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Mathematik: Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar-Konstanten
Freigegeben von matroid am Sa. 30. Januar 2016 20:24:35
Verfasst von JoeM -   721 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar-Konstanten

Von dem indischen Mathematiker Kaprekar stammt folgender Zusammenhang:

a) man nimmt eine beliebige 4-stellige Zahl Z, bei der nicht alle Ziffern gleich sind.

b) Aus dieser Zahl Z bildet man durch Umordnung der Ziffern eine größte Zahl Z1, und eine kleinste Zahl Z2. Dann berechnet man eine neue Zahl aus der Differenz Z1 – Z2.

c) Dieser Vorgang wird wiederholt. Nach einigen Schritten landet man stets bei der Zahl 6174. Diese Zahl reproduziert sich bei weiteren Schritten selbst.

Beispiel: Z = 4732 (beliebige Startzahl mit 4 unterschiedlichen Ziffern):

7432 – 2347 = 5085;   8550 –  558 = 7992;   9972 – 2799 = 7173;
7731 – 1377 = 6354;   6543 – 3456 = 3087;   8730 –  378 = 8352;
8532 – 2358 = 6174;   7641 – 1467 = 6174;

Die Kaprekar-Konstante für eine 4-stellige Zahl lautet somit: 6174;


Für 3-stellige Zahlen lautet die Kaprekar-Konstante: 495;

Beispiel: Z = 916 (beliebige Startzahl mit 3 unterschiedlichen Ziffern):

961 – 169 = 792;  972 – 279 = 693;  963 – 369 = 594;  954 – 459 = 495;

Für folgende N-stellige Zahlen gibt es weitere Kaprekar-Konstanten; Beispiele:

N =  6: 549945; 631764;

N =  8: 63317664; 97508421;

N =  9: 554999445; 864197532;

N = 10: 6333176664; 9753086421; 9975084201;

Für N >= 6 gilt: Die Kaprekar-Konstanten reproduzieren sich selbst; man kann nicht von beliebigen Startzahlen ausgehen.

Beispiel: Z = 9975084201;  9987542100 – 12457899 = 9975084201 = Z;

In der PDF-Datei in Anlage sind 6 Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar-Konstanten mit N >= 3 Stellen angegeben, die sich selbst reproduzieren.

Unter Anwendung dieser 6 Algorithmen kann man auch die Anzahl der Kaprekar-Konstanten für N-stellige Zahlen mit Formeln berechnen.

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" Mathematik: Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar-Konstanten" | 13 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten
von salomeMe am Sa. 30. Januar 2016 22:19:40


Hi JoeM,

danke für den interessanten Artikel. Habe es gleich mal mit der Zahl 1211 getestet und bin gleich bei 999 und dann bei 0 gelandet.

Ich denke Deine Bedingung:

"a) man nimmt eine beliebige 4- stellige Zahl Z , bei der nicht alle Ziffern gleich sind."

 sollte besser so lauten:

a) man nimmt eine beliebige 4- stellige Zahl Z , bei der alle Ziffern paarweise verschieden sind.

Viele Grüße
Salome



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Re: Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten
von dromedar am Sa. 30. Januar 2016 23:16:40


Hallo salomeMe,

> Habe es gleich mal mit der Zahl 1211 getestet
> und bin gleich bei 999 und dann bei 0 gelandet.

Auf 0999 folgt nicht 0, sondern 9990 - 0999 = 8991.

Grüße,
dromedar

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Re: Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten
von JoeM am So. 31. Januar 2016 00:11:29


Hallo salomeMe,

dromedar hat völlig Recht.
Die Ziffer(n) >0< muss man stets mitnehmen.

Dann landet man auch mit Deinem Beispiel ( Startzahl 1211 ) nach einigen Schritten bei der Kap.- Konstanten 6174.

viele Grüße

JoeM

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Re: Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten
von Slash am So. 31. Januar 2016 00:35:28


Danke JoeM,

von diesen Kaprekar-Konstanten hatte bis jetzt noch nie etwas gehört. Und siehe da, sie finden sich auch in der OEIS unter A099009.

Gruß, Slash

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Re: Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten
von JoeM am So. 31. Januar 2016 03:04:25


Hallo Slash,

vielen Dank für Deine Rückmeldung.

Ich habe Alg. 1 - 5 vor ca. 5 Jahren entworfen.
Bis dato kannte ich nur Kap.- Konstanten bis N = 12 Stellen.

Vor ca. 18 Monaten bin ich auf OEIS- Dateien mit Kap.- Konstanten gestoßen.
Dort findet man auch eine Tabelle für Kap.- Konstanten mit N = 80 Stellen (ich weiß nicht, wie diese Tabelle entstanden ist; per Computer ?? )
Es sind für N = 3 bis N = 80 insgesamt 8923 Konstanten.

Meine 5 Algorithmen lieferten 8904 Konstanten.

Das mir keine Ruhe gelassen.

