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Mathematik: Die Vieta-Transformation
Freigegeben von matroid am Fr. 13. November 2015 15:37:25
Verfasst von Martin_Infinite -   1171 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Zur Lösung der kubischen Gleichung

Die Vieta-Transformation

In diesem Artikel stelle ich die Vieta-Transformation vor (nach François Viète), mit deren Hilfe eine sehr schnelle und elegante Lösung der kubischen Gleichung <math>y^3+py+q=0</math> gelingt. Sie wird damit unmittelbar auf eine quadratische Gleichung und eine reine kubische Gleichung reduziert. Es ergeben sich dieselben Formeln wie von Cardano bzw. Tartaglia. Als Beispiel lösen wir die Gleichung <math>y^3+3y+1=0</math> über <math>\mathds{C}</math>, <math>\overline{\mathds{F}_5}</math> und <math>\overline{\mathds{F}_7}</math> auf. Außerdem gehe ich auf Cardanos elementargeometrische Lösung der kubischen Gleichung ein.<math>\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
\fill [lightgray!20]
(0.3,3*0.3) to (2-0.3,3*0.3) to (2-0.3,2+0.3) to (0.3,2+0.3) to (0.3,3*0.3);
\fill [lightgray!70]
(2-0.3,3*0.3) to (2-0.3,2+0.3) to (3-2*0.3,3) to (3-2*0.3,1+2*0.3);
\fill [lightgray!90]
(2-0.3,2+0.3) to (0.3,2+0.3) to (1,3) to (3-2*0.3,3);
\fill [lightgray!20]
(2-2*0.3,0) to (2-2*0.3,2*0.3) to (2,2*0.3) to (2,0);
\fill [lightgray!70]
(2,0) to (2,2*0.3) to (2+0.3,3*0.3) to (2+0.3,0.3);
\fill [lightgray!90]
(2-2*0.3,2*0.3) to (2-0.3,3*0.3) to (2+0.3,3*0.3) to (2,2*0.3);
\draw (0,0) to (2,0) to (3,1) to (3,3) to (1,3) to (0,2) to (2,2) to (3,3);
\draw (2,2) to (2,0);
\draw (0,2) to (0,0);
\draw [black!70] (0,0) to (1,1) to (1,3);
\draw [black!70] (1,1) to (3,1);
\draw (2-2*0.3,0) to (2-2*0.3,2) to (3-2*0.3,3);
\draw (2-2*0.3,2*0.3) to (2,2*0.3) to (3,1+2*0.3);
\draw (0.3,2+0.3) to (2-0.3,2+0.3);
\draw (2+0.3,0.3) to (2+0.3,3*0.3);
\draw [black!70] (2-2*0.3,0) to (2-0.3,0.3);
\draw [black!70] (0.3,3*0.3) to (1,1+2*0.3) to (3,1+2*0.3);
\draw [black!70] (0.3,2+0.3) to (0.3,0.3)  to (2+0.3,0.3);
\draw [black!70] (3-2*0.3,1+2*0.3) to (3-2*0.3,3);
\draw [black!70] (0.3,3*0.3) to (2+0.3,3*0.3);
\draw [black!70] (2-2*0.3,2*0.3) to (3-2*0.3,1+2*0.3);
\draw [black!70] (2-0.3,0.3) to (2-0.3,2+0.3);
\end{tikzpicture}</math>


1. Das Vorgehen

Gegeben sei eine kubische Gleichung

<math>x^3+ax^2+bx+c=0.</math>

Wir können hierbei im Bereich der komplexen Zahlen <math>\mathds{C}</math> arbeiten. Tatsächlich funktioniert das Verfahren in jedem Körper <math>K</math> der Charakteristik <math>\neq 2,3</math> bzw. geeigneten algebraischen Erweiterungen von <math>K</math>. Wer von Körpern noch nichts gehört hat, stelle sich <math>K=\mathds{C}</math> vor.

