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Mathematik: Cantor-Algebren - eine kategorielle Untersuchung
Freigegeben von matroid am Do. 17. Dezember 2015 12:53:27
Verfasst von Martin_Infinite -   531 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

<math>$${\Large \textbf{Cantor-Algebren}}</math>
 
Cantor-Algebren sind interessante algebraische Strukturen: Es handelt sich um Mengen <math>X</math> zusammen mit einer Bijektion <math>X^2 \xrightarrow{~\cong~} X</math>. Ein klassisches Beispiel ist die Menge der natürlichen Zahlen <math>\mathds{N}</math> zusammen mit der Cantor'schen Paarungsfunktion <math>\mathds{N}^2 \xrightarrow{~\cong~} \mathds{N}</math>. In diesem Artikel wird die Kategorie der Cantor-Algebren untersucht. Wir geben u.a. freie Cantor-Algebren und Koprodukte von Cantor-Algebren explizit an; dabei ergeben sich baumähnliche Strukturen. Außerdem zeigen wir, dass die Cantor-Algebren einen sog. Grothendieck-Topos bilden, d.h. sich als Garben auf einem "Raum" darstellen lassen.


1. Einführung

Eine Cantor-Algebra <math>(X,\mu)</math> besteht aus einer Menge <math>X</math> und einem Isomorphismus (d.h. einer Bijektion)

<math>\displaystyle \mu : X \times X \stackrel{\cong}{\longrightarrow} X.</math>

Der Begriff der Cantor-Algebra geht auf die zweiteilige Arbeit "Cantor algebras with one generator.'' von D.M. Smirnov zurück. Es gibt den synonymen Begriff der Jónsson-Tarski-Algebra, weil diese Algebren erstmals in der Arbeit "On Two Properties of Free Algebras'' von B. Jónsson und A. Tarski aufgetaucht sind. Für eine Cantor-Algebra <math>(X,\mu)</math> hat <math>X</math> entweder höchstens ein Element (und dann ist <math>\mu</math> eindeutig bestimmt), oder <math>X</math> ist unendlich. Umgekehrt gibt es für jede unendliche Menge <math>X</math> einen Isomorphismus <math>X \times X \cong X</math> (Satz von Hessenberg), aber das werden wir nicht brauchen.
 
Es seien <math>(X,\mu)</math>, <math>(\tilde{X},\tilde{\mu})</math> zwei Cantor-Algebren. Ein Morphismus von Cantor-Algebren <math>(X,\mu) \to (\tilde{X},\tilde{\mu})</math> sei eine Abbildung <math>f : X \to \tilde{X}</math> mit <math>f \circ \mu  = \tilde{\mu} \circ (f \times f)</math>, d.h., das folgende Diagramm soll kommutieren:

<math>\displaystyle \begin{tikzcd} X \times X \ar{r}{\mu} \ar{d}[swap]{f \times f} & X \ar{d}{f} \\ \tilde{X} \times \tilde{X} \ar{r}{\tilde{\mu}} & \tilde{X}  \end{tikzcd}</math>

Die Cantor-Algebren bilden eine konkrete Kategorie <math>\mathsf{Can}</math> mit dem Vergissfunktor <math>\mathsf{Can} \to \mathsf{Set}</math>, <math>(X,\mu) \mapsto X</math>. Tatsächlich ist dies eine algebraische Kategorie: Dazu beachte man, dass die zu <math>\mu</math> inverse Abbildung <math>\mu^{-1} : X \to X \times X</math> aus den beiden Abbildungen <math>\lambda:=(\mu^{-1})_1 : X \to X</math>, <math>\rho:=(\mu^{-1})_2 : X \to X</math> besteht, mit deren Hilfe sich die Bedingungen <math>\mu \circ \mu^{-1} = \mathrm{id}_X</math> und <math>\mu^{-1} \circ \mu = \mathrm{id}_{X \times X}</math> in den folgenden Gleichungen ausdrücken:

<math>\mu(\lambda(x),\rho(x))=x</math> für alle <math>x \in X</math>,
<math>\lambda(\mu(x,y))=x</math> für alle <math>x,y \in X</math>,
<math>\rho(\mu(x,y))=y</math> für alle <math>x,y \in X</math>.

Wir haben also auf <math>X</math> eine <math>2</math>-stellige Verknüpfung <math>\mu</math> und zwei <math>1</math>-stellige Verknüpfungen <math>\lambda,\rho</math>, welche die obigen Gleichungen erfüllen müssen. Dies erklärt einen Typ von algebraischen Strukturen, und die Strukturen dieses Typs sind gerade die Cantor-Algebren. Die Morphismen von Cantor-Algebren sind zudem genau jene Abbildungen der zugrunde liegenden Mengen, die mit den Verknüpfungen kompatibel sind.

Nun können wir die allgemeine Theorie der algebraischen Strukturen anwenden. So ist zum Beispiel das Produkt einer Familie von Cantor-Algebren <math>((X_i,\mu_i,\lambda_i,\rho_i))_{i \in I}</math> die Cantor-Algebra <math>(\prod_{i \in I} X_i,\mu,\lambda,\rho)</math> mit

<math>\displaystyle \mu((x_i)_{i \in I},(y_i)_{i \in I}) := (\mu_i(x_i,y_i))_{i \in I}, ~ \lambda((x_i)_{i \in I}) := (\lambda_i(x_i))_{i \in I}, ~\rho((x_i)_{i \in I}) := (\rho_i(x_i))_{i \in I}.</math>

Allgemeiner werden Limites in <math>\mathsf{Can}</math> vom Vergissfunktor <math>\mathsf{Can} \to \mathsf{Set}</math> erzeugt. Die initiale Cantor-Algebra ist <math>(\emptyset,\mu)</math>, wobei <math>\mu : \emptyset \times \emptyset \to \emptyset</math> eindeutig ist.

