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Stern Mathematik: Apfelmännchen algebraisch
Freigegeben von matroid am Fr. 16. Oktober 2015 19:43:06
Verfasst von shadowking -   1671 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik



<math>\huge{\textsf{Das Apfelmännchen aus algebraischer Sicht}}</math>


Wie die Mandelbrotmenge aussieht, brauche ich jemandem, der auf diesen Seiten regelmäßig aktiv ist, nicht mehr zu erklären. Diese äußerst komplizierte fraktale Menge ist zu einem Aushängeschild für die moderne rechnergestützte Mathematik und Algorithmik geworden. Ob ein wissenschaftlicher Themenbereich "populär" wird, ist weniger eine Frage seines Inhalts oder seiner Bedeutung, sondern eine Frage der Reklame. Und dafür hatten Herr Mandelbrot und seine Mitstreiter definitiv die schöneren Bilder produziert - und das in einer Zeit, da Rechenmaschinen noch groß wie Schränke waren und weniger konnten als etwa heute ein Smartphone. Da die numerische Rechenpower heute leicht zu bekommen und kostengünstig ist, siegt allzu oft die schiere Rechnerkraft über eine Betrachtungsweise, die den Phänomenen mit klassischer Mathematik auf den Grund geht.




Inhalt:



1. Einleitung

Ich verfolge mit diesem Artikel die Absicht, mich diesem Objekt einmal nicht von der numerischen, sondern der algebraischen Sichtweise her zu nähern, womit gemeint ist, die Bestimmung von Punkten und Kurven soweit zu treiben, wie dies mit algebraischer Exaktheit (und nicht nur numerischer Präzision) möglich ist. Die ersten Mathematiker, die sich dem Thema "quadratischer Iteration" näherten, waren die Franzosen Gaston Julia und Pierre Fatou um 1910, und die hatten schließlich auch noch keinen Rechner, um sich die fraktalen Gebilde veranschaulichen zu können, mit denen sie sich beschäftigten. Sehr weit wird man mit der reinen Kraft der Algebra in diesem Gebiet allerdings dennoch nicht kommen, denn die zugrundeliegende quadratische Dynamik impliziert ein exponentielles Anwachsen der Grade der Polynome, mit denen man es zu tun bekommt und die schon für kleine Zyklenlängen nicht nur nicht mehr praktisch, sondern wegen prinzipieller algebraischer Gründe (man denke an den Satz von Abel-Ruffini) nicht mehr handhabbar sind. Wer die Berechnungen, die in diesem Artikel vorgenommen werden, nachvollziehen möchte, der sollte also über ein leistungsfähiges Computeralgebrasystem verfügen. Ich habe alles mit wxMaxima durchgerechnet, eine freie und dennoch sehr brauchbare Software. Die Plots sind mittels Gnuplot erstellt, und so gute habe ich selten gesehen.



2. Notationen und Definitionen

Gegeben sei ein komplexer Parameter <math>c</math> aus <math>\mathbb{C}</math> sowie die quadratische Abbildung
<math>\displaystyle
f_c\,:\, \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C},\,z\,\mapsto\,z^2+c
</math>.

Wir betrachten die Iteration dieser Abbildung für verschiedene Startwerte <math>z</math> aus <math>\mathbb{C}</math>.
<math>z,\;f_c(z),\;f_c^2(z):=f_c(f_c(z)),\;f_c^3(z),\;\ldots\;,f_c^n(z):=f_c(f_c^{n-1}(z)),\;\ldots</math>

Es gibt mehrere Möglichkeiten:

- Es tut sich gar nichts; es handelt sich um einen Fixpunkt.
- Die Iterierten streben einem Grenzwert zu.
- Die Iterierten streben einem Grenzwert nicht nur für <math>n\rightarrow\infty</math> zu, sondern erreichen ihn exakt nach einer endlichen Anzahl Schritte.
- Die Iterierten drehen sich im Kreis; verhalten sich zyklisch.
- Die Iterierten werden nach einer endlichen Anzahl Schritte periodisch.
- Die Iterierten nähern sich einem Grenzzyklus asymptotisch an.
- Die Iterierten wachsen betragsmäßig über jede Grenze.
- Keiner der bisherigen Fälle tritt ein; die Iterierten verhalten sich scheinbar regellos (deterministisch chaotisch).

Die Julia-Menge <math>\mathcal{J}_c</math> zum komplexen Parameter <math>c</math> ist die Menge aller Punkte <math>z</math> der komplexen Ebene, für die der vorletzte Fall nicht eintritt, die Iteriertenfolge also nicht betragsmäßig gegen Unendlich divergiert.
Das Verhalten hängt kritisch von dem Parameter <math>c</math> ab. Wenn wir die Betrachtung vom Raum der Folgenglieder auf den Raum der Parameter <math>c</math> richten, können wir <math>z_0\,=\,0</math> setzen und die Menge derjenigen <math>c</math> betrachten, für die die spezielle Folge <math>f_c^n(0),\,n \in \mathbb{N}</math>, also <math>0,\,c,\,c^2+c,\,(c^2+c)^2+c,\,\ldots</math> nicht beliebig anwächst. Diese Punktmenge ist als Mandelbrotmenge definiert.

Definition: Die Menge <math>\mathcal{M} \subset \mathbb{C}</math> aller Parameter, für die die Iteration <math>z\,\longrightarrow\,z^2+c</math> für <math>z_0 = 0</math> nicht gegen Unendlich divergiert, heißt die Mandelbrotmenge.

Bei genauerer Betrachtung fällt auf, daß <math>\mathcal{M}</math> unzählige kleine (näherungsweise) Kopien von sich selbst enthält, also eine selbstähnliche fraktale Menge ist. Wir werden dies im folgenden streng beweisen und auch die Gründe für dieses Phänomen näher beleuchten. Zunächst sei hier nur der sprachlichen Bequemlichkeit halber festgelegt, daß diese "kleinen Kopien von <math>\mathcal{M}</math>" innerhalb von <math>\mathcal{M}</math> Satelliten genannt werden.

Die psychedelisch-bunten Bilder, die man von <math>\mathcal{M}</math> überall zu sehen bekommt, ergeben sich dadurch, daß man die Bereiche, für die die Iteriertenfolge divergiert, unterschiedlich einfärbt, je nachdem, wie schnell diese Divergenz erfolgt. Doch in aller algebraischen Strenge muß darauf hingewiesen werden, daß ein Schwarzweißbild die Situation klarer wiedergibt, da ein Parameter <math>c \in \mathbb{C}</math> nur entweder zur Mandelbrotmenge dazugehört oder nicht.


3. Mandelbrot und Feigenbaum

Beschränkt man sich auf die reellen Zahlen, so ähneln sich die Iterationen <math>z \rightarrow z^2+c</math> und die der logistischen Abbildung <math>x \rightarrow k\cdot x\cdot(1-x)</math> so sehr, daß man die Ergebnisse der Untersuchung ihrer Parameterräume durch eine Umrechnung <math>c = \frac{2\cdot k-k^2}{4}</math> bzw. <math>k=1+2\cdot\sqrt{\frac{1}{4}-c}</math> von der einen auf die andere übertragen kann. Das bekannte Feigenbaumdiagramm mit seinen Periodenverdopplungskaskaden und sich in "chaotischen" Bereichen unvermittelt öffnenden "Fenstern der Ordnung" überträgt sich darum quasi unverändert auf die Mandelbrotmenge. Die Bereiche stabiler 2-, 4-, 8- etc.-Zyklen entspricht der Ansammlung von "Dutts" auf dem "Kopf" von <math>\mathcal{M}</math>, während der größte Satellit in der "Antenne", die bis <math>c=-2</math> reicht, dem größten Fenster der Ordnung im Feigenbaumdiagramm entspricht.

