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Mathematik: Analyse teilbarer Bereiche bezüglich Teilermengen
Freigegeben von matroid am Mo. 08. Februar 2016 16:56:27
Verfasst von salomeMe -   417 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Das Sieb des Eratosthenes aus anderem Blickwinkel - Untersuchungen zu teilbaren Zahlenbereichen bezüglich Teilermengen


Salome Melchmerdif

07. Februar 2016

Zusammenfassung

Es wird für die natürlichen Zahlen der Begriff "teilbarer Bereich bezüglich einer Teilermenge" definiert. Anschließend werden einige Eigenschaften der teilbaren Bereiche bezüglich der kleinsten <math>n</math> Primzahlen genannt und nicht ganz offensichtliche bewiesen. Aus den durchschnittlichen Abständen 1-elementiger teilbarer Bereiche wird ein Argument dafür abgeleitet, dass die Chance, zwischen <math>n^2</math> und <math>(n + 1)^2</math> ein Primzahlzwilling zu finden, groß sein könnte und mit wachsendem n sogar größer werden könnte. Es wird angedeutet, dass die Analyse von teilbaren Bereichen bezüglich der kleinsten <math>n</math> Primzahlen eventuell bei Lösungen weiterer Primzahl-Probleme - Unendlichkeit der Primzahlen mit Abständen 4, 6, ..., Unendlichkeit der Primzahldrillinge und weiterer Primzahltupel [3] mit eingesetzt werden könnte.

Warnung

Mit Mathematik habe ich mich nie so beschäftigt, dass ich auch nur in einem Gebiet auf irgendeinem Stand des Wissens gewesen wäre. Deshalb wird es sehr wahrscheinlich seit Jahrhunderten mir unbekannt gebliebene ähnliche Gedanken und Ergebnisse geben, wie sie im Folgenden niedergeschrieben sind. Mir bleibt ein wenig die Hoffnung, dass es bisher kein Knobler oder Mathematiker gewagt haben könnte, Behauptungen zu veröffentlichen, die so einfach zu beweisen sind.


1. Einleitung, Definitionen, erste Folgerungen und Festlegungen



Einleitung
 Dieser Artikel beschreibt den Anfang eines Weges, auf dem man eventuell den zahlreichen Vermutungen zur Unendlichkeit der Anzahlen bestimmter Primzahltupel näher kommen könnte. Im Prinzip deutet er einen Weg an, auf dem einzelnen dieser Vermutungen äquivalente Vermutungen zur Verteilung entsprechender Konstellationen teilbarer Bereiche über dem Intervall <math>\{1, 2, 3, ..., \prod_{i=1}^{n} p_{i}\}</math> zur Seite gestellt werden, wobei das winzige Teilintervall <math>\{p_n, p_n + 1, p_n + 2, ..., p_{n+1}^2\}</math> von besonderem Interesse ist. Es müsste bewiesen werden, dass jeweils nach endlich vielen Vergrößerungen des Wertes n um den Wert 1 eine entsprechende Konstellation teilbarer Bereiche im Teilintervall <math>\{p_n^2 + 1, p_n^2 + 2, p_n^2 + 3, ..., p_{n+1}^2\}</math> auftritt, um das entsprechende Vermutungspaar zu beweisen.