In mühsamer Arbeit habe ich Alg. 6 gefunden ( weitere 19 Konstanten ).

Dann waren mit Alg. 1 - Alg. 6 alle Kap.- Konstanten ( 8923 ) für N = 3 bis N = 80 Stellen abgedeckt.

viele Grüße

JoeM

 

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Re: Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten
von salomeMe am So. 31. Januar 2016 08:48:51


Hi dromedar und JoeM,

dieser Gedanke ist mir in der Nacht auch gekommen. Aber so ganz eindeutig konnte ich das aus a), b) und c) nicht entnehmen. vielleicht sollten erwähnt werden, dass wenigerstellige Differenzen durch Nullen zur gerade betrachteten Stellenanzahl aufzufüllen sind - es wird wohl maximal eine 0 sein.

Von 0 bis 9.999 sollte es dann wohl nur 10 Zahlen geben, die den Bedingungen nicht genügen:  nnnn, mit n aus {0, 1, 2,..., 9}

Gibt es einen allgemeinen Beweis für dieses Verhalten, oder müssen alle möglichen der Größe nach geordneten Ziffern-Kombinationen durchgerechnet werden?

Bei 2-ziffrigen Zahlen scheinen immer bestimmte sich ständig wiederholende Zyklen zu entstehen, die nie auf eine Konstante hinauslaufen, weil es diese wohl nicht gibt. Kann das ab 3-ziffrigen Zahlen für alle betrachteten Zahlen ausgeschlossen werden?

Viele Grüße
Salome

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Re: Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten
von Zetavonzwei am So. 31. Januar 2016 21:37:39


Hallo,

die Beschränkung auf das Dezimalsystem ist ja irgendwie willkürlich...
Im Binärsystem ist die Suche nach Kaprekarzahlen allerdings ziemlich einfach:

Ist <math>n=2k+l</math> die gewünschte Länge (<math>l</math> muss dabei nicht einmal aus dem Bereich {0,1} sein, es genügt, dass <math>l</math> und <math>k</math> nichtnegative ganze Zahlen sind), dann ist die Zahl
<math>1^{k-1}01^{l}0^{k-1}1</math> eine (binäre) Kaprekarzahl der Länge n und alle Kaprekarzahlen haben diese Form. Dabei bezeichnet <math>1^s</math> das <math>s</math>-malige Hintereinanderschreiben einer 1.

Die Beweisidee dafür ist recht einfach: Die größte bildbare Zahl aus <math>m</math> Einsen und <math>l</math> Nullen ist <math>1^m0^l</math>, die kleinste <math>0^l1^m</math>.
Ist <math>l=m+k</math> mit <math>k>0</math>, so erhält man als Differenz die Zahl <math>1^{m-1}01^{k}0^{m-1}1</math>. Dies ist eine Zahl mit <math>m</math> Nullen und <math>m+k</math> Einsen. Für eine solche Zahl ist <math>1^{m+k}0^m-0^m1^{m+k}=1^{m-1}01^{k}0^{m-1}</math>. (Damit wurde insbesondere auch der Fall <math>m>l</math> behandelt.)
Folglich ist die erste Differenz in der Berechnung stets eine Kaprekar-Zahl.

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Re: Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten
von JoeM am Mo. 01. Februar 2016 02:29:25


Hallo salomeMe,

1) für alle Kap.- Konstanten gilt stets a), b), c)

2) für 3- und 4- stellige Kap.- Konstanten kann man den Beweis >abkürzen<.

3) man kann z.B. für 4- stellige Kap.- Konstanten nachweisen, dass maximal 7 Schritte notwendig sind.

Bsp.:

Z = 2385 ( 1 Schritt )

Z = 2675; Z = 4275 ( 7 Schritte )

4) für Zahlen mit N>=6 Stellen gibt es nur noch Kap.- Konstanten, die sich nach einem Schritt selbst reproduzieren. Beliebige Startzahlen enden stets in einem Zyklus.

viele Grüße

JoeM

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Re: Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten
von salomeMe am Mo. 01. Februar 2016 12:24:25


Hallo JoeM,

danke für Deine Antworten, sie konnten Einiges klären.

 An b) ist mir immer noch nicht klar, was mit "Dann berechnet man eine neue Zahl aus der Differenz Z1 – Z2."
Nehmen wir an, wir sind bei 4-stelligen Zahlen und erhalten die Differenz 999. So könnte mit "berechnen" (wenn man gutwillig ist) gemeint sein, dass wir irgendeine Ziffer außer der 9, mit den 3 Neunen der Differenz zu dann 9*4 möglichen vierstelligen Zahlen verbinden. [Letztlich sind aber nur die 9 Möglichkeiten der 4 Ziffern interessant.]
 Aus meiner Sicht muss eine Berechnungsvorschrift angegeben werden, wenn aus der Differenz was zu berechnen ist.
Besser wäre wohl auf "berechnet" zu verzichten und Folgendes zu schreiben:
Dann ist die neue Zahl die Differenz Z1 – Z2, falls diese vierstellig ist. Ansonsten ist die neue Zahl die Differenz mal 10 hoch i, falls 4-i die Stellenzahl der Differenz ist.
(liest sich zwar nicht so schön, sollte aber eine eindeutige Berechnung der neuen Zahl ermöglichen)

Auf jeden Fall steckt wohl sehr viel Arbeit in Deinem Artikel - besonders in den Anlagen.
Nochmals großen Dank dafür!

