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Stern Mathematik: Per tiv-Flug ins Studium
Freigegeben von matroid am Mi. 06. August 2014 02:00:25
Verfasst von huepfer -   1954 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Gleich zu Beginn des Studiums - vielfach auch schon in einem Vorkurs - begegnet
man einem "mysteriösen" Tripel an Begriffen:
 
injektiv, surjektiv, bijektiv


Doch wie das so oft mit Fachbegriffen ist, werden sie greifbar, sobald man ihre
Bedeutung genannt bekommt. Die drei Begriffe sind derart grundlegend, dass
sie manchem zu Beginn Schwierigkeiten bereiten. Wir werden aber an Hand von
einigen Beispielen erkennen, dass ihr Grundprinzip denkbar einfach ist.
Wir werden nach den Definitionen mit den einfachsten Beispielen in der Mengentheorie beginnen und uns dann mit verschiedenen anderen Bereichen beschäftigen und sehen, dass die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv von herausragender Bedeutung sind, wenn man über Abbildungen und Funktionen spricht.

1. Die Definitionen



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Darstellung einer injektive Abbildung
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Darstellung einer surjektiven Abbildung
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Darstellung einer bijektiven Funktion

2. Aufgaben aus der Mengentheorie


Als erstes wollen wir uns mit dem konzeptionell einfachsten Bereich an Aufgaben beschäftigen. Wir betrachten einige mengentheoretische Aufgaben. Allerdings erkaufen wir uns diese Einfachheit dadurch, dass wir alles "von Hand" machen müssen, weil die meisten Hilfsmittel erst nutzbar sind, wenn man etwas an Struktur hat, die man ausnutzen kann.

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Da beide Funktionen injektiv und surjektiv sind, sind sie auch bijektiv und wie bei Teil (e) gesehen sind die beiden Funktionen auch unterschiedlich.

Eine ganz wichtige Frage ist die Existenz von Abbildungen mit bestimmten Eigenschaften.

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Der Ansatz den wir im zweiten Teil der vorigen Aufgabe gesehen haben, ist bei solchen Aufgaben allgemein von besonderer Bedeutung. Damit eine Funktion injektiv sein kann, muss die Zielmenge mindestens so viele Elemente haben wie die Startmenge. Analog muss die Startmenge mindestens so viele Elemente haben wie die Zielmenge, damit es eine surjektive Funktion geben kann. Bijektive Funktionen können also nur zwischen gleich großen Mengen bestehen. Dies gilt auch für unendliche Mengen.

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Bild
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3. Aufgaben aus der Analysis


Angenehmer ist es natürlich, wenn es etwas mehr Struktur gibt, als dies in den Beispielen der Mengentheorie der Fall war. Wir werden uns nun mit einigen Beispielen der Analysis beschäftigen, die in der Anfangszeit des Studiums auftreten. Wir werden die grundlegenden Sätze in diesem Zusammenhang nicht beweisen sondern nur an geeigneter Stelle erwähnen.

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Zum Abschluss dieses Abschnittes wollen wir uns noch einem Kuriosum widmen, das in dieser Weise im nächsten Kapitel nicht mehr möglich ist.
Bevor wir mit der Aufgabe beginnen, möchten wir noch eine ausdrückliche Warnung aussprechen. Die Schwierigkeit dieser Aufgabe übersteigt das Niveau der übrigen Aufgaben und auch das Niveau einer üblichen Anfängervorlesung deutlich. Es muss sich also niemand grämen, wenn er diese Aufgabe nicht nur nicht spontan, sondern auch nach einigem Nachdenken nicht lösen kann.

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Bild
Der erste Schritt ist ein einzelner Streckenabschnitt. Das Intervall [0,1] wird linear auf das Intervall [-1,1] abgebildet. Im zweiten Schritt wird der Streckenzug durch die Figur in Abb. 1.4b ersetzt, wobei die "Durchlaufgeschwindigkeit" entsprechend der Streckenlänge skaliert wird. Die Pfeile deuten dabei an, in welcher Reihenfolge die Streckenabschnitte abgelaufen werden. In jedem weiteren Schritt wird jeder einzelne Streckenabschnitt durch die entsprechend skalierte Variante von Abb. 1.4b ersetzt. Den dritten Schritt ohne Angabe der durchlaufenen Richtung kann man in Abb. 1.4c sehen. Dies definiert uns eine Folge von stetigen Funktionen.
Wir müssen nun folgendes zeigen:
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4. Aufgaben aus der (linearen) Algebra


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Per tiv-Flug ins Studium [von huepfer]  
Gleich zu Beginn des Studiums - vielfach auch schon in einem Vorkurs - begegnet man einem "mysteriösen" Tripel an Begriffen: injektiv, surjektiv, bijektiv Doch wie das so oft mit Fachbegriffen ist, werden sie greifbar, sobald man ihre Bedeutung genannt bekommt. Die drei Begriffe sind derart
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" Stern Mathematik: Per tiv-Flug ins Studium" | 10 Kommentare
 
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Re: Per 'tiv'-Flug ins Studium
von Akura am Mi. 06. August 2014 13:05:37


Aufgabe 11 sollte man nur mit Gruppen formulieren. Anschließend kann man ja sagen, dass das auch auf Ringe und Vektorräume übertragbar ist, da bei diesen nur die additive Gruppenstruktur von Idealen bzw. Untervektorräumen eine Rolle spielt.