Durch die sogenannte Tschirnhaus-Transformation

<math>\displaystyle x=y-\frac{a}{3}</math>

erreicht man nach einer kurzen Rechnung (vgl. Anhang) eine Gleichung der Form

<math>y^3+py+q=0.</math>

Der Trick ist jetzt, die sogenannte Vieta-Transformation

<math>\displaystyle y=z + \frac{c}{z}</math>
 
durchzuführen (mit <math>z \neq 0</math>), wobei wir den Koeffizienten <math>c</math> so bestimmen werden, dass sich die Gleichung drastisch vereinfacht. Es lässt sich <math>y</math> tatsächlich (in einer Erweiterung von <math>K</math>) so darstellen, man muss nur die quadratische Gleichung <math>yz=z^2+c</math> lösen. Man berechnet mit dem binomischen Lehrsatz:
 
<math>\displaystyle y^3+py+q = \left(z + \frac{c}{z}\right)^3+p \left(z + \frac{c}{z}\right) + q = z^3 +  \textcolor{blue}{3 z c} + \textcolor{red}{\frac{3c^2}{z}} +\frac{c^3}{z^3}  + \textcolor{blue}{ p z} + \textcolor{red}{\frac{pc}{z}} + q</math>
 
Wir wollen nun <math>\textcolor{blue}{3zc+pz=0}</math> und <math>\displaystyle\textcolor{red}{\frac{3c^2}{z}+\frac{pc}{z}=0}</math> erreichen. Das wird beides gleichzeitig durch

<math>\displaystyle c=-\frac{p}{3}</math>
 
offenbar sichergestellt. Mit dieser Wahl erhalten wir also die Gleichung

<math>\displaystyle z^3+\frac{c^3}{z^3}+q=0.</math>
 
Nun nehmen wir eine letzte Transformation <math>u=z^3</math> vor und multiplizieren die Gleichung mit <math>u</math>, so erhalten wir die quadratische Gleichung

<math>u^2+qu + c^3=0,</math>
 
die sich wie üblich mit der pq-Formel lösen lässt (in einer Erweiterung von <math>K</math>).

Eine kleine Spitzfindigkeit: Für <math>c=0</math> bzw. <math>p=0</math> ist <math>z=0</math>, was nicht erlaubt ist. Aber die Lösung der Gleichung <math>y^3+q=0</math> in <math>K</math> setzen wir als bekannt voraus. Dies ist auch notwendig, um <math>z^3=u</math> nach <math>z</math> aufzulösen.
 
Wenn man eine Lösung für <math>u</math> gefunden hat, berechnet man (in einer Erweiterung von <math>K</math>) eine dritte Wurzel <math>z</math> von <math>u</math>, und berechnet damit <math>y=z+\frac{c}{z}</math> und damit schließlich <math>x=y-\frac{a}{3}</math>. Wenn man auch nur eine Lösung der kubischen Gleichung gefunden hat, lässt sich diese durch Polynomdivision oder mit dem Horner-Schema auf eine quadratische Gleichung reduzieren, sodass sich auch die anderen Lösungen mit der pq-Formel finden lassen. Alternativ kann man gleich beide Lösungen der quadratischen Gleichung für <math>u</math> und dann jeweils drei Lösungen für <math>z</math> finden, was insgesamt sechs Lösungen für <math>y</math> ergibt, die sich allerdings überschneiden werden, weil wir eine kubische Gleichung vorliegen haben.

Schauen wir uns das genauer an: Seien <math>u,u'</math> die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung <math>u^2+qu + c^3=0</math>. Dann gilt <math>u \cdot u' = c^3</math>. Wenn wir <math>z</math> als eine Lösung von <math>z^3=u</math> wählen, dann ist folglich <math>z' := \frac{c}{z}</math> eine Lösung von <math>z^3=u'</math>. Die anderen Lösungen von <math>z^3=u</math> lauten <math>z,\zeta z,\zeta^2 z</math>, wobei <math>\zeta</math> eine primitive dritte Einheitswurzel ist, d.h. ein Element <math>\zeta \neq 1</math> mit <math>\zeta^3=1</math>. Wir erhalten die Lösung <math>y=z+\frac{c}{z}=z+z'</math>. Wenn wir mit <math>z'</math> anstelle von <math>z</math> arbeiten, erhält man dasselbe. Daher erhalten wir nun, wie erwartet, lediglich drei Lösungen für <math>y</math>, nämlich <math>z+z'</math>, <math>\zeta z + \frac{1}{\zeta} z' = \zeta z + \zeta^2 z'</math> und <math>\zeta^2 z + \frac{1}{\zeta^2} z' = \zeta^2 z + \zeta z'</math>.