Zum konkreten Weg:
 Direkt nach neuen allgemeinen Aussagen zu Primzahlen zu suchen, habe ich mir nicht zugetraut und mich deshalb zunächst mehr auf große Teile des Restes der natürlichen Zahlen - große Teile der zusammengesetzten Zahlen - und deren Verhalten beschränkt. Ein primitives Mittel zur Bestimmung von zusammengesetzten Zahlen und Primzahlen ist das Sieb des Eratosthenes [4]. Wobei jede gestrichene Zahl sofort als zusammengesetzte feststeht - diese Teilmengen der zusammengesetzten Zahlen werden untersucht. Nur bei den nicht gestrichenen ist größtenteils unklar zu welcher Gruppe sie gehören.
 Dass mit dem Durchstreichen der Vielfachen der ersten kleinen Primzahlen zyklische Muster entstehen, ist bekannt. Ebenso ist bekannt, dass mit der Berücksichtigung der zweitkleinsten Primzahl und einiger folgender Primzahlen beim Sieben hin und wieder genau drei benachbarte Zahlen gestrichen sind, aber auch isolierte gestrichene Zahlen erhalten bleiben.
 In diesem Artikel wird das Sieb des Eratosthenes ein wenig modifiziert betrachtet, um einige allgemeine Aussagen zum durchschnittlichen Abstand z.B. isolierter gestrichener Zahlen (1-elementiger teilbarer Bereiche) nach dem Sieben durch die kleinsten n Primzahlen ableiten zu können. Einerseits dehnen wir jeden Streichvorgang theoretisch über alle entsprechenden natürlichen Zahlen aus und streichen andererseits zusätzlich auch die Primzahl selbst deren sämtliche Vielfachen gestrichen wurden. Letzteres sichert das zyklische Verhalten aller gestrichenen Zahlen über die gesamten natürlichen Zahlen.
 
 Den Zusammenhang zwischen dem durchschnittlichen Abstand isolierter gestrichener Zahlen nach dem Sieben durch die kleinsten n Primzahlen und der Existenz von Primzahlzwillingen zwischen <math>p_n</math> und <math>p_{n+1}^2</math> liefert die Vermutung, dass zwischen <math>p_n</math> und <math>p_{n+1}^2</math> einige der isolierten gestrichenen Zahlen liegen könnten. Sollte eine isolierte gestrichene Zahl dort liegen, bilden die Nachbarzahlen einen Primzahlzwilling.

Die nachfolgenen Definitionen habe ich sehr allgemein formuliert, da ich bei der Suche ähnlicher mathematischer Festlegungen keinen Erfolg hatte. Für diesen Artikel, kann unter der Definition teilende Zahlenmenge einfach die Menge der kleinsten n Primzahlen verstanden werden.


Definitionen:
Unter einer "teilbaren Zahl bezüglich einer teilenden Zahlenmenge" soll Folgendes verstanden werden:

• Eine teilende Zahlenmenge ist endlich, enthält nur natürliche Zahlen, ist nicht die leere Menge und enthält weder die 0 noch die 1.

• Eine Zahl ist teilbar bezüglich einer teilenden Zahlenmenge, wenn in dieser Menge eine Element existiert, das diese Zahl teilt.


Unter einem "teilbaren Zahlenbereich bezüglich einer teilenden Zahlenmenge" soll Folgendes verstanden werden:

• Als ein teilbarer Zahlenbereich bezüglich einer teilenden Zahlenmenge wird die Menge aller direkt aufeinander folgenden natürlichen Zahlen betrachtet, die teilbar bezüglich dieser teilenden Zahlenmenge sind.


Folgerungen:
• Die an einen teilbaren Zahlenbereich bezüglich einer teilenden Zahlenmenge angrenzenden beiden natürlichen Zahlen sind durch kein Element dieser teilenden Zahlenmenge teilbar – ein teilbarer Zahlenbereich ist nicht erweiterbar, sondern umfasst immer die größtmögliche Anzahl zusammenhängender natürlicher Zahlen. Diese beiden angrenzenden natürlichen Zahlen werden im Weiteren auch als Grenzzahlen bezeichnet.

• Jede bezüglich einer Zahlenmenge teilbare Zahl gehört genau zu einem teilbaren Zahlenbereich bezüglich dieser Zahlenmenge, da alle teilbaren Zahlenbereiche disjunkt und eindeutig festgelegt sind.

• Ist die teilende Zahlenmenge endlich, so sind dies auch die möglichen Anzahlen der Elemente jedes teilbaren Zahlenbereiches, da es unendlich viele Primzahlen gibt, die nicht in eine endliche Zahlenmenge passen. Es muss demnach zu einer endlichen teilenden Zahlenmenge einen teilbaren Bereich mit maximaler Anzahl von Zahlen geben.


Festlegungen:
<math>P_{n}</math> bezeichnet die Menge der ersten <math>n</math> Primzahlen.