2. Freie Cantor-Algebren

Ist <math>(X,\mu,\lambda,\rho)</math> eine Cantor-Algebra und <math>Y \subseteq X</math> eine Teilmenge, so besteht die davon erzeugte Cantor-Algebra <math>\langle Y \rangle</math> aus den Elementen, die man aus <math>Y</math> erhält, indem man beliebig oft <math>\mu,\lambda</math> oder <math>\rho</math> anwendet. Machen wir das expliziter: Definiere rekursiv eine aufsteigende Folge von Teilmengen von <math>X</math> durch

<math>Y_0 = Y</math>,
<math>Y_{2n+1} = Y_{2n} \cup \lambda(Y_{2n}) \cup \rho(Y_{2n})</math>,
<math>Y_{2n+2}=Y_{2n+1} \cup \mu(Y_{2n+1},Y_{2n+1})</math>.

Dann ist <math>\langle Y \rangle  = \bigcup_{n \geq 0} Y_n</math>. Zum Beispiel gilt:

<math>Y_0 = Y</math>
<math>Y_1 = Y \cup \lambda(Y) \cup \rho(Y)</math>,
<math>Y_2 = Y \cup \lambda(Y) \cup \rho(Y) \cup \mu(Y \cup \lambda(Y) \cup \rho(Y),Y \cup \lambda(Y) \cup \rho(Y))</math>,
<math>Y_3 = Y_2 \cup \lambda^2(Y) \cup \lambda(\rho(Y)) \cup \rho^2(Y) \cup \rho(\lambda(Y))</math>.

Jeder Term in <math>\langle Y \rangle</math> entsteht sukzessive auf diese Weise, wobei wir aber wegen der Axiome einer Cantor-Algebra Teilterme der Form <math>\lambda(\mu(u,v))</math> zu <math>u</math> und analog <math>\rho(\mu(u,v))</math> zu <math>v</math> reduzieren können (das haben wir bei der Beschreibung von <math>Y_3</math> benutzt), und ferner Teilterme der Form <math>\mu(\lambda(u),\rho(u))</math> zu <math>u</math> reduzieren können (dies lässt sich bei <math>Y_2</math> anwenden). Beachte aber, dass im Allgemeinen <math>\mu(\lambda(u),\rho(v))</math> für <math>u \neq v</math> nicht weiter reduzierbar ist; ebenso wenig ist <math>\mu(\lambda(u),\lambda(v))</math> im Allgemeinen weiter reduzierbar. Weil wir <math>\lambda(\mu(u,v))</math> und <math>\rho(\mu(u,v))</math> weglassen können, ergibt sich, dass o.B.d.A. kein <math>\mu</math>-Term in <math>\lambda</math> oder <math>\rho</math> eingesetzt wird, sondern nur in <math>\mu</math>, wenn überhaupt. Ein typisches Beispiel ist der Term

<math>\displaystyle \mu\Bigl(\mu\bigl(\lambda(a),b\bigr),\mu\bigl(\lambda^2(\rho(c)),\rho^2(d)\bigr)\Bigr)</math>

mit <math>a,b,c,d \in Y</math>. Wir können uns solche Terme auch als Bäume veranschaulichen:

<math>\begin{tikzpicture}
\draw  (2,9) to (3,10) to (4,9);
\draw  (1.3,7) to (1.3,8) to (2,9) to (2.7,8);
\draw  (3.3,5) to (3.3,8) to (4,9) to (4.7,8) to (4.7,6);
\draw [fill=white](1.3,7.5) circle [radius=0.2];
\draw node at (1.3,7.5) {\footnotesize $\lambda$};
\draw [fill=white](3.3,7.5) circle [radius=0.2];
\draw node at (3.3,7.5) {\footnotesize $\lambda$};
\draw [fill=white](3.3,6.5) circle [radius=0.2];
\draw node at (3.3,6.5) {\footnotesize $\lambda$};
\draw [fill=white](3.3,5.5) circle [radius=0.2];
\draw node at (3.3,5.5) {\footnotesize $\rho$};
\draw [fill=white](4.7,7.5) circle [radius=0.2];
\draw node at (4.7,7.5) {\footnotesize $\rho$};
\draw [fill=white](4.7,6.5) circle [radius=0.2];
\draw node at (4.7,6.5) {\footnotesize $\rho$};
\draw [fill=white](3,10) circle [radius=0.2];
\draw node at (3,10) {\footnotesize $\mu$};
\draw [fill=white](2,9) circle [radius=0.2];
\draw node at (2,9) {\footnotesize $\mu$};
\draw [fill=white](4,9) circle [radius=0.2];
\draw node at (4,9) {\footnotesize $\mu$};
\draw [fill=black!5] (1.3,7) to [out=0,in=90] (1.3+0.25,7-0.3) to [out=-90,in=60] (1.3,7-0.7) to [out=120,in=-90] (1.3-0.25,7-0.3) to [out=90,in=180] (1.3,7);
\draw node at (1.3,6.7) {\footnotesize $a$};
\draw [fill=black!5] (2.7,8) to [out=0,in=90] (2.7+0.25,8-0.3) to [out=-90,in=60] (2.7,8-0.7) to [out=120,in=-90] (2.7-0.25,8-0.3) to [out=90,in=180] (2.7,8);
\draw node at (2.7,7.7) {\footnotesize $b$};
\draw [fill=black!5] (3.3,5) to [out=0,in=90] (3.3+0.25,5-0.3) to [out=-90,in=60] (3.3,5-0.7) to [out=120,in=-90] (3.3-0.25,5-0.3) to [out=90,in=180] (3.3,5);
\draw node at (3.3,4.7) {\footnotesize $c$};
\draw [fill=black!5] (4.7,6) to [out=0,in=90] (4.7+0.25,6-0.3) to [out=-90,in=60] (4.7,6-0.7) to [out=120,in=-90] (4.7-0.25,6-0.3) to [out=90,in=180] (4.7,6);
\draw node at (4.7,5.7) {\footnotesize $d$};
\end{tikzpicture}</math>

