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Mathematik: Extremwertberechnung - ein Beispiel aus der Praxis
Freigegeben von matroid am Mi. 27. Januar 2016 12:47:27
Verfasst von trunx -   829 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Extremwertberechnung - ein Beispiel aus der Praxis

Wie bei anderen mathematischen Methoden auch hört man bei Extremwertberechnungen oft von Schülern "Wofür braucht man das?" oder "Wer optimiert schon seinen Karnickelstall?". Über Sinn oder Unsinn der in den Lehrbüchern angegebenen Beispiele kann man diskutieren, Tatsache ist aber, dass es wenige praxisrelevante Beispiele gibt, die wirklich schülertauglich sind, also ihren aktuellen Alltagshorizont betreffen. Bleibt man aber bei solchen Fragen eine Antwort schuldig, greift die Demotivation weiter um sich.

Lange Rede, kurzer Sinn, ich bin jetzt über ein reales Beispiel aus dem Alltag gestolpert, dessen Optimierung nicht auf der Hand liegt, sondern halt der Extremwertberechnung bedarf und durchaus zu interessanten Ergebnissen führt.

Es geht um die Optimierung von Paket-Maßen, sprich darum, soviel wie möglich in einem Paket unter zu bekommen für den kleinstmöglichen Preis.


Die verschiedenen Paketdienstleister bieten unterschiedliche Produkte und Preisklassen an, die alle etwas anders aufgebaut und daher nicht gut vergleichbar sind.

Bspw. orientiert sich DHL am Gewicht, dh. es gibt Gewichtsklassen, andere haben Lieferzeitklassen (zB. UPS), also so etwas superschnell, schnell und Standard und wieder andere orientieren sich eher an den Abmaßen der Pakete, wie zB. DPD und Hermes (ich hoffe, es ist ok, dass ich ein paar Marken genannt habe, aber es ist halt ein Beispiel aus der Praxis. Wenn ein Dienstleister fehlt, kann das hier jederzeit ergänzt werden.).

In diesem Artikel soll es um letztere gehen. Die Abmaß-Klassen richten sich nicht nach dem Volumen (was eigentlich sinnvoll wäre), denn das wäre für den Kunden, aber auch für den Mitarbeiter zu schwer. Ein Volumen müsste berechnet und kann nicht einfach gemessen werden. Daher behilft man sich mit dem sog. Gurtmaß, das ist die Summe aus kürzester und längster Seite des Pakets. Das ist schnell und leicht handhabbar - es gibt spezielle Maßbänder, die man nur an die entsprechenden Seiten des Pakets halten muss, um dann sofort (farbig unterlegt) in der richtigen Paketklasse zu landen.

Schauen wir uns das konkret an
 DPDHermes
Klassemax. Gurtmaß
g in cm
Preis/€max. Gurtmaß
g in cm
Preis/€
XS353,90--
S504,20504,69
M706,60805,89
L9010,501209,99
XL30015,3015027,99
XXL--31032,99

Ein typisches Beispiel wäre ein Paket mit den Maßen 20cmx25cmx30cm (Klasse S), es hätte ein Gurtmaß von g = 50cm und ein Volumen von V = 15l. Wenn man nicht gerade DIN A4 Blöcke verschicken möchte, läßt sich da etwas optimieren. Die Rechnung ist einfach gemacht und nichts besonderes.

Hauptbedingung

Das Volumen eines Quaders ist V = abc,
wobei oBdA. a die längste, b die mittlere und c die kürzeste Seite sein soll.
V soll maximiert werden.

Nebenbedingung

Gurtmaß: a + c = g, also c = g - a
mittlere Seite: a ≥ b ≥ c

Man hätte, da die mittlere Seite b ja unberücksichtigt bleibt, auch einfach nur die Querschnittsfläche a*c optimieren können. Dies ergäbe a = b = c = 1/2 g, also einen Würfel mit V = 1/8 g3. Das wäre sozusagen das scheinbar offensichtliche Optimum.

Besser ist es, von Anfang an b zu berücksichtigen, uz. in dem man es maximal, also mit b = a ansetzt. Der Grund liegt auf der Hand - schon bei unserem obigen Beispiel würde eine Volumensteigerung erreicht werden, wenn wir als Maße 20cmx30cmx30cm benutzen würden.

Zielfunktion

Einsetzen von b und c ergibt:
V(a) = a2(g - a)

Minimum/Maximum ermitteln

notwendige Bedingung V'(a) = 0
V'(a) = 2ag - 3a2 = 0
mit den Lösungen a1 = 0 und a2 = 2g/3

hinreichende Bedingung V''(ai) < 0
V''(a) = 2g - 6a
V''(a1) = 2g > 0 wäre also ein Minimum und entfällt daher
V''(a2) = -2g < 0 => Maximum

Ergebnisse

a = b = 2/3 g
c = 1/3 g
V = 4/27 g3

Wie man sieht, ist dieser Quader unter den angegebenen Bedingungen deutlich größer als der scheinbar optimale Würfel. Für g = 50cm ergibt sich bspw. V = 18,5l also ca. 20% mehr als im obigen Beispiel.