Wir erhalten damit die allgemeine Formel:

2. Allgemeine Formel

• Die kubische Gleichung <math>x^3+ax^2+bx+c=0</math> lässt sich mit der Transformation <math>x=y-\frac{a}{3}</math> auf die reduzierte Form <math>y^3+py+q=0</math> bringen. Explizit ist <math>p=b-\frac{a^2}{3}</math> und <math>q=\frac{2}{27} a^3-\frac{ab}{3} + c</math>.
   
• Die reduzierte kubische Gleichung <math>y^3+py+q=0</math> besitzt die Lösungen <math>z + z'</math>, <math>\zeta z + \zeta^2 z'</math> und <math>\zeta^2 z + \zeta z'</math>, wobei

<math>\displaystyle z:=\sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{q^2-4 c^3}}{2}},</math>
<math>\displaystyle z':=\frac{c}{z} = \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{q^2-4 c^3}}{2}}</math>
 
mit <math>c:=-\frac{p}{3}</math> und einer primitiven dritten Einheitswurzel <math>\zeta</math>, also

<math>\displaystyle \zeta := \frac{{-}1+\sqrt{-3}}{2}</math>

für irgendeine Wahl der Wurzel <math>\sqrt{-3}</math>.
 
Dabei ist <math>\sqrt{q^2-4 c^3}</math> eine feste Wurzel von <math>q^2-4 c^3</math>, und <math>z</math> ist eine feste Kubikwurzel von <math>\frac{-q + \sqrt{q^2-4 c^3}}{2}</math>.

Tipp: Wer sich die allgemeine Formel nicht merken kann, der muss sich lediglich die Formel für die Vieta-Transformation <math>y = z - \frac{p}{3z}</math> merken.

3. Ein Beispiel

Wir lösen die Gleichung <math>y^3+3y+1=0</math> (in einem beliebigen Körper <math>K</math> der Charakteristik <math>\neq 2,3</math>). Die Vieta-Transformation <math>y = z - \frac{1}{z}</math> liefert <math>z^6+z^3-1=0</math> bzw. <math>u^2+u-1=0</math> mit <math>u=z^3</math>. Mit der pq-Formel folgt

<math>u = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2},</math>

wobei <math>\sqrt{5}</math> eine der beiden Wurzeln von <math>5</math> bezeichnet (in einer Erweiterung von <math>K</math>, falls nötig). Wenn wir also eine dritte Wurzel <math>z</math> von <math>u</math> wählen, so ist <math>y=z-\frac{1}{z}</math> eine Lösung. Wir können auch

<math>y = \sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}} - \dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}}}</math>

schreiben. Den Bruch kann man loswerden, indem man

<math>\dfrac{1}{\sqrt[3]{\dfrac{-1 +\sqrt{5}}{2}}} = \sqrt[3]{\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}}</math>

schreibt, wobei dann aber die richtige dritte Wurzel gewählt werden muss. Es ist also vielleicht sinnvoller, den Bruch stehenzulassen, zumal man dann keine weitere Wurzel berechnen muss. Die anderen Lösungen bekommen wir, indem wir die dritte Wurzel mit einer primitiven dritten Einheitswurzel <math>\zeta</math> bzw. <math>\zeta^2</math> multiplizieren.

Bei allen diesen Betrachtungen ist der Grundkörper tatsächlich beliebig wählbar, solange die Charakteristik <math>\neq 2,3</math> ist. Im klassischen Fall <math>K=\mathds{C}</math> macht man sich immer Gedanken über die Zerlegung in Real- und Imaginärteil und über Vorzeichen bei reellen Wurzeln, was allerdings zu keinen schöneren Formeln führt. Bei endlichen Körpern ergeben sich oftmals Vereinfachungen (vgl. Algebra über endlichen Körpern):
 