Die von einer Menge <math>Y</math> erzeugte freie Cantor-Algebra <math>\langle Y \rangle_{\mathsf{Can}}</math> lässt sich aus allgemeinen Gründen wie folgt konstruieren: Man betrachtet zunächst die freie Struktur vom Typ <math>(\mu,\lambda,\rho)</math> auf <math>Y</math>, also die disjunke Vereinigung <math>\coprod_{n \geq 0} Y_n</math> mit <math>Y_0 = Y</math>, <math>Y_{2n+1} = Y_{2n} \sqcup \lambda(Y_{2n}) \sqcup \rho(Y_{2n})</math> (hierbei bezeichnet <math>\lambda(Y_{2n})</math> nichts weiter als eine suggestiv notierte Kopie von <math>Y_{2n}</math>, analog <math>\rho(Y_{2n})</math>), <math>Y_{2n+2} = Y_{2n+1} \sqcup \mu(Y_{2n+1} \times Y_{2n+1})</math>, versehen mit den offensichtlichen Verknüpfungen <math>\mu,\lambda,\rho</math>. Nun betrachte man die von <math>\mu(\lambda(u),\rho(u)) \sim u</math>, <math>\lambda(\mu(u,v)) \sim u</math>, <math>\rho(\mu(u,v)) \sim v</math> für <math>u,v \in \coprod_{n \geq 0} Y_n</math> erzeugte Kongruenzrelation auf der Struktur <math>(\coprod_{n \geq 0} Y_n,\mu,\lambda,\rho)</math>. Die Quotientenstruktur ist dann die freie Cantor-Algebra <math>\langle Y \rangle_{\mathsf{Can}}</math> auf <math>Y</math>. Wie bereits oben angedeutet, lässt sich eine Normalform der Elemente von <math>\langle Y \rangle_{\mathsf{Can}}</math> angeben: Zunächst einmal liegt irgendein geschachtelter <math>\mu</math>-Ausdruck vor (also ein Element in der freien Struktur vom Typ <math>(\mu)</math> bzw. im freien Magma). Die Einträge in der untersten <math>\mu</math>-Auswertungsebene haben die eindeutige Gestalt

<math>\displaystyle \lambda^{n_1}(\rho^{m_1}(\lambda^{n_2}(\dotsc(y)\dotsc)))</math>

oder

<math>\displaystyle \rho^{n_1}(\lambda^{m_1}(\rho^{n_2}(\dotsc(y)\dotsc)))</math>

mit <math>y \in Y,\, n_i \in \mathds{N}_+,\, m_i \in \mathds{N}_+</math>. Dabei sind allerdings, was die Normalform angeht, Terme der Form <math>\mu(\lambda(u),\rho(u))</math> nicht zugelassen. Natürlich sind auch Terme ohne irgendein <math>\mu</math> zugelassen, wie zum Beispiel <math>\lambda(\rho(\lambda^2(y)))</math> für <math>y \in Y</math>. Die Freiheit drückt sich in der Eindeutigkeit der Darstellungen aus. Zum Beispiel gibt es durchaus Cantor-Algebren, in denen <math>\mu(\lambda(a),b) = \rho(a)</math> für gewisse Elemente <math>a,b</math> gilt (was äquivalent <math>\lambda(\rho(a))=\lambda(a)</math> und <math>\rho^2(a)=b</math> bedeutet), aber in der freien Cantor-Algebra ist das nicht der Fall.

Es gilt <math> \langle \{x,y\} \rangle_{\mathsf{Can}}\cong \langle \{x\}\rangle_{\mathsf{Can}}</math>, denn für jede Cantor-Algebra <math>(X,\mu)</math> gibt es eine natürliche Bijektion

<math>\displaystyle \mathrm{Hom}(\langle \{x,y\} \rangle_{\mathsf{Can}},(X,\mu)) \cong X^2 \xrightarrow{\mu} X \cong \mathrm{Hom}(\langle \{x\}\rangle_{\mathsf{Can}},(X,\mu)).</math>

Explizit wird die freie Cantor-Algebra auf einem Erzeuger <math>x</math> ebenfalls von <math>\lambda(x)</math> und <math>\rho(x)</math> frei erzeugt. Daraus folgt, dass jede endlich-erzeugte freie Cantor-Algebra zur freien Cantor-Algebra auf einem Erzeuger isomorph ist.

Freie Cantor-Algebren sind besonders deshalb von Interesse, weil sich damit Thompsons Gruppen konstruieren lassen (vgl. "Thompson's Group F" von James Belk): Eine geordnete Basis <math>(x_1,\dotsc,x_n)</math> einer freien Cantor-Algebra führt  für jedes <math>i=1,\dotsc,n</math> zu einer neuen geordneten Basis <math>(x_1,\dotsc,x_{i-1},\lambda(x_i),\rho(x_i),x_{i+1},\dotsc,x_n)</math>, wie wir oben gesehen haben; wir nennen diesen Prozess eine geordnete Erweiterung der Basis. Die Umkehrung heißt eine geordnete Kontraktion, bei der man also zwei benachbarte Basiselemente <math>a,b</math> durch <math>\mu(a,b)</math> ersetzt. Ein Automorphismus <math>f : \langle \{x\} \rangle_{\mathsf{Can}} \to \langle \{x\} \rangle_{\mathsf{Can}}</math> heißt ordnungserhaltend, wenn die Basis <math>(f(x))</math> aus endlich vielen geordneten Erweiterungen und geordneten Kontraktionen aus <math>(x)</math> entsteht. Thompsons Gruppe <math>F</math> ist nun die Gruppe der ordnungserhaltenden Automorphismen von <math>\langle \{x\} \rangle_{\mathsf{Can}}</math>. Die Gruppe aller Automorphismen von <math>\langle \{x\} \rangle_{\mathsf{Can}}</math> ist hingegen Thompsons Gruppe <math>V</math>. Zum Beispiel ist <math>x \mapsto \mu(\mu(\lambda(x),\lambda(\rho(x)),\rho^2(x))</math> ein Automorphismus in <math>F</math>, aber <math>x \mapsto \mu(\rho(x),\lambda(x))</math> ist ein (zu sich selbst inverser) Automorphismus in <math>V</math>, der nicht in <math>F</math> liegt.

