientengruppen bereits gezeigt. Der folgende zentrale Satz liefert die Eindeutigkeit "bis auf Isomorphie".
 
Homomorphiesatz. Es sei <math>p : G \to Q</math> ein surjektiver Homomorphismus mit Kern <math>N</math>. Es sei <math>f : G \to H</math> ein weiterer Homomorphismus. Wenn <math>N \subseteq \mathrm{Kern}(f)</math>, so gibt es genau einen Homomorphismus <math>\tilde{f}: Q \to H</math> mit <math>\tilde{f} \circ p = f</math>. Zur Veranschaulichung das folgende Diagramm:

<math>\xymatrix{G \ar[rr]^{p} \ar[dr]_{f} && Q  \ar@{..>}[dl]^{\tilde{f}} \\ & H & }</math>

Außerdem gilt:

1. <math>\tilde{f}</math> ist injektiv genau dann, wenn <math>N = \mathrm{Kern}(f)</math>.
2. <math>\tilde{f}</math> ist surjektiv genau dann, wenn <math>f</math> surjektiv ist.
 
Insbesondere gilt: Wenn <math>p : G \to Q</math> und <math>p' : G \to Q'</math> zwei Quotientengruppen von <math>G</math> nach <math>N</math> sind, so gibt es genau einen Isomorphismus <math>\alpha : Q \to Q'</math> mit <math>\alpha \circ p = p'</math>.
 
Beweis. Wir müssen <math>\tilde{f}(p(a)):=f(a)</math> für <math>a \in |G|</math> definieren. Weil <math>p</math> surjektiv ist, legt das die Abbildung <math>\tilde{f} : |Q| \to |H|</math> schon fest. Die Wohldefiniertheit von <math>\tilde{f}</math> bedeutet <math>p(a)=p(b) \Rightarrow f(a)=f(b)</math>, welche man mit dem bereits bekannten Trick (multipliziere mit Inversen!) auf <math>p(a)=1 \Rightarrow f(a)=1</math>, also auf die Annahme <math>N \subseteq \mathrm{Kern}(f)</math> zurückführt. Es ist <math>\tilde{f}</math> ein Homomorphismus, denn je zwei Elemente von <math>|Q|</math> haben die Form <math>p(a),p(b)</math> mit Elementen <math>a,b</math> von <math>|G|</math>, und es gilt

<math>\tilde{f}(p(a) \circ p(b)) = \tilde{f}(p(a \circ b)) = f(a \circ b) = f(a) \circ f(b) = \tilde{f}(p(a)) \circ \tilde{f}(p(b)).</math>

In 1. stellen wir fest, dass <math>\tilde{f}</math> genau dann injektiv ist, wenn sogar <math>p(a) = p(b)</math> äquivalent zu <math>f(a)=f(b)</math> ist, was man wieder auf <math>p(a)=1 \Leftrightarrow f(a)=1</math> zurückführt, also <math>N = \mathrm{Kern}(f)</math>. Aus der Definition von <math>\tilde{f}</math> lesen wir <math>\mathrm{Bild}(\tilde{f})=\mathrm{Bild}(f)</math> und damit 2. ab. QED

Notation. Weil nun Quotientengruppen von <math>G</math> nach <math>N</math> bis auf eindeutige Isomorphie ("kanonisch") eindeutig sind, können wir sie problemlos gleich bezeichnen, und zwar mit

<math>p : G \to G/N.</math>

Mit <math>Q=G/N</math> ist also gemeint, dass <math>Q</math> eine Quotientengruppe von <math>G</math> nach <math>N</math> ist.
 
Zusammenfassung. Für jeden Normalteiler <math>N</math> einer Gruppe <math>G</math> gibt eine Gruppe <math>G/N</math> zusammen mit einem surjektiven Homomorphismus <math>p : G \to G/N</math>, dessen Kern genau <math>N</math> ist. Dieses Paar ist bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig. Der Homomorphiesatz ermöglicht es, Homomorphismen auf der Quotientengruppe <math>G/N</math> zu definieren: Wenn <math>G \to H</math> ein Homomorphismus ist, dessen Kern <math>N</math> enthält, so setzt er sich (eindeutig) zu einem Homomorphismus <math>G/N \to H</math> fort.

<math>\xymatrix{G \ar[rr]^{p} \ar[dr] && G/N  \ar@{..>}[dl] \\ & H & }</math>

Das sollte man sich unbedingt merken. Wie wir <math>G/N</math> konstruiert haben, spielt nun keine Rolle mehr! Aus der Definition ergibt sich, dass jedes Element von <math>|G/N|</math> die Form <math>p(a)</math> mit einem <math>a \in |G|</math> hat, wobei <math>p(a)=p(b)</math> zu <math>a \circ b^{-1} \in |N|</math> äquivalent ist. In der additiven Schreibweise ist das <math>a - b \in |N|</math>.
 
1. Isomorphiesatz. Es sei <math>f : G \to H</math> ein Homomorphismus von Gruppen. Dann ist <math>G/\mathrm{Kern}(f) = \mathrm{Bild}(f)</math>.
 
Beweis. Es ist <math>f : G \to \mathrm{Bild}(f)</math> ein surjektiver Homomorphismus mit Kern <math>\mathrm{Kern}(f)</math>. QED
 
Beispiel (Kreisgruppe). Es ist <math>(\mathds{Z},+)</math> ein Normalteiler von <math>(\mathds{R},+)</math>. Wie sieht die Quotientengruppe <math>p : (\mathds{R},+) \to (\mathds{R},+) / (\mathds{Z},+)</math> konkret aus? Nun, wir rechnen mit den reellen Zahlen wie üblich, schreiben sie aber als <math>p(r)</math>, und erzwingen <math>p(z) = 0</math> für alle <math>z \in \mathds{Z}</math>, und damit <math>p(r) = p(r) + p(z)</math> für alle <math>r \in \mathds{R}</math>. Das bedeutet aber, dass jede Zahl im Quotienten mit einer Zahl im Intervall <math>[0,1[</math> identifiziert wird (genauer: jedes Element hat die Form <math>p(r)</math> mit einem <math>r \in [0,1[</math>), und sobald eine Addition über dieses Intervall hinaus läuft, schieben wir das Ergebnis wieder mit Hilfe einer ganzen Zahl dahin zurück (etwa <math>0.5 + 0.7 = 0.2</math>). In der Tat beschreibt das eine Gruppenverknüpfung <math>+</math> auf der Menge <math>[0,1[</math>, und <math>(\mathds{R},+) \to ([0,1[,+)</math>, <math>r \mapsto r - \lfloor r \rfloor</math> ist ein surjektiver Homomorphismus mit Kern <math>(\mathds{Z},+)</math>. Also ist <math>(\mathds{R},+) / (\mathds{Z},+) = ([0,1[,+)</math>.
 
Es gibt noch eine viel schönere Möglichkeit, diesen Quotienten zu beschreiben: Wir "rollen" die reelle Zahlengerade zu einem Kreis der Länge <math>1</math> einfach auf. Dabei wird nämlich <math>r</math> mit <math>r+z</math> identifiziert (<math>r</math> reell, <math>z</math> ganzzahlig). Wir betrachten also die Kreisgruppe <math>\mathds{T} := (S^1,*)</math>, welche die Untergruppe von <math>(\mathds{C}^*,*)</math> mit <math>S^1:=\{z \in \mathds{C}^* : |z|=1\}</math> ist. Es ist dann <math>(\mathds{R},+) \to (\mathds{C}^*,*), r \mapsto e^{2 \pi i r} = \cos(2 \pi r) + i \sin(2 \pi r)</math> ein Homomorphismus mit Kern <math>(\mathds{Z},+)</math> und Bild <math>\mathds{T}</math>. Folglich ist ist <math>(\mathds{R},+) / (\mathds{Z},+) = \mathds{T}</math>.



Beispiel (zyklische Gruppen). Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie eine Quotientengruppe von <math>\mathds{Z}</math> ist (wir lassen die Verknüpfung <math>+</math> einmal weg, um die Notation zu vereinfachen). Nach der Aufgabe in Abschnitt 3 ist sie also <math>\mathds{Z}/n\mathds{Z}</math> für ein <math>n \in \mathds{N}</math>. Für <math>n=0</math> erhalten wir einfach <math>\mathds{Z}</math>. Sei <math>n>0</math>. Wir haben dann in der Quotientengruppe die (Bilder der) ganzen Zahlen <math>0,1,\dotsc,n-1</math>, und sobald wir darüber hinaus sind, rechnen wir mit <math>n=0</math>, <math>n+1=1</math>, <math>n+2=2,\dotsc,2n = 0</math>, <math>2n+1=1</math>, etc. weiter. Genauso für negative Zahlen: <math>-1=n-1</math>, <math>-2=n-2</math>, etc. Es entsteht das folgende Bild (welches auch den Begriff "zyklisch" erklärt):


 
Also ist <math>\mathds{Z}/ n \mathds{Z} = (\{0,1,\dotsc,n-1\},+_n)</math>, wobei <math>a +_n b</math> der Rest von <math>a+b</math> bei der Division durch <math>n</math> ist. Es lohnt sich aber, <math>\mathds{Z}/n \mathds{Z}</math> auch abstrakt gemäß der Definition aufzufassen und sich nicht auf dieses Repräsentantensystem <math>\{0,1,\dotsc,n-1\}</math> zu berufen. Wir könnten ja genauso gut das Repräsentantensystem <math>\{1,2,\dotsc,n\}</math> wählen (hier ist dann <math>n</math> das neutrale Element). Wie nun <math>\mathds{Z}/n\mathds{Z}</math> konkret konstruiert wird, spielt aber eigentlich keine Rolle. Die abstrakte Sichtweise ist viel wichtiger und trotzdem nützlich: Es handelt sich einfach um eine Gruppe, die "wie" <math>(\mathds{Z},+)</math> ist, bloß in der zusätzlich die Rechenregel <math>n=0</math> (und damit allgemeiner <math>z \cdot n = 0</math>) gilt.

Das einfachste nichttriviale Beispiel ist <math>n=2</math>. Die Gruppe <math>\mathds{Z}/2 \mathds{Z}</math> hat genau zwei Elemente <math>0</math> (das neutrale Element) und <math>1</math>, wobei <math>1+1=0</math> gerechnet wird. Sie kommt dadurch zustande, dass wir uns bei den ganzen Zahlen nur für ihre Parität (gerade oder ungerade) interessieren. Sie hat aber auch eine andere Inkarnation, nämlich als die Untergruppe <math>(\{+1,-1\},*,1)</math> von <math>(\mathds{C}^*,*,1)</math>.
 
Allgemeiner können wir <math>\mathds{Z}/n \mathds{Z}</math> auch als eine Untergruppe von <math>(\mathds{C}^*,*,1)</math> realisieren, nämlich die der <math>n</math>-ten Einheitswurzeln <math>U(n)</math> mit unterliegender Menge <math>\{z \in \mathds{C}^* : z^n=1\}</math>. Es ist nämlich <math>(\mathds{Z},+) \to (\mathds{C}^*,*)</math>, <math>z \mapsto e^{2 \pi i \frac{z}{n}}</math> ein Homomorphismus mit Kern <math>(n \cdot \mathds{Z},+)</math> und Bild <math>U(n)</math>. Damit ist <math>\mathds{Z} / n \mathds{Z} = U(n)</math>.
 
Eine weitere Realisierung von <math>\mathds{Z}/n \mathds{Z}</math> ist die Gruppe der Drehungen des regelmäßigen <math>n</math>-Ecks.
 
Wieviele Elemente hat <math>G/N</math> eigentlich?
 
Satz von Lagrange. Es sei <math>N</math> ein Normalteiler von <math>G</math>. Dann gibt es eine Bijektion <math>|G/N| \times |N| \cong |G|</math>. Im endlichen Fall gilt daher <math>\mathrm{ord}(G/N) = \mathrm{ord}(G)/\mathrm{ord}(N)</math>.
 
Beweis. Der Homomorphismus <math>p : G \to G/N</math> ist surjektiv und die Faser eines Elementes <math>p(a) \in |G/N|</math> ist <math>|N| \circ a</math>, hat also genauso viele Elemente wie <math>|N|</math>. QED
 
2. Isomorphiesatz. Es sei <math>N</math> ein Normalteiler einer Gruppe <math>G</math> und <math>p : G \to G/N</math> eine Quotientengruppe.

1. Es gibt eine Bijektion zwischen der Menge der Untergruppen von <math>G/N</math> und der Menge der Untergruppen von <math>G</math>, welche <math>N</math> enthalten. Dabei schicken wir eine Untergruppe <math>N \subseteq H \subseteq G</math> auf die Untergruppe <math>p(H) \subseteq G/N</math>, und umgekehrt eine Untergruppe <math>K \subseteq G/N</math> auf <math>p^{-1}(K) \subseteq G</math>.
2. Es ist <math>p(H) = H/N</math>.
3. Wenn <math>H</math> ein Normalteiler ist, dann ist auch <math>H/N</math> ein Normalteiler von <math>G/N</math> mit <math>(G/N)/(H/N) = G/H</math>.

Beweis. 1. Man rechnet mit dem Untergruppenkriterium leicht nach, dass <math>p(H)</math> bzw. <math>p^{-1}(K)</math> eine Untergruppe ist. Es ist <math>N \subseteq p^{-1}(K)</math> wegen <math>p(n)=1 \in |K|</math> für alle <math>n \in |N|</math>. Weil <math>p</math> surjektiv ist, gilt <math>K = p(p^{-1}(K))</math> für alle Untergruppen <math>K \subseteq G/N</math>. Ist <math>H</math> eine Untergruppe von <math>G</math>, die <math>N</math> enthält, so ist <math>H \subseteq p^{-1}(p(H))</math> klar. Sei umgekehrt <math>a \in |p^{-1}(p(H))|</math>, d.h. <math>p(a)=p(h)</math> für ein <math>h \in |H|</math>. Dann ist <math>a \circ h^{-1} \in N \subseteq |H|</math> und damit auch <math>a  =  (a \circ h^{-1}) \circ h \in |H|</math>. Damit ist <math>H = p^{-1}(p(H))</math> gezeigt. Die beiden Zuordnungen von Untergruppen sind also zueinander invers.
 
2. Wir können <math>p</math> zu einem surjektiven Homomorphismus <math>H \to p(H)</math> einschränken, der Kern ist nach wie vor <math>N</math>. Das zeigt <math>H/N = p(H)</math>.

3. Weil <math>p</math> surjektiv ist, sieht man leicht, dass mit <math>H</math> auch <math>p(H)</math> ein Normalteiler ist. Es sei <math>q : G/N \to (G/N)/(H/N)</math> der Quotient. Es ist <math>q \circ p : G \to G/N \to (G/N)/(H/N)</math> ein surjektiver Homomorphismus. Bestimmen wir seinen Kern: Seine unterliegende Menge besteht aus den <math>a \in |G|</math> mit <math>q(p(a))=1</math>, d.h. <math>p(a) \in |H/N|=|p(H)|</math>, d.h. (siehe 1.) <math>a \in |H|</math>. Der Kern ist daher <math>H</math>. QED
 
Beispiel. Es sei <math>n \in \mathds{N}</math>, betrachte die Untergruppe <math>n \mathds{Z}</math> von <math>\mathds{Z}</math> (bezüglich <math>+</math> wieder). Die Untergruppen von <math>\mathds{Z}/n \mathds{Z}</math> entsprechen dann den Untergruppen <math>n \mathds{Z} \subseteq d \mathds{Z} \subseteq \mathds{Z}</math>, d.h. den Teilern <math>d | n</math>. Es gilt dabei <math>(\mathds{Z}/n\mathds{Z}) / (d \mathds{Z}/n \mathds{Z}) \cong \mathds{Z}/d \mathds{Z}</math>. Wenn <math>d \neq 0</math>, dann ist <math>\mathds{Z} \to d \mathds{Z}/n \mathds{Z}</math>, <math>z \mapsto [d z]</math> ein surjektiver Homomorphismus mit Kern <math>\frac{n}{d} \mathds{Z}</math>. Daher ist <math>d \mathds{Z} / n \mathds{Z} \cong \mathds{Z}/\frac{n}{d} \mathds{Z}</math>.