Folgende markante Punkte seien hier mitsamt der exakt bestimmten Parameterwerte gegenübergestellt:

<math>\begin{tabular}{||l|l||l|l||}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{\textsf{Feigenbaum-Szenario}} & \multicolumn{2}{|c|}{\textsf{Mandelbrot-Menge (auf }\mathbb{R}\textsf{ beschränkt)}} \\ \hline
\textsf{Repulsivität} & \textit{k}=1 & \textsf{Spitze der} & \textit{c}=1/4 \\
\textsf{von 0 beginnt} & & \textsf{Hauptkardioide} & \\ \hline
\textsf{Erste} & \textit{k}=3 & \textsf{Kreisscheibe} & \textit{c}=\,\---\,3/4 \\
\textsf{Gabelbifurkation} & & \textsf{der 2-Zyklen} & \\ \hline
\textsf{Zweite} & \textit{k}=1+\sqrt{6} & \textsf{Dutt am Ende} & \textit{c}=\,\---\,5/4 \\
\textsf{Gabelbifurkation} & & \textsf{der Kreisscheibe} & \\ \hline
\textsf{Dritte} & \textit{k}=Nullstelle von  & \textsf{Nächster Dutt} & \textit{c}=Nullstelle von \\
\textsf{Gabelbifurkation} & \textit{X}^{12}-12X^{11}+\ldots+4913 & \textsf{beginnt} & \textit{X}^6+3X^5+\ldots+4913/4096 \\ \hline
\textsf{Großes Fenster} & \textit{k}=1+\sqrt{8} & \textsf{Größter Satellit in} & \textit{c}=\,\---\,7/4 \\
\textsf{mit 3-Zyklus} & & \textsf{der reellen Antenne} & \\ \hline
\textsf{Periodenverdopplung} & \textit{k}=Nullstelle von & \textsf{Kopf des} & \textit{c}=Nullstelle von \\
\textsf{zum 6-Zyklus} & \textit{X}^6-6X^5+\ldots+81 & \textsf{Satelliten} & 64\textit{X}^3+128X^2+72X+81 \\ \hline
\textsf{Kleines Fenster mit} & \textit{k}=1+\sqrt{4+3\cdot4^{1/3}} & \textsf{Weiterer Satellit} & \textit{c}=\,\---\,3/4\cdot(1+4^{1/3}) \\
\textsf{zweitem 4-Zyklus} & & \textsf{in Antenne} & \\ \hline
\textsf{Diagramm endet;} & & \textsf{Antennenspitze} & \\
\textsf{ganzes Intervall} & \textit{k}=4 & \textsf{erreicht} & \textit{c}=\,\---\,2 \\
\textsf{von Chaos erfaßt} & & & \\ \hline
\end{tabular}</math>

Man kann die Umrechnungsfunktion entweder empirisch ermitteln und mit den einander entsprechenden Parameterwerten einen quadratischen Fit veranstalten, wie ich das zunächst gemacht habe - oder wieder algebraisch vorgehen. Dazu wähle man das dritte Parameterpaar <math>c_3=-\frac{5}{4},\; k_3=1+\sqrt{6}</math>. Das Polynom <math>4\cdot X+5</math> annulliert <math>c_3</math>, also setze man eine quadratische Ansatzfunktion <math>c_3\,=\,p+q\cdot k_3+r\cdot k_3^2</math> für <math>X</math> ein und vergleiche das Ergebnis koeffizientenweise mit dem Polynom <math>X^2-2\cdot X -5</math>, welches <math>k_3</math> annulliert. Hierbei wird man praktischerweise das eine Polynom mit <math>-1</math> multiplizieren, dadurch werden die konstanten Glieder gleich und man hat sofort <math>p=0</math>. Dann ergeben sich die anderen beiden Parameter leicht als <math>q=\frac{1}{2},\;r=-\frac{1}{4}</math>.



Bild 1: Die Vermittlung zwischen den Parameterwerten des Feigenbaumdiagramms und der reellen Achse der Mandelbrotmenge erfolgt über die Funktion <math>c=\frac{2\cdot k-k^2}{4}</math>






4. Die Mandelbrotmenge als Bifurkationsdiagramm im Parameterraum der Julia-Mengen

In gewisser Weise ist es also angebracht zu sagen, daß die Mandelbrotmenge die Erweiterung des Feigenbaum-Diagramms ins Komplexe, oder, daß das Feigenbaum-Diagramm der "reelle Schatten" der komplexen Mandelbrotmenge ist. <math>\mathcal{M}</math> stellt eine Landkarte für Julia-Mengen dar, und Bifurkationslinien, an denen sich das Verhalten der Iterierten qualitativ ändert, treten auch in der Mandelbrotmenge auf. Während aber das Feigenbaum-Diagramm nicht nur den Ort dieser Stellen, sondern auch zugleich die Entwicklung des Attraktors darstellt, sieht man in <math>\mathcal{M}</math> nur die Örter, an denen sich das Systemverhalten ändert, aber nicht, wie es sich ändert. Wie es sich ändert, verraten die Gestaltänderungen der entsprechenden Julia-Mengen bei Überschreiten der Bifurkation.

So hat der im Reellen einzig mögliche Bifurkationstyp mit Kodimension 1, die Heugabelbifurkation, im Komplexen mannigfache Entsprechungen. Ein bislang attraktiver Fixpunkt oder zyklischer Punkt kann im zweidimensionalen <math>\mathbb{C}</math> nicht nur in zwei, sondern in beliebig viele zyklische Punkte auseinanderspringen. Und zwar geschieht dies, wenn die Randkurve der hyperbolischen Bereiche an Stellen überschritten wird, die bei einer sinnvoll zu wählenden Parametrisierung rationalen Vielfachen von <math>\pi</math> entsprechen, wie in Abschnitt 9 dieses Artikels näher erläutert werden soll.

Das eröffnet die Frage, was mit einem attraktiven Zyklus geschieht, wenn der Parameter <math>c</math> die Hauptkardioide von <math>\mathcal{M}</math> etwa dort verlassen wird, wo dieser Parameter z.B. <math>\frac{\sqrt{2}}{4}\pi</math> beträgt. Da er nicht in zyklisches Verhalten umspringen kann, sondern nur "in die Nähe einer Periodizität", könnte das Systemverhalten "fastperiodisch" oder deterministisch chaotisch werden, oder es könnte sogar langfristig Divergenz eintreten, <math>c</math> also schon außerhalb von <math>\mathcal{M}</math> liegen.




5. Zentren und Misiurewicz-Punkte

5.1 Zentren

Jede hyperbolische Komponente in <math>\mathcal{M}</math> hat genau einen "Mittelpunkt". Dieser ist dadurch gekennzeichnet, daß die Folge der Iterierten zu <math>z=0</math> nach <math>n</math> Schritten wieder exakt in 0 zurückläuft, wobei <math>n</math> die der Komponente zugeordnete Zyklenlänge ist. Es kann nur einen derartigen Punkt je Komponente geben, da sich bei Variation des Parameters auch die Lage der Punkte des stabilen Zyklus innerhalb der Julia-Menge etwas verschiebt und so 0 nicht mehr im Zyklus liegt. Als das Zentrum der hyperbolischen Menge <math>\mathcal{H}</math> wird dieser ausgezeichnete Punkt definiert.

Die Bestimmung dieses Zentrums erfolgt mit der Gleichung <math>f_c^n(0)=0 \Leftrightarrow f_c^{n-1}(c)=0</math>. Zudem lassen sich für sämtliche Teiler der Zyklenlänge Faktoren ausdividieren, und <math>c=0</math> ist ohnehin für jede dieser Gleichungen eine Lösung.

Beispiel: Die Zentren der hyperbolischen Mengen, die zu attraktiven Zyklen der Länge 4 führen, ergeben sich aus

<math>\begin{aligned}
\frac{f_c^3(c)}{f_c(c)}&=\frac{((c^2+c)^2+c)^2+c}{c^2+c}\\
&=\frac{c^8+4c^7+6c^6+6c^5+5c^4+2c^3+c^2+c}{c^2+c}\\
&=c^6+3c^5+3c^4+3c^3+2c^2+1.
\end{aligned}</math>

Algebraisch können sie nicht näher bestimmt werden. Da wir wissen, daß eine hyperbolische Menge zur Zyklenlänge 4 den ersten Dutt auf der Kreisscheibe bildet und eine andere einen kleinen Satelliten weit links in der Antenne, gehören die beiden reellen Lösungen <math>c=-1,3107026\ldots,\,c=-1,9407998\ldots</math> gerade zu diesen. Die weiteren Lösungen sind komplex und liegen daher paarweise vor: <math>c=0,2822713\ldots\pm\,0,5300606\ldots\cdot\mathrm{i}</math> gehört zu einem Knospenpaar auf der Hauptkardioide dort, wo der entsprechende Fixpunkt repulsiv wird und in einen attraktiven 4-Zyklus übergeht. <math>c=-0,1565201\ldots\pm 1,0322471\ldots\cdot\mathrm{i}</math> gehört dagegen zu einem Paar weiterer Satelliten, die über ein Verzweigungssystem mit den Knospen zu 3-Zyklen in <math>\mathcal{H}_3</math> verbunden sind.

Da in jeder hyperbolischen Menge nur genau ein Zentrum existiert, läßt sich die Anzahl der hyperbolischen Mengen in <math>\mathcal{M}</math> zur Zyklenlänge <math>n</math> bequem mit <math>\sum_{k|n}\mu(\frac{n}{k})\cdot2^{k-1}</math> angeben, wobei <math>k</math> die Teiler von <math>n</math> durchläuft und <math>\mu</math> die zahlentheoretische Möbiusfunktion bezeichnet.


Bild 2: Zentren aller hyperbolischer Mengen zu den Zyklenlängen 4,5 und 6. Zu den hyperbolischen Mengen <math>\mathcal{H}_1, \mathcal{H}_2</math> und <math>\mathcal{H}_3</math> sind deren Randkurven rot, hellgrün bzw. dunkelblau eingezeichnet.