3. Ein Beispiel

Es ist höchste Zeit, ein  konkreteres Beispiel für eine Cantor-Algebra anzugeben. Wir betrachten die Menge <math>\mathds{N}=\{0,1,2,\dotsc\}</math> der natürlichen Zahlen mit der Cantor'schen Paarungsfunktion

<math>\displaystyle \mu : \mathds{N} \times \mathds{N} \to \mathds{N},~ (x,y) \mapsto x + \binom{x+y+1}{2} = x + \frac{(x+y)(x+y+1)}{2}.</math>

Diese lässt sich wie folgt veranschaulichen:

<math>\displaystyle \begin{array}{c|cccccc}
y \backslash x \hspace{-2pt} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 0 &  0 & 2 & 5 & 9 & 14 & 20 \\ 1 &  1 & 4 & 8 & 13 & 19 & 26 \\ 2 &  3 & 7 & 12 & 18 & 25 & 33 \\ 3 &  6 & 11 & 17 & 24 & 32 & 41 \\ 4 &  10 & 16 & 23 & 31 & 40 & 50 \\ 5 &  15 & 22 & 30 & 39 & 49 & 60
\end{array}</math>

Die Abbildungen <math>\lambda,\rho : \mathds{N} \to \mathds{N}</math> lassen sich mittels der Abbildung <math>h : \mathds{N} \to \mathds{N}</math>, definiert durch

<math>\displaystyle h(z) :=  \max \left\{y \in \mathds{N} : \frac{y(y+1)}{2} \leq z\right\},</math>

beschreiben:

<math>\displaystyle \lambda(z) := z - \frac{h(z) (h(z)+1)}{2}, ~\rho(z) := h(z)-\lambda(z).</math>

Zum Beispiel bedeutet <math>h(17)=5</math>, dass <math>17</math> im obigen Schema in der Diagonale ist, die mit <math>\frac{5 (5+1)}{2} = 15</math> beginnt, und weil der Abstand <math>17-15=2</math> ist, ist dann <math>\lambda(17)=2</math> und <math>\rho(18)=5-3=2</math>. Die Abbildung <math>(\lambda,\rho) : \mathds{N} \to \mathds{N} \times \mathds{N}</math> ist zu <math>\mu : \mathds{N} \times \mathds{N} \to \mathds{N}</math> invers, sodass also <math>(\mathds{N},\mu,\lambda,\rho)</math> eine Cantor-Algebra ist. Es gilt <math>\langle 0 \rangle = \{0\}</math> und <math>\langle n \rangle = \mathds{N}</math> für jedes <math>n>0</math>; dies lässt sich leicht daraus ableiten, dass <math>\lambda(n)<n</math> und <math>\rho(n)<n</math> für alle <math>n \geq 2</math> gilt. Diese Cantor-Algebra ist nicht frei, weil sie nur ein Element hat, welches kein Erzeuger ist. Man kann sich aber eine Präsentation mit <math>u=1</math> als Erzeuger überlegen:

<math>\displaystyle (\mathds{N},\mu,\lambda,\rho) \cong \langle u \,|\, \rho(u)=u,~ \mu(\lambda(u),\lambda(u))=\lambda(u)\rangle_{\mathsf{Can}}.</math>

4. Koprodukte

Das Koprodukt von zwei Cantor-Algebren <math>(X,\mu_X)</math>, <math>(Y,\mu_Y)</math> lässt sich wie folgt konstruieren: Wir definieren rekursiv die Mengen

<math>\displaystyle M_0 := X \sqcup Y,~M_1 := \mu(X \times Y) \sqcup \mu(Y \times X),</math>

wobei hier, wie zuvor, <math>\mu(X \times Y)</math> lediglich für eine Kopie von <math>X \times Y</math> steht, und

<math>\displaystyle M_{n+1} := \coprod_{p+q=n} \mu(M_p \times M_q)</math>

für <math>n \geq 1</math>. Setze schließlich

<math>\displaystyle M := \coprod_{n \geq 0} M_n.</math>

Ein typisches Element in <math>M</math> ist

<math>\displaystyle \mu\Bigl(\mu(x_1,y_1),\mu\bigl(y_2,\mu(y_3,x_2)\bigr)\Bigr)</math>
 
mit <math>x_i \in X,\,y_i \in Y</math>, welches man sich wie folgt als einen Baum veranschaulichen kann:

<math>\begin{tikzpicture}
\draw (0.3,1) to (1,2) to (1.7,1);
\draw (1,2) to (2,3) to (3,2);
\draw (2.3,1) to (3,2) to (3.7,1);
\draw (3.1,0) to (3.7,1) to (4.3,0);
\draw [fill=white](1,2) circle [radius=0.2];
\draw node at (1,2) {\footnotesize $\mu$};
\draw [fill=white](2,3) circle [radius=0.2];
\draw node at (2,3) {\footnotesize $\mu$};
\draw [fill=white](3,2) circle [radius=0.2];
\draw node at (3,2) {\footnotesize $\mu$};
\draw [fill=white](3.7,1) circle [radius=0.2];
\draw node at (3.7,1) {\footnotesize $\mu$};
\draw [fill=black!5] (0.3,1) to [out=0,in=90] (0.3+0.25,1-0.25) to [out=-90,in=60] (0.3,1-0.7) to [out=120,in=-90] (0.3-0.25,1-0.25) to [out=90,in=180] (0.3,1);
\draw node at (0.3,0.7) {\footnotesize $x_1$};
\draw [fill=black!5] (1.7,1) to [out=0,in=90] (1.7+0.25,1-0.25) to [out=-90,in=60] (1.7,1-0.7) to [out=120,in=-90] (1.7-0.25,1-0.25) to [out=90,in=180] (1.7,1);
\draw node at (1.7,0.7) {\footnotesize $y_1$};
\draw [fill=black!5] (2.3,1) to [out=0,in=90] (2.3+0.25,1-0.25) to [out=-90,in=60] (2.3,1-0.7) to [out=120,in=-90] (2.3-0.25,1-0.25) to [out=90,in=180] (2.3,1);
\draw node at (2.3,0.7) {\footnotesize $y_2$};
\draw [fill=black!5] (3.1,0) to [out=0,in=90] (3.1+0.25,0-0.25) to [out=-90,in=60] (3.1,0-0.7) to [out=120,in=-90] (3.1-0.25,0-0.25) to [out=90,in=180] (3.1,0);
\draw node at (3.1,-0.3) {\footnotesize $y_3$};
\draw [fill=black!5] (4.3,0) to [out=0,in=90] (4.3+0.25,0-0.25) to [out=-90,in=60] (4.3,0-0.7) to [out=120,in=-90] (4.3-0.25,0-0.25) to [out=90,in=180] (4.3,0);
\draw node at (4.3,-0.3) {\footnotesize $x_2$};
\end{tikzpicture}</math>

Der Unterschied zum freien Magma auf <math>X \sqcup Y</math> ist hier lediglich, dass wir <math>\mu(X \times X)</math> und <math>\mu(Y \times Y)</math> nicht zugelassen haben. Wir versehen nun <math>M</math> mit der Struktur einer Cantor-Algebra: Seien <math>a,b \in M</math>, etwa <math>a \in M_p</math> und <math>b \in M_q</math>. Wenn <math>p=q=0</math>, gibt es vier Fälle:

1) Wenn <math>a,b \in X</math>, setze <math>\mu(a,b) := \mu_X(a,b) \in X \subseteq M_0 \subseteq M</math>.
2) Wenn <math>a,b \in Y</math>, setze <math>\mu(a,b) := \mu_Y(a,b) \in Y \subseteq M_0 \subseteq M</math>.
3) Wenn <math>a \in X</math>, <math>b \in Y</math>, setze <math>\mu(a,b) := \mu(a,b)\in M_1 \subseteq M</math>.
4) Wenn <math>a\in Y</math>, <math>b \in X</math>, setze <math>\mu(a,b) := \mu(a,b) \in M_1 \subseteq M</math>.

Nun sei <math>p>0</math> oder <math>q>0</math>, also <math>n := p+q \geq 1</math>. Dann setze <math>\mu(a,b) := \mu(a,b)  \in M_{n+1}</math>. Es ist leicht zu sehen, dass <math>(M,\mu)</math> eine Cantor-Algebra ist, dass die beiden Inklusionen <math>X \to M \leftarrow Y</math> Morphismen <math>(X,\mu_X) \to (M,\mu) \leftarrow (Y,\mu_Y)</math> sind, und dass es sich um ein Koprodukt in <math>\mathsf{Can}</math> handelt. Das Koprodukt einer beliebigen Familie <math>((X_i,\mu_i))_{i \in I}</math> von Cantor-Algebren lässt sich ähnlich konstruieren, wobei man mit

<math>\displaystyle M_0 := \coprod_{i \in I} X_i,~ M_1 := \coprod_{i,j \in I,\, i \neq j} \mu(X_i \times X_j)</math>

startet.

5. Cantor-Algebren als Garben

Die Kategorie <math>\mathsf{Can}</math> ist kartesisch abgeschlossen, d.h., für jedes Objekt <math>(X,\mu)</math> besitzt der Funktor <math>- \times (X,\mu) : \mathsf{Can} \to \mathsf{Can}</math> einen linsadjungierten Funktor <math>\underline{\mathrm{Hom}}((X,\mu),-) : \mathsf{Can} \to \mathsf{Can}</math>, genannt interner Hom-Funktor. Eine direkte Konstruktion dieses Funktors ist möglich, aber wir werden die Existenz gleich aus einem allgemeinen Resultat ableiten und dazu zunächst ein paar Definitionen einführen, die ursprünglich Grothendiecks Schule der algebraischen Geometrie entstammen:
 
Sei <math>\mathcal{C}</math> eine kleine Kategorie. Ein Sieb auf einem Objekt <math>X\in  \mathcal{C}</math> ist ein Unterfunktor des Hom-Funktors <math>\mathrm{Hom}(-,X) : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math>. Das ist dasselbe wie eine Menge von Morphismen nach <math>X</math>, die unter der Komposition von beliebigen Morphismen von rechts abgeschlossen ist. Eine Grothendieck-Topologie <math>\tau</math> auf <math>\mathcal{C}</math> ordnet jedem Objekt <math>X \in \mathcal{C}</math> eine Menge <math>\tau(X)</math> von Sieben auf <math>X</math> zu; die hiermit ausgewählten Siebe werden überdeckend genannt. Dabei soll gelten:

• Sei <math>S \subseteq \mathrm{Hom}(-,X)</math> ein überdeckendes Sieb und <math>f : Y \to X</math> irgendein Morphismus. Dann ist das zurückgezogene Sieb <math>f^*(S) := \{g : (-) \to Y : f \circ g \in  S\}</math> ein überdeckendes Sieb auf <math>Y</math>.
• Sei <math>S \subseteq \mathrm{Hom}(-,X)</math> ein überdeckendes Sieb und <math>T \subseteq \mathrm{Hom}(-,X)</math> irgendein Sieb. Für alle <math>Y \in  \mathcal{C}</math> und alle Morphismen <math>f : Y \to X</math> in <math>S(Y)</math> sei <math>f^*(T)</math> ein überdeckendes Sieb auf <math>Y</math>. Dann ist <math>T</math> ein überdeckendes Sieb auf <math>X</math>.
• Das Sieb <math>\mathrm{Hom}(-,X)</math> ist ein überdeckendes Sieb auf <math>X</math>.