Es gibt noch viele weitere Isomorphiesätze, aber dabei belassen wir es einmal.

Aufgabe. Es sei <math>N</math> ein Normalteiler von <math>G</math> und <math>N'</math> ein Normalteiler von <math>G'</math>. Dann ist <math>N \times N'</math> ein Normalteiler von <math>G \times G'</math> mit <math>(G \times G')/(N \times N')  = G/N \times G'/N'</math>.

5. Eine neue Sichtweise auf Untergruppen

Es ist <math>(\mathds{Z},+)</math> eine Untergruppe von <math>(\mathds{Q},+)</math>. Zumindest sollte das so sein. Wenn wir uns aber die Konstruktion der Menge der rationalen Zahlen anschauen, etwa als Menge von Äquivalenzklassen <math>\mathds{Q} := (\mathds{Z} \times \mathds{Z}^+) / \sim</math>, wobei die Äquivalenzklasse <math>[(a,b)]</math> für den Bruch <math>\frac{a}{b}</math> steht, so ist keineswegs <math>\mathds{Z}</math> eine Teilmenge von <math>\mathds{Q}</math>. Üblicherweise identifiziert man aber eine ganze Zahl <math>z</math> mit dem Bruch <math>\frac{z}{1}</math>. Bloß warum darf man das? Zunächst einmal ist diese Abbildung injektiv, aber sie ist auch mit der Gruppenstruktur verträglich (sogar mit der Ringstruktur), gibt also Anlass zu einem injektiven Homomorphismus <math>(\mathds{Z},+) \to (\mathds{Q},+)</math>. Das ist aber keine Inklusion im Sinne der Mengenlehre und daher auch keine Untergruppe. Das übliche Vorgehen ist nun so, dass man einfach <math>(\mathds{Z},+)</math> durch das Bild des Homomorphismus ersetzt. Dieses Bild ist zu <math>(\mathds{Z},+)</math> isomorph, insofern macht das keinen wesentlichen Unterschied. Wenn wir uns nun noch größere Zahlbereiche anschauen, etwa <math>\mathds{R}</math> und <math>\mathds{C}</math>, so ergeben sich ähnliche Probleme, die man dann so löst, dass man alles (bei Bedarf) in <math>\mathds{C}</math> einbettet. Doch wann hört das denn auf? Und warum dürfen wir diese ganzen Identifikation wirklich machen? Könnte es nicht rein theoretisch sein, dass dabei irgendwann eine Inkonsistenz auftritt?
 
Im folgenden Beispiel wird das Problem noch deutlicher: Wenn <math>G,H</math> Gruppen sind, so können wir <math>G</math> und <math>H</math> als Untergruppen von <math>G \times H</math> "auffassen". Genauer gesagt identifizieren wir hierbei <math>g \in |G|</math> mit <math>(g,1) \in |G \times H|</math>. Das ist in Ordnung, weil dies einen injektiven Homomorphismus <math>G \to G \times H</math> beschreibt. Analog <math>H \to G \times H</math>. Doch was passiert, wenn <math>G = H</math>? Ist nun etwa <math>(\mathds{Z},+)</math> eine Untergruppe von <math>(\mathds{Z} \times \mathds{Z},+)</math>? Wenn ja, identifizieren wir dabei <math>z</math> mit <math>(z,0)</math> oder mit <math>(0,z)</math>? Oder gar mit <math>(z,z)</math>?
 
Anscheinend nimmt kein Lehrbuch der Algebra dieses Problem ernst und löst es konsequent. Die übliche Definition einer Untergruppe ist unzureichend, weil sie nicht das einfängt, was wir damit eigentlich anfangen möchten. Aus den obigen Beispielen leitet sich aber direkt ab, wie wir den Begriff der Untergruppe ausweiten können, und dabei das Wesentliche erhalten bzw. sogar viel besser herausschälen können:

Definition einer Untergruppe. Sei <math>G</math> eine Gruppe. Eine Untergruppe von <math>G</math> ist eine Gruppe <math>H</math> zusammen mit einem injektiven Homomorphismus <math>i : H \to G</math>.
 
Beachte die Ähnlichkeit zur Definition einer Quotientengruppe, die als ein surjektiver Homomorphismus definiert wurde. Formal ist eine Untergruppe also ein Paar <math>(H,i)</math>. Dabei ist <math>H</math> die unterliegende Gruppe dieser Untergruppe, und <math>i</math> gibt sozusagen an, wie wir <math>H</math> in <math>G</math> einbetten. Eine Untergruppe "merkt" sich diese Einbettung also. Die alte Definition entspricht dem Fall, dass <math>i</math> eine Mengeninklusion ist. Doch wie wir gesehen haben, tritt das eher selten auf.
 
Die oben genannte Probleme verschwinden nun. Für Gruppen <math>G,H</math> ist <math>(G,i_1)</math> eine Untergruppe von <math>G \times H</math>, wobei <math>i_1(g):=(g,1)</math>. Ebenso ist <math>(H,i_2)</math> eine Untergruppe von <math>G \times H</math>, wobei <math>i_2(h):=(1,h)</math>. Für <math>G=H</math> stimmen diese Untergruppen nun nicht überein. Zwar sind die unterliegenden Gruppen dann gleich, aber eben <math>i_1</math> und <math>i_2</math> nicht.

Wir sollten nun noch klarstellen, wie man mit dieser neuen Definition Untergruppen miteinander vergleichen kann.

Inklusion von Untergruppen. Es sei <math>G</math> eine Gruppe und <math>(H,i)</math>, <math>(K,j)</math> zwei Untergruppen von <math>G</math>. Wir schreiben <math>(H,i) \subseteq (K,j)</math>, falls es einen Homomorphismus <math>f : H \to K</math> gibt mit <math>j \circ f = i</math>.

<math>\xymatrix{H \ar[rr]^{f} \ar[dr]_{i} && K \ar[dl]^{j} \\ & G & }</math>
 
Beachte: Weil <math>j</math> injektiv ist, ist <math>f</math> eindeutig bestimmt. Außerdem ist <math>f</math> selbst injektiv, weil <math>i</math> injektiv ist. Es ist <math>\subseteq</math> reflexiv und transitiv, aber nicht antisymmetrisch: Wenn <math>(H,i) \subseteq (K,j) \subseteq (H,i)</math>, so bedeutet dies, dass es einen Isomorphismus <math>f : H \to K</math> gibt mit <math>j \circ f = i</math>. Wir schreiben dann <math>(H,i) \cong (K,j)</math> und nennen die Untergruppen isomorph (oder äquivalent). Hingegen gilt <math>(H,i)=(K,j)</math>, wenn <math>H=K</math> und <math>i=j</math>.

Aufgabe. Zeige, dass jede Untergruppe <math>(H,i)</math> isomorph zu einer Untergruppe <math>(K,j)</math> im alten Sinne ist, d.h. für die <math>j</math> eine Mengeninklusion ist.

6. Bemerkungen zur Didaktik

Zum Abschnitt 1. Wie bereits in der Einleitung erwähnt, unterscheidet sich meine Darstellung hier in einigen Punkten von den üblichen Lehrbüchern und Vorlesungen. Das fängt bereits mit der Definition einer Gruppe selbst an. Sowohl neutrale als auch inverse Elemente sind als beidseitig definiert. Das ist natürlich, weil das bei anderen algebraischen Strukturen auch notwendig ist, etwa bei der Definition von inversen Elementen in Monoiden, Ringen, Algebren, oder ganz einfach bei inversen Abbildungen von Mengen. Bei Gruppen stellt sich zwar heraus, dass einseitige inverse Elemente ausreichen, doch das sollte uns nicht dazu veranlassen, diese Eigenschaft zu einer Definition erheben. Für neutrale Elemente gilt Entsprechendes. Davon abgesehen: Mir ist kein Beispiel in der Praxis bekannt, bei dem die Beidseitigkeit nicht genauso einfach wie die Einseitigkeit zu testen ist. Nachdem man die richtige Definition einer Gruppe gefunden hat, kann man die Charakterisierung ganz leicht beweisen.

Wenn wir den Studenten Charakterisierungen als Definitionen verkaufen, wundern sich diese im weiteren Verlauf ihres Studiums, dass diese Definitionen woanders nicht mehr funktionieren. Das ist für alle Beteiligten umständlich und wirft zudem ein inkonsistentes Bild auf die Mathematik. Das gilt es zu vermeiden. Vielmehr müssen wir in der Lehre die Gemeinsamkeiten herausstellen, nicht nur lokale Lösungen. Dieses Prinzip zieht sich wie ein roter Faden durch den Artikel.

Zum Abschnitt 2. Entsprechend habe ich dann auch die vollständige Definition eines Homomorphismus gewählt: Nicht nur Produkte, sondern auch neutrales und inverse Elemente werden erhalten. Auf diese Weise wird das allgemeine Prinzip einer strukturerhaltenden Abbildung bereits angedeutet. Und wenn die Studenten es gleich richtig lernen, wundern sie sich auch nicht mehr darüber, dass man bei Homomorphismen von Ringen mit Eins (oder Monoiden) fordern muss, dass die Eins auf die Eins geschickt wird. Es ist einfach ganz natürlich, zwischen algebraischen Strukturen die Homomorphismen gerade als jene Abbildungen zu definieren, welche die gesamte Struktur erhalten. Dass sich das im Falle von Gruppen einfacher testen lässt, ist dann eine einfache Beobachtung, sollte uns aber nicht dazu bewegen, die eigentliche Definition abzuändern.

Ebenfalls habe ich die allgemeine (aus der Kategorientheorie bekannte) Definition eines Isomorphismus gewählt, also ein invertierbarer Homomorphismus. Dass ein bijektiver Homomorphismus bereits ein Isomorphismus ist, ist dann eine Feststellung, die bei Gruppen zutrifft, aber woanders nicht mehr (topologische Räume etwa). Das übliche Vorgehen ist leider, Isomorphismen von Gruppen als bijektive Homomorphismen zu definieren, und dann zu zeigen, dass die inverse Abbildung ebenfalls ein Homomorphismus ist. Dieses Vorgehen hat den Nachteil, dass das Wesen eines Isomorphismus nicht wirklich zur Geltung kommt, und nur beiläufig erwähnt wird. Und wie gesagt müssen sich die Studenten dann bei anderen Kategorien auf einmal auf - scheinbar - andere Isomorphiebegriffe einstellen.

Ich habe Mono- und Epimorphismen nicht definiert, weil das nicht notwendig ist, und man genauso über injektive und surjektive Homomorphismen sprechen kann. Außerdem ist es auch hier wieder so, dass die Kategorientheorie allgemeine Definitionen dafür parat hat, die dann aber in anderen konkreten Kategorien nicht mit injektiven oder surjektiven Homomorphismen übereinstimmen müssen (siehe z.B. Ja Mono Epi Iso!). Reguläre Monomorphismen und reguläre Epimorphismen verhalten sich da übrigens meistens besser.

Zum Abschnitt 3. Bei der Definition einer Untergruppe wollte ich betonen, dass Untergruppen wirklich selbst Gruppen sind. Die meisten Texte definieren Untergruppen als Teilmengen (mit Eigenschaften), was ich allerdings nicht für die richtige Sichtweise halte. Zum Einen wird dabei nämlich wieder nicht zwischen der Gruppe und ihrer unterliegenden Menge unterschieden, und zum Anderen arbeitet man mit Untergruppen wirklich als Gruppen. Diesen Umstand sollte man also in den Vordergrund stellen, und nicht erst aus einer abgespeckten Definition folgern.

Das übliche kompakte Untergruppenkriterium habe ich durch das ausführliche Untergruppenkriterium ersetzt. Die Gründe habe ich bereits im Thread Zum Untergruppenkriterium versucht zu erklären.

Zum Abschnit 4. Im Abschnitt über Quotientengruppen nehme ich einen sehr abstrakten Standpunkt ein: Die Quotientengruppe G/N (natürlich nicht "Faktorgruppe") ist keine Menge von Nebenklassen, sondern ist (irgend)eine Gruppe zusammen mit einem surjektiven Homomorphismus G -> G/N, dessen Kern gerade N ist. Beim Umgang mit G/N spielen diese Definition und der Homomorphiesatz eine zentrale Rolle. Ich habe dafür mehrere Gründe:

1. Die explizite Konstruktion über Nebenklassen lenkt die meisten Studenten davon ab, worum es bei der Quotientengruppe wirklich geht (nämlich die Elemente von N zu "töten", und nicht mehr).

2. Bei Homomorphismen rechnen die Studenten gerne die Wohldefiniertheit mit Elementen nach, ohne an den Homomorphiesatz zu denken. Manchmal machen das ihnen sogar die Dozenten vor. Das ist natürlich total umständlich, dasselbe Argument immer wieder im Spezialfall zu machen.

3. Die explizite Realisierung über Nebenklassen spielt in Wahrheit gar keine Rolle. Im Text habe ich dargelegt, dass die abstrakte Definition bereits alles über G/N beinhaltet, was man braucht. Das betrifft sogar die Elementstruktur und das Rechnen in G/N.

4. Gerade erfahrene Mathematiker haben diese abstrakte Definition von G/N im Kopf und der Homomorphiesatz ist wirklich eine Grundzutat für ein mathematisches Gericht. Wieso sollten die Dozenten und Autoren eigentlich dieses Bild den Studenten vorenthalten und sie stattdessen mit Nebenklassen verwirren? Wieviele haben damit Jahr für Jahr ihre Probleme, das einfachste Beispiel Z/nZ zu verstehen, weil sie dabei an eine komplizierte mengentheoretische Konstruktion wie {{k,k ± n,k ± 2n,...} : k ∈ Z} denken? Ich denke, dass wir es ihnen einfacher machen, wenn wir verraten, worum es dabei wirklich geht: Aus Z eine Gruppe machen, in der n = 0 erzwungen wird.

5. Und schließlich gibt es genügend Beispiele, um all das mit Leben zu füllen, sodass es gar nicht mehr so abstrakt ist.

6. In anderen Kategorien kann man häufig Quotienten gar nicht mehr durch ihre Elementstruktur überblicken, und die abstrakte Sichtweise ist das einzige, was zur Verfügung steht. Zum Beispiel sind die Schnitte eines Quotienten von zwei Garben nicht so schön zu beschreiben, aber der Homomorphiesatz gilt natürlich nach wie vor und so arbeitet man dann mit diesem Quotienten. Ich habe diverse Erfahrungen u.a. als Übungsleiter zur algebraischen Geometrie gesammelt und weiß daher, dass die Studenten mit der abstrakten Sichtweise enorme Probleme haben, eben weil sie nicht in der Algebra darauf vorbereitet worden sind. Einige versuchen sich dann durch die explizite Konstruktion (im genannten Beispiel: der assoziierten Garbe des Prägarbenquotienten) mit Elementen zu kämpfen. Diese Schlacht kann zwar nach vielen Seiten Rechnungen gewonnen werden, hätte aber gar nicht geführt werden müssen.