<math>\prod_{P_{n}}</math> bezeichne <math>\prod_{i=1}^{n} p_{i}</math> , wobei <math>p_{i}</math> die <math>i</math>-t kleinste Primzahl ist. (<math>\prod_{P_{1}}</math> = <math>p_{1}</math>)

<math>T_{P_{n}}</math> bezeichnet einen beliebigen teilbaren Zahlenbereich bezüglich <math>P_{n}</math>.

<math>\left|T_{P_{n},max}\right|</math> sei die Anzahl der Zahlen in einem <math>T_{P_{n}}</math> maximaler Anzahl von Zahlen.

<math>\left[n \ldots  n+m\right]</math> steht oft für <math>\left\{n, n+1, n+2, \ldots , n+m\right\}</math>, also für beliebige Intervalle natürlicher Zahlen.

• teilbarer Bereich oder Ähnliches steht manchmal für teilbarer Zahlenbereich bezüglich einer teilenden Zahlenmenge, wenn mir seine Art aus dem Zusammenhang offensichtlich erscheint.

• Die Bezeichnung wirksamer Teiler einer natürlichen Zahl sei festgelegt als deren kleinster Primfaktor.
Bemerkung: Diese Bezeichnung "wirksamer Teiler einer natürlichen Zahl" ist in Anlehnung an die Funktionsweise des Siebes des Eratosthenes und zur kürzeren Formulierung gewählt worden.


2. einige einfache Folgerungen zu Zahlenbereichen der natürlichen Zahlen die bezüglich der Menge der ersten n Primzahlen (<math>P_{n}</math>) teilbar sind

Die nachfolgend aufgeführten einfachen Zusammenhänge sollen den Leser mit den zuvor definierten Begriffen und deren verschachtelte strukturierende Wirkung auf die natürlichen Zahlen etwas vertraut machen.

• Jeder bezüglich einer Zahlenmenge <math>P_{n}</math>  teilbare Zahlenbereich enthält eine ungerade Anzahl aufeinander folgender natürlicher Zahlen.

• Bezüglich <math>P_{n}</math> teilbare Zahlenbereiche, die mit einer Zahl größer <math>p_{n}</math> beginnen, enthalten keine Primzahlen, da sie ja alle einen Teiler aus <math>P_{n}</math> aufweisen. Also ist die Menge aller Primzahlen > <math>p_{n}</math> eine Teilmenge der Menge der Zahlen, die die unendlich vielen <math>T_{P_{n}}</math> voneinander trennen. Diese trennenden Zahlen werden im Weiteren auch als Grenzzahlen bezeichnet.

<math>\forall n > 0</math> sind im Intervall <math>[0 ... \prod_{P_{n}}]</math> alle bezüglich <math>P_{n}</math> teilbaren Zahlenbereiche zentral-symmetrisch in Bezug auf ihre Komponenten Anzahlen angeordnet. Gleiches gilt für die wirksamen Teiler der Zahlen dieses Intervalls, falls sie Elemente von <math>P_{n}</math> sind. Gleiches gilt für alle Intervalle <math>[i\prod_{P_{n}} ... (i+1)\prod_{P_{n}}]</math> , wobei <math>i\in N</math>. [Analoges gilt für eine aus beliebigen endlich vielen Primzahlen bestehende teilende Zahlenmenge, wenn man von den wirksamen Teilern einmal absieht.]
Vorgenannte Eigenschaften gelten, weil <math>0</math> und <math>i\prod_{P_{n}}</math> durch jedes Element aus <math>P_{n}</math> ohne Rest teilbar sind. Von jeder der unendlich vielen genannten Zahlen (wegen <math>i\in N</math> bei festem <math>n</math>) in beide Richtungen ausgehend treten die gleichen wirksamen Teiler bei gleichen Abständen von den genannten Zahlen auf, falls sie zu <math>P_{n}</math> gehören - andere betrachten wir jetzt nicht. [Dass es mit beliebigen endlichen Primzahlmengen nicht so klappt, liegt einzig an der Definition wirksamer Teiler, als kleinstem Primfaktor der betrachteten Zahl. Hätten wir ihn definiert als kleinste Primzahl einer endlichen teilenden Primzahlmenge, die die Zahl teilt, würden die vorgenannten Eigenschaften für alle endlichen Primzahlmengen gelten.]
Auch wenn in <math>i</math> beliebige Primfaktoren auftreten, stört das nicht die Teilbarkeit bezüglich <math>P_{n}</math> , so dass der Teilbarkeitszyklus sich nach je <math>\prod_{P_{n}}</math> Zahlen wiederholt und ins Unendliche fortsetzt.