5. 2 Echte Vorfixpunkte und präzyklische Punkte (Misiurewicz-Punkte)

Die Mandelbrotmenge setzt sich nicht nur aus den hyperbolischen Mengen zusammen, sondern sie ist darüberhinaus stark verästelt. Die auffälligste Verästelung ist die "Antenne" auf der reellen Achse, die dem rechten Rand des Feigenbaumdiagramms entspricht und sich nach links bis <math>c=-2</math> hinzieht. Innerhalb dieser "Antenne" fällt ein Satellit ins Auge, eine Miniaturausgabe der gesamten Menge <math>\mathcal{M}</math>. Diese liegt exakt da, wo an der entsprechenden Stelle im Feigenbaumdiagramm das "Dreierfenster" liegt. Wir werden im nächsten Abschnitt dessen Parametrisierung auffinden und dabei auch erkennen, daß er keine exakte Kopie darstellt. Wenn von der "Selbstähnlichkeit" von <math>\mathcal{M}</math> die Rede ist, so ist dies also nicht so exakt zu verstehen wie bei den ausdrücklich als selbstähnlich konstruierten Fraktalen Drachenkurve, Sierpiński-Dreieck, Kochscher Schneeflockenkurve etc., sondern nur asymptotisch gültig.

Das Kennzeichen der hyperbolischen Mengen ist, daß die dazugehörigen Julia-Mengen "gutartig" und zusammenhängend sind und ein Inneres besitzen. Alle Iteriertenfolgen nähern sich asymptotisch einem Zyklus oder erreichen ihn sogar exakt. Außerhalb der hyperbolischen Bereiche finden wir nur noch Parameter vor, die zu repulsiven Zyklen in den entsprechenden Julia-Mengen führen, d.h. ein Punkt der komplexen Ebene, der nicht exakt auf einem zyklischen Orbit oder auf dessen Vorperiode liegt, kann noch so nahe daran liegen, doch wird er sich diesem Zyklus nicht nähern, sondern sich immer weiter davon entfernen. Er kann sich statt dessen einem anderen Zyklus annähern oder auch völlig azyklisch und scheinbar chaotisch hin- und herspringen. Algebraisch faßbar sind allerdings nur noch die Punkte, die entweder sofort zyklisches Verhalten zeigen oder aber nach einer endlichen Vorperiode in ein solches übergehen.

Definition: Ein Punkt <math>c \in \mathbb{C}</math>, für den <math>m, n > 0 \in \mathbb{N}</math> existieren, so daß <math>f_c^{m+n}(0)\,=\,f_c^n(0)</math>, aber für alle <math>n\in \mathbb{N},\,n>0,\,f_c^n(0)\neq 0</math> wird, heißt Misiurewicz-Punkt. Das minimale <math>m</math>, so daß dies gilt, heißt Periodenlänge von <math>c</math>, das minimale <math>n</math> heißt Vorperiodenlänge. Die Iterierten teilen sich auf in <math>n</math> strikt vorperiodische Punkte und <math>m</math> periodische Punkte. Ist <math>m=1</math>, so besteht die Periode nur aus einem Fixpunkt und die vorperiodischen Punkte heißen auch Vorfixpunkte.

Misiurewicz-Punkte sind damit genau die Parameter, für die 0 ein strikt vorperiodischer Punkt ist.

Rein zyklische Punkte hatten wir als die Zentren hyperbolischer Mengen identifiziert; diese Zyklen sind also immer attraktiv für ihre nahe Umgebung. Ferner ist, da die Iteration mit dem Startwert 0 beginnt, 0 für rein zyklische Punkte nicht präperiodisch. Gestattet man aber die Einschränkung, daß ein Parameter <math>c</math> erst nach Durchlaufen einer gewissen Vorperiode in einen Zyklus einmündet, so finden wir abseits der hyperbolischen Bereiche Punkte, die entscheidbar zu <math>\mathcal{M}</math> gehören.

Zunächst ist festzustellen, daß es Punkte mit der Vorperiode 1 nicht geben kann. Gäbe es einen solchen, so wäre <math>c</math> der Beginn der Periode. Die Iteration <math>z \rightarrow f_c(z)</math> besteht aber gerade darin, den Ausgabewert zu quadrieren und dann den Parameter <math>c</math> zu addieren. Man landet also nach einem Schritt nur dann bei <math>c</math>, wenn man im vorangegangenen Schritt bei 0 stand, also ist 0 nicht strikt vorperiodisch. Minimale Vorperiodenlänge ist also <math>n=2</math>.

Zur praktischen Berechnung wird also der Ansatz <math>f_c^{m+n}(0)-f_c^n(0)=0</math> bzw. <math>f_c^{m+n-1}(c)-f_c^{n-1}(c)=0</math> gemacht. Die Einschränkungen, daß die Iteration genau nach dem <math>n</math>-ten Schritt in die Periode übergeht und nicht bereits vorher, erlaubt das Ausdividieren des Faktors <math>f_c^{m+n-2}(c)-f_c^{n-2}(c)</math>. Ist weiterhin <math>m>1</math>, so kann, da die Periodenlänge <math>m</math> minimal definiert ist, zu den Koteilern <math>k</math> jedes Primteilers <math>s</math> von <math>m</math> ein weiterer Faktor ausdividiert werden, und zwar <math>f_c^{n+k-1}(c)-f_c^{n-1}(c)</math>, wobei man darauf zu achten hat, daß man eventuell mehrfach ausdividierte Teiler nach der Methode des Einschluß-Ausschluß-Verfahrens wieder hinzumultipliziert. Insgesamt erreicht man durch das Ausdividieren von Faktoren, daß die zu erwartenden hohen Polynomgrade weitestgehend reduziert werden und man die Nullstellen sicher als Misiurewicz-Punkte des gewünschten Typs identifizieren kann, ohne in Listen nachsehen zu müssen, ob sie evtl. schon bei kleineren Vorperioden- bzw. Periodenlängen aufgetreten sind.

Beispiel: Vorperiode 2, Periode 2

<math>\begin{aligned}
&\frac{(f_c^3(c)-f_c(c))\cdot(f_c(c)-c)}{(f_c^2(c)-c)\cdot(f_c^2(c)-f_c(c)))} \\
&=\,\frac{((((c^2+c)^2+c)^2+c)-(c^2+c))\cdot((c^2+c)-c)}{((c^2+c)^2+c-c)\cdot((c^2+c)^2+c-(c^2+c)))} \\
&=c^2+1
\end{aligned}</math>

<math>\mathrm{i}</math> und <math>-\mathrm{i}</math> sind also die einzigen Misiurewicz-Punkte zu <math>m = n = 2</math>.

Ein anderer bemerkenswerter Misiurewicz-Punkt ist die Antennenspitze <math>c = -2</math>. Hierbei handelt es sich um einen echten Vorfixpunkt, denn ihre Iteriertenfolge lautet <math>0,\,-2,\,2,\,2, \ldots</math>

Die folgende Bilderserie zeigt für einige kleine <math>m, n</math> die dazugehörigen Misiurewicz-Punkte. Vorfixpunkte sind in allen Bildern dunkelblau dargestellt.


Bild 3: Einige Misiurewicz-Punkte mit der Vorperiodenlänge 2. Enthalten sind auch –2, i und –i


Bild 4: Einige Misiurewicz-Punkte mit der Vorperiodenlänge 3


Bild 5: Einige Misiurewicz-Punkte mit Vorperiodenlängen 4, 5 und 6

Soweit ich die berechneten Misiurewicz-Punkte mit Fraktalprogrammen untersucht habe, waren sie alle vom Typ "Spitze" oder "Ende einer verzweigten Struktur". Wikipedia meint, es gäbe sie auch als diskrete Punkte auf der Antenne oder – was noch interessanter aufzufinden wäre – als Verzweigungspunkte in den Dendriten jenseits der Vervielfachungskaskaden der hyperbolischen Mengen. Wenn man letztere nicht abzählen mag, um festzustellen, welche Zyklenlänge zu den Punkten in ihr gehört, so kann man nämlich praktischerweise auch die Äste, die von dem über ihr liegenden Verzweigungspunkt ausstrahlen, abzählen. Der Ast, über den dieser mit dem Hauptkörper von <math>\mathcal{M}</math> verbunden ist, ist dabei mitzuzählen. Diese Verästelungszahl ist gleich der Zyklenlänge. Die Regel, nach der diese in den hyperbolischen Mengen entlang des Randes von <math>\mathcal{H}_1</math> anwächst, kann man sich auf diese Weise nochmals bestätigen.