7. In der Kategorientheorie ist das abstrakte Vorgehen wohlbekannt: In einer allgemeinen Kategorie definiert man Quotienten (oder allgemeiner Differenzkokerne, oder noch allgemeiner Kolimites) gerade über ihre universelle Eigenschaft. Die Kategorientheorie zeigt uns, dass diese universelle Eigenschaft tatsächlich als Definition benutzt werden kann, und man damit arbeiten kann. Ich hätte also auch tatsächlich G/N als eine Gruppe zusammen mit einem Homomorphismus G -> G/N definieren können, die den Homomorphiesatz erfüllt. Das ist aber vermutlich ein etwas zu abstrakter Einstieg in den Begriff der Quotientengruppe. Und außerdem erschließt sich daraus nicht so leicht, wie die Elemente aussehen (auch wenn es machbar ist).

Schließlich habe ich noch erklärt, wie man mit dem Homomorphiesatz sofort den Isomorphiesatz (G/N)/(H/N) = G/H ableiten kann. Mit den anderen Isomorphiesätzen geht es genauso. Wir brauchen dafür keine Nebenklassen.

Zum Abschnitt 5. Im letzten Abschnitt über Untergruppen habe ich eine (ebenfalls aus der Kategorientheorie motivierte) neue Definition einer Untergruppe vorgeschlagen, die viel besser zu den konkreten Beispielen in der Praxis passt. Wie bereits dort erläutert, ist es nämlich häufig überhaupt nicht so, dass Untergruppen von Teilmengen herkommen. Und wenn wir alle injektive Homomorphismen "krampfhaft" zu Teilmengen machen wollen, stellt sich die Frage, a) ob das überhaupt nötig ist, b) ob dabei Inkonsistenzen auftreten. Das wird von keinem hinterfragt, obwohl es nun einmal sicherlich Diagramme von injektiven Homomorphismen gibt, die nicht kommutieren, sodass also die Identifikation mit Teilmengen inkonsistent wäre.

Die abstrakte Definition von Untergruppen oder auch allgemeiner Unterstrukturen löst nicht nur das genannte Problem der üblichen Definition, sondern zahlt sich spätestens bei komplizierteren mathematischen Objekten aus. Etwa bei Untermannigfaltigkeiten und Unterschemata führt es zu großen Verwirrungen, wenn man die Einbettung nicht zum Datum dazunimmt.

Noch etwas zum Abschnitt 1. Ein weiterer Unterschied zu den meisten Darstellungen der Gruppentheorie ist, dass ich konsequent zwischen einer Gruppe und ihrer unterliegenden Menge unterscheide (auch in der Notation). Über dieses Thema habe ich zuletzt einen Artikel geschrieben: Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden. Eigentlich müsste man auch zwischen einem Homomorphismus und der unterliegenden Abbildung unterscheiden, allerdings habe ich das hier gelassen, weil es für Notationsprobleme gesorgt hätte.

Außerdem gehört hier die Inversenabbildung zum Datum einer Gruppe dazu. In den meisten Darstellungen der Gruppentheorie wird lediglich die "lokale" Existenz von inversen Elementen gefordert. Es hat allerdings einige Vorteile, die Inversenabbildung mit in die Definition aufzunehmen (und entsprechend auch das neutrale Element):

1. Auf diese Weise erkennen wir, dass Gruppen algebraische Strukturen im Sinne der universellen Algebra sind: Mengen zusammen mit Verknüpfungen, verschiedener Stelligkeit, die gewisse Verträglichkeiten erfüllen. Das mag für Studenten jetzt nicht wirklich relevant sein, aber er/sie wird im Laufe des Studiums noch viele weitere Beispiele kennenlernen, deren Gemeinsamkeit man also nicht durch ad-hoc Definitionen zerstören sollte.

2. Wir wissen gleich, dass man beim Untergruppenkriterium nicht auf die inversen Elemente verzichten darf. Sie gehören ja dazu - sind mehr als nur eine Eigenschaft, die sich nach unten vererbt.

3. Es gibt den Begriff des Gruppenobjektes in einer Kategorie, welcher gewöhnliche Gruppen, topologische Gruppen, Liegruppen und algebraische Gruppen als Beispiele umfasst. Im allgemeinen Fall, insbesondere bei topologischen Gruppen, ist es wichtig, die Inversenabbildung als gegebenen Morphismus der Basiskategorie zu verstehen. Zum Beispiel ergibt sich die Stetigkeit der Inversenabbildung einer topologischen Gruppe nicht aus der Stetigkeit der Multiplikation.

7. Schluss

Damit will ich den Artikel nun beenden. Natürlich handelt es sich hier um keine vollständige Einführung in die Gruppentheorie, sondern eher um einen Entwurf für eine konzeptionelle Darstellung der Gruppentheorie. Das ist eigentlich nur ein Beispiel, weil man für viele andere Bereiche der Mathematik genauso ansetzen könnte. Das Prinzip ist jeweils, dass sich die Definitionen der zentralen Begriffe daran orientieren, a) welche Eigenschaften wir wirklich verlangen wollen, b) was das Wesen dieses Begriffes ist (gemäß der Erfahrung des Autors), c) wie man damit letztendlich arbeitet, und d) dass die Gemeinsamkeiten zu ähnlichen Begriffen oder Verallgemeinerungen herausgestellt werden. Das Ziel ist es, die Begriffe klarer und verständlicher zu machen, und die Zusammenhänge in der Mathematik deutlich zu machen.

Ich bedanke mich bei Dune fürs Korrekturlesen. Wie immer sind Kommentare und Diskussionen explizit erwünscht.


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" Mathematik: Konzepte der Gruppentheorie" | 71 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Konzepte der Gruppentheorie
von hari01071983 am Mi. 26. Februar 2014 18:30:27


Hallo,

ich finde den Anfang des Artikels etwas ungereimt:


Bei der ersten Verwendung des Wortes Reihenfolge meinst du die Bewegungen(Drehung, Kippung, etc)

Bei den weiteren Verwendungen meinst du glaube ich die Reihenfolge der Klammerung (zumindest sagt dass die Formel aus <math>A \circ (B \circ C) = (A \circ B ) \circ C</math>-> die Reihenfolge der Bewegungen ist gleich die Reihenfolge der Klammerung ist unterschiedlich).

Wenn jemand keine Ahnung hat von Gruppen (wie ich), dann ist das ziemlich verwirrend. Für jemanden der die Begriffe verinnerlicht hat ist es selbstverständlich dass die Begriffe richtig zugeordnet werden. Jedoch ein Noob wie ich verbindet den Begriff Reihenfolgen eher mit dem Kommutativgesetz und damit mit der Reihenfolge der Bewegungen.

Also zuerst
"ist aber nicht gemeint, dass wir die Reihenfolge von zwei Bewegungen tauschen können" -> Reihenfolge WICHTIG
und dann  
"kommt es auf die Reihenfolge nicht an" -> Reihenfolge EGAL

Kommt das nur mir so vor oder ist das tatsächlich verwirrend?

Lg Harald

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am Mi. 26. Februar 2014 19:58:40


Du hast völlig Recht, dass diese Formulierung recht ungeschickt ist. Danke für den Hinweis. Ich werde mir etwas Besseres überlegen und es dann editieren. Wenn noch etwas unklar ist, frage gerne nach. Nebenbei bemerkt bin ich nicht der einzige, der das so schreibt:

de.Wikipedia schreibt:
Eine (zweistellige) Verknüpfung ist assoziativ, wenn die Reihenfolge der Ausführung keine Rolle spielt. Anders gesagt: Die Klammerung mehrerer assoziativer Verknüpfungen ist beliebig

Die englische Wikipedia ist wie üblich besser:

en.Wikipedia schreibt:
Within an expression containing two or more occurrences in a row of the same associative operator, the order in which the operations are performed does not matter as long as the sequence of the operands is not changed. That is, rearranging the parentheses in such an expression will not change its value.
 
Was die Verwirrung ein wenig untermauert, ist die Beobachtung, dass für feste <math>x,z</math> die Assoziativität <math>\forall y ( x \circ (y \circ z) = (x \circ y) \circ z)</math> tatsächlich als Kommutativität <math>L_x \circ R_z = R_z \circ L_x</math> gesehen werden kann, wobei <math>L_x</math> die Linksmultiplikation mit <math>x</math> und <math>R_z</math> die Rechtsmultiplikation mit <math>z</math> ist.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von KidinK am Do. 27. Februar 2014 08:54:51


Hi Martin,

Ein sehr schöner Artikel! Ich würde mich freuen, wenn es vielleicht noch etwas weiter ginge und etwas schwierigere Konzepte der Gruppentheorie ebenfalls auf so strukturelle Weise angegangen würden . Allerdings ist es natürlich so, dass es dann auch viele Überschneidungen mit Gockel gäbe.

Eine Bemerkung habe ich: Du schreibst im Abschnitt über zyklische Gruppen, eine zyklische Gruppe sei ein Quotient von <math>\mathbb {Z} </math> und somit isomorph zu <math>\mathbb {Z}/n\mathbb {Z} </math> für ein <math> n\in\mathbb {N} </math>. Ich glaube aber, du hast nicht gezeigt, wie die Untergruppen von <math>\mathbb {Z}</math> aussehen und für einen blutigen Anfänger dürfte das ein Problem sein. Oder habe ich das überlesen?

Liebe Grüße,
KidinK

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von jannna am Fr. 28. Februar 2014 10:43:46


Hallo,

ein sehr schöner Artikel. Besonders der letzte Teil zu den Untergruppen.. warum hat mir das keiner so beigebracht..?

Wenn man diesen Artikel als Basis für eine Anfängervorlesung nehmen würde, hätte ich einige Anmerkungen.
Du schreibst, dass die Quotientengruppen zu einem Normalteiler alle kanonisch isomorph sind. Der Begriff "kanonisch" begegnet einem im Studium an vielen Stellen ohne, dass er wirklich erklärt wird. Das ist auch so eines der Geheimnisse die man entweder selbst herausbekommt oder eben nicht. Dann hat man ein ungefähres Gefühl dafür, was kanonisch bedeutet, versteht es aber nicht.

Einige Deiner didaktischen Bemerkungen sollten in einer Vorlesung auch den Studenten verraten werden:
Zum Beispiel wie Du Homomorphismus definierst und dann in einem Lemma zeigst, dass Multiplikation reicht. Als Anfänger fragt man sich an dieser Stelle vielleicht, warum die Definition "zu viel" enthält.
Ich hatte einige sehr gute Vorlesungen in diesem Stil und besonders wertvoll fand ich eben diese Bemerkungen

Wenn man also Deinen konzeptionellen Ansatz als Vorlesung ausarbeitet, würde ich die Bemerkungen unbedingt mit einarbeiten.

Viele Grüße
Jana

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 28. Februar 2014 18:58:05


Hallo Martin,

Du rückst "das Wesen" des Begriffs sehr stark in den Mittelpunkt Deiner didaktischen Argumentation. Es geht Dir darum, wie es "wirklich" und "eigentlich" um die Begriffe bestellt ist. Ich möchte hier zunächst eine vielleicht etwas zu skeptische Perspektive anbringen, um dann daraus eine konstruktive Kritik zu entwickeln:

Mir scheint es für jedes mathematische Objekt, gleich wie man es definiert, eine "tieferliegende" Struktur zu geben - ich denke, was man als "das Wesen" der Struktur auffasst, ist eine Frage des Kontextes, d.h. der Anwendungen der Struktur in mathematischen Sätzen. "Das Wesen" eines mathematischen Begriffs gibt es also gar nicht, sondern es ist eine soziale Konstruktion - das sieht man schon daran, dass die Streits um die Didaktik die persönlichsten und politischsten in der Mathematik sind, hier spielen sicherlich solche Dinge wie Rollenvorbilder und Schulenbildung eine Rolle.

Als Mathematiker mit einer breiteren Perspektive hat man wahrscheinlich einen gewissen hindsight-bias, was die Konzeptualisierung von mathematischen Begriffen angeht: Man ist in der eigenen mathematischen Erkenntnis bestimmte Wege gegangen und hat bestimmte Interessen entwickelt, d.h. die Frage auf eine ganz bestimmte Weise kontextualisiert. Der Lehrer hat also eine gewisse Horizontdifferenz zum Lernenden.
Daraus folgt, dass die Begründung eines didaktisch besseren Konzepts nicht allein "in der Sache" liegen kann, sondern in dem Nutzen, den es für die Lernenden haben kann. In einer Diskussion über die Didaktik sollte man angeben, was der Vorteil der eigenen Konzeptualisierung in Hinsicht auf das leichtere Lernen ist - etwa auf Lernökonomie, auf Anschaulichkeit, auf Bezüge zu bereits Bekanntem etc. Die Frage nach einer guten Didaktik ist also auch eine sozusagen politische Frage, die sich an den Interessen der Lernenden orientieren muss. Hier hat man nun das Problem, dass die Hörerschaft einer Vorlesung heterogen ist. Der Lehrende, der sich für ein Konzept entscheidet, muss also in Betracht ziehen, wie er die verschiedenen Interessen gewichtet.
Ich kann mir gut vorstellen - das ist jetzt aber wirklich Spekulation, Du kannst das sicher viel besser beurteilen als ich -, dass die übliche Gruppendefinition eine ist, die sich erstmal gut vermitteln lässt und für das, was die meisten Studierenden später brauchen werden, ausreichend ist. Insofern könnte es sein, dass der Status Quo die politischen Interessen schon ganz gut abwägt, auch wenn oder gerade weil er nicht der sachlich tiefgründigste ist. Ganz ähnlich ist das ja in der Schule, wo man sogar echt falsche Sachen lernt, nur weil sich das erstmal besser vermitteln lässt und die Schule nur die Grundlage einer späteren Ausdifferenzierung und Richtigstellung in der arbeitsteiligen Gesellschaft bieten soll.
Natürlich muss man, wenn man eine Algebra-Vorlesung gibt, auch  bedenken, dass man in Konkurrenz zu den anderen mathematischen Gebieten steht. Die didaktische Konzeption sollte also auch daraufhin befragt werden, wie sie das Interesse wecken oder vergraulen kann.

Ich kann mir hier aufgrund mangelnden Wissen kein eigenes Urteil erlauben, aber ich denke, diese Argumente wären solche, die ich bei der Entscheidung berücksichtigen würde.

Ich habe, in anderen Gebieten als der Mathematik, die gleiche Erfahrung wie Du gemacht, dass man mit selbständigem Denken den Stoff in einer ganz anderen inneren Logik vorstellen würde, als man ihn selbst präsentiert bekommen hat. In dieser selbständigen Überprüfung und kreativen Erweiterung des didaktischen Stauts Quo sehe ich aber nur einen notwendigen, keinen hinreichenden Schritt für ein didaktisches Konzept, das am Ende tatsächlich besser ist. Für die Vermittlung scheint es mir sehr wichtig, an das Weltbild des Lernenden anzuknüpfen. Im konkreten Fall bedeutet dass, dass man die Relevanz der Perspektive der universellen Algebra nicht voraussetzen darf, sondern ganz klar und deutlich machen muss. Die bessere Vermittlung ist am Ende der spannendere Roman - darauf sollte man meiner Auffassung nach bei didaktischen Überlegungen den Fokus legen.