• Die Anzahl der teilbaren Bereiche in <math>[1 ... \prod_{P_{n}}]</math> bezüglich <math>P_{n}</math> ist gleich der Anzahl der bezüglich <math>P_{n}</math> nicht teilbaren Zahlen in <math>[1 ... \prod_{P_{n}}]</math> , da in diesem Intervall alle geraden Zahlen teilbar sind und deshalb nicht teilbare Zahlen isoliert auftreten müssen. Dass sich die Anzahlen nicht um eins unterscheiden, liegt an der Nicht-Teilbarkeit von <math>1</math> und <math>\prod_{P_{n}} + 1</math> sowie der Teilbarkeit von <math>\prod_{P_{n}}</math> bezüglich <math>P_{n}</math>.

• Im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{n}}]</math> existieren keine zwei verschiedenen Zahlen, die bezüglich der Division durch jede der Primzahlen aus <math>P_{n}</math> die gleichen Reste liefern. Diese Behauptung ist sehr leicht durch eine Widerlegung der Annahme des Gegenteils zu beweisen.

<math>T_{P_{n+m}} \cap  T_{P_{n}} \neq \{\} \Longleftrightarrow T_{P_{n+m}} \supseteq T_{P_{n}}</math>

• Alle möglichen Produkte aus Primzahlpotenzen der Primzahlen <math> \geq p_{n} </math> bilden die Menge der Grenzzahlen der <math>T_{P_{n-1}}</math> , sind also analog zu den <math>T_{P_{n-1}}</math> zentralsymmetrisch und zyklisch über den Bereich der natürlichen Zahlen angeordnet.

• Für kleine <math>n</math> ist das Netz der Grenzzahlen der <math>T_{P_{n}}</math> leicht ermittelbar, obwohl die unendlich vielen Primzahlen, die <math>> p_{n}</math> sind und diese Grenzzahlen wirksam teilen wohl nicht bestimmbar sind.

• Aber man kann die möglichen Produkte aus Primzahlpotenzen der Primzahlen <math> \geq p_{n}</math> noch in unendlich viele disjunkte Teilmengen zerlegen, wenn man sie nach den gleichen wirksamen Teilern aufteilt. Jede dieser Teilmengen verhält sich wieder zyklisch und innerhalb der Zyklen (um eine vorhergehende Zahl erweitert) zentralsymmetrisch. Die Zykluslänge ist das Produkt aller Primzahlen <math>\leq</math> dem wirksamen Teiler - jede Teilmenge hat also eine andere Zykluslänge.

Folgerung 1: (wesentliche Aussage des Siebes des Eratosthenes [4])
Eine Grenzzahl g, die einem bezüglich <math>P_{n}</math> teilbaren Bereich vorangeht bzw. folgt ist eine Primzahl, falls sie größer als <math>p_{n}</math> und kleiner als <math>p_{n+1}^{2}</math> ist. Anders ausgedrückt: alle Zahlen zwischen <math>p_{n}</math> und <math>p_{n+1}^{2}</math> sind Primzahlen, falls sie zu keinem <math>T_{P_{n}}</math> gehören (nicht durchgestrichen wurden).

Beweis:
<math>P_{n}</math> teilt nicht g <math>\Rightarrow</math> falls g eine zusammengesetzte Zahl ist, so muss <math>g \geq p_{n+1}^{2}</math> sein. Also ist g eine Primzahl, falls gilt <math>p_{n} < g < p_{n+1}^{2}</math>. q.e.d.