6. Hyperbolische Mengen. Bestimmung von <math>\mathcal{H}_1</math> und <math>\mathcal{H}_2</math>

Wir können außer zwischen Divergenz und Nichtdivergenz auch nach dem Vorliegen der anderen unter 2. genannten Möglichkeiten fragen. Das führt auf den Begriff der hyperbolischen Menge. Dies ist ein zusammenhängender Bereich der Mandelbrotmenge mit nichtleerem Inneren, dessen Elemente zu einem ähnlichen Verhalten der Iterierten in der Julia-Menge führen. Wenn wir schauen, bei welchen Parametern nur ein Fixpunkt vorliegt, den die Iterierten entweder irgendwann erreichen oder dem sie asymptotisch zustreben, so müssen folgende zwei Bedingungen erfüllt sein:

- Es existiert ein <math>z</math> aus <math>\mathbb{C}</math>, für das gilt: <math>f_c(z) = z</math>
- Der Betrag der Ableitung <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} f_c(z)</math> ist betragsmäßig höchstens 1, so daß eine Fixpunktiteration gemäß dem Satz von Banach kontrahierend ist und einer der Lösungen von <math>f_c(z)=z</math> zustrebt

Während die erste Bedingung zur exakten Gleichung <math>z^2-z+c=0</math> führt, ergibt sich aus der zweiten eine Betragsungleichung <math>|2\cdot z| \leq 1</math> bzw. <math>|z| \leq \frac{1}{2}</math>. Um die <math>c</math> zu bestimmen, die beides erfüllen, müssen wir die Variable <math>z</math> eliminieren, was hier der einfachen Lösung einer quadratischen Gleichung in <math>\mathbb{C}</math> entspricht, die auf <math>\left|\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}-c}\right| \leq \frac{1}{2}</math> führt. Die Randkurve, auf der diese Ungleichung mit Gleichheit erfüllt wird, ist hierbei das Interessante, denn hier wird, wenn man den Rand von innen nach außen überschreitet, gerade der bis dahin attraktive Fixpunkt repulsiv.

Parametrisiert man den Einheitskreis als <math>w \in \{\exp(\mathrm{i}\cdot t)\,|\,t \in [0,2\pi]\}</math>, so läßt sich dies in <math>c \in \{\frac{1}{4}-(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\exp(\mathrm{i}\cdot t))^2 \,|\, t \in [0,2\pi]\}</math> überführen (siehe Bildfolge). Dies ist die Parametrisierung einer Kardioide, der sogenannten Hauptkardioide <math>\mathcal{H}_1</math>.


Bild 6: Transformation des Einheitskreises durch Skalieren und Verschieben - Quadrieren - Spiegeln und erneutes Verschieben - in die Hauptkardioide <math>\mathcal{H}_1</math>

Grundsätzlich werden wir bei dieser Vorgehensweise bleiben, auch wenn wir noch erheblich schwereres algebraisches Geschütz brauchen werden, um die Randkurve von <math>\mathcal{H}_3</math> zu bestimmen.

Doch zunächst sehen wir uns noch den Bereich an, der die Parameter beinhaltet, für die es in den entsprechenden Julia-Mengen einen attraktiven 2-Zyklus gibt. Das heißt nichts anderes, als daß die zweite Iterierte, <math>f_c^2 = f_c(f_c)</math>, einen Fixpunkt besitzt, für den die Ableitung betragsmäßig höchstens 1 wird. <math>f_c^2(z)</math> ist zwar schon ein Polynom 4. Grades, doch werden mit der Fixpunktgleichung <math>f_c^2(z)=z</math> auch bereits die Fixpunkte der Abbildung selbst erfaßt, so daß nach dem Ausdividieren von <math>f_c(z)-z</math> nur noch ein Polynom 2. Grades übrigbleibt, und zwar <math>z^2+z+(c+1)</math>. Die Betragsbedingung lautet <math>|z\cdot(z^2+c)|\leq\frac{1}{4}</math>. Da hier der Grad des Polynoms in Betragsstrichen  größer ist als der dessen, welches exakt zu erfüllen ist, können wir eine Polynomdivision durchführen und nur deren Rest weiterbetrachten, was uns sofort auf <math>|c+1|\leq\frac{1}{4}</math> bringt. Der Bereich der Parameter, denen in der Julia-Menge attraktive 2-Zyklen entsprechen, ist also exakt eine Kreisscheibe mit Radius <math>\frac{1}{4}</math> um <math>-1</math>. Wir werden noch sehen, daß dies der einzige exakte Kreis im Rand von <math>\mathcal{M}</math> ist.


Bild 7: So weit haben wir die Mandelbrotmenge nun schon erzeugt. Man sieht: Es wird...


7. Die hyperbolische Menge <math>\mathcal{H}_3</math> und darüber hinaus

Nun werden wir mit dieser Methodik noch den Bereich der stabilen 3-Zyklen untersuchen. Auch wenn wir es jetzt nicht mehr mit leichten Einsichten zu tun haben, sondern wir das ganze Instrumentarium von Lösung linearer Systeme über die Auflösung polynomialer Gleichungen bis hin zur Körpertheorie in Anschlag bringen müssen, bleibt uns hierbei doch das Glück hold.

Exakt zu erfüllen:

<math>\displaystyle\frac{f_c(f_c(f_c(z)))-z}{f_c(z)-z}=0</math>

bzw.

<math>\begin{aligned}
z^6 + z^5 &+ (3c+1)\cdot z^4 + (2c+1)\cdot z^3 \\
&+ (3c^2+3c+1)\cdot z^2 + (c^2+2c+1)\cdot z + c^3+2c^2+c+1 = 0
\end{aligned}
</math>

Betragsmäßig zu erfüllen:

<math>\displaystyle\left|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}f_c(f_c(f_c(z)))\right|\leq 1</math>

bzw.

<math>|z\cdot (z^2+c)\cdot((z^2+c)^2+c)|\leq\frac{1}{8}</math>

Nach der Polynomdivision durch

<math>\begin{aligned}
P(c,z):=z^6 + z^5 &+ (3c+1)z^4 + (2c+1)z^3 \\
&+(3c^2+3c+1)z^2 + (c^2+2c+1)z + c^3+2c^2+c+1
\end{aligned}
</math>

bleibt in Betragsstrichen

<math>|c\cdot z^4+(2c^2+c)\cdot z^2+c\cdot z+(c^3+2c^2+c+1)|\leq\frac{1}{8}</math>.

Wenn wir hierin zur Randkurve übergehen, können wir dies zu gegebener Zeit als

<math>\exists \, t \in [0,2\pi] \,:\, cz^4+(2c^2+c)z^2+cz+(c^3+2c^2+c)=-1+\frac{\exp(\mathrm{i}\cdot t)}{8}</math>

umschreiben.
 
Als nächstes haben wir die Variable <math>z</math> zu eliminieren. Dazu suchen wir ein Polynom, <math>R(c,w)</math> über <math>\mathbb{Z}[c]</math>, welches unter der Voraussetzung, daß <math>z</math> die Gleichung 6. Grades <math>P(c,z)=0</math> erfüllt, die algebraische Zahl <math>cz^4+(2c^2+c)z^3+cz+c^3+2c^2+c</math> annulliert. Wir wissen aus der Körpertheorie, daß dies ebenfalls eine ganz-algebraische Zahl 6. Grades über <math>\mathbb{Z}[c]</math> ist, und machen also den Ansatz

<math>R(w)\,=\,w^6+k\cdot w^5+l\cdot w^4+m\cdot w^3+p\cdot w^2+q\cdot w+r=0</math>,

in welches wir den zu annullierenden Term einsetzen. Dies ergibt zwar ein Polynom 24. Grades, dessen Koeffizienten von <math>c</math> abhängen, doch nachdem wir wiederum <math>P</math> ausdividiert haben, bleibt als Rest formal ein Polynom 5. Grades (konkret in diesem Fall sogar 4. Grades), dessen Koeffizienten Linearkombinationen der Koeffizienten <math>k,l,m,p,q</math> und <math>r</math> über <math>\mathbb{Z}[c]</math> sind. Diese Linearkombinationen setzen wir alle gleich Null, so daß sich ein lineares Gleichungssystem mit 6 Gleichungen in 6 Unbekannten ergibt, welches wir lösen. Dabei stellt sich heraus, daß 4 dieser 6 Gleichungen redundant sind, d.h. von den 6 Koeffizienten sind 4 frei wählbar und nur der des quadratischen und der des konstanten Gliedes sind von diesen abhängig. Wenn wir schon die freie Wahl haben, machen wir es uns so einfach wie möglich und wählen alle freien Koeffizienten des linearen Systems gleich Null.

