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Mathematik: Ein kategorieller Satz von Schröder-Bernstein
Freigegeben von matroid am Sa. 17. Oktober 2015 14:41:10
Verfasst von Martin_Infinite -   616 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

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Ein kategorieller Satz von Schröder-Bernstein

In diesem Artikel wird gezeigt, dass eine Kategorie, die gewisse Bedingungen an Koprodukte erfüllt, eine Art Satz von Schröder-Bernstein erfüllt: Zwei Objekte sind isomorph, sobald sie komplementierte Monomorphismen ineinander zulassen. Dies vereinheitlicht mehrere Varianten des Satzes von Schröder-Bernstein, u.a. für Mengen, G-Mengen für eine Gruppe G, messbare Räume, Prägarben, partielle Ordnungen und Darstellungen einer C*-Algebra auf Hilberträumen.Animation zum Beweis


1. Einleitung

Der klassische Satz von Schröder-Bernstein besagt, dass zwei Mengen <math>A,B</math> isomorph sind, wenn es zwei Monomorphismen <math>A \hookrightarrow B</math> und <math>B \hookrightarrow A</math> gibt. Er wurde erstmals von Dedekind bewiesen [9]. Dieser Satz ist offenbar eine Eigenschaft der Kategorie der Mengen, die auch in anderen Kategorien untersucht worden ist [2,4,8,12,13,19].

In diesem Artikel geben wir eine hinreichende Bedingung dafür an, dass eine Kategorie eine Art Satz von Schröder-Bernstein erfüllt. Unser Beweis ist eine einfache "Kategorifizierung" des üblichen Beweises im Falle von Mengen. (Dies beantwortet eine Frage von Greg Kuperberg in einem Kommentar zu [17].) Um das zu bewerkstelligen, müssen wir mit komplementierten Monomorphismen arbeiten, welche wir in Abschnitt 2 behandeln. In Abschnitt 3 geben wir einen kurzen Beweis für unseren Satz (Satz 3.4) zusammen mit einer Variante (Satz 3.7). In Abschnitt 4 wenden wir den Satz auf einige Beispiele an. Dabei werden einige bekannte Varianten des Satzes von Schröder-Bernstein vereinheitlicht.

Natürlich ist es nicht schwierig, einen Satz von Schröder-Bernstein in jeder Kategorie von Interesse separat zu beweisen, aber unser Satz zeigt genau auf, was diese Beweise gemein haben und was nötig ist, damit sie funktionieren. Zudem eröffnen sich mit dem Satz auch neue Anwendungen.

Andererseits gibt es einige Varianten des Satzes von Schröder-Bernstein, welche sich anscheinend nicht aus Satz 3.4 ableiten lassen. Das betrifft etwa den Isomorphiesatz von Myhill über rekursive Funktionen [15]. Der Vollständigkeit halber erwähnen wir, dass es zahlreiche Literatur über ordnungstheoretische Verallgemeinerungen des Satzes von Schröder-Bernstein gibt [7,10,11,16].

Ich bedanke mich bei meinen Korrekturlesern Dune und PhysikRabe.

2. Komplementierte Morphismen

Definition 2.1. Sei <math>\mathcal{C}</math> eine Kategorie mit endlichen Koprodukten. Ein Morphismus <math>A \to B</math> in <math>\mathcal{C}</math> heiße komplementiert, wenn es einen Morphismus <math>A' \to B</math> gibt, sodass <math>(A \to B \leftarrow A')</math> ein Koproduktdiagramm ist. Wir nennen dann <math>A' \to B</math> ein Komplement von <math>A \to B</math>. Sofern wir bereits ein Koprodukt <math>A + A'</math> fixiert haben, bedeutet die Bedingung, dass der induzierte Morphismus <math>A + A' \to B</math> ein Isomorphismus ist. Ein komplementierter Monomorphismus ist einfach ein Monomorphismus, der zugleich ein komplementierter Morphismus ist. (Wir verlangen nicht, dass das Komplement ebenfalls ein Monomorphismus ist.)