Damit will ich Dich nicht von Deinem kreativen Weg abbringen, sondern im Gegenteil ermutigen, noch stärker herauszuarbeiten, wie Deine eigene Perspektive für Neulinge spannend dargestellt werden kann.

Schöne Grüße,

Jonathan


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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Gerhardus am Fr. 28. Februar 2014 20:15:24


Hallo Martin,
danke für den anregenden Artikel, zu dem ich doch einige Fragen habe.
Was willst du mit dem Adjektiv universell sagen? Wenn du in der Einleitung von einem "universellen Problem" sprichst, suche ich in der Folge gespannt nach einer Antwort, ohne etwas zu finden. Was wird unter universeller Algebra verstanden? Oder ist damit nur die Suche nach allgemeineren Sätzen gemeint. Wenn die Untergruppe nicht mehr eine Teilmenge der Gruppe ist, dann wird der Begriff natürlich allgemeiner.
Ist das mit universellem Problem gemeint?

Der Didaktiker muss immer fragen, welche Ziele er anstrebt, wohin er eigentlich will. Wie wichtig ist mir Restklassenarithmetik? Für die Schule könnte letzteres relevant werden, wenn in der SEPA-Ära plötzlich gefragt wird, wie kann ich die Prüfziffer der IBAN zu Fuß berechnen.

Du verfolgst offenbar andere, universelle Ziele, und die solltest du benennen, wenn sie mehr sind als die Untergruppen-Definition.

Ich selbst sehe in der strikten Unterscheidung von Menge und algebraischer Menge keinen Vorteil. Wichtig sind die Beispiele, die zeigen, mit welchen verschiednen Mengen man algebraisch arbeiten kann.
Bei der Würfeldrehung oben ist zu beachten, dass nur um einen fixen Punkt gedreht wird. Mit einem Würfel, der um verschiedene Punkte gedreht werden kann, gibt es keine Gruppe.
Ein großes didaktisches Hindernis sehe ich in den Begriffen, die erst einmal verkehrte Vorstellungen wecken, aber die nicht zu ändern sind, weil historisch gewachsen. Der Begriff Gruppe stammt wohl noch von Galois.
Wenn ein Anfänger den Ablauf: Gruppe --> Untergruppe/Normalteiler --> Partitionierung der Gruppe mittels Verknüpfung --> Partition als Quotientengruppe -- verstanden hat, finde ich das für den Anfang erfolgreich.

Schöne Grüße
Gerhardus

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am Fr. 28. Februar 2014 23:24:11


Ich freue mich sehr über die rege Diskussion.

@Harald (hari01071983):
Ich habe die Assoziativität nun anders umschrieben. Ist es besser so?
 
@KidinK:
1. Die Überschneidungen sind ja auch mit Lehrbüchern vorhanden, aber die Frage ist eben, wie man das Ganze aufzieht. Welche schwierigeren Konzepte würden dich denn noch interessieren?
2. Die Untergruppen von <math>(\mathds{Z},+)</math> wurden in einer Aufgabe bestimmt. Ich habe noch einen Verweis ergänzt. Danke für den Hinweis, nun ist es klarer.

@Jana:
1. Die abstrakte Sichtweise auf Teilmengen, Untergruppen, Unterringe, Unterkörper, etc. ist eigentlich "in der Luft", wird aber nur in der Kategorientheorie richtig ausformuliert und konsequent benutzt. Daher bekommt man davon in der Regel nichts mit, schon gar nicht in einer Einführung.
2. Ich habe den Begriff "kanonisch isomorph" nun besser erklärt. Es ist kein Geheimnis, was das bedeutet.
3. Ich wollte mich mit didaktischen Bemerkungen dieser Art im Text eigentlich zurückhalten. Ich würde das gerne trennen - sonst wird es zu viel. Ich deute im Text außerdem schon vor der Definition eines Homomorphismus an, was eine strukturerhaltende Abbildung allgemein ist, und leite daraus dann die Definition erst ab. Was man vielleicht machen könnte, wäre ein Verweis auf lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen, weil damit die Leser schon etwas anfangen können (nicht aber mit universeller Algebra). Oder hast du weitere konkrete Vorschläge?

@Jonathan:
Vielen Dank für deinen Kommentar. Deine Analyse erscheint mir auch sehr einleuchtend. Du gehst den Dingen wirklich auf den Grund! Ich muss mir einmal überlegen, wie ich das nun konkret umsetzen kann.

@Gerhardus:
1. Das universelle Problem lautet (siehe Abschnitt 4), einen surjektiven Homomorphismus mit vorgebenem Kern zu finden.
2. Das Ziel des Artikels ist lediglich die Definition der üblichen Grundbegriffe der Gruppentheorie, aber in einer solchen Art und Weise, dass ihr "Wesen" besser zum Tragen kommt. Dieses "Wesen" definiert sich durch die universelle Algebra sowie die Kategorientheorie, was aber nicht bedeutet, dass man diese Theorien bereits allgemein behandeln muss.
3. Die "Restklassenarithmetik" ergibt sich unmittelbar aus den allgemeinen Betrachtungen über Quotientengruppen. Mehr wollte ich dazu nicht schreiben.
4. Der Begriff "algebraische Menge" ergibt keinen Sinn, weil hier "algebraisch" als reines Adjektiv benutzt wird und Gruppen keine Mengen mit einer Eigenschaft sind - sondern eben mit einer Zusatzstruktur. Man könnte algebraische Strukturen auch als strukturierte Mengen bezeichnen. Die strikte Unterscheidung zwischen einer algebraischen Struktur und ihrer unterliegenden Menge ist von fundamentaler Bedeutung. Siehe dazu bitte auch meinen Artikel über Vergissfunktoren (damit wir nicht aneinander vorbeireden). Deinen Satz "Wichtig sind die Beispiele, die zeigen, mit welchen verschiednen Mengen man algebraisch arbeiten kann." verstehe ich nicht. Vielleicht verwechselst du hier aber auch Gruppen mit ihren unterliegenden Mengen - ein beliebter Fehler.
5. Der Rotationspunkt beim Würfel ist eindeutig (ansonsten ist er nicht mehr da, wo er war, und das war die Bedingung). Bei allgemeinen Körpern gibt es einen solchen Punkt eventuell gar nicht, oder es gibt sogar mehrere, aber das spielt für die Definition einer Bewegung auch keine Rolle.
6. Ich verstehe nicht, was du mit dem Absatz "Ein großes didaktisches Hindernis sehe ich in den Begriffen, die erst einmal verkehrte Vorstellungen wecken, aber die nicht zu ändern sind, weil historisch gewachsen. Der Begriff Gruppe stammt wohl noch von Galois. " sagen möchtest. Ist der Begriff der Gruppe falsch gewählt? Wenn ja, wieso? Hast du Alternativvorschläge?
7. Bei "Partitionierung der Gruppe mittels Verknüpfung" meinst du eigentlich die unterliegende Menge, nicht die Gruppe selbst! Eine Partitionierung einer Gruppe wäre eine Darstellung als Koprodukt von Gruppen. Du meinst aber eine Darstellung der unterliegenden Menge als Koprodukt d.h. disjunkte Vereinigung von Mengen, in diesem Fall den Nebenklassen. Das ist aber eine (so behaupte ich) falsche Sichtweise auf Quotientengruppen. Es ist eine mögliche (durch das Auswahlaxiom gegebene) Sichtweise auf Quotientenmengen. Da besteht eben ein Unterschied. Natürlich sind Nebenklassen trotzdem nützlich, das steht außer Frage.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von PhysikRabe am Sa. 01. März 2014 11:47:26


Ein exzellenter Artikel, lieber Martin. Besonders Abschnitt 5, "Eine neue Sichtweise auf Untergruppen", ist sehr interessant und habe ich so noch nie bedacht. Zukünftig werde ich die Definition der Untergruppe anders betrachten. smile Danke!

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von KidinK am Sa. 01. März 2014 15:29:57


Hi Martin,

Konzepte, die meiner Meinung nach sehr häufig sehr ungenügend dargestellt werden, sind:

- semidirekte Produkte, Produkte und Koprodukte, freie Gruppen, Präsentationen
- Produkte und Koprodukte abelscher Gruppen, der Unterschied zwischen ihnen
- Gruppenoperationen und auch dort alle möglichen Arten universeller Objekte in der Kategorie der Operationen einer festen Gruppe

Natürlich kann man diese ganzen Dinge sehr viel schöner aufziehen, wenn man erst einmal die Maschinerie der Kategorientheorie zur Verfügung hat, aber vielleicht könntest du auch dort einen anfängergerechten Kompromiss finden, so wie es dir in diesem Artikel gelungen ist.

Liebe Grüße,
KidinK

P.S.: Noch eine Anmerkung: Ist es Absicht, dass du den Satz von Lagrange nur für Normalteiler formulierst?

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am Sa. 01. März 2014 22:26:40


@PhysikRabe: Freut mich!
@KidinK: Ja, Präsentationen werden meistens noch viel zu elementlastig definiert, auch dort ist die universelle Eigenschaft eigentlich das Wesentliche. Bei den anderen von dir genannten Konzepten hätte ich auch ein paar Vorschläge, wie man sie darstellen könnte, aber das unterscheidet sich dann nur geringfühig von den üblichen Zugängen. Wenn ich einen zweiten Teil schreiben sollte, werde ich das aber auf jeden Fall in Betracht ziehen.
Lagrange für beliebige Untergruppen ergibt sich ja nicht durch eine Betrachtung von Quotientengruppen (sondern Quotientenmengen). Also ja, ich kann das an dieser Stelle nur für Normalteiler beweisen. Für Untergruppen sieht man das am besten mit Hilfe von G-Mengen. Ich habe bei SE/664117 eine kategorielle Verallgemeinerung bewiesen, welche dann zugleich den Gradsatz für Körpererweiterungen als Spezialfall besitzt.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von OmmO am So. 02. März 2014 00:07:46


Hi Martin!

Ich finde den Artikel sehr interessant und motivierend geschrieben.

Hier wurde schon viel gesagt, mir ist noch eines aufgefallen:

Dein Einstiegsbeispiel mit dem Würfel ist sehr anschaulich, verpufft aber nach der Einführung direkt.
Hierauf könnte man z.B. bei den Untergruppen wieder eingehen.
Für Normalteiler/Homomorphismen sollte es auch irgendwie klappen, weil die Gruppe nicht einfach ist.
Das wäre natürlich der Knaller, wenn du dich mit Hilfe dieses oder eines anderen Beispiels durchs Thema "hangeln" könntest.

Ist natürlich nicht so einfach, könnte die Sache aber noch abrunden.

Viele Grüße OmmO

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am So. 02. März 2014 03:55:08


Das ist eine gute Idee. Bei den Untergruppen habe ich ein Beispiel mit der Bewegungsgruppe genannt, aber es gibt natürlich noch viel mehr zu sagen (die Isomorphie zu <math>\mathrm{Sym}(4)</math>, die Normalteiler, deren Quotienten, und deren geometrische Interpretation). Aber um das ordentlich zu machen, müsste man etwas über symmetrische Gruppen und Gruppenwirkungen wissen. Das würde den Artikel aber noch länger machen. Mir ging es wie gesagt nicht um eine vollständige Einführung mit vielen Erklärungen, Beispielen, Aufgaben, etc., sondern darum, wie ich die grundlegenden Begriffe definieren würde. Und zu zeigen, dass man damit wirklich arbeiten kann (das betrifft vor allem Quotientengruppen). Dass ich das Würfelbeispiel und das Zahlenbeispiel am Anfang gebracht habe, gründet sich auf meiner Überzeugung, dass man abstrakte Begriffe durch Beispiele motivieren muss.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von KidinK am So. 02. März 2014 08:28:02


Herrlich. Ich weiß noch, wie ich mich mit doppelt indizierten Familien abgequält habe, als ich das erste mal den verallgemeinerten Lagrange bewiesen habe, dabei ist es so schön auf diese Weise. Ich denke man versteht die Essenz des Beweises, auch ohne über monoidiale Kategorien Bescheid zu wissen. Danke für den Hinweis.

Liebe Grüße,
KidinK

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am Di. 04. März 2014 04:17:48


Naja, das sind so oder so doppelt indizierte Familien, aber es gibt keinen Grund, sich damit zu quälen:

Wenn <math>K \subseteq H \subseteq G</math> Untergruppen sind und <math>G = \coprod_i a_i H</math> und <math>H = \coprod_j b_j K</math>, so folgt <math>G = \coprod_i a_i (\coprod_j b_j K) = \coprod_i \coprod_j a_i b_j K = \coprod_{i,j} a_i b_j K</math>. Das zeigt
 
<math>[G:K] = [G:H] \cdot [H:K].</math>



Nachtrag, 6.3.14: Ich habe den Abschnitt über Quotientengruppen noch einmal überarbeitet. Die Bilder machen das ganze hoffentlich noch anschaulicher. Außerdem gibt es ein Inhaltsverzeichnis, weil der Artikel doch schon relativ lang ist.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 27. März 2014 14:21:38


Der Anfang mit dem Würfel usw. ist ganz nett. Ein weiteres Beispiel aus einem anderen Zusammenhang, so dass man dann aus den beiden die Abstraktion herausfiltern kann, wäre schön.


Zu 2,3,4 fehlen relevante Beispiele, am besten an Teil 1 anknüpfend.


Richtung Schluss gleitet der Artikel regelrecht ab.


5.

"Wenn wir uns aber die Konstruktion der Menge der rationalen Zahlen anschauen, etwa als Menge von Äquivalenzklassen \mathds{Q} := (\mathds{Z} \times \mathds{Z}^+) / \sim, wobei die Äquivalenzklasse [(a,b)] für den Bruch \frac{a}{b} steht, so ist keineswegs \mathds{Z} eine Teilmenge von \mathds{Q}."
Ihre Erbsenzählerei (um die drastischeren, eigentlich zutreffenderen Ausdrücke zu vermeiden), die Sie hier zum Maß aller Dinge machen, bringt doch niemanden weiter.

"Anscheinend nimmt kein Lehrbuch der Algebra dieses Problem ernst und löst es konsequent."
Zum Glück, da es nicht existiert. Jeder, der verstanden hat, was Sache ist, weiß ohne Weiteres damit umzugehen.


6. "Didaktik" - ist das ernst gemeint?

"Wenn wir den Studenten Charakterisierungen als Definitionen verkaufen, wundern sich diese im weiteren Verlauf ihres Studiums, dass diese Definitionen woanders nicht mehr funktionieren."
Das grenzt ja beinahe daran, alle Welt für blöd zu verkaufen. Wieder gilt: Keiner, der verstanden hat, was Sache ist (und wer den Anfang Ihres Textes liest und merkt, welche Teile nicht so ernst zu nehmen sind, kann das), hat Schwierigkeiten, zwischen verschiedenen Charakterisierungen/Definitionen hin und her zu wechseln.