Bemerkungen:
Im Gegensatz zum Sieb des Eratosthenes werden nicht nur die Mehrfachen einer Primzahl gestrichen, sondern auch die Primzahl selbst, um die Symmetrie der Anordnung der <math>T_{P_{n}}</math> zu erhalten.
Außerdem gibt es keine Obergrenze des zu siebenden Bereiches.

3. Betrachtungen, die ein Beweisansatz für die Vermutung der Existenz unendlich vieler Primzahlzwillinge sein könnten

Lemma 1:
Im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{n}}]</math> existieren

<math>\prod_{i=1}^{n}(p_{i}-1)</math>

teilbare Zahlenbereiche bezüglich <math>P_{n}</math> .

Beweis: (durch Vollständige Induktion)
Die Behauptung stimmt für <math>n=1</math> , da im Intervall <math>[1 ... 2]</math> der Bereich mit der <math>2</math> das einzige <math>T_{P_{1}}</math> ist. Die Behauptung ist auch richtig für <math>n=2</math> , da im Intervall <math>[1 ... 6]</math> die zwei teilbaren Bereiche <math>\{2, 3, 4\} \wedge \{6\}</math> existieren.

Die Behauptung gelte für <math>n=k</math> und wir zeigen, dass sie dann auch für <math>k+1</math> richtig ist.

Im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{k}}]</math> gibt es nach Induktionsvoraussetzung <math>\prod_{i=1}^{k}(p_{i} - 1)</math> nicht teilbare Zahlen bezüglich <math>P_{k}</math> - die Anzahl nicht teilbarer Zahlen ist gleich der Anzahl der teilbaren Bereiche bezüglich <math>P_{k}</math> , da im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{k}} ]</math> jeder nicht teilbaren Zahl direkt ein teilbarer Bereich bezüglich <math>P_{k}</math> folgt und <math>\prod_{P_{k}}</math> teilbar sowie <math>\prod_{P_{k}} +1</math> bezüglich <math>P_{k}</math> nicht teilbar sind.

Im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{k+1}}]</math> gibt es nach Induktionsvoraussetzung und wegen der zyklischen Wiederholung der Struktur der teilbaren Bereiche nach <math>\prod_{P_{k}}</math> Zahlen genau <math>p_{k+1}\prod_{i=1}^{k}(p_{i} - 1)</math> nicht teilbare Zahlen bezüglich <math>P_{k}</math>. Nur diese nicht teilbaren Zahlen kommen als durch <math>p_{k+1}</math> wirksam teilbare Zahlen in Frage.
Betrachten wir eine beliebige nicht teilbare Zahl <math>m</math> bezüglich <math>P_{k}</math> im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{k}}]</math>. So wissen wir, dass es <math>p_{k+1}</math> wiederkehrende nicht teilbare Positionen <math>m +j\prod_{P_{k}}</math> bis <math>\prod_{P_{k+1}}</math> gibt <math>(j\in\left\{0, 1, 2, ..., p_{k+1}-1\right\})</math>, von denen genau eine durch <math>p_{k+1}</math> teilbar ist, da bei der Division der <math>p_{k+1}</math> Zahlen durch <math>p_{k+1}</math> alle möglichen Reste entstehen müssen, so auch die <math>0</math>. Also sind <math>(p_{k+1}-1)\prod_{i=1}^{k}(p_{i} - 1)=\prod_{i=1}^{k+1}(p_{i} - 1)</math> nicht bezüglich <math>P_{k+1}</math> teilbare Zahlen im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{k+1}}]</math> und damit gibt es dort auch genauso viele teilbare Bereiche bezüglich <math>P_{k+1}</math>. q.e.d.