Das motivierende Beispiel ist hierfür die partielle Ordnung der offenen Teilmengen eines topologischen Raumes <math>T</math>, aufgefasst als Kategorie, wobei ein Sieb <math>S</math> offener Teilmengen einer offenen Teilmenge <math>X \subseteq T</math> überdeckend heißt, wenn <math>X = \bigcup S</math> gilt.
 
Wenn eine Grothendieck-Topologie <math>\tau</math> auf einer kleinen Kategorie <math>\mathcal{C}</math> gegeben ist, so nennt man das Paar <math>(\mathcal{C},\tau)</math> einen Situs. Ein Funktor <math>F : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> heißt in diesem Zusammenhang auch eine Prägarbe auf <math>\mathcal{C}</math> bzw. <math>(\mathcal{C},\tau)</math>. Für Morphismen <math>f : Y \to X</math> und <math>a \in  F(X)</math> schreibt man gerne <math>f^*(a)</math> für <math>F(f)(a) \in  F(Y)</math>. Sei nun <math>S \subseteq \mathrm{Hom}(-,X)</math> ein überdeckendes Sieb und <math>F</math> eine Prägarbe auf <math>(\mathcal{C},\tau)</math>. Setze

<math>\displaystyle F(S)   :=   \mathrm{Hom}(S,F) \medskip \\  \displaystyle  =  \Bigl\{a \in  \prod_{f \in  S(Y), Y \in  \mathcal{C}} F(Y) : \forall f \in  S(Y),\, \forall g \in  \mathrm{Hom}(-,Y) \, (g^*(a_f)=a_{f \circ g})\Bigr\}.</math>

Man hat dann eine kanonische Abbildung

<math>\displaystyle F(X) \to F(S),~ a \mapsto (f^* a)_{f \in  S(Y),Y \in \mathcal{C}}.</math>
 
Wir nennen <math>F</math> eine Garbe, wenn diese Abbildung für alle überdeckenden Siebe <math>S</math> ein Isomorphismus ist. (Dies ist nach dem Yoneda-Lemma für das maximale Sieb <math>S=\mathrm{Hom}(-,X)</math> stets erfüllt.) Die Garben bilden eine Kategorie <math>\mathsf{Sh}(\mathcal{C},\tau)</math>, nämlich eine volle Unterkategorie der Kategorie <math>\mathsf{PSh}(\mathcal{C})=\underline{\mathrm{Hom}}(\mathcal{C}^{\mathrm{op}},\mathsf{Set})</math> aller Prägarben. Jede zu einer Kategorie von Garben äquivalente Kategorie heißt ein Grothendieck-Topos. Viele Eigenschaften der Kategorie <math>\mathsf{Set}</math> der Mengen treffen auf beliebige Grothendieck-Topoi zu - das macht sie so interessant und nützlich. Mehr dazu findet man z.B. im Buch "Sheaves in Geometry and Logic'' von Moerdijk und Mac Lane.
 
Wenn nun die Kategorie <math>\mathcal{C}</math> lediglich aus einem Objekt <math>\star</math> besteht, dann entspricht <math>\mathcal{C}</math> einem Monoid <math>M</math>. Ein Sieb auf <math>\star</math> ist nichts weiter als ein Rechtsideal von <math>M</math>, d.h. eine Teilmenge der zugrunde liegenden Menge, die unter Multiplikation mit beliebigen Elementen von rechts abgeschlossen ist. Eine Grothendieck-Topologie auf <math>M</math> ist daher eine Menge von Rechtsidealen von <math>M</math>, die überdeckend genannt werden, falls gilt:
 
• Sei <math>S \subseteq M</math> ein überdeckendes Rechtsideal und <math>f \in  M</math>. Dann ist auch das Rechtsideal <math>f^*(S) = \{m \in  M : f \cdot m \in  S\}</math> ein überdeckendes Rechtsideal von <math>M</math>.
• Sei <math>S \subseteq M</math> ein überdeckendes Rechtsideal, und <math>T \subseteq M</math> irgendein Rechtsideal. Für alle <math>f \in  S</math> sei <math>f^*(T)</math> ein überdeckendes Rechtsideal. Dann ist <math>T</math> ein überdeckendes Rechtsideal.
• Das Rechtsideal <math>M</math> ist ein überdeckendes Rechtsideal.

Sei nun <math>M</math> ein freies Monoid auf einer Menge <math>B</math>. Dann kann man sich schnell überlegen, dass
 
<math>\displaystyle \tau := \{S \subseteq M \text{ Rechtsideal} : \exists n \in  \mathds{N} \,(B^{\cdot n} \cdot M \subseteq S)\},</math>
 
wobei <math>B^{\cdot n} := \{b_1 \cdot \dotsc \cdot b_n : b_i \in  B\}</math>, eine Grothendieck-Topologie auf <math>M</math> erklärt; es ist im Übrigen die kleinste Grothendieck-Topologie, die das Rechtsideal <math>B \cdot M</math> enthält. Eine Prägarbe auf <math>M</math> ist eine Menge <math>X</math> zusammen mit einer <math>M</math>-Rechtswirkung, d.h., wegen der universellen Eigenschaft von <math>M</math>, einer Abbildung <math>X \times B  \to X</math>, was wiederum einer Abbildung <math>X \to X^B</math> entspricht. Sie ist bezüglich <math>\tau</math> genau dann eine Garbe, wenn für alle <math>n \in  \mathds{N}</math> die kanonische Abbildung

<math>\displaystyle X \to X^{B^n}, ~ x \mapsto (x b_1 \dotsc b_n)_{b_1,\dotsc,b_n \in  B}</math>
 
ein Isomorphismus ist. Dies reduziert sich darauf, dass
 
<math>\displaystyle X \to X^B, ~ x \mapsto (x b)_{b \in  B}</math>
 
ein Isomorphismus ist. Wir sehen damit, dass eine Garbe hier nichts weiter als eine Menge <math>X</math> zusammen mit einem Isomorphismus <math>X \to X^B</math> ist. Man spricht auch von einer Cantor-Algebra vom Typ <math>B</math>. Anfangs hatten wir uns den Fall <math>B=\{1,2\}</math> angeschaut.
 