Ansonsten könnte es für Studienanfänger verwirrend sein und manche denken, die verschieden Unterstrukturen in Gruppen, Ringen und Vektorräumen seien irgendwie gleich.

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Re: Per tiv-Flug ins Studium
von Martin_Infinite am Mi. 06. August 2014 15:29:24


Guter Artikel. Ich würde bei einer Einführung dieser Begriffe höchstens noch Gegenbeispiele ergänzen, etwa dass konstante Abbildungen in der Regel weder injektiv noch surjektiv sind, oder eine Betrachtung der Sinus-Funktion (nur gewisse Einschränkungen sind bijektiv). Außerdem finde ich von fundamentaler Bedeutung, dass bijektiv dasselbe wie umkehrbar ist. (Tatsächlich würde ich das so definieren, und bijektiv = injektiv + surjektiv als Lemma bringen.)

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Re: Per tiv-Flug ins Studium
von wessi90 am Mi. 06. August 2014 20:14:13


Naja, bijektiv=umkehrbar finde ich persönlich nicht so gut. Denn bereits wenn die Abbildung injektiv ist, gibt es eine Umkehrabbildung mit dem Bild als natürlichem Definitionsbereich.
Zum Artikel: Gut gemacht, tatsächlich bereitet das Studienanfängern große Probleme, daher ein nützlicher Artikel.

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Re: Per tiv-Flug ins Studium
von pindakaas am Do. 07. August 2014 08:40:41


hätte ich sicher gut gebrauchen können vor vier JAHREN!!!!
zu spät^^.


Aber ich muss sagen, ich finde es gerade für einen Einstieg immer gut wenn viele völlig verschiedene Anwendungen, wie hier, da sind, dann kann man sich die, die auf dem eigenen Niveau sind heraussuchen. Damit bist du schon mal besser als so manchen andere Autor, der Geld für seine Werke bekommt^^

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Re: Per tiv-Flug ins Studium
von huepfer am Fr. 08. August 2014 14:24:22


@wessi90,

genau das sollte man nicht machen. Zu einer Abbildung gehören immer ihr Definitions- und Zielbereich dazu. Wenn ich den Zielbereich einschränke, habe ich eine andere Abbildung. Insbesondere bei der Frage nach der Umkehrbarkeit kann das zu fundamentalen Fehlleistungen führen.

@M_I,

den Vorschlag werde ich mir mal durch den Kopf gehen lassen und überlegen, ob ich das noch ändern werde. (Unter der Voraussetzung, dass ich die Zeit habe, wenn ich meinen neuen Job angefangen habe.)

@Akura,

ich sehe, was Du meinst. Meine Überlegung war, dass der Ansatz hier ja tatsächlich identisch ist und die relevanten Unterstrukturen tatsächlich irgendwie gleich sind. Ich sehe aber auch, wie das einen Studienanfäger verwirren kann.

@pindakaas,

der Artikel liegt glaube ich fast schon so lange auf Halde und ich habe ihn nur nicht veröffentlicht, weil er eigentlich im Zusammenhang mit einem MP-Buchprojekt erscheinen sollte. Da sich das Projekt aber (bisher) nicht realisieren ließ, habe ich ihn jetzt eben so veröffentlicht.

Gruß,
   Felix

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Re: Per tiv-Flug ins Studium
von viertel am So. 10. August 2014 18:15:00


Es hat mich schon in den Fingern gejuckt, die flächenfüllende Kurve nachzuvollziehen. Rausgekommen ist dabei dieses Bild:


Erinnert mich übrigens schwer an die Drachenkurve.
Die müßte doch eigentlich auch zum vollständigen Überdecken eines Einheitsquadrates herhalten können, wenn man einen ensprechenden Ausschnitt aus etwa der Mitte der Figur nimmt (der Rest ist dann für diesen Zweck überflüssige Zeichenarbeit).

Gruß vom ¼

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Re: Per tiv-Flug ins Studium
von viertel am Di. 12. August 2014 12:04:57


Eine Frage, die sich mir stellt:
„Erwischt“ diese Funktion f aus Aufgabe 10 auch den Punkt <math>(\frac{1}{\pi},\frac{1}{\pi})</math>?
Gewiß ist sie dicht in <math>\mathbb{R}^2</math>, aber <math>\mathbb{Q}</math> ist auch dicht in <math>\mathbb{R}</math>, und dennoch ist <math>\pi \notin \mathbb{Q}</math>.

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Re: Per tiv-Flug ins Studium
von Martin_Infinite am Di. 12. August 2014 14:08:42


@viertel: Das Bild ist kompakt (weil <math>[0,1]</math> kompakt ist) und daher abgeschlossen.

Sehr gutes Bild übrigens.

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Re: Per tiv-Flug ins Studium
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 21. August 2014 19:27:34


Ein sehr gelungener Artikel.

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Re: Per tiv-Flug ins Studium
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 31. Januar 2015 20:50:53


Du schreibst: "Bijektive Funktionen können also nur zwischen gleich großen Mengen bestehen. Dies gilt auch für unendliche Mengen."

Ist es nicht leichter verständlich, wenn man das genau umgekehrt formuliert? Also etwa in der Art: "Auf diese Weise kann man das Konzept "Größe einer Menge" auch auf unendliche Mengen übertragen. Man kann nämlich Beispiele von unendlich großen Mengen finden, zwischen denen es keine Bijektionen gibt, sodass man sinnvollerweise davon spricht, dass diese Mengen verschieden groß sind."


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