Beispiel 2.2.
(1) In <math>\mathsf{Set}</math> sind die komplementierten Morphismen genau die Monomorphismen (d.h. injektive Abbildungen), und wir erhalten den üblichen Begriff des Komplements einer Teilmenge, bis auf Isomorphie.
(2) In abelschen Kategorien, wie etwa <math>\mathsf{Mod}_R</math> für einen Ring <math>R</math>, sind komplementierte Morphismen genau die gespaltenen Monomorphismen, und wir erhalten den üblichen Begriff eines Komplements eines Untermoduls.
(3) In <math>\mathsf{CRing}</math> ist der eindeutige Morphismus <math>R \to 0</math>, wobei <math>R</math> ein kommutativer Ring ist, komplementiert, weil <math>(R \to 0 \leftarrow 0)</math> ein Koproduktdiagramm ist. Dies zeigt, dass komplementierte Morphismen keine Monomorphismen sein müssen.
(4) In der Kategorie <math>{}_G \mathsf{Set}</math> der <math>G</math>-Mengen für eine Gruppe <math>G</math> sind die komplementierten Morphismen genau die injektiven <math>G</math>-äquivarianten Abbildungen. Falls <math>G</math> lediglich ein Monoid ist, müssen wir ebenfalls fordern, dass das mengentheoretische Komplement des Bildes <math>G</math>-invariant ist.
(5) In der Kategorie der Messräume mit messbaren Abbildungen <math>\mathsf{Meas}</math> sind die komplementierten Morphismen genau die injektiven messbaren Abbildungen, welche messbare Mengen auf messbare Mengen abbilden; diese werden bimessbar genannt.
(6) Ganz ähnlich sind in <math>\mathsf{Top}</math> die komplementierten Morphismen genau die injektiven stetigen Abbildungen, welche offen und abgeschlossen sind, d.h. welche offene (bzw. abgeschlossene) Teilmengen auf offene (bzw. abgeschlossene) Teilmengen abbilden.
(7) In der Kategorie <math>\mathsf{Pos}</math> der partiellen Ordnungen mit monoton wachsenden Abbildungen sind die komplementierten Morphismen gerade die Ordnungseinbettungen (d.h. injektive Abbildungen, welche die Ordnung erhalten und reflektieren) mit der Eigenschaft, dass die Elemente im Bild nicht mit den Elementen außerhalb des Bildes vergleichbar sind (äquivalent: das Bild ist nach unten sowie nach oben abgeschlossen).

Lemma 2.3. Sei <math>\mathcal{C}</math> eine Kategorie mit endlichen Koprodukten. Dann ist jeder Isomorphismus komplementiert, und die komplementierten Morphismen sind unter Komposition abgeschlossen.

Beweis. Sei <math>0</math> ein initiales Objekt von <math>\mathcal{C}</math>. Sei <math>A \to B</math> ein Isomorphismus in <math>\mathcal{C}</math>. Dann ist <math>(A \to B \leftarrow 0)</math> ein Koproduktdiagramm. Daher ist <math>A \to B</math> komplementiert. Sind nun <math>f : A \to B</math> und <math>g : B \to C</math> jeweils komplementiert, etwa mit Komplementen <math>f' : A' \to B</math> und <math>g' : B' \to C</math>, dann überprüft man, dass

<math>A' + B' \xrightarrow{~f' + \mathrm{id}_{B'}~} B + B' \xrightarrow{~(g,g')~} C</math>

ein Komplement von <math>A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C</math> ist. <math>\square</math>

3. Der Satz von Schröder-Bernstein

Wir wiederholen zunächst zwei bekannte Definitionen.

Definition 3.1. Sei <math>\mathcal{C}</math> eine Kategorie mit endlichen Koprodukten; insbesondere hat <math>\mathcal{C}</math> ein initiales Objekt <math>0</math>. Wir sagen, <math>\mathcal{C}</math> habe disjunkte Koprodukte, wenn <math>A \times_{A+B} B = 0</math> für alle Paare von Objekten <math>A,B \in \mathcal{C}</math> gilt. Mit anderen Worten, das Diagramm

<math>\begin{tikzcd}[column sep=20pt] 0 \ar{r} \ar{d} & A \ar{d} \\ B \ar{r} & A + B \end{tikzcd}</math>

ist ein Faserproduktdiagramm. (Normalerweise fordert man ebenfalls, dass die Koproduktinklusionen <math>A \to A + B \leftarrow B</math> Monomorphismen sind, aber wir werden das nicht benötigen.) Allgemeiner heißen zwei Morphismen <math>A \to C \leftarrow B</math> disjunkt, wenn <math>A \times_C B = 0</math> gilt.

Zum Beispiel haben <math>\mathsf{Set}</math>, <math>\mathsf{Top}</math> und <math>\mathsf{Mod}_R</math> disjunkte Koprodukte.

Definition 3.2. Ein Objekt <math>0</math> einer Kategorie heißt strikt initial, falls es initial ist und jeder Morphismus <math>T \to 0</math> ein Isomorphismus ist.

Zum Beispiel haben <math>\mathsf{Set}</math> und <math>\mathsf{Top}</math> ein strikt initiales Objekt, aber <math>\mathsf{Mod}_R</math> nicht (wenn <math>R \neq 0</math>).

Bemerkung 3.3. Sei <math>\mathcal{C}</math> eine Kategorie mit abzählbaren Koprodukten. Ist dann <math>C</math> irgendein Objekt von <math>\mathcal{C}</math>, so gibt es einen Isomorphismus

<math>\displaystyle \coprod_{n \geq 1} C \cong C + \coprod_{n \geq 1} C.</math>

Das ist nichts weiter als Hilberts Hotel bzw. die Bijektion <math>\mathds{N}_{\geq 1} \to \mathds{N}</math>, <math>n \mapsto n-1</math>. Es spielt eine Schlüsselrolle im folgenden Beweis.