Damit ergibt sich für <math>R</math>:

<math>\displaystyle
R(c,w) = w^6+(-3c^6-8c^5-5c^4)\cdot w^2-(2c^9+11c^8+20c^7+12c^6)</math>

Und wir haben noch ein zweites Mal Glück. Dieses Polynom faktorisiert praktischerweise in drei in <math>w</math> quadratische Polynome, und zwar ist <math>R(c,w)=(w^2-2c^3-3c^2)\cdot(w^2+cw+c^3+2c^2)\cdot(w^2-cw+c^3+2c^2)</math>. Nur der letzte dieser Faktoren hat tatsächlich eine Bedeutung für die Randkurve; die beiden übrigen Faktoren haben wir uns durch die Methode eingehandelt, die der Anwendung einer Polynomfunktion 6. Grades auf beiden Seiten entspricht.

Da wir <math>R</math> so gewählt hatten, daß <math>R(c,w)=R(c,cz^4+(2c^2+c)z^2+cz+c^3+2c^2+c)=0</math>, wandelt sich die Betragsungleichung in <math>|w+1|\leq\frac{1}{8}</math>, was die Parametrisierung von <math>w</math> als <math>-1+\frac{\exp(\mathrm{i}\cdot t)}{8}</math> gestattet. Wenn wir dies in <math>w^2-cw+c^3+2c^2=0</math> für <math>w</math> einsetzen, definiert dies implizit die Randkurve von <math>\mathcal{H}_3</math>, wobei <math>t</math> von <math>0</math> bis <math>2\pi</math> läuft. Lösen wir diese Gleichung nach <math>c</math> auf – hierbei haben wie das Cardanosche Verfahren anzuwenden –, so gewinnen wir eine Parametrisierung der Randkurven sämtlicher Zusammenhangskomponenten von <math>\mathcal{H}_3</math>.

Hier ist der komplexe Term für die "Hände" von <math>\mathcal{M}</math> und die kardioidenähnliche Kurve bei <math>-\frac{7}{4}</math>. Ein scharfer Vergleich im nächsten Abschnitt wird zeigen, daß es sich um keine exakten Kreise und keine exakte Kardioide handelt.

<math>\begin{aligned}
c(w)=-\frac{2}{3}&+\left(-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k\cdot\sqrt[3]{\frac{w\cdot\sqrt{81w^2+96w+84}}{18}+\frac{27w^2+18w+16}{54}}\\
&-\left(-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^k\cdot\sqrt[3]{\frac{w\cdot\sqrt{81w^2+96w+84}}{18}-\frac{27w^2+18w+16}{54}}
\end{aligned}</math>

<math>k</math> nimmt wie üblich die Werte 0, 1, 2 an. Einsetzen von <math>-1+\frac{\exp(\mathrm{i}\cdot t)}{8}</math> für <math>w</math> liefert eine explizite Parametrisierung der blauen Bereiche im folgenden Plot.


Bild 8: Wir haben die "Hände" des Apfelmännchens exakt parametrisiert, und auch der Hauptkörper des größten Satelliten in der Antenne zeigt sich bereits. Kenneth Falconer nennt in [3] diese Strukturen "kreisförmig (circular)" - hat er damit recht?

Mit dem hier angewendeten Verfahren, ein nichtlineares System aus zwei Polynomgleichungen in zwei Variablen zu lösen, ließe sich prinzipiell auch die Bestimmung sämtlicher hyperbolischer Mengen angehen. Man hat allerdings zu beachten, daß durch die Anwendung einer höhergradigen Polynomfunktion die Lösungsmenge vergrößert wird, d.h. es wird so sein, daß das aufgefundene Polynom zwar stets faktorisiert, doch daß dessen Faktoren nicht alle zu einer Randkurve einer hyperbolischen Menge in <math>\mathcal{M}</math> gehören. So findet man für den Rand der hyperbolischen Menge <math>\mathcal{H}_4</math> ein Polynom 12. Grades <math>R(c,w)</math>, doch nur dessen Faktor <math>F_3(c,w):=w^3+c^2\cdot w^2-(c^4+c^3-3c^2)\cdot w-(c^6+3c^5+4c^4+4c^3)</math> entsprechen tatsächlich die Ränder sämtlicher hyperbolischer Bereiche, deren Elementen in den ihnen entsprechenden Julia-Mengen attraktive Zyklen der Länge 4 zuzuordnen sind. Das rasche Anwachsen der Polynomgrade mit der Zyklenlänge verdeutlicht aber, wie rasch die Grenzen der Bestimmbarkeit exakter Grenzkurven erreicht ist. Die explizite Darstellung des Randes von <math>\mathcal{H}_4</math> ist schon aufgrund des Satzes von Abel-Ruffini nicht mehr möglich.

Die Anzahl der Zusammenhangskomponenten dieses Bereichs ist übrigens, wie man aufgrund des Beispiels <math>\mathcal{H}_3</math> vermuten könnte, durch den Grad dieses Polynoms in <math>c</math> festgelegt. <math>F_3</math> hat Grad 6 in <math>c</math>, und es existieren 6 hyperbolische Zusammenhangskomponenten: zwei sind die 4-Knospen an der Hauptkardioide rechts von den "Händen" von <math>\mathcal{M}</math>, eine bildet den "Dutt" am "Kopf" <math>\mathcal{H}_2</math> des Apfelmännchens, eine vierte bildet den kardioidenartigen Hauptkörper eines kleinen Satelliten in der "Antenne" von <math>\mathcal{M}</math> bei <math>c=-\frac{3}{4}\cdot(1+\sqrt[3]{4})\,=\,-1,9405507\ldots</math> (diese Zahl ist nebenbei für mich das schönste Ergebnis dieser Befassung mit der Materie überhaupt), und die übrigen beiden sind kardioidenförmige hyperbolische Bereiche, die im Komplexen innerhalb von Verästelungen liegen, die von den beiden "Händen" von <math>\mathcal{M}</math> ausgehen.
 
Wurzeln

Doch auch wenn es nicht möglich ist, die gesamte Randkurve eines hyperbolischen Bereichs zu bestimmen, um sie sich z.B. plotten zu lassen, so läßt sich zumindest der zu <math>t=0</math> gehörige Punkt bestimmen. Für diesen nimmt <math>w</math> den Wert <math>-1+\frac{1}{2^n}</math> an, wobei <math>n</math> die Zyklenlänge ist. Das sich so ergebende Polynom in <math>\mathbb{Z}[c]</math> läßt sich stets in Faktoren zerlegen, denn es gibt für jedes <math>n \in \mathbb{N}</math> hyperbolische Bereiche auf den Hauptkörpern der Mandelbrotmenge, die an ausgezeichneten Punkten der Randkurven als "Knospen" sitzen. Deren Aufsitzpunkte erfüllen also stets Polynomgleichungen niedrigeren Grades. (Welche das sind, wird in Kapitel 9 näher erörtert.) Für die übrigen hyperbolischen Bereiche - man denke an kleine Satelliten irgendwo in den Verästelungen von <math>\mathcal{M}</math> - hat man aber weitere Faktoren, die mit den Standardverfahren im Allgemeinen nicht mehr faktorisierbar sind. Doch kann zumindest numerisch im Komplexen dieser Anfangspunkt gefunden werden. Als dieser ist die Wurzel der hyperbolischen Menge definiert.

Zwei Fälle sind also möglich: Die Wurzel sitzt entweder auf der Randkurve eines größeren hyperbolischen Bereichs, dann ist die hyperbolische Menge kreisähnlich, oder sie hängt in den Verästelungen des Randes von <math>\mathcal{M}</math> und ähnelt dann einer Kardioide, an der sich sämtliche Substrukturen der gesamten Mandelbrotmenge unter leichter Verzerrung wiederentdecken lassen. Die Zyklenlänge, denen die Elemente dieser Substrukturen jeweils entsprechen, ergibt sich dabei aus der Zyklenlänge, die der mit dieser verbundenen Kardioide zugeordnet ist, multipliziert mit der Zyklenlänge der gleichartigen Knospe an der Hauptkardioide <math>\mathcal{H}_1</math>.


8. Die Form der Grenzkurven

Noch einmal zurück zu den Knospen von <math>\mathcal{H}_3</math>. Deren gesamte Randkurve gliedert sich in drei Zusammenhangskomponenten: eine liegt symmetrisch auf der reellen Achse bei <math>z = -\frac{7}{4}</math>, innerhalb der reellen "Antenne" der Mandelbrotmenge und ähnelt einer verkleinerten Kopie der Hauptkardioide. Die anderen beiden liegen symmetrisch bezüglich der reellen Achse und berühren die Hauptkardioide genau dort, wo diese waagerechte Tangenten hat. Kenneth Falconer behauptet in [3], diese Kurven seien "kreisförmig (circular)". Ich habe mich gefragt: Sind dies wirklich exakte Kreise und, falls ja, warum lassen sich ihre Gleichungen nicht einfacher auffinden, warum muß man dafür so tief in die algebraische Werkzeugkiste greifen?