"Ich habe Mono- und Epimorphismen nicht definiert, weil das nicht notwendig ist, und man genauso über injektive und surjektive Homomorphismen sprechen kann."
"Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden. Eigentlich müsste man auch zwischen einem Homomorphismus und der unterliegenden Abbildung unterscheiden, allerdings habe ich das hier gelassen, weil es für Notationsprobleme gesorgt hätte."
"Im allgemeinen Fall, insbesondere bei topologischen Gruppen, ist es wichtig, die Inversenabbildung als gegebenen Morphismus der Basiskategorie zu verstehen. "
Dies und Ähnliches sind alles nur Ihre Probleme und die der Kategorientheorie, nicht jedoch die der Mathematik...

"Auf diese Weise erkennen wir, dass Gruppen algebraische Strukturen im Sinne der universellen Algebra sind:"
Wen kümmert's?
"Das mag für Studenten jetzt nicht wirklich relevant sein,"
eben
"aber er/sie wird im Laufe des Studiums noch viele weitere Beispiele kennenlernen,"
Wer "universelle Algebra" oder "Kategorientheorie" macht, wird das wohl, wer sich für MATHEMATIK entscheidet, braucht das wirklich überhaupt nicht.



7.

"Das Prinzip ist jeweils, dass sich die Definitionen der zentralen Begriffe daran orientieren, ... b) was das Wesen dieses Begriffes ist (gemäß der Erfahrung des Autors)

Was jetzt, Wesen oder Autor? Dieser Artikel zeigt, wie sehr sich das widersprechen kann.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am Fr. 28. März 2014 13:31:15


Hallo Anonymous,

vielen Dank für deinen Kommentar.

Anonymous am Do. 27. März 2014 14:21:38 schreibt:
Der Anfang mit dem Würfel usw. ist ganz nett. Ein weiteres Beispiel aus einem anderen Zusammenhang, so dass man dann aus den beiden die Abstraktion herausfiltern kann, wäre schön.
 
Ein solches Beispiel habe ich genannt, nämlich die positiven reellen Zahlen bez. der Multiplikation. Aus diesen beiden Beispielen wird dann der Gruppenbegriff abstrahiert.

Zu 2,3,4 fehlen relevante Beispiele, am besten an Teil 1 anknüpfend.

Das stimmt. Im zweiten Teil gibt es weitere Beispiele. Es ging mir auch nicht darum - wie bereits sowohl im Artikel selbst als auch in vorherigen Kommentaren erläutert - eine vollständige Einführung in die Gruppentheorie zu geben, sondern die wesentlichen Konzepte herauszuarbeiten.

Richtung Schluss gleitet der Artikel regelrecht ab.

Stimmt, hier breche ich ein wenig mit den Konventionen.

Ihre Erbsenzählerei (um die drastischeren, eigentlich zutreffenderen Ausdrücke zu vermeiden), die Sie hier zum Maß aller Dinge machen, bringt doch niemanden weiter.
 
Stimmt. Es bringt überhaupt nichts. Man kann mit Untergruppen und den Identifikationen genauso arbeiten, wie es bisher immer gemacht wird. Im Artikel bin ich darauf eingegangen, dass dabei Inkonsistenzen auftreten können (z.B. <math>G</math> als Untergruppe von <math>G \times G</math>). Diese übergeht man dann normalerweise mit Einzellösungen. Man versucht also, an dem klassischen Begriff einer Untergruppe festzuhalten und das funktioniert auch einigermaßen, wenn man hier und da etwas flickt. Alle sind zufrieden.
 
Ich habe eine Definition von Untergruppen vorgeschlagen, mit der keine Inkonsistenzen auftreten können und man genauso gut arbeiten kann. Und wenn man einmal genau hinschaut, formuliere ich dabei eigentlich nur das aus, wie ohnehin schon immer mit Untergruppen im üblichen Sinne gearbeitet wird. Und so abstrakter ist das nun auch nicht: Man merkt sich nämlich einfach die Inklusion der Untergruppe.

Jeder, der verstanden hat, was Sache ist, weiß ohne Weiteres damit umzugehen.

Ja, genau. Wobei sich hier die Frage stellt, warum man überhaupt an erster Stelle eine solche Weiche stellen muss. Und: Nicht jeder weiß sofort, was Sache ist.

6. "Didaktik" - ist das ernst gemeint?

Ich war mir auch zuerst unsicher. Als ich dann noch einmal bei Wikipedia nachgeschaut habe, bin ich zum Schluss gekommen, dass meine Anmerkungen in Abschnitt 6 tatsächlich etwas mit der Didaktik zu tun haben.

"Wenn wir den Studenten Charakterisierungen als Definitionen verkaufen, wundern sich diese im weiteren Verlauf ihres Studiums, dass diese Definitionen woanders nicht mehr funktionieren."
 
Das grenzt ja beinahe daran, alle Welt für blöd zu verkaufen.

Eine etwas voreilige Interpretation. Ich habe bei dem Satz aus meiner Erfahrung als Übungsleiter und als Leser in mathematischen Foren geschöpft. Davon abgesehen ist man natürlich nicht gleich blöd, wenn man sich wundert. Man badet einfach das aus, was die Lehre vorher versäumt hat.

Wieder gilt: Keiner, der verstanden hat, was Sache ist (und wer den Anfang Ihres Textes liest und merkt, welche Teile nicht so ernst zu nehmen sind, kann das), hat Schwierigkeiten, zwischen verschiedenen Charakterisierungen/Definitionen hin und her zu wechseln.
 
Die Anmerkung in der Klammer verstehe ich leider nicht.

Ja, mit ein wenig Übung, kann man natürlich zwischen Charakterisierungen und Definitionen hin und her wechseln, und man nimmt sich einfach das heraus, was man gerade braucht.

Meine Behauptung ist allerdings, dass es tatsächlich bei jedem Begriff eine Art Primärdefinition gibt, die sich eben dadurch auszeichnet, dass sie 1. die unterliegende Idee zum Vorschein bringt, 2. die Querverbindungen zu verwandten Begriffen offenlegt, 3. bereits in einer Form vorliegt, welche in allgemeineren Situationen sofort anwendbar ist. Mit anderen Worten, das Konzept soll im Vordergrund stehen, nicht der rechnerische Aspekt. Und genau diese Definition sollte man dann meiner Meinung nach auch bringen - alles andere als Charakterisierung kennzeichnen.

Auf dem ersten Blick ist das für die mathematische Praxis irrelevant. Auf dem zweiten oder auch dritten Blick stellt man fest, dass damit ein erster Schritt getan ist, Wesentliches von Unwesentlichem zu trennen und man damit auch eher in der Lage ist, bei konkreten Beweisen schnell zum Ziel zu kommen. Dies mit Beispielen zu untermauern, hätte den Rahmen des Artikels dann aber gesprengt.

1. "Ich habe Mono- und Epimorphismen nicht definiert, weil das nicht notwendig ist, und man genauso über injektive und surjektive Homomorphismen sprechen kann."
 
2. "Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden. Eigentlich müsste man auch zwischen einem Homomorphismus und der unterliegenden Abbildung unterscheiden, allerdings habe ich das hier gelassen, weil es für Notationsprobleme gesorgt hätte."
 
3. "Im allgemeinen Fall, insbesondere bei topologischen Gruppen, ist es wichtig, die Inversenabbildung als gegebenen Morphismus der Basiskategorie zu verstehen. "

Dies und Ähnliches sind alles nur Ihre Probleme und die der Kategorientheorie, nicht jedoch die der Mathematik...

Bist du dir sicher?

1. Die kategoriellen Begriffe von Mono- und Epimorphismen spielen nicht nur in der Kategorientheorie selbst eine Rolle, sondern überall da, wo sie angewendet werden, zum Beispiel die algebraische Geometrie und die algebraische Topologie. Wenn man wissen möchte, dass gewisse Funktoren Mono- oder Epimorphismen erhalten (und solche Probleme treten wirklich auf), dann ist es hilfreich zu wissen, dass letztere tatsächlich kategoriell definierbar sind. Wenn man das über die unterliegenden Mengen tut (also injektive oder surjektive Homomorphismen), so ist das erst einmal überhaupt nicht klar, und außerdem hat man in vielen Situationen überhaupt gar keine unterliegenden Mengen mehr (Garben etwa).

2. Warum dieser Unterschied relevant ist, habe ich versucht in diesem Artikel zu erklären.

3. Inwiefern gehören topologische Gruppen nicht zur Mathematik?

Wenn ich

die der Kategorientheorie, nicht jedoch die der Mathematik...

richtig verstehe, dann siehst du Kategorientheorie nicht als Teil der Mathematik an. Wie kommt man zu solch einem Schluss? Es gibt Lehrbücher, Konferenzen, Zeitschriften und Arbeitsgruppen, die sich der Kategorientheorie verschrieben haben. Die Kategorientheorie stellt zentrale Methoden für die meisten Gebiete der reinen Mathematik zur Verfügung. Mir ist nicht ganz klar, was es noch braucht, um ein Teil der Mathematik zu werden?

"Auf diese Weise erkennen wir, dass Gruppen algebraische Strukturen im Sinne der universellen Algebra sind:"
Wen kümmert's?

Wie schon gesagt, ist das für Studenten, die gerade anfangen, in die Gruppentheorie einzusteigen, wirklich irrelevant. Und wenn er/sie sich nicht auf die Algebra spezialisiert, wird es dabei wohl auch bleiben. Mir sind jedenfalls schon mehrere Situationen untergekommen, wo es sehr nützlich war, zu wissen, dass Gruppen einfach durch Verknüpfungen gegeben sind, welche Gleichungen (allquantifiziert) erfüllen. Die universelle Algebra stellt nämlich viele Methoden zur Verfügung, die dann sofort greifen (Produkte, Koprodukte, erzeugte Gruppen, freie Gruppen, Gruppenpräsentationen - mehr dazu in Teilen 2 und 3). Was nicht so klar wäre, wenn man anstelle der Inversenabbildung nur ein Axiom für die "lokale" Existenz von inversen Elementen hätten. Körper sind übrigens nicht Teil der universellen Algebra. Man hat keine globale Inversenabbildung. Das erklärt auch, warum dort viele Konstruktionen nicht mehr funktionieren.

Noch viel wichtiger wird das Ganze, wenn man Gruppen internalisiert und man etwa topologische Gruppen betrachtet. Hier ist das Axiom für die Existenz von inversen Elementen "auf einmal" nicht mehr hinreichend. Man fordert die Stetigkeit der inversen Abbildung. Dass dies kein Sonderfall ist, sondern sich aus der konzeptionellen Definition einer Gruppe sofort ableitet, rechtfertigt noch einmal, es gleich richtig zu machen.

Wer "universelle Algebra" oder "Kategorientheorie" macht, wird das wohl, wer sich für MATHEMATIK entscheidet, braucht das wirklich überhaupt nicht.

Das schöne an der Mathematik ist, dass die Teilgebiete nicht nur für sich stehen, sondern dass es viele Querverbindungen gibt und sich die Teilgebiete damit gegenseitig bereichern. Die universelle Algebra zeigt auf, welche Gemeinsamkeiten es etwa zwischen der Gruppen-, Ring- und z.B. der Verbandstheorie gibt. Die Kategorientheorie wurde erstmals genutzt, um Verbindungen zwischen der Topologie und der Algebra herzustellen - daraus ist dann die algebraische Topologie erwachsen. Und das ist nur eines von unzähligen Beispielen. Wenn du also die Kategorientheorie - kategorisch - als Teil der Mathematik ablehnst, dann wird dir etwas entgehen.

Übrigens ist der Artikel selbst, also die Definition von Gruppen, Homomorphismen, Untergruppen und Quotienten, natürlich frei von Kategorien, und damit nach wie vor für Anfänger verständlich - hoffe ich zumindest. Meine Anmerkungen zur Kategorientheorie haben sich nur darauf bezogen, wie ich jeweils zu einer konzeptionellen Definition gekommen bin.

Ich hoffe, dass ich damit meinen Standpunkt noch etwas verständlicher machen konnte.

Gruß,
Martin

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von derZahl am Mo. 31. März 2014 19:39:34


Hallo Forum,
der Artikel gefaellt mir wirklich sehr. Ich bin begeistert! Ich habe bis in die Nacht gelesen...
vielen Dank!

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 03. April 2014 10:37:57



Meine Behauptung ist allerdings, dass es tatsächlich bei jedem Begriff eine Art Primärdefinition gibt, ... Mit anderen Worten, das Konzept soll im Vordergrund stehen, nicht der rechnerische Aspekt.

Dann verwenden Sie diese, siehe Teil 2.


Bist du dir sicher?

Klar.


Inwiefern gehören topologische Gruppen nicht zur Mathematik?

Sie sollen sich von diesem krankmachendeb kategorischen Morphistentum abwenden und nicht von topologischen Gruppen.


..., dann siehst du Kategorientheorie nicht als Teil der Mathematik an. Wie kommt man zu solch einem Schluss? Es gibt Lehrbücher, Konferenzen, Zeitschriften und Arbeitsgruppen, die sich der Kategorientheorie verschrieben haben.

Das ist Ihr Ernst?? Dass sich ausreichend große Massen mit irgendeinem Unsinn beschäftigen, sich zusammentun, gegenseitig zitieren, die einen weiterführen, was die anderen begonnen und/oder für wichtig erklärt haben, soll ein Maßstab sein?


Die Kategorientheorie stellt zentrale Methoden für die meisten Gebiete der reinen Mathematik zur Verfügung.

Quatsch.


Das schöne an der Mathematik ist, dass die Teilgebiete nicht nur für sich stehen, sondern dass es viele Querverbindungen gibt und sich die Teilgebiete damit gegenseitig bereichern. Die universelle Algebra zeigt auf, welche Gemeinsamkeiten es etwa zwischen der Gruppen-, Ring- und z.B. der Verbandstheorie gibt. Die Kategorientheorie wurde erstmals genutzt, um Verbindungen zwischen der Topologie und der Algebra herzustellen - daraus ist dann die algebraische Topologie erwachsen. Und das ist nur eines von unzähligen Beispielen.

Das sind doch Luftschlösser, aus diesen Vorhaben ist noch nichts irgendwie Relevantes erwachsen, was auch mehr als überraschend wäre. Beweisen Sie die Riemnannsche Vermutung mittels universeller Algebra, um das Gegenteil zu beweisen!


Wenn du also die Kategorientheorie - kategorisch - als Teil der Mathematik ablehnst, dann wird dir etwas entgehen.

Quatsch.
Setzen Sie Ihre Zeit sinnvoll ein.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Fabi am Do. 03. April 2014 21:19:58


@Anonymous Dein Verlangen, mithilfe der Kategorientheorie die Riemannsche Vermutung zu beweisen, fuehrt etwas vom eigentlichen Wege ab.

Es gibt durchaus  schwierige Saetze, deren Beweis wesentlich (!) auf kategorientheorie beruht. Beispielsweise ist en.wikipedia.org/wiki/Borel_conjecture in vielen Faellen bekannt; die existierenden Beweise waeren ohne Kategorien nicht denkbar. Und ich meine nicht nur, dass Kategorien in den Beweisen vorkommen - nein, in den Beweis gehen Ideen ein, auf die man ohne Kategorien garnicht gekommen waere. (Ja, ich habe die betreffenden Paper recht genau gelesen.)