Satz 3.4. Sei <math>\mathcal{C}</math> eine Kategorie mit abzählbaren Koprodukten, disjunkten Koprodukten, und einem strikt initialen Objekt. Wir nehmen an, dass für jede Folge <math>(A_n \to B)_{n \geq 1}</math> von paarweise disjunkten komplementierten Morphismen der induzierte Morphismus <math>\coprod_{n \geq 1} A_n \to B</math> ebenfalls komplementiert ist. Sind dann <math>A,B</math> zwei Objekte von <math>\mathcal{C}</math>, welche komplementierte Monomorphismen <math>A \hookrightarrow B</math> und <math>B \hookrightarrow A</math> ineinander zulassen, so sind <math>A,B</math> zueinander isomorph.

Beweis. Seien <math>f : A \hookrightarrow B</math>, <math>g : B \hookrightarrow A</math> zwei komplementierte Monomorphismen. Wähle ein Komplement <math>g' : C \to A</math> von <math>g</math>. Für <math>n \geq 1</math> definieren wir <math>i_n : C \to B</math> durch <math>i_n = (fg)^{n-1} f g'</math>. Nach Lemma 2.3 ist <math>i_n</math> ein komplementierter Morphismus. Diese Morphismen sind paarweise disjunkt: Angenommen, es gilt <math>n>m</math> und  <math>x : T \to C</math>, <math>y : T \to C</math> sind zwei Morphismen mit <math>i_n x = i_m y</math>. Weil <math>(fg)^{m-1}</math> ein Monomorphismus ist, folgt daraus <math>(fg)^{n-m} fg'x = fg'y</math>. Weil <math>f</math> ein Monomorphismus ist, erhalten wir <math>g(fg)^{n-m-1} fg'x= g'y</math>. Aber <math>g,g'</math> sind disjunkt, sodass es einen Morphismus <math>T \to 0</math> gibt, d.h. <math>T \cong 0</math>. Weil nun die <math>i_n</math> paarweise disjunkt sind, ist der induzierte Morphismus <math>\coprod_{n \geq 1} C \to B</math> nach Annahme komplementiert. Es sei <math>D \to B</math> ein Komplement. Dann bekommen wir:

<math>\displaystyle B \cong \coprod_{n \geq 1} C + D \cong C + \coprod_{n \geq 1} C + D \cong C + B \cong A. ~~ \square</math>

Bemerkung 3.5. Dass <math>f : A \to B</math> komplementiert ist, braucht man gar nicht. Der Isomorphismus <math>h : A \to B</math> im Beweis von Satz 3.4 kann wie folgt explizit gemacht werden: Es gilt <math>hg'=i_1=fg'</math>; das beschreibt <math>h</math> "auf" <math>C</math>. Es gilt <math>hgd=d</math>, wobei <math>d : D \to B</math> ein Komplement von <math>\coprod_{n \geq 1} C \to B</math> ist; dies beschreibt <math>h</math> "auf" <math>D</math>. Es gilt <math>hg i_n = i_{n+1}</math>; dies beschreibt <math>h</math> "auf" der <math>n</math>-ten Kopie von <math>C</math>. Diese Beschreibung folgt direkt aus dem Beweis.
 
Bemerkung 3.6. Die Bedingungen in Satz 3.4 sind sehr ähnlich zum Begriff der hyperextensiven Kategorie [1].

Es gibt die folgende Variante von Satz 3.4, welche den Vorteil besitzt, potentiell auch auf Kategorien mit Nullobjekt anwendbar zu sein.

Satz 3.7. Sei <math>\mathcal{C}</math> eine Kategorie mit abzählbaren Koprodukten, disjunkten Koprodukten, und Faserprodukten. Wir nehmen an, dass für jede Folge <math>(A_n \to B)_{n \geq 1}</math> von paarweise disjunkten komplementierten Morphismen der induzierte Morphismus <math>\coprod_{n \geq 1} A_n \to B</math> ebenfalls komplementiert ist. Außerdem sei jeder komplementierte Morphismus ein Monomorphismus. Sind dann <math>A,B</math> zwei Objekte von <math>\mathcal{C}</math>, welche komplementierte Morphismen <math>A \hookrightarrow B</math> und <math>B \hookrightarrow A</math> ineinander zulassen, so sind <math>A,B</math> zueinander isomorph.