Folgerung 2:
Die durchschnittliche Anzahl der Elemente <math>d_{n}</math> der teilbaren Bereiche bezüglich <math>P_{n}</math> verhält sich wie in der folgenden Formel angegeben:

<math>d_{n}= \frac{(Anzahl\ Zahlen\ in\  [1 ... \prod_{P_{n}}]-Anzahl\ nicht\ teilbaren\ Zahlen\ in\  [1 ... \prod_{P_{n}}])}{(Anzahl\ teilbaren\ Bereiche\ in\  [1 ... \prod_{P_{n}}])}</math>

<math>d_{n} = -1 + \prod_{i=1}^{n}\frac{p_{i}}{p_{i}-1}.</math>
 Da die
<math>Anzahl\  nicht\  teilbarer\  Zahlen\  in\  [1 ... \prod_{P_{n}}] = Anzahl\  teilbarer\  Bereiche\  in\  [1 ... \prod_{P_{n}}]</math>
ist, entsteht die <math>-1</math>. Die Folge der <math>d_{n}</math> beginnt mit <math>1; 2; 2,75; 3,375;</math> ... .

einige Vorhersagen für Werte der Primzahl-Funktion <math>\pi(x)</math>:
Eigentlich ist der durchschnittliche Abstand der Grenzzahlen zwischen den <math>T_{P_{n}}</math> mit <math>d_{n}+1</math> interessanter, denn wir könnten versuchen an den Stützpunkten <math>p_{n+1}^2</math> Näherungswerte für die  Primzahl-Funktion <math>\pi(x)</math> zu ermitteln.

Die folgende Formel scheint dazu aus nachfolgend genannten Gründen geeignet zu sein:

<math>\pi'(p_{n+1}^2)= 3+\sum_{i=1}^{n}{\frac{p_{i+1}^2-(p_{i}^2+1)}{d_{i}+1}}.</math>

Die 3 steht für die Primzahlen vor der 6. Die Intervalle <math>[p_{i}^2+1...p_{i+1}^2]</math> bilden eine disjunkte Überdeckung der natürlicher Zahlen des Intervalls  <math> [6 ... p_{n+1}^2]</math>. Außerdem ist <math>d_{i}+1</math> der durchschnittliche Abstand der Grenzzahlen der <math>T_{P_{i}}</math>. Falls dieser Abstand auch auf ein so kleines Intervall wie <math>[p_{i}^2+1...p_{i+1}^2]</math> angewendet werden könnte, wäre das für alle weiteren Betrachtungen von Bedeutung. Hier hilft bestimmt nur eine allgemeine Abschätzung. Ob sich der Aufwand lohnt, könnte eine für hinreichend große n durchgeführte computergestützte Berechnung zeigen. Mit der genannten Formel wurde für den Bereich in dem die ersten n=808.117 realen Primzahlen liegen ein um etwa 12% höherer Primzahlanteil vorhergesagt. Diese Vorhersage ist mir zwar etwas zu ungenau, aber ich habe trotzdem eine Tabelle erstellt, in der die Abweichungen zwischen <math>\pi'(x)</math> und <math>x/ln(x)</math> sowie die Abweichungen zwischen <math>\pi'(x)</math> und <math>\pi(x)</math> für einige x-Wert angegeben sind. Die Werte von <math>\pi(x)</math> liegen etwas näher als <math>x/ln(x)</math> an <math>\pi'(x)</math>, wobei sich die <math>\pi'(x)</math> mit steigendem x dem Wert von <math>x/ln(x)</math> relativ anzunähern scheint.

<math>
$$\begin{tabular}{@{}|c|*{5}{c|}}
x & \pi(x) & x/ln(x) & \pi'(x) & \%-Abw. zu x/ln(x) & \%-Abw. zu \pi(x) \\ \hline
9 & 4 & 4,1 & 4 & -2,3 & 0,0\\
121 & 30 & 25,2 & 31,4 & 24,3 & 4,7\\
961 & 162 & 139,9 & 175,0 & 25,1 & 8,0\\

5.041 & 675 & 591,3 & 737,3 & 24,7 & 9,2\\
10.201 & 1.252 & 1.105,2 & 1.372,0 & 24,1 & 9,6\\
22.201 & 2.489 & 2.218,3 & 2.739,5 & 23,5 & 10,1\\

49.729 & 5.106 & 4.598,4 & 5.655,4 & 23,0 & 10,8\\
100.489 & 9.631 & 8.724,7 & 10.686,0 & 22,5 & 11,0\\
201.601 & 18.108 & 16.505,7 & 20.155,5 & 22,1 & 11,3\\