Oftmals kann man Beweise  jedoch tatsaechlich so schreiben, dass keien kategorientheoretischen Konzepte vorkommen. Die Frage ist aber, waere man ohne Kategorien auf diese Beweise gekommen? Menschen sind einfach extrem schlecht, wenn es darum geht, den Ueberblick ueber 100000 Details zu behalten, aber extrem gut, wenn es um Konzepte geht. Und in Kategorien bzw. universellen Eigenschaften zu denken  erlaubt es oftmals, die Schwierigkeiten von den Details in die Konzepte zu schieben.

Ich vergleiche das gerne mit Programmieren: Offensichtlich kann man jedes Programm, das wir benutzen, auch in Assembler programmieren. Wozu also hoehere Programmiersprachen? Damit man eben Dinge, die man sich schonmal ueberlegt hat, nicht nochmal und nochmal und nochmal ueberlegen muss, wobei man komplett die Uebersicht verliert. Genauso ist es oftmals mit universellen Eigenschaften und Kategorien.

Also, zeig mir mal ein Programm, dass man nicht auch ohne hoehere Programmiersprachen programmieren koennte  ;-). Nach deiner Logik duerfte es also keine  hoeheren Programmiersprachen geben.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Gockel am Fr. 04. April 2014 21:20:19


Zusatz: Die Riemannsche Vermutung ist bereits mit kategorientheoretischen Ideen bewiesen worden wink Natürlich nur die Riemannsche Vermutung für Kurven über endlichen Körpern, noch nicht die für Zahlkörper. Das ist die berühmte Arbeit von Deligne über die Weil-Vermutungen, deren Beweis ohne Grothendieck-Topologien einfach nicht funktionieren.
Und in der Tat gibt es Versuche, die Ideen aus Delignes Beweis zu so zu verallgemeinern, dass auch ein Beweis der bekannteren Variante der Riemannschen Vermutung dabei heraus springt. Das ist eines der Ziele, das die Leute, die am "Körper mit einem Element" forschen, verfolgen. Und die erfolgversprechendsten Ansätze sind allesamt kategorientheoretisch.

mfg Gockel.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von pindakaas am So. 27. April 2014 12:40:34


Hallo Martin,
ich habe den Artikel mit Begeisterung gelesen,zum Beispiel die Unterscheidung zwischen Gruppe G und der zugrundeliegenden Menge |G| fand ich gut, da es das ganze für mich irgendwie ein bisschen entzaubert und schreibweisen wie X,Y beliebige Teilmengen von G eindeutiger macht bei: |X|,|Y| <math>\subseteq</math> |G| ist dann klar, dass die Mengen gemeint sind. Und man muss nicht raten was jetzt mit Teilmenge der Gruppe gemeint ist.

Wo ich aber richtig hängen geblieben bin ist der Teil  "Was ist eine Quotientengruppe?", denn dort tauchen kommentarlos und ohne Definition Äquivalenzklassen und Äquivalenzrelationen auf, das dürfte für jeden Neuling, der diesen Artikel ließt um zu erfahren was Gruppen sind ein schwer zu überbrückender Bruch sein. Ich bin jetzt bei der Gruppenzwangreihe gelandet um mir das nochmal anzuschauen und Wikipedia aber ich würde wirklich sehr gerne diesen Artikel weiter lesen.

Vielleicht hast du ja einmal Lust diese Stelle zu polieren und zu erweitern, würde mich sehr freuen, deine Sicht auf die Sache zu lesen.

Trotzdem danke für deine Arbeit, das muss ewig dauern so einen Artikel zu schreiben.


Gruß, pindakaas.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am So. 27. April 2014 14:47:48


@pindakaas: Danke für den Kommentar. Was Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen sind, gehört zu den absoluten Grundlagen der Mengenlehre, die man (normalerweise) in den ersten Tagen des Studiums lernt. Ich habe ja auch nicht erklärt, was eine Abbildung ist. Du kannst einfach den Wikipedia-Artikel Äquivalenzrelation lesen. Was die Gruppentheorie betrifft, ist mein Artikel aber self-contained.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von weird am So. 27. April 2014 15:41:32


Die Frage, ob man zwischen einer Gruppe und ihrer Trägermenge in der Notation unterscheiden soll, ist für mich nicht so eindeutig zu beantworten. Sicherlich ist es streng genommen ein "abuse of language and notation", wenn man es nicht macht, doch ist es andererseits sehr mühsam, wenn man z.B. in einem Buch über Gruppentheorie (und nichts anderes!) diese Unterscheidung konsequent durchzieht, obwohl es da absolut nichts bringt, und - jetzt nach einem flüchtigen Check meiner Bücher - in der Praxis wird es da eigentlich auch selten gemacht. Wenn man natürlich Gruppen zusammen mit anderen algebraischen, relationalen oder topologischen Strukturen behandelt, wie dies z.B. in der Kategorientheorie geschieht, ist diese Unterscheidung aber klarerweise ein MUSS. Es kommt also auf den Kontext und wohl auch auf den Wissenstand des Lernenden an: Einen Anfänger würde ich damit noch nicht "quälen", für den sind andere Dinge definitiv wichtiger.

Womit ich mich aber hier absolut nicht abfinden kann, ist die Notation |G| für die Trägermenge einer Gruppe: Das steht für mich noch immer für die Anzahl ihrer Elemente und ist für mich dann auch der einzige Wermutstropfen in diesem Artikel, der ansonsten viel gute und richtige Standpunkte vertritt, wenngleich das meiste davon eher für "Fortgeschrittene" interessant sein dürfte.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Di. 31. März 2015 14:41:18


Anfangs wird gesagt, dass man die Bewegungen betrachte, die den Würfel invariant lassen. Dann werden aber beliebige Bewegungen genannt, die den Würfel nicht invariant lassen, wie z. B. 90°-Drehung nach links. Aber eine 90°-Drehung nach links lässt den Würfel doch nicht invariant, oder? Ich denke mir nämlich, dass invariant "unverändert" bedeutet. Und wenn ich den Würfel nur um 90° nach links drehe, dann hat er sich doch verändert, oder?


Bei den Beispielen für Gruppen steht da:

"Wir haben bereits gesehen, dass die Bewegungen, die ein räumliches geometrisches Objekt invariant lassen, eine Gruppe bilden."

Ist das ein mathematisches Theorem, oder nur eine empirische Feststellung?

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am Di. 31. März 2015 17:07:08


@asdfusername: Es sind Bewegungen gemeint, die den Würfel als Punktmenge invariant lassen; nicht jeder Punkt muss invariant bleiben. Davon gibt es reichlich.

Zur zweiten Frage: Eine mögliche mathematische und leicht zu beweisende Formalisierung ist: Für jedes <math>n \geq 0</math> ist

<math>SO(n) = \{f : \mathds{R}^n \to \mathds{R}^n : f \text{ linear, isometrisch}, \,\det(f)=1\}</math>

mit der Komposition eine Gruppe ("spezielle orthogonale Gruppe"), und für jede Teilmenge <math>A \subseteq \mathds{R}^n</math> ist <math>\{f \in SO(n) : f(A)=A\}</math> eine Untergruppe von <math>SO(n)</math>, die "Rotationsgruppe" von <math>A</math>.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Di. 31. März 2015 21:23:54


@Martin: Okay, wieder einmal Danke für deine Antworten.  smile

Ich höre dennoch nicht auf, Fragen zu stellen: Gibt es eine genaue Definition von "invariant"? Ich konnte nämlich aus Google nichts herauspressen. Ich habe halt nur "invariant" als Synonym für "unverändert" gefunden. Müsste man nicht genauer Folgendes sagen: "invariant/unverändert bezüglich einer Eigenschaft des Würfels"?

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Gockel am Di. 31. März 2015 22:34:32


@asdf:
Ja, das muss man sowieso immer sagen. "invariant" heißt immer nur "die Eigenschaften, für die ich mich gerade interessiere, bleiben unverändert" und niemals "alle Eigenschaften bleiben unverändert".
Auf das Würfelbeispiel bezogen: Hier wurde nur die generelle Anordnung des Würfels im Raum (z.B. im Sinne von "die acht Ecken stimmen mit den acht Punkten in <math>\{0,1\}^3\subseteq\mathbb{R}^3</math> überein") als "interessant" deklariert, nicht aber z.B. die Unterscheidung der Seitenflächen des Würfels. Du kannst also nicht sagen "Nach der Drehung ist eine andere Seite vorne, also ist das nicht invariant", weil eine Unterscheidung der Seitenflächen gerade nicht betrachtet wird. (Etwas anschaulicher gesprochen: Der Würfel ist nicht bemalt oder ein nummerierter Spielwürfel o.Ä., sondern die reine Form)

mfg Gockel.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Mi. 01. April 2015 17:28:37


@Gockel: Danke, du und Martin, ihr seid echt genial  biggrin

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Fr. 01. Mai 2015 09:48:31


Hi Gruppentheoretiker!

In dem Thread prädikatenlogische Äquivalenzen mit "es gibt genau ein" habe ich schon Fragen zu Aussagen, in denen die Eindeutigkeit behauptet wird, gestellt.

Diese Frage hatte einen Hintergrund:

Martin_Infinite schreibt:
Was man allerdings ohne große Probleme machen kann, ist <math>(|G|,\circ,1,i)</math> mit <math>(|G|,\circ)</math> abzukürzen, weil nämlich <math>1</math> und <math>i</math> schon eindeutig bestimmt sind.

Ich möchte nämlich diesen Satz, dass <math>1</math> und <math>i</math> schon eindeutig bestimmt sind mehr formalisieren bzw. genauer formulieren. Es geht darum, folgenden Satz zu formalisieren:

"Wenn es zu <math>|G|</math> und <math>\circ</math> mindestens ein <math>1</math> und mindestens ein <math>i</math> gibt, sodass <math>(|G|,\circ,1,i)</math> eine Gruppe ist, dann gibt es genau ein <math>1</math> und genau ein <math>i</math>, sodass <math>(|G|,\circ,1,i)</math> eine Gruppe ist."

Speziell geht es um diese Stelle:

"dann gibt es genau ein <math>1</math> und genau ein <math>i</math>."

Wie kann man diese Stelle mit Quantoren formulieren?

Mir kam als erstes Folgendes in den Sinn:

"dann gibt es genau ein <math>1</math> zu dem es genau ein <math>i</math> gibt, sodass ...."

Dies ist aber falsch, so verstehe ich es aus den Antworten des oben angegebenen Threads.

Ich hoffe, ihr als Gruppentheoretiker könnt mir helfen.

Mit freundlichen Grüßen
der Anfänger
asdf.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Fr. 01. Mai 2015 13:58:12


Martin_Infinite schreibt:
Es ist <math>(\mathds{R}^+,*,1,(-)^{-1})</math> eine kommutative Gruppe.

Was ist <math>(-)^{-1}</math> für eine Abbildung?

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Fr. 01. Mai 2015 14:08:10


Ehrlich gesagt finde ich es sehr verwirrend, dass Gruppen überall anders definiert werden. Manchmal wird nur die Existenz eines linksneutralen Elementes gefordert, manchmal ein generell neutrales Element. Später stellt sich das Ganze als äquivalent heraus, es ist aber für einen Anfänger blöd, wenn es überall anders gemacht wird. Ich persönlich finde, dass es für einen Anfänger besser ist, wenn nur die Existenz eines linksneutralen Elements gefordert wird, statt ein generell neutrales Element. Was ich im Buch "Grundwissen Mathematikstudium" über Gruppen gelesen habe, finde ich didaktisch schlecht (außer, dass nur die Existenz eines linksneutralen Elements gefordert wird razz ). Wieso wird dort eine Gruppe als ein 2-Tupel definiert? Viel einfacher zu verstehen (zumindest für mich) ist es, wenn man eine Gruppe als ein 4-Tupel definiert, wie Martin es getan hat. Die didaktischen Bemerkungen gegen Ende habe ich mir nicht durchgelesen, denn ich will nicht mehr von "wesentlicheren" Definitionen etwas lesen, ich befürchte aber, in dem Abschnitt geht es darum.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Fr. 01. Mai 2015 14:37:10


Hat die Assoziativität zur Folge, dass man bei jeder zusammengesetzten Operation so Klammern kann, wie man will? Kann man das beweisen?

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Fr. 01. Mai 2015 14:45:24


Ich finde, der Begriff der Gruppe, wie du ihn definierst, ist redundant. Die "Hauptbestandteile" einer Gruppe sind ja der Träger <math>|G|</math> und die Verknüpfung <math>\circ</math>. <math>\circ</math> ist ja eine Abbildung <math>|G|^2\rightarrow|G|</math>, das heißt, <math>\circ=(|G|^2, |G|, G_\circ)</math> mit <math>G_\circ\subseteq |G|^2\times |G|</math>. Aber man könnte <math>\circ</math> auch einfach als Teilmenge von <math>|G|^2\times |G|</math> definieren, da man ja aufgrund der Angabe des Trägers weiß, worauf die Verknüpfung <math>\circ</math> angewendet werden soll. Bei deiner Definition der Gruppe wird doppelt angegeben, dass <math>|G|</math> sozusagen die "Grundmenge" ist: einmal als Träger, und einmal als Zielmenge von <math>\circ</math>. Was sagst du dazu?

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Fr. 01. Mai 2015 15:10:20


Wie wird eine Symmetrie in der Mathematik definiert? Speziell: Wie wird eine Rotationssymmetrie definiert?

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am Fr. 01. Mai 2015 16:51:28


@asdf: Das sind ja gleich 6 Kommentare!

1) Es gibt genau ein Paar (1,i), sodass (|G|,o,1,i) eine Gruppe ist. Oder noch formaler: Es gibt genau ein x, sodass es ein 1 gibt, sodass es ein i gibt, sodass x = (1,i) und dass (|G|,o,1,i) eine Gruppe ist.

2) Das ist die übliche "Kehrwert"-Abbildung <math>r \mapsto r^{-1}</math> auf den positiven reellen Zahlen. Ich benutze <math>-</math> gerne für einen Platzhalter. Zum Beispiel sollte <math>\sin(-)</math> für die Abbildung <math>r \mapsto \sin(r)</math> stehen.

3) Merke dir doch einfach, was am Ende alles bei einer Gruppe vorhanden ist, und nicht, wie man es mit einer minimalen Definition erreichen könnte. Am Ende will man sowieso mit dem Gesamtpaket arbeiten.

Dass die meisten Autoren lediglich die Komposition zum Datum einer Gruppe hinzufügen, nicht das neutrale Element und die Inversion, ist natürlich dadurch motiviert, dass die Komposition bereits das alles eindeutig festlegt. Aber nach einigen Jahren Erfahrung bin ich zu dem Schluss gekommen, inwiefern das unnatürlich ist. Das wird in den Bemerkungen zur Didaktik genau ausgeführt (wobei dazu mittlerweile noch ein neuer Grund dazugekommen ist). Dort gehe ich ebenfalls darauf ein, warum es wenig Sinn macht, nur linksneutrale Elemente zu fordern, auch wenn das theoretisch ausreichen würde.

Terence Tao hat übrigens hier einen sehr überzeugenden Beitrag gegen minimalistische Definitionen (im Zusammenhang mit topologischen Räumen) geschrieben:
mathoverflow.net/a/30231/2841

4) Ja. Das beweist man per Induktion nach der Klammerungstiefe. (Aber das besprichst du bei Nachfragen vielleicht besser im Forum. Wobei es dazu natürlich schon einige Threads gibt.)