Beweis. Wir können denselben Beweis wie in Satz 3.4 nutzen, nur dass wir das folgende Argument benötigen, um die Disjunktheit von <math>i_n</math> und <math>i_m</math> für <math>n>m</math> zu zeigen: Sei <math>(x,y)</math> ein <math>T</math>-wertiger Punkt des Faserproduktes <math>i_n \times_C i_m</math>; dies bedeutet, dass <math>x,y : T \to C</math> Morphismen sind mit <math>(fg)^{n-1} fg'x = (fg)^{m-1} fg'y</math>. Das ist äquivalent zu <math>g(fg)^{n-m-1} fg'x = g'y</math>. Das bedeutet, dass <math>((fg)^{n-m-1} fg'x,y)</math> ein <math>T</math>-wertiger Punkt von <math>g \times_A g'</math> ist. Also gibt es einen Monomorphismus <math>i_n \times_C i_m \to g \times_A g' = 0</math>, der ein Isomorphismus sein muss, weil <math>0</math> initial ist. <math>\square</math>

Animation. Klickt hier (gif-Animation) oder hier (Powerpoint-Präsentation) für eine animierte Veranschaulichung des Beweises.

4. Beispiele

Beispiel 4.1. Die Kategorie <math>\mathsf{Set}</math> erfüllt alle vier Bedingungen in Satz 3.4. Wir gewinnen den üblichen Satz von Schröder-Bernstein zurück.

Beispiel 4.2. Die Kategorie <math>\mathsf{Pos}</math> erfüllt alle vier Bedingungen in Satz 3.4. Das impliziert: Besitzen zwei partielle Ordnungen Ordnungseinbettungen ineinander, sodass jeweils kein Element im Bild mit einem Element außerhalb des Bildes vergleichbar ist, so sind diese partiellen Ordnungen isomorph.

Beispiel 4.3. Die Kategorie <math>\mathsf{Meas}</math> erfüllt alle vier Bedingungen in Satz 3.4. Man gewinnt daraus den bekannten Satz von Schröder-Bernstein für Messräume [18]: Wenn zwei Messräume injektive bimessbare Abbildungen ineinader zulassen, so sind diese isomorph. Das kann zum Beispiel dazu genutzt, um zu zeigen, dass die Intervalle <math>[0,1]</math> und <math>]0,1[</math>, versehen mit ihren Borelalgebren, isomorphe Messräume sind. Die injektiven bimessbaren Abbildungen <math>]0,1[ \to [0,1]</math>, <math>x \mapsto x</math> und <math>[0,1] \to ]0,1[</math>, <math>x \mapsto \frac{1}{4} + \frac{x}{2}</math> liefern nach dem Beweis von Satz 3.4 den Isomorphismus <math>[0,1] \to ]0,1[</math>, welcher <math>\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2^n}</math> (für <math>n \geq 1</math>) auf <math>\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2^{n+1}}</math> abbildet und alle anderen Elemente festlässt.

Beispiel 4.4. Wenn <math>G</math> eine Gruppe ist, dann erfüllt die Kategorie <math>{}_G \mathsf{Set}</math> alle Bedingungen aus Satz 3.4. Folglich sind zwei <math>G</math>-Mengen isomorph, wenn sie sich gegenseitig ineinander einbetten lassen. Zum Beispiel wirkt die zyklische Gruppe <math>C_2</math> auf den Intervallen <math>[0,1]</math> und <math>]0,1[</math> durch die Spiegelung <math>x \mapsto -x</math>, und vermöge des obigen Isomorphismus sind diese <math>C_2</math>-Mengen zueinander isomorph. Wenn <math>G</math> ein Monoid ist, dann erfüllt die Kategorie <math>{}_G \mathsf{Set}</math> ebenfalls alle Bedingungen aus Satz 3.4, wobei allerdings darauf geachtet werden muss, dass hier die komplementierten Morphismen stärker sind. Wenn <math>G</math> keine Gruppe ist, so gibt es tatsächlich nicht-isomorphe <math>G</math>-Mengen, welche sich ineinander einbetten lassen. Das ist ein Spezialfall des Hauptresultats aus [12], welches besagt, dass es für jede Kategorie <math>G</math>, welche kein Gruppoid ist, zwei nicht-isomorphe Funktoren <math>G \to \mathsf{Set}</math> gibt, welche sich ineinander einbetten lassen.

Beispiel 4.5. Sei <math>\mathcal{C}</math> eine kleine Kategorie. Dann erfüllt die Kategorie <math>\mathrm{Hom}(\mathcal{C}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})</math> der Prägarben auf <math>\mathcal{C}</math> alle Bedingungen aus Satz 3.4. Hierbei ist ein Morphismus <math>\alpha : A \to B</math> von Prägarben genau dann komplementiert, wenn für alle <math>U \in \mathcal{C}</math> die Abbildung <math>\alpha(U) : A(U) \to B(U)</math> injektiv ist und für jeden Morphismus <math>U \to V</math> die Einschränkungsabbildung <math>B(V) \to B(U)</math> die Teilmenge <math>B(V) \setminus \mathrm{im}(\alpha(V))</math> in die Teilmenge <math>B(U) \setminus \mathrm{im}(\alpha(U))</math> abbildet. Für diese Morphismen haben wir also einen Satz von Schröder-Bernstein für Prägarben. Dies verallgemeinert Beispiel 4.4.