Um die Frage zu beantworten, verlassen wir kurz die strengen Pfade der Algebra und bedienen uns der komplexen Analysis, um den Schmiegekreis der Zusammenhangskomponente im Kontaktpunkt mit der Hauptkardioide zu bestimmen. Dazu setzen wir <math>K_{q,r,\xi}\,:=\,\{q+\mathrm{i}r\xi\cdot(1-\exp(\mathrm{i}\cdot t))\,|\,t \in [0,2\pi]\}</math> an und wählen die drei Parameter <math>q \in \mathbb{C}</math>, <math>\xi \in S^1</math>, <math>r \in \mathbb{R}_{>0}</math> so, daß für <math>t = 0</math> am Kreis die reellen und imaginären Aufpunktkoordinaten, die Richtung des Tangentenvektors sowie die Krümmung <math>\kappa(t)=\frac{1}{r(t)}=\frac{\dot{x}(t)\cdot\ddot{y}(t)-\dot{y}(t)\cdot\ddot{x}(t)}{\left(\dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t)\right)^{\frac{3}{2}}}</math> (<math>x(t)</math> und <math>y(t)</math> sind Real- bzw. Imaginärteil der Parametrisierung der Randkurve) mit denjenigen der Randkurve identisch werden.

Wir erhalten:

<math>\begin{aligned}\displaystyle
q &= -\frac{1}{8}+\mathrm{i}\cdot\frac{3\cdot\sqrt{3}}{8}, \\
\xi &= 1, \\
\kappa &= \frac{2687}{441}\cdot\sqrt{3} \\
\end{aligned}</math>

Wäre die Zusammenhangskomponente der Randkurve tatsächlich ein Kreis, so müßte sie nicht nur lokal im Kontaktpunkt, sondern global mit ihrem eigenen Schmiegekreis <math>K_{q,r,\xi}</math> zusammenfallen. Schaut man sich den entsprechenden Plot sehr genau an, so erkennt man aber, daß die Kurven in dem Bereich, der zwischen "halb elf" und "halb zwei" auf dem Schmiegekreis liegt, auseinanderlaufen. Die Ausschnittsvergrößerung bestätigt die Diskrepanz, und ebenso täte dies ein Nachrechnen – welches wir uns aber an dieser Stelle ersparen, da der Augenschein deutlich genug ist. Diese Teile der Randkurve von <math>\mathcal{H}_3</math> sind also tatsächlich keine Kreise - wenn auch die Abweichung unter 1% liegt.


Bild 9: Vergleich der oberen "Hand" des Apfelmännchens, eines Teils des Randes von <math>\mathcal{H}_3</math>, mit ihrem Schmiegekreis <math>K_{q,r,\xi}</math> im Kontaktpunkt mit der Hauptkardioide. Bei exakter Kreisform müßten die Kurven überall übereinstimmen; es erweist sich jedoch, daß sie dies nicht tun


Bild 10: Ausschnittvergrößerung des linken oberen Bildbereichs

Man kann sich dies auch anderweitig überlegen, indem man die Entstehung der Kurve aus dem Kreis nachvollzieht, mit dem wir das Argument der Betragsungleichung parametrisiert haben:

<math>s(t)=-1+\frac{\exp(\mathrm{i}\cdot t)}{8}</math>.

Dieser wird einer polynomialen Abbildung 2. Grades unterworfen, und solche Abbildungen überführen im Allgemeinen einen Kreis in eine Epizykloide, wie wir am Beispiel der Hauptkardioide bereits sahen. Doch in diesem Fall wird noch eine inverse polynomiale Abbildung nachgeschaltet, und zwar eine, die ein Polynom 3. Grades invertiert – ein Term, der dritte Wurzeln enthält. Die Mehrdeutigkeit dieses Wurzelausdrucks ist auch dafür verantwortlich, daß die Randkurven der höheren hyperbolischen Mengen nicht mehr zusammenhängend sind, sondern in so viele Zusammenhangskomponenten zerfällt, wie der Grad des Polynoms in <math>c</math> angibt. Es gilt jedoch: Je kleiner der Radius des Ausgangskreises und je weiter seine Peripherie vom Koordinatenursprung entfernt bleibt,  desto geringer fallen die Abweichungen von einem exakten Kreis nach den beiden Transformationen aus. Hieraus können wir den Schluß (zumindest aber die begründete Vermutung) ziehen, daß die beiden spiegelsymmetrischen Knospen von <math>\mathcal{H}_3</math> diejenigen unter den nicht-kardioidenförmigen hyperbolischen Mengen in der ganzen Mandelbrotmenge sind, die am stärksten von der exakten Kreisform abweichen.



Bild 11: Vergleich des kardioidenartigen Hauptkörpers des Satelliten innerhalb von <math>\mathcal{H}_3</math> mit einer exakten Kardioide, die in der Symmetrieachse die gleiche Breite hat.



9. Zur Selbstähnlichkeit von <math>\mathcal{M}</math>

Wir werden uns zum Abschluß mit der Frage beschäftigen, welchen Regeln die Knospenbildung auf der Randkurve einer hyperbolischen Menge gehorcht. Es wird dazu hilfreich sein, sich den verwandten Vorgang der Periodenverdopplung im Feigenbaum-Szenario vor Augen zu führen.

Der Fixpunkt <math>x \in [0,1]</math> bzgl. <math>f_k</math> wird repulsiv, wenn <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f_k(x)</math> bei stetiger Variation von <math>k</math> den Wert 1 überschreitet, wobei rechts und links von <math>x</math> ein neues Paar Fixpunkte der zweiten Iterierten von <math>f_k</math> entsteht, die ab dann einen attraktiven 2-Zyklus bilden. Dieser Typ der Bifurkation heißt aufgrund seiner Form Heugabelbifurkation. Es ist dies der einzig mögliche Bifurkationstyp im Reellen mit der Kodimension 1, weshalb sich im Feigenbaum-Szenario Zyklen mit ungerader Länge nur durch spontanes Aufreißen eines Fensters im Chaos ergeben können.

Da in den Julia-Mengen wesentlich die gleiche Situation, allerdings im Komplexen, vorliegt, sind hier auch Bifurkationen mit Kodimension 1 möglich, bei denen sich beim Repulsivwerden eines Fixpunktes oder eines Zyklus mehrere Fixpunkte einer höheren als der zweiten Iterierten von <math>f_c</math> ergeben. Damit z.B. ein 3-Zyklus entsteht, muß die dritte Iterierte von <math>f_c</math> lokal um den Fixpunkt <math>z_c</math> wie <math>(z-z_c)+w\cdot(z-z_c)^4,\, w\in \mathbb{C}</math> aussehen. Den entsprechenden Bifurkationstyp könnte man z.B. "Dreifußbifurkation" nennen.

Sehen wir uns an, was beim Iterieren von <math>f_c</math> in der Nähe von dessen Fixpunkt geschieht, wenn <math>c</math> den kritischen Wert annimmt: nicht nur <math>f_c(z)</math> stimmt mit <math>z</math> überein, sondern auch <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} f_c(z)</math> wird Eins. <math>q</math>-faches Iterieren von <math>f_c</math> ändert an dieser Tatsache wenig, da sich die Funktion sehr eng an die komplexe Hauptdiagonale anschmiegt.

Liegt <math>c</math> auf dem Rand der Hauptkardioide <math>\{\frac{\exp(\mathrm{i}\cdot t)}{2}-\frac{\exp(2\mathrm{i}\cdot t)}{4}\,|\,t\in [0,2\pi]\}</math>, so entspricht ihm ein kritischer Fixpunkt <math>z_c</math> auf dem Kreis <math>\{\frac{\exp(\mathrm{i}\cdot t)}{2}\,|\,t\in [0,2\pi]\}</math>. Es ist <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} f_c(z)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} (z^2+c)= 2\cdot z</math>. Unter welchen Bedingungen geht aus <math>z_c</math> ein attraktiver <math>q</math>-Zyklus hervor? Die Ableitung der <math>q</math>-ten Iterierten, die sich nach mehrfacher Anwendung der Kettenregel als Produkt gleicher Faktoren entpuppt,

<math>\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(f_c^q(z))|_{z=z_c}\,&=\,\prod_{k=1}^q \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} f_c^k(z)|_{z=z_c} \\
&=\,2^q\cdot\prod_{k=1}^q 2\cdot f_c^{k-1}(z_c) \\
&=\,2^q\cdot\prod_{k=1}^q 2\cdot z_c \\
&=\,2^q\cdot(2\cdot z_c)^q \\
&=\,2^q\cdot(\exp(\mathrm{i}\cdot t))^q,
\end{aligned}</math>

ist gleich 1, denn die Iterierte wird lokal, ebenso wie die Ausgangsfunktion, durch <math>z</math> approximiert; erst der <math>q+1</math>-te Taylorkoeffizient der Entwicklung von <math>f_c^q(z)</math> um <math>z_c</math> ist von Null verschieden, was das Auftreten des neuen <math>q</math>-Zyklus bedingt. Folglich ist

<math>z_c = \frac{1}{2}\cdot\zeta_q^k = \frac{1}{2}\cdot\exp(\frac{2k\cdot\mathrm{i}\cdot\pi}{q})</math>

mit <math>k \in \{0,1,\ldots,q-1 \,|\, \mathrm{ggT}(k,q)=1\}</math>. Auf die Kardioide umgerechnet:

<math>c=\frac{1}{2}\cdot\exp(\frac{2k\cdot\mathrm{i}\cdot\pi}{q})-\frac{1}{4}\cdot\exp(\frac{4k\cdot\mathrm{i}\cdot\pi}{q})</math>.