Wir haben nun für jede Menge <math>B</math> die Kategorie <math>\mathsf{Can}_B</math> der Cantor-Algebren vom Typ <math>B</math> als einen Grothendieck-Topos realisiert. Zugleich handelt es sich um eine algebraische Kategorie, wenn <math>B</math> endlich ist (je nach Definition einer algebraischen Kategorie kann man hier auf die Endlichkeit von <math>B</math> verzichten): Wir haben für jedes <math>b \in  B</math> eine <math>1</math>-stellige Verknüpfung <math>\lambda_b</math> und zudem eine <math>B</math>-stellige Verknüpfung <math>\mu</math>, und es müssen die Gleichungen <math>x_b = \lambda_b(\mu(x))</math> für <math>x \in X^B</math> sowie <math>x = \mu((\lambda_b(x))_{b \in  B})</math> für <math>x \in X</math> gelten. Freie Cantor-Algebren vom Typ <math>B</math> sowie Koprodukte von Cantor-Algebren vom Typ <math>B</math> lassen sich ganz ähnlich wie im Spezialfall <math>B=\{1,2\}</math> beschreiben; der Leser kann sich die genauen Formeln leicht überlegen. Der Fall <math>B=\{1\}</math> ist auch schon einigermaßen interessant. Der Fall <math>B=\emptyset</math> ist entartet, aber trotzdem zugelassen.

Sei <math>\mathcal{C}</math> eine kleine Kategorie. Für zwei Prägarben <math>F,G : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> definieren wir die Prägarbe <math>\underline{\mathrm{Hom}}(F,G) : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math> durch (das Integral ist ein Ende im Sinne der Kategorientheorie)
 
<math>\displaystyle \underline{\mathrm{Hom}}(F,G)(X) = \mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(-,X) \times F,G) = \int_{Y \in \mathcal{C}} \mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(Y,X) \times F(Y),G(Y)).</math>
 
Dann gilt für jede weitere Prägarbe <math>H : \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}</math>:

<math>\displaystyle \begin{array}{ccl} && \mathrm{Hom}(H,\underline{\mathrm{Hom}}(F,G)) \\ \medskip
&=& \displaystyle\int_{X\in\mathcal{C}} \mathrm{Hom}\bigl(H(X),\underline{\mathrm{Hom}}(F,G)(X)\bigr) \\ \medskip
&=& \displaystyle\int_{X \in \mathcal{C}} \int_{Y \in \mathcal{C}} \mathrm{Hom}\bigl(H(X),\mathrm{Hom}(\mathrm{Hom}(Y,X) \times F(Y),G(Y))\bigr) \\ \medskip
&=& \displaystyle\int_{X\in \mathcal{C}} \int_{Y \in \mathcal{C}} \mathrm{Hom}\bigl(\mathrm{Hom}(Y,X),\mathrm{Hom}(H(X)  \times F(Y),G(Y))\bigr) \\ \medskip
&\stackrel{\text{Fubini}}{=}& \displaystyle\int_{Y \in \mathcal{C}} \int_{X \in \mathcal{C}} \mathrm{Hom}\bigl(\mathrm{Hom}(Y,X),\mathrm{Hom}(H(X)  \times F(Y),G(Y))\bigr) \\ \medskip
&\stackrel{\text{Yoneda}}{=}& \displaystyle\int_{Y \in \mathcal{C}} \mathrm{Hom}\bigl(H(Y)  \times F(Y),G(Y)\bigr) \\ \medskip
&=& \mathrm{Hom}(H \times F,G) \end{array}</math>
 
Dies zeigt, dass <math>\mathsf{PSh}(\mathcal{C})</math> kartesisch abgeschlossen ist. Wenn <math>G</math> eine Garbe bezüglich einer Topologie <math>\tau</math> auf <math>\mathcal{C}</math> ist, dann sieht man leicht, dass auch <math>\underline{\mathrm{Hom}}(F,G)</math> eine Garbe bezüglich <math>\tau</math> ist. Daher ist auch <math>\mathsf{Sh}(\mathcal{C},\tau)</math> kartesisch abgeschlossen. Jeder Grothendieck-Topos ist also kartesisch abgeschlossen. Insbesondere ist für jede Menge <math>B</math> die Kategorie <math>\mathsf{Can}_B</math> der Cantor-Algebren vom Typ <math>B</math> kartesisch abgeschlossen.
 
Es ist ein allgemeines Resultat für Siten <math>(\mathcal{C},\tau)</math>, dass <math>\mathsf{Sh}(\mathcal{C},\tau) \hookrightarrow \mathsf{PSh}(\mathcal{C})</math> eine reflektive Unterkategorie ist, d.h., dass die Inklusion einen linksadjungierten Funktor (Reflektor genannt) besitzt. Der Reflektor heißt die assoziierte Garbe. In unserem Fall bedeutet dies, dass die Kategorie <math>\mathsf{Can}_B</math> der Cantor-Algebren vom Typ <math>B</math> eine reflektive Unterkategorie der Kategorie <math>\mathsf{Set}\hspace{-1pt}-\langle B \rangle_{\mathsf{Mon}}</math> der Mengen mit einer Rechtswirkung des freien Monoids <math>\langle B \rangle_{\mathsf{Mon}}</math> ist. Diese ist isomorph zur Kategorie <math>\mathsf{Set}\hspace{-1pt}-B</math> der Mengen <math>X</math> zusammen mit einer Abbildung <math>X \to X^B</math>. Wir können den Reflektor auch explizit angeben:

Wir beschränken uns auf den Fall, dass <math>B</math> endlich ist. Ist <math>\lambda : X \to X^B</math> eine Abbildung, so erhalten wir daraus die Folge von Abbildungen
 
<math>\displaystyle X \xrightarrow{\lambda} X^B \xrightarrow{\lambda^B} X^{B^2} \xrightarrow{\lambda^{B^2}} X^{B^3} \longrightarrow \dotsc.</math>
 
Es sei <math>(\iota_n : X^{B^n} \to \tilde{X})_{n \in \mathds{N}}</math> der Kolimes dieser Folge. Weil nun in <math>\mathsf{Set}</math> endliche Limites mit gerichteten Kolimites vertauschen, ist <math>\tilde{X}^B</math> der Kolimes der Folge
 
<math>\displaystyle X^B \xrightarrow{\lambda^B} X^{B^2} \xrightarrow{\lambda^{B^2}} X^{B^3} \xrightarrow{\lambda^{B^3}} X^{B^4} \longrightarrow \dotsc,</math>
 
und damit zu <math>\tilde{X}</math> isomorph. (Wenn <math>B</math> unendlich ist, vertauscht <math>(-)^B</math> nicht mit gerichteten Kolimites, und man muss die Folge mit Ordinalzahlen weiter verlängern.) Der Isomorphismus <math>\tilde{\lambda} : \tilde{X} \to \tilde{X}^B</math> ist gerade so gemacht, dass das Diagramm
 
<math>\displaystyle \begin{tikzcd} X \ar{r}{\lambda} \ar{d}[swap]{\iota_0} & X^B \ar{d}{\iota_0^B} \\ \tilde{X} \ar{r}{\tilde{\lambda}} & \tilde{X}^B \end{tikzcd}</math>
 
kommutiert, also dass <math>\iota_0  : (X,\lambda) \to (\tilde{X},\tilde{\lambda})</math> ein Morphismus ist. Die universelle Eigenschaft einer Reflektion prüft man leicht nach.
 
Für jedes Monoid <math>M</math> ist die algebraische Kategorie <math>\mathsf{Set}\hspace{-1pt}-M</math> der <math>M</math>-Rechtsmengen ein Grothendieck-Topos mit besonders einfach zu beschreibenden Kolimites; sie werden vom Vergissfunktor <math>\mathsf{Set}\hspace{-1pt}{-M} \to \mathsf{Set}</math> erzeugt. Ferner ist die freie <math>M</math>-Rechtsmenge auf einer Menge <math>Y</math> ganz einfach <math>Y \times M</math> mit der Wirkung <math>(y,m)n=(y,mn)</math>. Wenden wir dies auf das freie Monoid <math>M = \langle B \rangle_{\mathsf{Mon}}</math> an, so erhalten wir eine Beschreibung von Kolimites und freien Strukturen in der Kategorie <math>\mathsf{Set}\hspace{-1pt}-B</math>. Weil nun <math>\mathsf{Can}_B</math> eine konkrete reflektive Unterkategorie von <math>\mathsf{Set}\hspace{-1pt}-B</math> ist, erhalten wir auch eine Beschreibung der Kolimites und der freien Strukturen in <math>\mathsf{Can}_B</math>; man muss dazu lediglich den Reflektor auf die zugrunde liegenden Kolimites bzw. freien Strukturen in <math>\mathsf{Set}\hspace{-1pt}-B</math> anwenden. Der Leser kann dies im Detail ausarbeiten und wird feststellen, dass sich mit dieser Sichtweise gerade jene Konstruktionen ergeben, die wir uns zuvor ad hoc überlegt hatten.

6. Internalisierung

Die Theorie der Cantor-Algebren kann man auch intern zu einer Kategorie <math>\mathcal{C}</math> mit Produkten entwickeln: Sei <math>B</math> eine endliche Menge. Eine Cantor-Algebra vom Typ <math>B</math> intern zu <math>\mathcal{C}</math> sei ein Objekt <math>X \in \mathcal{C}</math> zusammen mit einem Isomorphismus <math>\mu : X^B \xrightarrow{~\cong~} X</math> in <math>\mathcal{C}</math>. Wenn nun <math>\mathcal{C}</math> besonders gutartig ist und gewisse Konstruktionen zulässt, kann man entsprechende Konstruktionen mit Cantor-Algebren durchführen. Wenn <math>\mathcal{C}</math> algebraisch ist, dann ist auch <math>\mathsf{Can}_B(\mathcal{C})</math> algebraisch. Insbesondere ist die Kategorie <math>\mathsf{Can}_3(\mathsf{Ab})</math> der abelschen Gruppen <math>A</math> zusammen mit einem Isomorphismus <math>\mu : A^3 \xrightarrow{~\cong~}  A</math> algebraisch. Übrigens kann es durchaus passieren, dass zwar <math>A^3 \cong A</math> gilt, aber nicht <math>A^2 \cong A</math> gilt. Eine solche abelsche Gruppe wurde von A.L.S. Corner in der Arbeit "On a conjecture of Pierce concerning direct decomposition of Abelian groups'' beschrieben.




Artikel zur Kategorientheorie
Teil 1 (von Zaos): Kategorientheorie
Teil 2 (von Zaos): Kategorien und Diagrammjagd
Teil 3: Ja Mono Epi Iso
Teil 4: Universelle Eigenschaften
Teil 5: Limites und Kolimites
Teil 6: Wie universelle Eigenschaften einem das Leben erleichtern
Teil 7: Fixpunkte in der Kategorientheorie
Teil 8: Adjunktionen: Wie man zwischen zwei Kategorien eine Brücke baut
Teil 9: Koenden ohne Ende - Integrale in der Kategorientheorie
Teil 10: 2-Kategorien - Einstieg in die höhere Kategorientheorie
Teil 11: Cantor-Algebren - eine kategorielle Untersuchung

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