Im Fall <math>K=\mathds{F}_5</math> ist <math>u = -\frac{1}{2} = 2</math> und damit <math>z=3</math> (denn <math>3^3 = 27 = 2</math> in <math>\mathds{F}_5</math>). Eine Lösung ist daher <math>y=3-\frac{1}{3} = 3-2=1</math>, was man natürlich auch sofort hätte sehen können. Die anderen Lösungen sind <math>3\zeta - 2 \zeta^2=3(\zeta+\zeta^2)</math> und <math>3 \zeta^2 - 2 \zeta=3(\zeta^2+\zeta)</math>, wobei <math>\zeta</math> eine primitive dritte Einheitswurzel in <math>\mathds{F}_{5^2}=\mathds{F}_5(\zeta)</math> ist. Wegen <math>\zeta^2+\zeta=-1</math> vereinfachen sich diese Ausdrücke jeweils zu <math>2</math>. Die Lösungen der Gleichung <math>y^3+3y+1=0</math> in <math>\mathds{F}_5</math> sind also <math>1,2,2</math>.

Für <math>K=\mathds{F}_7</math> ist <math>u=3 + 4 \sqrt{5}</math>. Es liegt dann <math>u</math> in der Erweiterung <math>\mathds{F}_{7^2}=\mathds{F}_7(\sqrt{5})=\mathds{F}_7(\sqrt{3})=\mathds{F}_7(\sqrt{-1})</math> (man könnte also bei Bedarf auch <math>u</math> mit diesen Wurzeln ausdrücken). Es gilt <math>\sqrt{-3}=2</math> (zum Beispiel) und damit <math>\zeta=4</math>, <math>\zeta^2=2</math>. Weil <math>\mathds{F}_7(\sqrt{5})^{\times}</math> Ordnung <math>2^4 \cdot 3</math> hat, ist <math>u</math> genau dann eine dritte Potenz in <math>\mathds{F}_7(\sqrt{5})</math>, wenn <math>u^{2^4}=1</math> gilt. Dazu berechnet man schrittweise <math>u^2 = 5 + 3 \sqrt{5}</math>, <math>u^4 = 2 \sqrt{5}</math>, <math>u^8 = -1</math>, <math>u^{16}=1</math>. Also ist <math>u</math> eine dritte Potenz, und eine Kubikwurzel ist wegen <math>16 - 3 \cdot 5 = 1</math> durch <math>u^{-5} = (-3 + 4 \sqrt{5})^5  = 2 - \sqrt{5}</math> gegeben. Die anderen Kubikwurzeln bekommt man, indem man mit <math>2</math> bzw. <math>4</math> multipliziert. Es gilt <math>(2 -  \sqrt{5})^{-1} = -2 - \sqrt{5}</math>. Die Lösungen von <math>y^3+3y+1=0</math> sind daher:

<math>(2 + 6 \sqrt{5})  - (-2 + 6 \sqrt{5}) = 4</math>
<math>2 (2 - \sqrt{5}) - 4 (-2 - \sqrt{5}) = 5 + 2 \sqrt{5} = -2 + \sqrt{-1}</math>
<math>4 (2 - \sqrt{5}) - 2 (-2 - \sqrt{5}) = 5 - 2 \sqrt{5} = -2 - \sqrt{-1}</math>
 
Man hätte natürlich auch direkt durch Ausprobieren feststellen können, dass <math>4 \in \mathds{F}_7</math> eine Lösung von <math>y^3+3y+1=0</math> ist, und dann eine Polynomdivison mit <math>y-4</math> durchführen können.

Anmerkung: Für <math>K=\mathds{F}_{17}</math> hingegen hat <math>y^3+3y+1=0</math> keine Lösungen in <math>\mathds{F}_{17}</math>. Die Lösungen liegen also in <math>\mathds{F}_{17^3}</math>.

Aufgabe. Löse die Gleichung <math>y^3+y^2+y=1</math> in <math>\mathds{F}_{5^3}</math>.

4. Geometrische Lösung

Wir stellen hier eine leichte Abwandlung von Cardanos geometrischer Lösung der kubischen Gleichung vor.

Wir betrachten dazu einen Würfel der Seitenlänge <math>z</math>. Wir schreiben bei einer Ecke einen kleineren Würfel der Seitenlänge <math>a</math> ein.
 