Beispiel 4.6. Satz 3.4 lässt sich nicht auf <math>\mathsf{Top}</math> anwenden, weil das Koprodukt von abzählbar vielen offen-abgeschlossenen paarweise disjunkten Einbettungen zwar eine offene Einbettung, aber nicht notwendigerweise eine abgeschlossene Einbettung ist (betrachte etwa die isolierten Punkte in der Einpunktkompaktifizierung von <math>\mathds{N}</math>). Es gibt anscheinend keine Art von Satz von Schröder-Bernstein für <math>\mathsf{Top}</math>.

Beispiel 4.7. Die Sätze 3.4 und 3.7 lassen sich nicht auf <math>\mathsf{Ab}</math> anwenden. Tatsächlich gibt es abelsche Gruppen <math>A</math> mit <math>A \cong A^3</math> und <math>A \not\cong A^2</math> [5].

Wir enden mit einem Satz von Schröder-Bernstein für Darstellungen von <math>C^*</math>-Algebren [6, Ex. I.38]. Sei <math>\mathsf{Hilb}_1</math> die Kategorie der Hilberträume zusammen mit linearen Isometrien. Die übliche direkte Summe von Hilberträumen ist kein Koprodukt in <math>\mathsf{Hilb}_1</math> (tatsächlich gibt es gar keine Koprodukte), aber es erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Sei <math>(A_i)_{i \in I}</math> eine Familie von Hilberträumen und <math>f_i : A_i \to B</math> seien lineare Isometrien, welche paarweise orthogonal sind, d.h. es gilt <math>\langle f_i(x),f_j(y) \rangle=0</math> für alle <math>i \neq j</math>, <math>x \in A_i</math>, <math>y \in A_j</math>. Dann gibt es genau eine lineare Isometrie <math>f : \bigoplus_{i \in I} A_i \to B</math> mit <math>f \circ \iota_i = f_i</math> für alle <math>i \in I</math>; hierbei sind <math>\iota_i : A_i \to \bigoplus_{i \in I} A_i</math> die evidenten paarweise orthogonalen Inklusionen. Beachte, dass jede lineare Isometrie ein orthogonales Komplement besitzt. Diese Bemerkungen treffen ebenfalls auf Darstellungen einer fixierten unitalen <math>C^*</math>-Algebra <math>\mathfrak{A}</math> auf Hilberträumen zu, d.h. <math>C^*</math>-Homomorphismen <math>\mathfrak{A} \to \mathcal{L}(A)</math> mit Hilberträumen <math>A</math>, wobei wir natürliche nur lineare Isometrien betrachten, welche mit der Wirkung von <math>\mathfrak{A}</math> kompatibel sind.

Satz 4.8. Wenn zwei Darstellungen einer unitalen <math>C^*</math>-Algebra <math>\mathfrak{A}</math> lineare Isometrien ineinander zulassen, so sind diese isometrisch isomorph.

Beweis. Wir können den Beweis von Satz 3.4 mehr oder weniger abschreiben. Seien <math>A,B</math> zwei Darstellungen von <math>\mathfrak{A}</math>. Seien <math>f : A \to B</math>, <math>g : B \to A</math> zwei lineare Isometrien. Wähle ein orthogonales Komplement <math>g' : C \to A</math> von <math>g</math>. Für <math>n \geq 1</math> definieren wir <math>i_n = (fg)^{n-1} f g'</math>. Diese Morphismen sind paarweise orthogonal: Angenommen, es gilt <math>n<m</math> und <math>x,y \in C</math>. Dann gilt:

<math>\langle i_n x,i_m y \rangle = \langle  fg'x , (fg)^{m-n} fg'y \rangle = \langle g'x,g(fg)^{m-n-1} fg'y \rangle = 0.</math>

Also gibt es eine lineare Isometrie <math>(i_n) : \bigoplus_{n \geq 1} C \to B</math>. Sei <math>D \to B</math> ein orthogonales Komplement. Dann folgt

<math>\displaystyle B \cong \bigoplus_{n \geq 1} C \oplus D \cong C \oplus \bigoplus_{n \geq 1} C \oplus D \cong C \oplus B \cong A. ~~ \square</math>

Bemerkung 4.9. Es wäre natürlich wünschenswert, Satz 3.7 dahingehend zu verallgemeinern, dass Satz 4.8 ein Spezialfall dieser Verallgemeinerung wird. Das ist tatsächlich möglich, siehe Anhang. Daraus lässt sich dann auch der folgende bekannte Satz von Schröder-Bernstein für Projektionen [3, III.1.1.9] ableiten:
 
Satz 4.10. Es sei <math>\mathfrak{A}</math> eine von Neumann Algebra. Sind <math>p,q \in \mathfrak{A}</math> zwei Projektionen mit <math>p \prec q</math> und <math>q \prec p</math>, so gilt <math>p \approx q</math>.