502.681 & 41.737 & 38.291,6 & 46.537,2 & 21,5 & 11,5\\
1.018.081 & 79.830 & 73.595,7 & 89.152,3 & 21,1 & 11,7\\

2.024.929 & 150.667 & 139.447,9 & 168.375,8 & 20,7 & 11,8\\
5.004.169 & 348.785 & 324.402,9 & 390.184,1 & 20,3 & 11,9\\
12.327.121 & 808.117 & 755.000,0 & 904.944,0 & 19,8 & 12,0
\end{tabular}$$
</math>

Eine noch genauere Vorhersage für Werte der Primzahl-Funktion <math>\pi(x)</math> sollte nach folgenden Formeln möglich sein, da gleichzeitig wesentlich größere Intervalle und damit weniger Stützstellen betrachtet werden:

<math>N(m)</math> sei nächste auf <math>m</math> folgende Primzahl.

<math>P'=\left\{
p_i |  p_i \in P \wedge p_1=2 \wedge p_i= N(N(p_{i-1})^2) \wedge p_{i-1} \in P'\right\} </math>

<math>\pi''(p_{j+1})= 1+\sum^{p_{i}<=p_{j}}_{p_i, p_j \in P'} \frac{N(N(p_{i})^2)-(p_{i}+1)}{d_{i}+1}</math>, wobei in den <math>d_{i}</math> natürlich alle Primzahlen <math><= p_{i}</math> berücksichtigt sind (siehe Folgerung 2). Außerdem sind die Primzahlen aus  <math>P'</math> der Größe nach durchnummeriert.

<math>P'=\left\{2, 11, 173, ...\right\}</math>

Da ich aber auf einen ähnliche Definitionsbereich, wie in der vorangehenden Tabelle kommen möchte, werde ich folgende Teilmenge <math>Pmod'</math> verwenden:
<math>Pmod'=\left\{5, 53, 3.491, 12.243.019 \right\}</math>

Diese ergeben sich, wenn man die ersten 3 Werte nach einer analogen Formel

<math>Pmod'=\left\{
p_i | p_i \in P \wedge p_1=5 \wedge p_i= N(N(p_{i-1})^2) \wedge p_{i-1} \in Pmod'\right\} </math>
bestimmt. Auch die Formel für <math>\pi''()</math> muss leicht angepasst werden - statt +1 wird +3 als erster Summand verwendet.

<math>
$$\begin{tabular}{@{}|c|*{4}{c|}}
x & \pi(x) & x/ln(x) & \pi''(x) & \%-Abw. zu \pi(x) \\ \hline
53 & 16 & 14,3 & 15,5 & -3,1\\
3.491 & 488 & 427,8 & 483,3 & -1,0\\
12.243.019 & 802.940 & 750.163,5 & 841.524,3 & 4,8
\end{tabular}$$
</math>

Mit dieser Approximation von  <math>\pi(x)</math>  bin ich erst einmal zufrieden, obwohl ich nicht abschätzen kann, wie sie sich für  <math>x</math>  gegen unendlich verhält. Eventuell ist eine Tendenz vorhanden, dass zwischen  <math>p_i</math>  und  <math>p_{i+1}^2</math>  die durchschnittlichen Primzahlabstände etwas größer sind als der Wert  <math>d_{i}+1</math> .
 
Lemma 2:
Die Anzahl <math>a_{1,n}</math> der 1-elementigen teilbaren Bereiche  bezüglich <math>P_{n}</math> für <math>n>1</math> im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{n}}]</math> ist:

<math>a_{1,n} = \prod_{i=2}^{n}(p_{i} - 2)</math>.