Beste Grüße
Salome

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Re: Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten
von salomeMe am Mo. 01. Februar 2016 12:44:01


Hallo Zetavonzwei,

ach wie schön einfach ist das Dualsystem! Aber es bietet in Bezug auf  Kaprekar-Konstanten für einen Knobler nicht viele Beschäftigungsmöglichkeiten wink

Nörgelmodus an: Zitat: "...es genügt, dass <math>l</math> und <math>k</math> nichtnegative ganze Zahlen sind".
 Muss nicht wenigstens k > 0 sein, wenn k-1 die Anzahl von Stellen der Ziffern 1 und 0 angeben soll? Oder zählst Du 0 zu den negativen Zahlen?

Viele Grüße
Salome

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Re: Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten
von Zetavonzwei am Mo. 01. Februar 2016 22:05:56


Hallo Salome,

stimmt natürlich. Für k=0 kann man keine schöne Aufteilung festlegen... Im Fall k=l=0 hat man die leere Zahl, im Fall k=0, l=1 sind die Zahlen 0 und 1 Kaprekarzahlen. Längere Zahlen lassen sich stets aufteilen in einen geraden Anteil 2k mit k>0 und l nichtnegativ.

Viele Grüße
Zvz

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Re: Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten
von JoeM am Di. 02. Februar 2016 01:09:35


Hallo salome,

folgendes zu b) Differenz Z1 - Z2:

Wenn z.B. bei einer 4- stelligen Startzahl die Differenz Z1 - Z2 = 999 ergibt, dann ist diese 3- stellige Zahl >999< durch die 4- stellige Zahl >0999< zu ersetzen. Alles andere macht keinen Sinn.
(ich hatte schon mal geantwortet: Die >0< muss man mitnehmen).
Dann ergibt die nächste Differenz Z1 - Z2 = 9990 - 0999 = 8991; usw.

Das gilt allg. auch bei Differenzen für N- stellige Zahlen.

Was die Arbeit an meinem Artikel angeht: Das waren so etwa 3 Monate.
Allein für die Überprüfung meiner Ergebnisse habe ich über 20 Computer- Programme erstellt, und tausende Zahlen getestet.
Ich habe nirgendwo in der Literatur, oder im Internet etwas Vergleichbares gelesen.
Es gibt lediglich in der OEIS- Datenbank mehrere Listen mit Kap.- Konstanten.
Formeln zur Berechnung der Anzahl A an Kap.- Konstanten, sowie von mir gefundene Zusammenhänge, wie etwa für A(N) mit A(N+9) habe ich nirgendwo gefunden.

Zudem kann ich garantieren: Jeder von mir erstellte Algorithmus ( 1 - 6 ) erzeugt unterschiedliche Kap.- Konstanten. Es kommt nie vor, dass 2 oder mehr Algorithmen gleiche Kap.- Konstanten liefern.

viele Grüße

JoeM




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Re: Algorithmen zur Erzeugung von Kaprekar- Konstanten
von JoeM am Fr. 05. Februar 2016 03:20:07


Hallo Slash,

ich komme nochmal auf die >OEIS- Datenbank< zurück.

Die Eingabe von Kap.- Konstanten liefert in der OEIS folg. Ergebnis:

a) wenn man für N = 3, 4, 5, 6, 7, 8,..... die Zahlenfolge
1, 1, 0, 2, 0, 2, 2, 3, 1, 5 in die Datenbank eingibt, dann identifiziert die OEIS diese Zahlenfolge als Kap.- Konstanten unter der Datei > A164733 <.

b) wenn man nun die Zahlenfolge für N = gerade =
> 1, 2, 2, 3, 5, 6, 8, 12, 14, 17 < eingibt, kommt die Meldung:
>Leider wurde die angegebene Zahlenfolge nicht gefunden<

c) eine gleichlautende Meldung wie vor kommt bei der Sequenz für
N = ungerade = > 1, 0, 0, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 5 <:
>Leider wurde die angegebene Zahlenfolge nicht gefunden<

In der OEIS- Datenbank ist der Zusammenhang für die Anzahl A an
Kap.- Konstanten für N = gerade, und N = ungerade offensichtlich NICHT bekannt, wie etwa zwischen A(N), und A(N+9).

Ich meine: Wenn dieser Zusammenhang nicht in der OEIS bekannt ist;
wo dann ?

viele Grüße

JoeM


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