Hierbei bedeutet <math>p \prec q</math>, dass es eine partielle Isometrie <math>u \in \mathfrak{A}</math> (d.h. es gilt <math>u = u \cdot u^* \cdot u</math>) gibt mit <math>p = u^* \cdot u</math> und <math>u \cdot u^* \leq q</math> (man sagt, <math>p</math> ist <math>q</math> untergeordnet), und <math>p \approx q</math> bedeutet, dass es eine partielle Isometrie <math>u \in \mathfrak{A}</math> gibt mit <math>p = u^* \cdot u</math> und <math>q = u \cdot u^*</math> (man sagt, <math>p</math> ist Murray-von Neumann-äquivalent zu <math>q</math>).

Beweisidee. Wir definieren die folgende Kategorie: Die Objekte sind die Projektionen von <math>\mathfrak{A}</math>. Ein Morphismus <math>u : p \to q</math> sei eine partielle Isometrie <math>u \in \mathfrak{A}</math> mit <math>p = u^* u</math> und <math>u u^* \leq q</math>. Die Identität von <math>p</math> ist <math>p</math> selbst. Die Komposition von <math>u : p \to q</math> mit <math>v : q \to r</math> ist <math>v \cdot u : p \to r</math>; man muss sich hierbei die Wohldefiniertheit überlegen. Es gibt also genau dann einen Morphismus <math>p \to q</math>, wenn <math>p \prec q</math>, und es gibt genau dann einen Isomorphismus <math>p \to q</math>, wenn <math>p \approx q</math>. Die Projektion <math>0</math> ist strikt initial. Jeder Morphismus ist ein Monomorphismus. Nun kann man im Wesentlichen den Beweis von Satz 3.4 kopieren, nur dass man, ähnlich wie in Satz 4.8, mit zueinander paarweise orthogonalen partiellen Isometrien arbeitet. Die dabei auftretende abzählbare Summe von paarweise orthogonalen Projektionen kann man tatsächlich in <math>\mathfrak{A}</math> bilden, weil <math>\mathfrak{A}</math> bezüglich der starken Operatortopologie abgeschlossen ist. <math>\square</math>

Wir verweisen auf [14] für einen alternativen abstrakten Beweis von Satz 4.10.

Bemerkung 4.11. Der Isomorphiesatz von Myhill [15] besagt, dass zwei Mengen natürlicher Zahlen <math>A,B \subseteq \mathds{N}</math> genau dann rekursiv isomorph sind, wenn <math>A</math> 1-reduzierbar auf <math>B</math> und <math>B</math> 1-reduzierbar auf <math>A</math> ist. Auch diese Aussage lässt sich kategoriell interpretieren: Wir definieren dazu eine Kategorie, deren Objekte die Teilmengen von <math>\mathds{N}</math> sind. Ein Morphismus <math>f : A \to B</math> sei eine rekursive Funktion <math>f : \mathds{N} \to \mathds{N}</math> mit <math>A=f^{-1}(B)</math> (d.h. eine m-Reduktion von <math>A</math> auf <math>B</math>). Es ist klar, wie die Komposition zu definieren ist. Die Monomorphismen sind nun genau die 1-Reduktionen, und die Isomorphismen sind genau die rekursiven Isomorphismen. Das Koprodukt von <math>A,B \subseteq \mathds{N}</math> in dieser Kategorie ist <math>C:=2A \cup (2B+1) \subseteq \mathds{N}</math> mit <math>i_A : A \to C</math>, <math>n \mapsto 2n</math> und <math>i_B : B \to C</math>, <math>n \mapsto 2n+1</math>. Aber der Beweis des Isomorphiesatzes von Myhill scheint nach einem anderen Schema als Satz 3.4 zu verlaufen.

Anhang. Orthogonalität

Definition. Es sei <math>\mathcal{C}</math> eine Kategorie. Eine Orthogonalitätsrelation auf <math>\mathcal{C}</math> ist eine spezielle Relation auf der Morphismenmenge von <math>\mathcal{C}</math>. Wir schreiben <math>f \perp g</math>, wenn <math>f,g</math> zueinander in Relation stehen, und sagen, dass <math>f</math> und <math>g</math> zueinander orthogonal sind. Es soll folgendes gelten:

(0) Aus <math>f \perp g</math> folgt, dass <math>f,g</math> dasselbe Zielobjekt besitzen.
(1) Aus <math>f \perp g</math> folgt <math>g \perp f</math>.
(2) Aus <math>f \perp g</math> folgt <math>fh \perp g</math> für alle Morphismen <math>h</math>, für die <math>fh</math> definiert ist.
(3) Ist <math>f \perp g</math> und <math>h : A \to D</math> ein Monomorphismus, für den <math>hf</math> definiert ist, so folgt <math>hf \perp hg</math>.