Jetzt weiß man was das Limit jeden Gurtmaßes ist und jetzt sind die Preise auch vergleichbar. Man bezieht sie einfach auf das Maximalvolumen:
 DPDHermes
Klassemax. Gurtmaß
g in cm
Preis ct/lmax. Gurtmaß
g in cm
Preis ct/l
XS3561,4--
S5022,75025,3
M7013807,8
L909,71203,9
XL3000,41505,6
XXL--3100,75

Interessant ist meiner Meinung nach, dass es (soweit ich weiß) keine vorgefertigten Kartons in den optimalen Paketgrößen gibt. Schläft da die Verpackungsindustrie?

wie auch immer, soweit meine 50ct zum Thema

viel Freude trunx (Jens Koch)

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" Mathematik: Extremwertberechnung - ein Beispiel aus der Praxis" | 7 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Extremwertberechnung - ein Beispiel aus der Praxis
von Martin_Infinite am Do. 28. Januar 2016 20:17:51


Bleibt zu hoffen, dass solche - wirklich nützlichen und gut motivierbaren - Anwendungen es auch wirklich in den Unterricht schaffen.

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Re: Extremwertberechnung - ein Beispiel aus der Praxis
von Anonymous am Fr. 29. Januar 2016 08:46:37


Hallo allerseits,
Habe ein anderes Beispiel gefunden, leider nur als Word-Datei.
Es geht um Flüssigkeiten (z.B. Milch mit 1L, Kakao mit 0,5 L, usw.), die in alubeschichteten quaderförmigen Verpackungen überall zu kaufen sind. Wo wird möglichst wenig Material verbraucht.
Etwas komplizierter, da zur Verpackung auch die dreieckförmigen Laschen gehören.
Man kann die Lösung auch durch ein Computerprogramm annähern (für Leute, die keine Ableitung kennen).
siehe
http://kapitalismus-modell.de/tempdownload.html

cu


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Re: Extremwertberechnung - ein Beispiel aus der Praxis
von trunx am Sa. 30. Januar 2016 08:22:02


hallo, vielen dank für dein beispiel. es ist in der tat leider deutlich komplizierter. in der praxis tauchen nicht nur die dreieckigen laschen, sondern auch noch die klebefalze auf. zu dem gibt es auch hier drei unbekannte, allerdings nur eine nebenbedingung, sd. die zielfunktion immer noch zwei variablen enthält. das macht eine analytische auswertung, zumindest für schüler unmöglich.
trdm vielen dank nochmal

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Re: Extremwertberechnung - ein Beispiel aus der Praxis
von Anonymous am Sa. 30. Januar 2016 10:06:29


>
>das macht eine analytische auswertung, zumindest für schüler unmöglich.
>
Schau mal die 3. Lösung an, da hat man nur die Abhängigkeit von  einer Variablen und kann es in der Schule rechnen

PS:
Weitere Aufgaben unter:
http://www.umaterialien.de/


cu


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Re: Extremwertberechnung - ein Beispiel aus der Praxis
von AlphaSigma am Sa. 30. Januar 2016 13:47:48


Ein schöner Artikel.

Ein Klassiker der Extremwertberechnung bzw. Optimierung
mit Praxisbezug ist doch die Konservendose: Maximales Volumen
bei gegebener Oberfläche oder minimale Oberfläche bei gegebenem
Volumen.

Siehe z.B. diese Frage im Forum:
 Zylinder mit minimaler Oberfläche bei gegebenem Volumen

Das Optimum von h = 2 r wird aber von den Konservendosen im Supermarkt
nicht exakt eingehalten. Ich messe z.B. h = 11,2 cm und 2 r = 10 cm.


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Re: Extremwertberechnung - ein Beispiel aus der Praxis
von trunx am Sa. 30. Januar 2016 16:45:36


das stimmt, die konservendose, es gibt auch andere klassiker, aber kann man wirklich seine konservendose ändern? man braucht doch als schüler mal nen beispiel, wo man selbst etwas machen kann. darum gings mir smile

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Re: Extremwertberechnung - ein Beispiel aus der Praxis
von trunx am Sa. 30. Januar 2016 23:44:15


hallo anonymus,
ich habe mir deine lösungen angesehen und auch selbst etwas gerechnet, genau genommen ist dein tetrapak-beispiel ein typisches anti-beispiel - man muss unzulängliche annahmen machen, damit man das ganze überhaupt und dann auch noch in sehr aufwändigerweise in den griff kriegt. bezeichnenderweise löst du das problem ohne klebekanten, am ende des tages muss aber so ein tetrapak halt dicht sein, also verklebt werden. die zielfunktion ist zweidimensional. nimmt man deine lösung ohne verklebung und versucht eine näherungslösung für kleine klebekanten a (also a/x,y,z < 0,1) zu finden, dann ändert sich die lösung dermassen drastisch, dass sie wiederum unpraktisch wird. desweiteren kann man als schüler kaum seine tetrapaks selbst gestalten. alles in allem eignet sich diese aufgabe eigentlich und vielleicht nur für eine computersimulation, aber wie gesagt nicht für die analysis. da ist sie eher demotivierend.

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