Für <math>k=0</math> ergibt dies gerade die Spitze der Hauptkardioide; diese Lösung kann also fallengelassen werden. Für <math>q>1</math> existieren am Hauptkörper des Apfelmännchens also <math>\varphi(q)</math> Knospen (<math>\varphi</math> ist die Eulersche Phi-Funktion, die zu <math>q</math> teilerfremde Zahlen zählt), in welchen sich diejenigen Parameter finden, in deren Julia-Mengen attraktive <math>q</math>-Zyklen auftreten.

In analoger Weise kann man auch von beliebigen hyperbolischen Mengen über deren Rand in weitere Knospen von <math>\mathcal{M}</math> vorstoßen. Es gilt dabei, daß die der Knospe entsprechende Zyklenlänge sich als das Produkt aus derjenigen der ihr entsprechenden Knospe, die mit <math>\mathcal{H}_1</math> über gemeinsame Randpunkte verbunden ist, und derjenigen des kardioidenförmigen Hauptkörpers, mit dem sie selbst über gemeinsame Randpunkte verbunden ist, ergibt.

Wir betrachten zum Beweis die <math>p\cdot q</math>-te Iteration von <math>f_c</math> am Ort eines <math>p</math>-zyklischen Punktes <math>z_{\mathrm{zykl}}</math>, dessen Zyklus kritisch ist, d.h. der unitäre Ableitung hat. Diese entspricht lokal bis in <math>p</math>-te Näherung der Identität; insbesondere ist ihre Ableitung gerade 1. Für deren Ableitung gilt

<math>\displaystyle
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} f_c^{p\cdot q}(z)|_{z=z_{\mathrm{zykl}}}=\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} f_c^p(z)|_{z=z_{\mathrm{zykl}}}\right)^q</math>,

und der Betrag dieser Ableitung ist, so wie wir die Randkurve parametrisiert haben, gleich 1, also ist <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} f_c^p(z)|_{z=z_{\mathrm{zykl}}}=\exp(\mathrm{i}\cdot t)</math> für ein <math>t \in [0,2\pi]</math>. Demnach ist <math>\exp(q\cdot\mathrm{i}\cdot t)=1</math> und <math>t=\frac{2k\cdot\pi}{q}</math> mit <math>k \in \{s \,|\, \mathrm{ggT}(s,q)=1\}</math> (bei <math>t=0</math> liegt der Kontaktpunkt mit dem Hauptkörper oder, falls die Knospe kardioidenähnlich ist, deren Spitze, und bei <math>t=\frac{s}{q}</math> mit <math>\mathrm{ggT}(s,q)\neq 1</math> befinden sich Knospen mit geringerer Zyklenlänge), d.h. überall dort, wo der Parameter <math>t</math> ein rationales Verhältnis zu <math>\pi</math> aufweist, dessen Nenner <math>q</math> ist, befindet sich eine Unterknospe, die solche Parameter <math>c</math> enthält, in deren Julia-Mengen Zyklen auftreten, die <math>q</math>-mal so lang sind wie diejenigen, die den Punkten in der Oberknospe zugeordnet sind. Die übrigen hyperbolischen Bereiche gleicher Zyklenlänge liegen dann nicht als Knospen vor, sondern als Hauptkörper von Satelliten.

Man kann die hyperbolischen Mengen am Rand eines Hauptkörpers also mit einem Indexpaar <math>(s,r)</math> indizieren: <math>r<s\in\mathbb{N}</math>. <math>s</math> ist dabei die Zyklenlänge und <math>r</math> eine zu <math>s</math> teilerfremde Zahl, die die laufende Nummer aller Unterknospen dieser Zyklenlänge am gleichen Hauptkörper bezeichnet. Die korrekte Bezeichnung der Kreisscheibe um <math>-1</math> wäre somit <math>\mathcal{H}_{(2,1)}</math>, die der "Hände" <math>\mathcal{H}_{(3,1)}</math> bzw. <math>\mathcal{H}_{(3,2)}</math>.

Damit ist die Multiplikationsregel für das Fortschreiten über die Kontaktpunkte hyperbolischer Mengen begründet. Außerdem können wir den wichtigen Schluß ziehen, daß die Randkurve jeder Knospe dicht besetzt ist mit den Wurzeln von Unterknospen, die, falls die Knospe kreisähnlich ist, verkleinerte und leicht verzerrte Abbilder ihrer selbst sind. Aus dieser Erkenntnis ergibt sich die Selbstähnlichkeit und die fraktale Struktur von <math>\mathcal{M}</math>. Die "Bogenlänge" des Randes von ganz <math>\mathcal{M}</math> überschreitet infolgedessen jedes Maß.

Ein Japaner, Mitsuhiro Shishikura, hat 1988 die Hausdorff-Dimension des Randes von <math>\mathcal{M}</math> untersucht und dabei festgestellt, daß diese 2 beträgt, d.h. der Rand von <math>\mathcal{M}</math> selbst den Charakter einer Fläche hat. Tatsächlich ergibt sich bei näherer Betrachtung mancher Bereiche des Randes von <math>\mathcal{M}</math> nicht der Eindruck, es noch mit einer Kurve, sondern eher mit einer Fläche mit "Grauwert" zu tun zu haben.

Weiter besteht die Regel, daß die einer Unterknospe entsprechende Zyklenlänge der Summe der Zyklenlängen der links und rechts von ihr liegenden, jeweils nächstgrößeren Knospe entspricht. Diese sei hier umgangssprachlich begründet: Da die Polynomgrade zu höheren Zyklenlängen stark wachsen, wird auch deren Ableitung schnell groß und durchläuft den kritischen Wertebereich zwischen −1 und 1 rascher, so daß der größeren Zyklenlänge - gleichbedeutend mit dem größeren Nenner des Parameterwertes <math>r\cdot\pi,\,r\in\mathbb{Q}</math>, an dem sie am Hauptkörper sitzt - stets die kleinere Knospe entspricht. Wählt man auf dem Rand einer hyperbolischen Menge <math>\mathcal{H}_{(s,r)}</math> zur Zyklenlänge <math>s</math> zwei Knospen <math>\mathcal{H}_{(p\cdot s,a)}</math> und <math>\mathcal{H}_{(q\cdot s,b)}</math> der Zyklenlängen <math>p\cdot s</math> und <math>q\cdot s</math> aus, zwischen denen keine Knospe gelegen ist, die größer als die kleinere der beiden ist, so ist die Zyklenlänge der größten zwischen ihnen gelegenen Knospe auf dem Rand von <math>\mathcal{H}_{(s,r)}</math> gleich dem Nenner der rationalen Zahl mit kleinstem Nenner, die zwischen <math>\frac{a}{p}</math> und <math>\frac{b}{q}</math> liegt. Dieses Mittel ist immer <math>\frac{a+b}{p+q}</math>, so daß die Zyklenlänge der größten Zwischenknospe <math>(p+q)\cdot s</math> beträgt. Dies erklärt das Phänomen, daß die Zyklenlänge beim Durchlaufen der am Rand gelegenen Unterknospen stets um die Zyklenlänge der nächstgrößeren in gleicher Richtung liegenden Knospe am gleichen Hauptkörper zunimmt.


10. Schluß

Damit soll es genug sein. Längst noch nicht alles ist bekannt und erforscht an der wohl bekanntesten Menge der Mathematik. So weiß man zwar, daß <math>\mathcal{M}</math> zusammenhängend, aber nicht, ob es wegzusammenhängend ist. Es ist bekannt, daß auch die Komplementärmenge <math>\mathbb{C}\backslash\mathcal{M}</math> zusammenhängend ist; die Insel <math>\mathcal{M}</math> umschließt also keine Löcher oder Binnenseen. Der Flächeninhalt von <math>\mathcal{M}</math> ist nicht bekannt; eine abenteuerliche Schätzung lautet <math>A(\mathcal{M}) = \sqrt{6\pi-1}-\mathrm{e}</math>.


Quellen:

[1] Lexikon der Mathematik, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1999

[2] Wikipedia, Artikel "Mandelbrot-Menge"

[3] Kenneth Falconer, Fraktale Geometrie. 1. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1993


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Subjektiver Schlußsatz:

"Algebra ist Disziplin; Analysis eine Neigung."