Definition. Sei <math>\mathcal{C}</math> mit einer solchen Orthogonalitätsrelation <math>\perp</math> versehen. Sei <math>(X_i)_{i \in I}</math> eine Familie von Objekten in <math>\mathcal{C}</math>. Ein orthogonales Koprodukt dieser Familie besteht aus einem Objekt <math>\displaystyle\mathlarger{\boxplus}_{i \in I} X_i</math> und einer Familie von Morphismen <math>\displaystyle\iota_i : X_i \to \mathlarger{\boxplus}_{i \in I} X_i</math>, die paarweise orthogonal sind, sodass gilt: Sind <math>f_i : X_i \to T</math> Morphismen für <math>i \in I</math>, die paarweise orthogonal sind, so gibt es genau einen Morphismus <math>\displaystyle f : \mathlarger{\boxplus}_{i \in I} X_i \to T</math> derart, dass <math>f \circ \iota_i = f_i</math> für alle <math>i \in I</math> gilt. Man schreibt auch <math>f=(f_i)_{i \in I}</math>. Es handelt sich um eine universelle Eigenschaft im üblichen Sinne. Insbesondere gilt: Sofern dieses orthogonale Koprodukt existiert, ist es bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Wir verlangen nun auch noch die Assoziativität orthogonaler Koprodukte:

(4) Sind <math>A,B,C</math> drei Objekte von <math>\mathcal{C}</math>, sodass <math>A \boxplus (B \boxplus C)</math> existiert, so existiert auch <math>(A \boxplus B) \boxplus C</math>, und es gibt einen Isomorphismus <math>A \boxplus (B \boxplus C) \xrightarrow{\cong} (A \boxplus B) \boxplus C</math> derart, dass das offensichtliche Diagramm kommutiert.
 
Mit anderen Worten, wir verlangen, dass <math>A \to A \boxplus B \to (A \boxplus B) \boxplus C</math> zu <math>B \boxplus C \to (A \boxplus B) \boxplus C</math> orthogonal ist, und dass <math>A \boxplus B \to A \boxplus (B \boxplus C)</math> zu <math>C \to B \boxplus C \to A \boxplus (B \boxplus C)</math> orthogonal ist. (Das scheint nicht automatisch der Fall zu sein.)
 
Definition. Ein Morphismus <math>f : A \to B</math> heiße orthogonal komplementiert, wenn es einen Morphismus <math>f' : A' \to B</math> gibt, sodass <math>B</math> zusammen mit <math>f</math> und <math>f'</math> ein orthogonales Koprodukt von <math>A</math> und <math>A'</math> ist. Insbesondere müssen hierfür <math>f</math> und <math>f'</math> zueinander orthogonal sein. Wir nennen <math>f'</math> ein orthogonales Komplement von <math>f</math>.

Satz. Es sei <math>\mathcal{C}</math> eine Kategorie mit einer Orthogonalitätsrelation, welche (1)-(4) erfüllt. Für jede abzählbare Familie <math>( A_i \to B)_{i \in I}</math> von paarweise orthogonalen Morphismen möge das orthogonale Koprodukt <math>\displaystyle\mathlarger{\boxplus}_{i \in I} A_i</math> existieren, und der induzierte Morphismus <math>\displaystyle\mathlarger{\boxplus}_{i \in I} A_i \to B</math> sei orthogonal komplementiert, sofern es die <math>A_i \to B</math> waren. Dann gilt: Sind <math>A,B</math> zwei Objekte von <math>\mathcal{C}</math>, welche orthogonal komplementierte Monomorphismen <math>A \to B</math> und <math>B \to A</math> zulassen, so sind <math>A,B</math> zueinander isomorph.

Beweis. Seien <math>f : A \hookrightarrow B</math>, <math>g : B \hookrightarrow A</math> zwei orthogonal komplementierte Monomorphismen. Wähle ein orthogonales Komplement <math>g' : C \to A</math> von <math>g</math>. Für <math>n \geq 1</math> definieren wir <math>i_n : C \to B</math> durch <math>i_n = (fg)^{n-1} f g'</math>. Nach dem Lemma unten ist <math>i_n</math> ein orthogonal komplementierter Morphismus. Diese Morphismen sind paarweise orthogonal: Dazu sei <math>n>m</math>. Weil <math>g,g'</math> orthogonal sind, sind es ebenfalls <math>g (fg)^{n-m-1} f g'</math> und <math>g'</math>. Weil <math>(fg)^{m-1} f</math> ein Monomorphismus ist, sind dann auch <math>(fg)^{m-1} f g (fg)^{n-m-1} f g'</math> und <math>(fg)^{m-1} f g'</math> orthogonal. Der erste Morphismus ist aber gerade <math>(fg)^{n-1} f g'</math>. Weil nun die <math>i_n</math> paarweise orthogonal sind, ist der induzierte Morphismus <math>\displaystyle\mathlarger{\boxplus}_{n \geq 1} C \to B</math> nach Annahme orthogonal komplementiert. Es sei <math>D \to B</math> ein orthogonales Komplement. Dann bekommen wir:

<math>\displaystyle B \cong \mathlarger{\boxplus}_{n \geq 1} C \boxplus D \cong C \boxplus (\mathlarger{\boxplus}_{n \geq 1} C) \boxplus D \cong C \boxplus (\mathlarger{\boxplus}_{n \geq 1} C \boxplus D) \cong C \boxplus B \cong A. ~~ \square</math>

Lemma. Es sei <math>\mathcal{C}</math> wie im Satz gegeben. Dann sind orthogonal komplementierte Morphismen unter Komposition abgeschlossen.

Beweis. Seien <math>f : A \to B</math> und <math>g : B \to C</math> jeweils orthogonal komplementiert, etwa mit orthogonalen Komplementen <math>f' : A' \to B</math> und <math>g' : B' \to C</math>. Nach Annahme existiert <math>A' \boxplus B'</math>, denn <math>gf' : A' \to C</math> und <math>g' : B' \to C</math> sind orthogonal. Diese induzieren einen Morphismus <math>(gf',g') : A' \boxplus B' \to C</math>. Man überprüft mit (4) nach, dass dieser ein orthogonales Komplement von <math>gf : A \to C</math> ist. <math>\square</math>

Quellen

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[2] B. Banaschewski, G. C. L. Brummer, Thoughts on the Cantor-Bernstein theorem. Quaestiones Mathematicae 9.1-4 (1986): 1-27.
[3] B. Blackadar, Operator algebras: theory of C*-algebras and von Neumann algebras. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Vol. 122, 2006.
[4] R. T. Bumby, Modules which are isomorphic to submodules of each other. Arch. Math. (Basel) 16 (1965), 184-185.
[5] A. L. S. Corner, On a conjecture of Pierce concerning direct decomposition of Abelian groups. Proc. Colloq. Abelian Groups (1964), 43-48.
[6] K. R. Davidson, C*-algebras by example. Fields Institute Monographs, Vol. 6. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.
[7] H. Freytes, An algebraic version of the Cantor-Bernstein-Schröder theorem. Czechoslovak Mathematical Journal 54.3 (2004): 609-621.
[8] W. T. Gowers, A solution to the Schroeder-Bernstein problem for Banach spaces. Bulletin of the London Mathematical Society 28.3 (1996): 297-304.
[9] A. Hinkis, Proofs of the Cantor-Bernstein Theorem. Springer, 2013.
[10] J. Jakubík, Cantor-Bernstein theorem for MV-algebras. Czechoslovak Math. J. 49(124) (1999) 517-526.
[11] G. Jenca, A Cantor-Bernstein type theorem for effect algebras. Algebra Universalis 48.4 (2002): 399-411.
[12] V. Trnková and V. Koubek, The Cantor-Bernstein theorem for functors. Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae 14.2 (1973): 197-204.
[13] D. Laackman, The Cantor-Schroeder-Bernstein property in categories. 2010.
       Link: http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2010/REUPapers/Laackman.pdf
[14] A. Lebow, A Schroeder-Bernstein theorem for projections. Proceedings of the American Mathematical Society 19.1 (1968): 144-145.
[15] J. Myhill, Creative sets. Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik 1 (1955): 97-108.
[16] R. Sikorski, A generalization of theorems of Banach and Cantor-Bernstein. Colloquium Mathematicum, vol. 1 (1948), pp. 140-144.
[17] N. Snyder, Theme and variations: Schroeder-Bernstein. Blog-Eintrag im Secret Blogging Seminar.
       Link: https://sbseminar.wordpress.com/2007/10/30/theme-and-variations-schroeder-bernstein
[18] S. M. Srivastava, A Course on Borel Sets. Springer, 1998.
[19] R. Wisbauer, Correct classes of modules. Algebra and Discrete Mathematics 4 (2004): 106-118.

Online-Quellen

mathoverflow: When does Cantor-Bernstein hold?
Wikipedia: Schröder-Bernstein theorem
Wikipedia: Schröder-Bernstein property
Wikipedia: Schröder-Bernstein theorem for measurable spaces
Wikipedia: Schröder-Bernstein theorems for operator algebras
Wikipedia: Myhill isomorphism theorem


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" Mathematik: Ein kategorieller Satz von Schröder-Bernstein" | 1 Kommentar
 
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Re: Ein kategorieller Satz von Schröder-Bernstein
von PhysikRabe am Sa. 17. Oktober 2015 18:43:30

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Danke für diesen schönen und sehr interessanten Artikel, und dass ich ihn korrekturlesen durfte!  smile\(\endgroup\)

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