5) Der im Artikel vorgestellte Begriff einer Gruppe ist voll mit Redundanzen. Sie können aber erheblich zur Klarheit beitragen, denke ich. Ich spreche ja sehr oft von der unterliegenden Menge einer Gruppe, und daher macht es schon Sinn, diese mit in die Definition einer Gruppe aufzunehmen, auch wenn sie sich irgendwie in den Rest reinkodieren lässt.
 
Im Text von Rudin über Komplexe Analysis wird argumentiert, dass ein Maßraum <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> eigentlich vollständig durch das Maß <math>\mu</math> festgelegt ist, nämlich weil die <math>\sigma</math>-Algebra <math>\mathcal{A}</math> der Definitionsbereich von <math>\mu</math> und weil <math>X</math> das maximale Element von <math>\mathcal{A}</math> ist; aber was bringt einem diese Einsicht? Man will doch immer noch über messbare Abbildungen zwischen Maßräumen sprechen und die etwa integrieren?
 
Wie gesagt, gute Definitionen sind nicht unbedingt die minimalistischen Definitionen.

6) Das habe ich doch in meinem vorherigen Kommentar erklärt? Die spezielle orthogonale Gruppe oder auch Drehgruppe besteht aus Rotationen des <math>\mathds{R}^n</math>. Für eine Teilmenge <math>A \subseteq \mathds{R}^n</math> kann man sich dann die Rotationen anschauen, die <math>A</math> festlassen, und erhält damit die Rotationsgruppe von <math>A</math>.


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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Fr. 01. Mai 2015 17:27:36


@Martin_Infinite: Vielen Dank, für deine ausführliche Antwort!  smile

zu 1) Wenn man sagen möchte, dass es (mindestens) ein Paar (x, y) mit A(x, y) gibt, dann kann man auch sagen: "Es gibt ein x, sodass es ein y gibt mit A(x, y)". Bemerkenswert ist es, dass wenn man sagen möchte, dass es genau ein Paar (x, y) mit A(x, y) gibt, nicht sagen kann "Es gibt genau ein x, sodass es genau ein y gibt, sodass A(x, y)". Ist das richtig?

zu 2) Mir ist die Bezeichnung <math>(-)^{-1}</math> unbekannt. Wenn du <math>r</math> auf <math>r^{-1}</math> abbilden willst, dann würde ich die Abbildung mit <math>^{-1}</math> bezeichnen. Was spricht dagegen? (Außer, dass <math>^{-1}</math> als allgemeines Zeichen der Inversen-Abbildung bei (nicht-kommutativen?) Gruppen benutzt wird, wenn du weißt, was ich meine.)

zu 3) Ich finde, dass Formulierungen der Definition einer Gruppe als 4-Tupel meist mehr eindeutig sind, als die Definition (einer Gruppe) als 2-Tupel. Den Beitrag von Terrence Tao lese ich mir jetzt noch nicht durch. Ich weiß schließlich noch nicht, was ein topologischer Raum ist.

zu 4) Okay, Danke.

zu 5)

Martin_Infinite schreibt:
Im Text von Rudin über Komplexe Analysis wird argumentiert, dass ein Maßraum <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> eigentlich vollständig durch das Maß <math>\mu</math> festgelegt ist.

Verstehe ich es richtig, dass Rudin folgenden Satz bewiesen hat?

Satz: Für jedes Maß <math>\mu</math> gibt es genau ein Tupel <math>(X, \mathcal{A})</math>, sodass <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> ein Maßraum ist.

Damit wären wir wieder bei 1)  biggrin  *grins*

zu 6) Das war mir noch zu kompliziert, und ist es mir jetzt immernoch. Ich komme irgendwie nicht so richtig mit dem Begriff "Symmetrie" im Allgemeinen klar.

mfg asdf.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am So. 03. Mai 2015 13:42:17


Hi Gruppentheoretiker,

die Aufgabe aus 1. lautete:

Martin_Infinite schreibt:
Aufgabe. Sei <math>G</math> eine Gruppe und <math>a,b \in |G|</math>. Zeige <math>(a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1}</math>. Veranschauliche diese Rechenregel für die Bewegungsgruppe des Würfels.

Meine Lösung:
Wir wissen aus den Gruppenaxiomen, dass <math>b^{-1}\circ b=1</math> und <math>(a\circ b)^{-1}\circ(a\circ b)=1</math>. Daraus folgt, dass <math>b^{-1}\circ b=(a\circ b)^{-1}\circ(a\circ b)</math>, gekürzt <math>b^{-1}=(a\circ b)^{-1}\circ a</math>. Wenn wir jetzt auf beiden Seiten <math>a^{-1}</math> multiplizieren, erhalten wir <math>(a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1}</math>.

Ich, als Formalist, weigere mich, das zu veranschaulichen.

Ist meine Lösung zu der Aufgabe richtig?

mfg asdf

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am So. 03. Mai 2015 14:08:03


Martin_Infinite schreibt:
Zu je zwei Bewegungen <math>A,B</math> haben wir eine neue Bewegung <math>A \circ B</math>.

Bedeutet <math>A \circ B</math>, dass man erst die Bewegung <math>A</math> am Würfel durchführt und dann <math>B</math>, oder andersrum? Weil bei einer Komposition <math>f\circ g</math> wendet man ja erst <math>g</math> an, und dann <math>f</math>.

mfg asdf.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am So. 03. Mai 2015 15:02:37


//EDIT: Die Überlegungen basieren zum Teil auf einer falschen Interpretation des kartesischen Produkts von Abbildungen.

Ich überlege mir, was das Produkt <math>\mathds{Z}\times \mathds{Z}/2\mathds{Z}</math> der beiden Gruppen <math>\mathds{Z}:=(\mathds{Z},+,0,-)</math> und <math>\mathds{Z}/2\mathds{Z} := (\{g,u\},+,g,\mathrm{id})</math> ist. Der Träger von <math>\mathds{Z}\times \mathds{Z}/2\mathds{Z}</math> ist <math>\mathds{Z}\times \{g,u\}=\{..., (-3,g),(-3, u), (-2, g), (-2, u), ..., (0, g), (0, u), (1, g), (1, u), (2, g), (2, u), ...\}</math>. Die Inversen-Abbildung von <math>\mathds{Z}</math> ist <math>\{..., (-3, 3), (-2, 2), ..., (4, -4), (-8, 8), ....\}</math>, die von <math>\mathds{Z}/2\mathds{Z}</math> ist <math>\{(g, g), (u, u)\}</math>. Somit ist <math>\{((-3, 3), (g, g)), ((-3, 3), (u, u)), ((-2, 2), (g, g)), ((-2, 2), (u, u)), ...\}</math> die Inversen-Abbildung von <math>\mathds{Z}\times \mathds{Z}/2\mathds{Z}</math>. Die Inversen-Abbildung von <math>\mathds{Z}\times \mathds{Z}/2\mathds{Z}</math> ordnet so aber gar nicht Elementen aus dem Träger von <math>\mathds{Z}\times \mathds{Z}/2\mathds{Z}</math> Elemente aus dem Träger von <math>\mathds{Z}\times \mathds{Z}/2\mathds{Z}</math> zu. Wo ist also mein Denkfehler?

mfg asdf.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am Mo. 04. Mai 2015 14:40:33


Zu diesen Existenzformeln hast du ja schon einen separaten Thread erstellt.

1) Dein Beweis von <math>(a b)^{-1} = b^{-1} a^{-1}</math> ist im Prinzip richtig, aber ich hätte dennoch etwas zu kritisieren: a) In einem Schritt kürzt du, in einem anderen Schritt multiplizierst du mit einem Inversen. Das ist aber ein und dieselbe Operation. Man sollte sich wohl für eine Schreibweise entscheiden. b) Du hast das Assoziativgesetz benutzt. Ist dir klar, wo? (Nicht mir antworten, sondern dir.) c) Am Ende wäre es genauer gewesen, zu sagen, dass <math>a^{-1}</math> von *rechts* multipliziert wird. d) Es wäre nachvollziehbarer, wenn du am Ende <math>b^{-1} a^{-1} = (ab)^{-1}</math> schreibst, anstatt die Gleichung noch einmal zwischendurch umzudrehen.

Ich empfehle dir übrigens, einen Würfel (vielleicht sogar einen Zauberwürfel) in die Hand zu nehmen und die Regel <math>(ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}</math> zu erfahren. Dann wirst du sie nie mehr vergessen, und vermutlich auch niemals auf die Idee kommen, dass <math>(ab)^{-1}=a^{-1} b^{-1}</math> gilt (das ist ein beliebter Fehler).

2) Bewegungen sind spezielle Abbildungen. Also ja, <math>A \circ B</math> bedeutet wie (leider...) üblich, dass man erst <math>B</math> und dann <math>A</math> ausführt.

3) Dieses Mengengewusel mit <math>\mathds{Z}/2\mathds{Z} \times \mathds{Z}</math> werde ich mir nicht durchlesen, sorry. Warum es konzeptioneller Unsinn ist, Abbildungen als Mengen von Tupeln darzustellen, haben wir ja schon an anderer Stelle besprochen (ebenso deine Gegenargumente). Vermutlich wäre deine Unklarheit hier auch erst gar nicht entstanden, wenn du Abbildungen einfach als Zuordnungen von Elementen siehst.

Zur Klarstellung noch einmal: Das Produkt von zwei Gruppen <math>G \times G'</math> ist so definiert, dass <math>(a,b)^{-1} := (a^{-1},b^{-1})</math>. Mit <math>i \times i'</math> in der Definition im Artikel meine ich nicht das kartesische Produkt der unterliegenden Graphen von <math>i,i'</math>, sondern eben das kartesische Produkt von Abbildungen. Wenn <math>f : X \to Y</math>, <math>g : X' \to Y'</math> zwei Abbildungen sind, dann ist <math>f \times g : X \times X' \to Y \times Y'</math> durch <math>(f \times g)(x,x') := (f(x),g(x'))</math> definiert. Vielleicht wurde das im Artikel nicht genau genug erklärt.

PS: Ich werde das im Artikel nun ändern.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Mo. 04. Mai 2015 14:50:56


Hi Martin,

Danke für deine Antworten.  smile

zu 1) Ich kann alle Kritikpunkte verstehen, außer a). Wieso sollte man sich für eine Schreibweise entscheiden? Das ist mir nicht ganz klar.

zu 2) Okay.

zu 3) Ich wusste nicht, was das kartesische Produkt von Abbildungen ist. Meinen "Fehler" habe ich somit - Dank deines Hinweises - verstanden.

mfg asdf.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am Mo. 04. Mai 2015 15:47:23


1) Das ist vielleicht auch Ansichtssache. Ich würde jedenfalls, wenn ich einmal das das Konzept des Kürzens in einer Gruppe verstanden habe, es auch konsequent anwenden und nicht in einem anderen Schritt quasi den Beweis noch einmal im Spezialfall nachliefern.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Mo. 04. Mai 2015 16:06:23


Es geht ja um diesen Schritt:

asdfusername schreibt:
... gekürzt <math>b^{-1}=(a\circ b)^{-1}\circ a</math>. Wenn wir jetzt auf beiden Seiten <math>a^{-1}</math> multiplizieren, erhalten wir <math>(a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1}</math>.

Wie sollte man <math>(a\circ b)^{-1}\circ a=b^{-1}</math> kürzen, um <math>(a \circ b)^{-1} = b^{-1} \circ a^{-1}</math> zu erhalten? <math>a</math> kommt ja in <math>(a\circ b)^{-1}\circ a=b^{-1}</math> gar nicht auf beiden Seiten vor. Also kann man nicht mit <math>a</math> kürzen. Mit was hättest du gekürzt?

mfg asdf.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am Mo. 04. Mai 2015 16:48:23


Stimmt, du hast natürlich recht. Was ist nur mit mir los  cool

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Sa. 09. Mai 2015 18:11:56


Moinsen, Herr Doktor.

Martin_Infinite schreibt:
Ich empfehle dir übrigens, einen Würfel (vielleicht sogar einen Zauberwürfel) in die Hand zu nehmen und die Regel (ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1} zu erfahren.

Meinst du damit, dass ich den Würfel im Ganzen drehen soll, oder nur die verschiedenen Ebenen des Rubiks Cube?

Martin_Infinite schreibt:
Dann wirst du sie nie mehr vergessen, und vermutlich auch niemals auf die Idee kommen, dass (ab)^{-1}=a^{-1} b^{-1} gilt (das ist ein beliebter Fehler).

Ich werde es mir schon aus dem Grund merken, dass du es mir geschrieben hast  wink

Martin_Infinite schreibt:
... betrachten wir Bewegungen, die den Würfel invariant lassen. [invariant meint in diesem Fall: die acht Ecken stimmen mit den acht Punkten in <math>\{0,1\}^3\subseteq\mathbb{R}^3</math> überein]
...
Wir haben bereits gesehen, dass die Bewegungen, die ein räumliches geometrisches Objekt invariant lassen, eine Gruppe bilden.

Ich nehme an, dass mit dem unteren invariant dasselbe wie mit dem obigen invariant gemeint ist. Würden auch alle (das heißt, nicht nur Bewegungen, die das räuml. geom. Obj. invariant lassen) Bewegungen zusammen mit der Komposition eine Gruppe bilden? Also man könnte ja auch eine 123,78° Drehung betrachten und eine Inverse Bewegung finden...

Nochmal zu dem Streit der "besten" Definition: Eigentlich versucht man, dass ein axiomatisches System so wenig fordert, wie möglich. Du machst das aber im Gegenteil, du forderst bspw. die Existenz von Linksinversen und Rechtsinversen.

Du sagst, man verwendet <math>*</math> als Abbildung bei nicht-kommutativen Gruppen, <math>+</math> als Abbildung bei kommutativen Gruppen. Aber so, wie ich es bis jetzt mitbekommen habe, ist es eher so: Wenn man nur voraussetzt, dass etwas eine Gruppe ist, verwendet die Bezeichnung <math>*</math> für die Verknüpfung, die Gruppe kann auch kommutativ sein. Wenn man zusätzlich fordert, dass die Gruppe abelsch ist, verwendet man <math>+</math> als Bezeichnung der Verknüpfung. Ist das richtig?

mfg asdf.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am So. 10. Mai 2015 02:38:36


0) Suche es dir aus. Das sind ja zwei verschiedene Gruppen.
1) Ja klar, SO(n) ist die Gruppe aller Rotationen.
2) Ich habe zwar auch gelernt, dass Axiome minimal sein sollten, aber ich sehe das mittlerweile anders, vor allem wenn es darum geht, grundlegende Konzepte zu vermitteln. Man sollte natürlich trotzdem eine minimale Charakterisierung, sofern vorhanden, als Lemma nachreichen. (Das ist zur Zeit meine Meinung, vielleicht werde ich das irgendwann auch wieder anders sehen.)
3) Ja, so war das gemeint.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am So. 10. Mai 2015 20:33:43


Danke, Martin, für deine Antwort.