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Apfelmännchen algebraisch [von shadowking]  
Das Apfelmännchen aus algebraischer Sicht Rekonstruktion von Randkurven der Mandelbrotmenge mit algebraischen Mitteln. Überprüfung der Kreisform von H3. Verfahren zur Bestimmung von Zentren und Misiurewicz-Punkten. Bestimmung der Wurzeln von Knospen auf dem Rand hyperbolischer Mengen. Nachweis der Selbstähnlichkeit von M. Nachweis der Faustregeln für die Zyklenlänge in Knospen.
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" Stern Mathematik: Apfelmännchen algebraisch" | 7 Kommentare
 
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Re: Apfelmännchen algebraisch
von Hans-Juergen am Mo. 19. Oktober 2015 22:17:35


Hallo Norbert,

danke für den ausführlichen, informativen Artikel. Neu lernte ich durch ihn, dass das Apfelmännchen die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit nur annähernd besitzt, anders als die Koch-Kurve und das Sierpiński-Dreieck. Gefallen hat mir auch der Satz, dass das Feigenbaum-Diagramm "der reelle Schatten" der komplexen Mandelbrotmenge ist.

Herzlichen Gruß,
Hans-Jürgen

 [Bearbeiten]

Re: Apfelmännchen algebraisch
von shadowking am Di. 08. Dezember 2015 03:12:09


Ich liefere noch zwei Bilder nach:

Die hyperbolische Menge <math>\mathcal{H}_4</math> ist, wie erwähnt, nicht mehr algebraisch bestimmbar. Dennoch kann man den Verlauf ihrer Randkurven näherungsweise nachzeichnen, indem man in

<math>F_3(c,w)\,=\,w^3+c^2\cdot w^2-(c^4+c^3-3c^2)\cdot w-(c^6+3c^5+4c^4+4c^3)</math>

für <math>w</math> sukzessive <math>-1+\frac{1}{16},\;-1+\frac{1}{16}\exp(\frac{\mathrm{i}\pi}{12}),\;-1+\frac{1}{16}\exp(\frac{\mathrm{2i}\pi}{12}),\;\ldots,\;-1+\frac{1}{16}\exp(\frac{23\mathrm{i}\pi}{12})</math> oder eine noch feinere Unterteilung einsetzt und diese Serie von Gleichungen 6. Grades mit hinreichender Genauigkeit löst. Zueinander gehörende Punkte werden dann graphisch als Streckenzug dargestellt.



(Gnuplot-Graphik)

Der Versuch, dasselbe auch für <math>\mathcal{H}_5</math> durchzuführen, scheiterte (zumindest auf meiner Hardware), da Mathematica nicht imstande war, ein Polynom 840. Grades, dessen Koeffizienten ihrerseits Polynome in <math>c</math> sind, durch ein Polynom 30. Grades zu dividieren; das machte der Arbeitsspeicher nicht mit.

Eine Herausforderung für die Rechengenauigkeit ist auch die Bestimmung von Zentren der hyperbolischen Bereiche zu hohen Zyklenlängen. Die WorkingPrecision muß dabei sorgfältig gewählt werden, denn wenn sie zu klein ist, liefert das CAS falsche Lösungen, und wenn sie zu hoch ist, wird es nicht in hinnehmbarer Zeit fertig. Damit konnte ich die 495 Zentren der Bereiche von <math>\mathcal{H}_{10}</math> gerade noch bestimmen (WorkingPrecision->35, Rechendauer damit ca. 9 Stunden).



(Mathematica-Graphik)



Gruß shadowking

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Re: Apfelmännchen algebraisch
von shadowking am Sa. 12. Dezember 2015 19:13:16


Ich konnte nun doch noch die Randkurven von <math>\mathcal{H}_5</math> und <math>\mathcal{H}_6</math> bestimmen. Ich habe mir dabei zunutze gemacht, daß das Polynom, welches die Randkurven erzeugt, letztlich immer nur der kleinere Faktor unter zumeist zweien in dem Polynom ist, das man mit der geschilderten, algebraisch exakten Methode erhält. Man konnte also für <math>\mathcal{H}_5</math> den Ansatz für ein Faktorpolynom sechsten, <math>F_6(c,w)</math>, für <math>\mathcal{H}_6</math> den für ein Faktorpolynom neunten Grades in <math>w</math>, <math>F_9(c,w)</math>, machen.

Während Mathematica mit letzterem nicht mehr zurechtkam, konnte wxMaxima dessen Koeffizienten bestimmen, wodurch die numerische Lösung für eine 48-Punkte-Unterteilung möglich war. Allerdings gab wxMaxima die Lösungen sehr "durcheinander" aus, so daß es mir zu aufwendig erschien, die 27⋅48 Punkte händisch auseinanderzuzusortieren, und ich schließlich einen Punkteplot für <math>\mathcal{H}_6</math> machen ließ, der zwar ästhetisch suboptimal, aber doch fast so gut wie die Streckenzüge ist.

Hier das Ergebnis:



Graphik: Gnuplot und Mathematica kombiniert

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Re: Apfelmännchen algebraisch
von shadowking am Fr. 18. Dezember 2015 20:52:36


Und noch eine letzte Verbesserung, die jetzt die <math>\mathcal{H}_6</math>-Knospe direkt auf der "Kardioide" des <math>\mathcal{H}_3</math>-Satelliten aufsitzen läßt:



Gnuplot-Graphik

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Re: Apfelmännchen algebraisch
von shadowking am Mo. 21. Dezember 2015 00:36:57


Noch eine letzte Gnuplot-Graphik, die mit diesem Thema locker zusammenhängt und die ich, da sie einfach zu ästhetisch geworden ist, Euch nicht vorenthalten möchte:

Die meisten farbigen Darstellungen der Mandelbrotmenge stufen nach der Anzahl Schritte, nach denen die Iteration <math>z \, \rightarrow\, z^2+c</math> für den Startwert <math>z=0</math> den Betrag 2 überschreitet, farblich ab. Die feinen Grenzlinien zwischen den "Bereichen gleicher Divergenzgeschwindigkeit" nennt man die Mandelbrot-Lemniskaten. Sie werden bestimmt durch die Serie von Betragsgleichungen <math>|f_c^n(0)|=|f_c^{n-1}(c)|=2</math>, <math>n\in\mathbb{N}</math>, welche mittels <math>\mathrm{Re}(c)=x,\,\mathrm{Im}(c)=y</math> in algebraische Gleichungen <math>2^n</math>-ten Grades transformiert werden können. Beispielsweise entspricht <math>|f_c^2(0)|=|c^2+c|=2</math> die algebraische Gleichung <math>(x^2-y^2+x)^2+(2 \cdot x \cdot y+y)^2-4=0</math>, deren Lösungsmenge ein Cassinisches Oval mit den beiden Zentren <math>F_1=(-1,0)</math> und <math>F_2=(0,0)</math> (so daß <math>s=\frac{1}{2}</math>) und dem Parameter <math>a^2 = 8</math> darstellt.

Um diese Lemniskaten auch für höhere <math>n</math> noch darstellen zu lassen, geht man am besten so vor, daß man die für die auf den Grenzlinien liegenden <math>c \in \mathbb{C}</math> geltende Eigenschaft <math>\exists\,t \in [0,2\pi]\,: f_c^n(0)=2\cdot\exp(\mathrm{i}\cdot t)</math> ausnutzt und für <math>2m</math> Werte von <math>t</math>, etwa <math>\{k \cdot \frac{\pi}{m}\,|\,0 \leq k < 2m\}</math>, diese Gleichungen löst und die <math>m\cdot 2^n</math> Lösungen als Punktliste in der komplexen Ebene plottet.



Dieser Plot zeigt die ersten sechs Mandelbrot-Lemniskaten mit <math>m=60</math>. Der Kreis für <math>n=1</math> ist durch die 120 schwarzen Punkte angedeutet; bei dem blauen Cassini-Oval erkennt man gerade noch, daß es sich aus 240 Punkten zusammensetzt. Die hellblaue Kurve 8. Grades für <math>n=3</math> hat in der angelsächsischen Literatur den Namen pear curve (Birnenkurve) erhalten.

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Re: Apfelmännchen algebraisch
von Hans-Juergen am Mo. 21. Dezember 2015 21:31:16


Hallo Norbert,

diese Kurven gefallen mir sehr.

Viele Grüße,
Hans-Jürgen

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Re: Apfelmännchen algebraisch
von shadowking am Di. 22. Dezember 2015 10:32:54


Mir sind sie eigentlich noch zu fett; besser wäre es, sie als Linien zu erzeugen. Die Funktion implicit_plot in wxMaxima ist dazu auch prinzipiell fähig, jedoch scheitert es an der Darstellung der sechsten Lemniskate.



Besser und zudem noch in viel geringerer Zeit kam damit wieder einmal Derive 5.1 zurecht; es schaffte sogar acht Kurven:



Gruß und angenehme Feiertage, shadowking

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