 
<math>\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\fill [lightgray!20]
(0.3,3*0.3) to (2-0.3,3*0.3) to (2-0.3,2+0.3) to (0.3,2+0.3) to (0.3,3*0.3);
\fill [lightgray!70]
(2-0.3,3*0.3) to (2-0.3,2+0.3) to (3-2*0.3,3) to (3-2*0.3,1+2*0.3);
\fill [lightgray!90]
(2-0.3,2+0.3) to (0.3,2+0.3) to (1,3) to (3-2*0.3,3);
\fill [lightgray!20]
(2-2*0.3,0) to (2-2*0.3,2*0.3) to (2,2*0.3) to (2,0);
\fill [lightgray!70]
(2,0) to (2,2*0.3) to (2+0.3,3*0.3) to (2+0.3,0.3);
\fill [lightgray!90]
(2-2*0.3,2*0.3) to (2-0.3,3*0.3) to (2+0.3,3*0.3) to (2,2*0.3);
\draw (0,0) to (2,0) to (3,1) to (3,3) to (1,3) to (0,2) to (2,2) to (3,3);
\draw (2,2) to (2,0);
\draw (0,2) to (0,0);
\draw [dashed] (0,0) to (1,1) to (1,3);
\draw [dashed] (1,1) to (3,1);
\draw (2-2*0.3,0) to (2-2*0.3,2) to (3-2*0.3,3);
\draw (2-2*0.3,2*0.3) to (2,2*0.3) to (3,1+2*0.3);
\draw (0.3,2+0.3) to (2-0.3,2+0.3);
\draw (2+0.3,0.3) to (2+0.3,3*0.3);
\draw [dashed] (2-2*0.3,0) to (2-0.3,0.3);
\draw [dashed] (0.3,3*0.3) to (1,1+2*0.3) to (3,1+2*0.3);
\draw [dashed] (0.3,2+0.3) to (0.3,0.3)  to (2+0.3,0.3);
\draw [dashed] (3-2*0.3,1+2*0.3) to (3-2*0.3,3);
\draw [dashed] (0.3,3*0.3) to (2+0.3,3*0.3);
\draw [dashed] (2-2*0.3,2*0.3) to (3-2*0.3,1+2*0.3);
\draw [dashed] (2-0.3,0.3) to (2-0.3,2+0.3);
\draw node at (2-0.3,-0.1) {\footnotesize $a$};
\draw node at (1-0.3,-0.1) {\footnotesize $z-a$};
\draw node at (-0.1,1) {\footnotesize $z$};
\end{tikzpicture}
</math>
 
 
Das Bild zeigt: Wir können den Würfel der Seitenlänge <math>z</math> in einen Würfel der Seitenlänge <math>a</math>, einen Würfel der Seitenlänge <math>z-a</math>, und drei kongruente Quader mit den Seitenlängen <math>a,z,z-a</math> aufteilen. Daraus folgt die Gleichung:

<math>z^3  = a^3 + (z-a)^3 + 3za (z-a)</math>
 
Das lässt sich natürlich auch direkt nachrechnen (zum Beispiel mit dem binomischen Lehrsatz), woraus auch klar wird, dass es sich um eine Identität von Polynomen handelt. Die Gleichung ist äquivalent zu:

<math>y^3 + 3za y + (a^3-z^3)=0</math>

mit <math>y = z-a</math>. Für <math>p := 3za</math> und <math>q := a^3-z^3</math> gilt daher

<math>y^3+py+q=0.</math>
 
Das heißt aber umgekehrt: Wenn wir Zahlen bzw. Körperelemente <math>p,q</math> vorgegeben haben (mit <math>p \neq 0</math>), und <math>z,a</math> finden mit <math>p = 3za</math> und <math>z^3-a^3+q=0</math>, so ist <math>y := z-a</math> eine Lösung der reduzierten kubischen Gleichung <math>y^3+py+q=0</math>. Die Gleichung <math>p = 3za</math> schreiben wir um zu <math>a = p/(3z)</math>, sodass also lediglich die Gleichung <math>z^3-(p/(3z))^3+q=0</math> bzw. <math>z^6 + q z^3 - (p/3)^3  = 0</math> nach <math>z</math> aufzulösen ist. Das ist möglich, weil die Gleichung quadratisch in <math>z^3</math> ist. Man hat dann <math>y = z - p/(3z)</math>, womit wir die Vieta-Transformation erkennen.