0) Okay.
1) Wieso sagst du dann anfangs explizit, dass man (nur) die Bewegungen betrachtet, die den Würfel invariant lassen? Ich glaube, das verwirrt einen Leser, wie mich.
2) Als Lemma wäre dann die umfangreichere Axiomatisierung nachzureichen. Es demonstriert dann, dass das Axiomensystem mindestens etwas kann. Beispiel: ZFC-Axiome. Man gibt doch nicht ein redundantes System von Axiomen an, zu Anfang. Später zeigt man dann, dass sich Prinzipien, die man auf den ersten Blick auch als Axiome ansehen würde (wie bspw. das Paarmengenaxiom) mit dem minimalen Axiomensystem beweisen lassen (in unserem Beispiel wäre das mithilfe dem Ersetzungs- und Potenzmengenaxiom).
3) Okay, gut.

mfg asdf.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Do. 14. Mai 2015 14:22:53


Hi oo,

zur Definition Homomorphismus: Was ist <math>1</math>? Ich denke, ein neutrales Element. Aber von welcher Gruppe, von <math>G</math>? Von <math>H</math>? Von welcher Gruppe ist <math>\cdot</math> die Verknüpfung?

mfg asdf.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am Do. 14. Mai 2015 15:12:48


@asdf: Ich habe genau dazu in Abschnitt 1 die Bemerkung "Abuse of Notation" gemacht. Es steht <math>1</math> für das neutrale Element jeder in einem Kontext vorkommenden Gruppe, und entsprechend steht <math>\cdot</math> für die Multiplikation jeder in einem Kontext vorkommenden Gruppe. Ein Homomorphismus <math>f : G \to H</math> ist also eigentlich eine Abildung <math>f : |G| \to |H|</math> mit (für alle <math>a,b \in |G|</math>):

1. <math>f(a \cdot_G b) = f(a) \cdot_H f(b)</math>
2. <math>f(1_G)=1_H</math>
3. <math>f(i_G(a))=i_H(f(a))</math>
 
Warum habe ich das nicht so genau geschrieben, und warum tut es sonst auch kaum jemand? Weil aus der Formel <math>f(1)=1</math> ersichtlich wird, dass man das neutrale Element von <math>G</math> einsetzt und das neutrale Element von <math>H</math> herausbekommt, weil ja <math>f</math> eine Abbildung von <math>|G|</math> nach <math>|H|</math> ist. Die Gleichungen <math>f(1_G)=1_G</math>, <math>f(1_H)=1_H</math> und <math>f(1_H)=1_G</math> ergeben keinen Sinn (außer für <math>G=H</math>, aber <math>G,H</math> sind ja beliebig gelassen).

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Do. 14. Mai 2015 15:29:55


Hi Martin,

Danke für deine Antwort. Die Bemerkung "Abuse of Notation" habe ich gelesen und habe sie auch verstanden. Dass das aber so weit reicht, dass in ein und derselben Formel ein Symbol (ohne eine Bemerkung dazu) mehrere Objekte bezeichnet, hätte ich nicht gedacht.
Hast du meine Frage:

Wieso sagst du dann anfangs explizit, dass man (nur) die Bewegungen betrachtet, die den Würfel invariant lassen?
vom 10.Mai gelesen?

Ich habe auch noch mehrere Fragen zu den in 1. verwendeten Beweismethoden:

Hat man im Lemma 1 (Eindeutigkeit von 1 und i) Axiome/Prinzipien der Mengenlehre verwendet? Ich glaube, man hat nur allgemeingültige Schlussweisen verwendet, das heißt, keine Prinzipien der Mengenlehre.
Hat man im Lemma 2 (Charakterisierung von Gruppen) Axiome/Prinzipien der Mengenlehre verwendet? Auch hier vermute ich, dass man nur allgemeingültige Schlussweisen verwendet hat.

Wenn ich falsch liege:
Welche Axiome/Prinzipien der Mengenlehre hat man im Lemma 1 (Eindeutigkeit von 1 und i) bzw. Lemma 2 (Charakterisierung von Gruppen) verwendet?

mfg asdf.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am Do. 14. Mai 2015 17:02:42


1) Ich habe mich halt dazu entschieden. Man könnte auch zunächst die Gruppe aller Rotationen betrachten und dann die Würfelgruppe als Untergruppe erkennen. Beachte aber, dass man die Würfelgruppe ziemlich gut "anfassen" kann. Und sie ist endlich.
2) Das alles hat rein gar nichts mit Mengenlehre zu tun.
 
Du könntest übrigens überlegen, ob du vielleicht nicht weitere Fragen ins Forum stellen möchtest. Deine Fragen beziehen sich nämlich nicht spezifisch auf meinen Artikel, der sich ja in gewissen Punkten von anderen Darstellungen der Gruppentheorie unterscheidet und gerade diese Unterschiede betonen möchte, sondern würden sich auch bei fast jeder anderen Darstellung der Gruppentheorie ergeben.

Und wenn du eine grundlegende Frage hast, wie man etwa Homomorphismen von Gruppen definiert, dann kannst du natürlich auch das in einem Mathe-Buch deiner Wahl nachschlagen oder auch bei Wikipedia. Mein Artikel soll nicht die Lektüre eines "kanonischen" Textes ersetzen, sondern ist eine Skizze (nicht mehr!) für einen alternativen Zugang.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Do. 14. Mai 2015 17:24:43


2) Ich stelle meine Frage mal anders: Stelle dir ein Axiomensystem vor, in dem man Lemma 1 (Eindeutigkeit von 1 und i) und Lemma 2 (Charakterisierung von Gruppen) formulieren/formalisieren kann. Meine Frage: Wird in den Beweisen von Lemma 1 und Lemma 2 (nach deinem Artikel) von dem Axiomensystem überhaupt Gebrauch gemacht, oder benutzt man bei dem Beweis von Lemma 1 und Lemma 2 nur die üblichen Schlussregeln der Logik?

mfg asdf.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 16. Mai 2015 21:19:57


Zu dem Lemma 2 (Charakterisierung von Gruppen): Wie beweist man formal die Existenz von der Abbildung <math>^{-1}</math> aus dem Fakt, dass es für alle a in |G| ein b in |G| gibt, sodass a°b=b°a=1 gilt? Wird dabei das Auswahlaxiom verwendet? Man hat ja für jedes a eine Menge an b für die das gilt und muss jetzt auswählen. Später stellt sich natürlich raus, dass b eindeutig bestimmt ist.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am Sa. 16. Mai 2015 23:32:42


Es steht doch schon in der Aussage des Lemmas, dass das b eindeutig durch a bestimmt ist, und das wird auch bewiesen. Also ist es eine Funktion. Kein Auswahlaxiom ist nötig.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am So. 17. Mai 2015 14:17:41


Martin_Infinite schreibt:
Es steht doch schon in der Aussage des Lemmas

Welches Lemma meinst du hier?

PS: Ich bin natürlich der Anonymous.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am So. 17. Mai 2015 14:41:40


Dass das b eindeutig durch a bestimmt ist, weiß man ja erst, nachdem man die Existenz mindestens einer Inversen-Abbildung gezeigt hat. Danach merkt man ja erst, dass (|G|, °, 1, -1) ne Gruppe ist, und somit -1 eindeutig als Inversen-Abbildung bestimmt ist. Wenn man die Existenz mindestens einer Inversen-Abbildung zeigen möchte, weiß man also nicht, dass b eindeutig bestimmt ist. Wie zeigt man formal, dass es mindestens eine Inversen-Abbildung -1 gibt, sodass (|G|, °, 1, -1) eine Gruppe ist?

mfg asdf.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am So. 17. Mai 2015 15:00:36


Nein, die Eindeutigkeit heißt: Wenn <math>b,b'</math> die Gleichung <math>a \circ b = a \circ b'=1</math> erfüllen, dann ist <math>b=b'</math>. Das kann man formulieren, ohne über eine Funktion reden zu müssen.

Wenn du Abbildungen als spezielle Relationen zusammen mit Start- und Zielmenge siehst: Man definiert <math>\Gamma(i) := \{(a,b) \in |G| \times |G|: a \circ b = 1\}</math>. Dann zeigt man mit den Annahmen aus Lemma 2: Für alle <math>a \in |G|</math> gibt es genau ein <math>b \in |G|</math> mit <math>(a,b) \in \Gamma(i)</math>. Das bedeutet also: <math>i:=(|G|,|G|,\Gamma(i))</math> ist eine Funktion <math>i : |G| \to |G|</math>.
 
Ich möchte noch einmal betonen, dass deine Probleme eigentlich nichts mit meinem Artikel im Speziellen zu tun haben. Du wirst vermutlich beim Lesen eines beliebigen Gruppentheorie-Textes auf dieselben Probleme stoßen. Und die kannst du auch gerne im Forum diskutieren.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am So. 17. Mai 2015 15:17:24


Danke Martin_Infinite! Um <math>\Gamma(i)</math> zu konstruieren, wurden übrigens Axiome der Mengenlehre verwendet. Damit wurde auch gleich meine obige Frage beantwortet.  biggrin

mfg asdf.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am So. 17. Mai 2015 15:48:44


Martin_Infinite schreibt:
Generell gilt, dass isomorphe Gruppen "dieselbe" Struktur besitzen. Jede gruppentheoretische Eigenschaft, die auf eine Gruppe zutrifft, wird auch von jeder dazu isomorphen Gruppe erfüllt.

Wie sieht der Beweis dafür aus?

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am So. 17. Mai 2015 18:09:04


Hi Martin,

ich habe gerade ein kleines Programm programmiert, welches alle Abbildungen <math>\circ:\{0, 1, 2\}\times\{0, 1, 2\}\to\{0, 1, 2\}</math> mit <math>\forall x\in\{0, 1, 2\}: 0\circ x = x</math> durchgeht und prüft, ob die Abbildung Teil einer Gruppe mit dem Träger <math>\{0, 1, 2\}</math> sein kann.
Mein Programm hat mir genau eine Abbildung ausgespuckt, und zwar die Abbildung mit folgender Tabelle:

 ° |  0   1   2
---------------
0 |  0   1   2
---------------
1 |  1   2   0
---------------
2 |  2   0   1

Meine Frage:
Ist dies richtig, das heißt, bildet die Abbildung, die mein Programm gefunden hat, zusammen mit dem Träger <math>\{0, 1, 2\}</math> usw. eine Gruppe?
War mein Programm richtig, das heißt, ist das wirklich die einzige Tabelle/Abbildung, welche die oben genannten Bedingungen erfüllt?
Wie kann man diese von mir gemachte Erkenntnis, dass es nur eine solche Abbildung gibt, nutzen, um zu zeigen, dass alle Gruppen der Ordnung 3 zueinander isomorph sind?

mfg asdf.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am So. 17. Mai 2015 19:37:42


1) Das beweist man per Induktion nach dem Aufbau der Formel, von der die Aussage handelt. Der Induktionsschritt ist jeweils trivial und folgt direkt daraus, dass man einen Isomorphismus vorliegen hat. Das allgemeine Prinzip in der mathematischen Logik dahinter ist: Isomorphismen sind elementare Äquivalenzen. Ich habe diese Aussage im Artikel freilich nur als Anmerkung eingefügt; man muss es nicht allgemein verstanden haben.

2) Du brauchst keinen Computer und ich rate davon ab, sich auf die Trägermenge <math>\{0,1,2\}</math> einzuschränken.
 
Zunächst einmal sollte man ja mindestens eine Gruppe der Ordnung <math>3</math> angeben. Wie wäre es mit der Rotationsgruppe eines besonders einfachen geometrischen Objektes?
 
Wenn <math>\{1,a,b\}</math> der Träger einer Gruppe ist, wobei <math>1</math> das neutrale Element ist, dann muss man sich <math>a * a = b = a^{-1}</math> überlegen. Daraus folgt dann leicht, dass je zwei Gruppen der Ordnung <math>3</math> zueinander isomorph sind.
 
Ich möchte hier nicht alles verraten, weil das ja nun einmal eine Übungsaufgabe im Text ist, die jeder selbst lösen sollte.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Mi. 20. Mai 2015 21:22:57


Warum soll man sich nicht auf die Trägermenge {0, 1, 2} beschränken? Es ist doch nur Umbennenungssache?

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Martin_Infinite am Do. 21. Mai 2015 01:05:42


Ja. Aber mit {0,1,2} assoziiert man zu viel ;-). Es ist besser, sich Gruppen erst einmal als völlig abstrakte Gebilde vorzustellen.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Fr. 29. Mai 2015 16:22:51


Dieser unendlich schlaue Martin schreibt:
Ein Homomorphismus <math>f : G \to H</math> heißt Isomorphismus, falls es einen Homomorphismus <math>g : H \to G</math> gibt mit <math>f \circ g = \mathrm{id}_H</math> und <math>g \circ f = \mathrm{id}_G</math>.

Folgt aus <math>f \circ g = \mathrm{id}_H</math> schon <math>g \circ f = \mathrm{id}_G</math>?

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am Sa. 30. Mai 2015 12:24:00


Wieso forderst du, dass <math>g</math> ein Homomorphismus sein soll? Könnte man die Forderung auch 'rauslassen?

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Gockel am Sa. 30. Mai 2015 14:05:32


Hi.

Das wird gefordert, weil das die "richtige" Definition von Isomorphismen ist. Ja, es ist korrekt, dass die inverse Abbildung eines bijektiven Gruppen-, Ring-, Modul-, ... Homomorphismus automatisch selbst ein Homomorphismus ist. Das liegt aber wesentlich, dass es sich hierbei um algebraische Strukturen handelt. Morphismen von topologischen Räumen haben diese Eigenschaft z.B. nicht. Es gibt bijektive, stetige Abbildungen, deren inverse Abbildung nicht stetig ist. Der richtige Isomorphismenbegriff für topologische Räume muss die Stetigkeit des Inversen also explizit mitfordern.
Da der Begriff "Isomorphismus" idealerweise für alle Kategorien gleich definiert sein soll, ist die richtige Definition also diejenige, die zwei Morphismen benutzt, selbst wenn das in Spezialfällen zu noch sparsameren Forderungen äquivalent ist.


Und nein, selbstverständlich folgt aus <math>f\circ g=id</math> nicht automatisch <math>g\circ f = id</math>. Übung: Finde ein Beispiel! Falls solch eine Aussage in bestimmten Fällen doch gilt, ist das eine Form von Endlichkeitseigenschaft, z.B. gilt es für Abbildung zwischen endlichen Mengen, für lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen, stetige Abbildungen zwischen endlichen topologischen Räumen (interessanterweise nicht für kompakte Räume)


mfg Gockel.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am So. 31. Mai 2015 14:17:03


1. Okay, ich kenn' mich ja nicht mit Kategorientheorie aus und weiß auch nicht so genau, was ein Morphismus ist.

2. Man kann doch die Komposition <math>\circ</math> als Gruppenverknüpfung auffassen. Und bezüglich zu einander Inversen Elementen ist doch eine Gruppenverknüpfung immer kommutativ, das ist doch gerade die Definition einer Gruppe, außerdem wurde doch in Lemma 2 bewiesen, dass aus der Existenz von Rechtsinversen auch die Existenz von Linksinversen folgt. Worin liegt hier mein Denkfehler?

mfg asdf.

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von KidinK am So. 31. Mai 2015 15:22:45


Dass <math>\circ</math> keine Gruppenverknüpfung ist.

Liebe Grüße,
KidinK

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_40174 am So. 31. Mai 2015 16:00:59


Warum nicht?

#

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_40174 am So. 31. Mai 2015 16:12:38


@Gockel: Nenn' du mir bitte ein Beispiel!

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Re: Konzepte der Gruppentheorie
von Ex_Mitglied_43988 am So. 31. Mai 2015 16:19:28


@Gockel: Nicht mehr nötig, habe selber eins gefunden, ein Beispiel.

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