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Rätsel und Spiele: Rätsel 2015
Freigegeben von matroid am Do. 01. Januar 2015 01:00:49
Verfasst von Hans-Juergen -   913 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Vermischtes

Rätsel

2015 läßt sich als Differenz zweier Kubikzahlen schreiben. Welche sind es?

Die Aufgabe ist auch für Schüler geeignet und soll ohne Computer gelöst werden. Ergebnisse mit Begründung bitte wie üblich per PN.

Ich wünsche allen Bewohnern und Gästen des Matheplaneten ein gesundes, erfolgreiches und friedvolles Neues Jahr.

1.1.2015
Hans-Jürgen

Die folgende Figur gehört zu keinem Rätsel und dient nur zur Dekoration,
 

doch ist es vielleicht ganz reizvoll, darüber nachzudenken, wie groß die Winkel in ihrem Innern und am Rand sind.




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Rätsel 2015 [von Hans-Juergen]  
Rätsel 2015 läßt sich als Differenz zweier Kubikzahlen schreiben. Welche sind es? Die Aufgabe ist auch für Schüler geeignet und soll ohne Computer gelöst werden. Ergebnisse mit Begründung bitte wie üblich per PN. Ich wünsche allen Bewohnern und Gästen des Matheplaneten ein gesundes, erfolgr
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" Rätsel und Spiele: Rätsel 2015" | 8 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Rätsel
von PhysikRabe am Do. 01. Januar 2015 10:30:26


Danke Hans-Jürgen, dir ebenfalls ein schönes neues Jahr und vor allem viel Gesundheit!

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Re: Rätsel
von Hans-Juergen am Do. 01. Januar 2015 14:08:29


Hi,

als erste sandten mir richtige Lösungen

,

gefolgt von Friedrich Laher, Rebecca, holio, Gerhardus und Belko.

Vielen Dank und herzliche Grüße,
Hans-Jürgen.

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Re: Rätsel 2015
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 02. Januar 2015 16:16:02


was gibts zu gewinnen?

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Re: Rätsel 2015
von matroid am Fr. 02. Januar 2015 16:57:54


Ein noch ganz junges, fast unbenutztes Jahr.

Liebe Grüße
Matroid

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Re: Rätsel 2015
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 09. Januar 2015 19:27:57


Jetzt weiß ich PN heißt Private oder Persönliche Nachricht. Also zur Lösung der Aufgabe, 2015 = 14^3 -9^3 = 196*14 -81*9 = 2744 - 721 = 2015.

Eine Lösung könnte sein:
2015 = 5 * 13 * 31

2015 = a^3 -b^3 = (a-b) *  (a^2+ab+b^2)
Vergleich
a-b = 5
  b = a-5
a^2 +a^2 -5a +a^2 -10a + 25 = 3a^2 -15a +25 = 13*31 = 403

a^2 -5a - 126 = 0

(a+9)*(a-14) = 0

a = 14 und b = 9

MfG
opasiegfried  

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Re: Rätsel 2015
von Hans-Juergen am Fr. 09. Januar 2015 22:51:42


Hallo opasiegfried,

in der Tat: PN bedeutet private Nachricht. Sie dient dazu, anderen Rätsellösern das Ergebnis nicht vorzeitig zu verraten.

Antworten, die mir wie gewünscht zugesandt wurden, beschreibe ich zusammenfassend hier.



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Re: Rätsel 2015
von matroid am Mo. 12. Januar 2015 16:34:28


Hans-Juergen hat die Lösung mittlerweile im Forum veröffentlicht: viewtopic.php?topic=203313

Gruß
Matroid

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Re: Rätsel 2015
von Hans-Juergen am Di. 20. Januar 2015 16:52:14


Liebe Rätselfreunde,
einem Wunsch Matroids entsprechend, gebe ich die Lösung auch hier an.

Vorbemerkung: Kubikzahlen sind dritte Potenzen natürlicher Zahlen. Sind a und b zwei solche und ist a>b, dann soll gelten a³-b³=2015. Zwei verschiedene Lösungswege bekam ich zugesandt:

A) Fast alle, die mir per PN antworteten, begannen damit, daß 2015=5⋅403 und
a³-b³ =(a-b)(a²+b²+ab) ist. Sie wählten, was nahe liegt, a-b=5 und a²+b²+ab=403 , lösten die erste Gleichungen nach b auf und setzten es in die zweite ein, so dass sich die quadratische Gleichung a²-5a-126=0 ergab. Diese hat die positive Lösung a=14, die auf b=9 führt. Ergebnis: 2015=14³-9³.
2015 hat außer der 5 noch die Primteiler 13 und 31. Ansätze damit wie oben ergeben keine weiteren Lösungen des Rätsels.

B) Ein Löser ging so vor: sei a=b+c, c nat. Zahl, dann folgt a³-b³=(b+c)³-b³=2015, b³+3b²c+3bc²+c³-b³=2015, 3b²c+3bc²+c³=2015, c(3b²+3bc+c²)=5⋅403. Die letzte Gleichung wird erfüllt, wenn c=5 und 3b²+3bc+c²=403 ist, d. h. 3b²+15b+25=403, b²+5b-126=0. Man erhält b=9 und a=14 wie bei A).

Gruß, Hans-Jürgen
 


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