Wenn wir uns <math>y</math> als eine eindimensionale Größe vorstellen, so muss in der Gleichung <math>y^3+py+q=0</math> natürlich <math>p</math> eine zweidimensionale und <math>q</math> eine dreidimensionale Größe sein. Und tatsächlich ist <math>p/3</math> eine Seitenfläche eines Quaders, und <math>-q</math> ist das Volumen des großen Würfels, nachdem man den kleinen Würfel herausgenommen hat. Und die Lösung <math>y</math> ist eine Seitenlänge eines Quaders.

Anhang. Tschirnhaus-Transformation

Die Tschirnhaus-Transformation <math>x=y-\frac{a}{3}</math> für das Polynom <math>x^3+ax^2+bx+c</math> ergibt sich einfach aus dem Ansatz <math>x=y+r</math> mit einer Konstanten <math>r</math>, die man dann so wählt, dass der Koeffizient von <math>y^2</math> in dem resultierenden Polynom verschwindet: Wegen <math>(y+r)^3+a(y+r)^2+\dotsc = y^3+3y^2 r + \dotsc + a y^2 + \dotsc</math> müssen wir dafür <math>3r+a=0</math> bzw. <math>r = -\frac{a}{3}</math> wählen. Geometrisch bedeutet dies, dass man die kubische Kurve einfach um <math>r</math> Schritte nach links verschiebt. Genau das passiert im übrigen bei der Lösung der quadratischen Gleichung: Durch eine Verschiebung nach links bzw. rechts erreicht man eine Parabel, die symmetrisch zur <math>y</math>-Achse ist, und deren Nullstellen daher einfach zu finden sind. Hat man allgemeiner für <math>n=1,2,3,\dotsc</math> ein normiertes Polynom <math>n</math>-ten Grades

<math>f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1} + \dotsc + a_1 x + a_0</math>
 
vorliegen, so ist der Koeffizient <math>a_{n-1}</math> bekanntlich das Negative der Summe der Nullstellen von <math>f(x)</math> (Wurzelsatz von Vieta). Verschiebt man also den Graphen von <math>f</math> um <math>\frac{a_{n-1}}{n}</math> nach rechts, d.h. betrachtet man <math>f(x - \frac{a_{n-1}}{n})</math>, so verschieben sich auch die Nullstellen entsprechend jeweils um <math>\frac{a_{n-1}}{n}</math> nach rechts, sodass ihre Summe <math>-a_{n-1} + n \cdot \frac{a_{n-1}}{n} = 0</math> wird. Der Koeffizient von <math>x^{n-1}</math> in <math>f(x - \frac{a_{n-1}}{n})</math> verschwindet also. Das kann man natürlich alternativ rein rechnerisch mit dem binomischen Lehrsatz einsehen. Die allgemeinere Tschirnhaus-Transformation ist also <math>x = y - \frac{a_{n-1}}{n}</math>.
 

Ich bedanke mich bei tactac für das Korrekturlesen.


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" Mathematik: Die Vieta-Transformation" | 1 Kommentar
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Die Vieta-Transformation
von Gerhardus am So. 22. November 2015 12:01:05


Bemerkenswert ist die Methode des persischen Universalgelehrten Umar al-Khayyami (gest. 1131), dargestellt im Buch J. Lennart Berggren, Mathematik im mittelalterlichen Islam (in Uni-Bibliotheken als pdf-Download verfügbar) S. 134-135.
Ausgehend von der Gleichung y³+py = q (p und q positiv) zeichnet man eine Parabel y²=bx mit b²=p und einen Kreis x²=y(h-y) mit h=q/p (Radius h/2). Der Schnittpunkt beider Kurven ≠(0|0) löst das Problem.
Beweis: Aus der Parabelgleichung folgt y²y²=b²x²=px², aus der Kreisgleichung folgt px²=py(h-y), folglich y²y²=py(h-y), d.h. y³+py=q für y≠0.

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