Beweis: (Wieder per Vollständiger Induktion)
Die Behauptung ist richtig für n=2, da im Intervall <math>[1 ... 6]</math> mit <math>\{6\}</math> genau ein 1-elementiges <math>T_{P_{2}}</math> existiert. Die Behauptung gilt auch für <math>n=3</math> , da im Intervall <math>[1 ... 30]</math> mit <math>\{12\}, \{18\}</math> und <math>\{30\}</math> genau drei 1-elementige <math>T_{P_{3}}</math> existieren.
Bemerkung: Wenn Sie hier die Symmetrie vermissen sollten, so liegt das daran, dass bei den Symmetriebetrachtungen immer noch eine Zahl mehr zu den Intervallen analog <math>[1 ... \prod_{P_{k}}]</math> hinzugenommen wurde. Im konkreten Fall also die <math>0</math>. Würden wir das hier tun, hätten wir keine disjunkte Überdeckung der natürlichen Zahlen und damit ein falsches Resultat, da die Vielfachen von <math>\prod_{P_{k}}</math> doppelt gezählt würden.

Die Behauptung sei richtig für <math>n=k</math>.

Wir zeigen, dass sie dann auch für n=k+1 gilt:
Es gilt also <math>a_{1,k} = \prod_{i=2}^{k}(p_{i} - 2)</math> für die Anzahl 1-elementiger teilbarer Bereiche bezüglich <math>P_{k}</math> für ein <math>k>2</math> im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{k}}]</math>. Wegen der zyklischen Eigenschaft der teilbaren Bereiche gilt für die Anzahl a der 1-elementigen teilbaren Bereiche bezüglich <math>P_{k}</math> im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{k+1}}]</math> , dem '<math>p_{k+1}</math>-Fachen' des normalen zu <math>P_{k}</math> gehörigen Intervalls, <math>a=p_{k+1}\prod_{i=2}^{k}(p_{i} - 2)</math>. Betrachten wir jetzt einen beliebigen 1-elementigen teilbaren Bereich der <math>m \leq \prod_{P_{k}}</math> enthält, so existieren <math>p_{k+1}</math> analoge teilbare Bereiche mit den Zahlen <math>m + j\prod_{P_{k}}</math> bis <math>\prod_{P_{k+1}}</math> , wobei <math>j\in\left\{0, 1, 2, ..., p_{k+1}-1\right\}</math> ist.
Von diesen sind aber genau 2 keine 1-elementigen teilbaren Bereiche bezüglich <math>P_{k+1}</math> , da bei den beiden entweder eine durch <math>p_{k+1}</math> teilbare Zahl vorangeht oder folgt. Da <math>p_{k+1}>2</math> ist, sind immer zwei verschiedene 1-elementige Bereiche betroffen. Außerdem gibt es schon für <math>k>1</math> keine direkt aufeinander folgenden 1-elementigen Bereiche, so dass eine durch <math>p_{k+1}</math> teilbare Zahl maximal einen 1-elementigen Bereich auslöscht. Also bleiben für <math>a_{1,k+1}=(p_{k+1}-2)\prod_{i=2}^{k}(p_{i} - 2)=\prod_{i=2}^{k+1}(p_{i} - 2)</math> 1-elementige teilbare Bereiche im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{k+1}}]</math> bezüglich <math>P_{k+1}</math> übrig. q.e.d.

Bemerkung:
Leider ist mir nicht klar, wie die durch <math>p_{n}</math> wirksam teilbaren Zahlen verteilt sind - außer natürlich zentralsymmetrisch in den Intervallen <math>[j*\prod_{P_{n}} ... (j+1)*\prod_{P_{n}}]</math> für alle <math>j \geq 0</math> und über alle natürlichen Zahlen zyklisch mit Zykluslänge <math>\prod_{P_{n}}</math>.


Folgerung 3:
Der durchschnittliche Abstand <math>ab_{1,n}</math> der 1-elementigen teilbaren Bereiche bezüglich <math>P_{n}</math> für <math>n>1</math> ist:

<math>ab_{1,n} = 2 (\prod_{i=2}^{n-1}\frac{p_{i}}{(p_{i+1}-2)})*p_{n} \leq 2p_{n}</math>

Beweis:
Es genügt die Behauptung für das Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{n}}]</math> zu beweisen, da es das erste Intervall unendlich vieler bezüglich der Teilbarkeitsstruktur gleichartiger Intervalle ist, die die natürlichen Zahlen disjunkt überdecken.

<math>ab_{1,n} = \frac{(Anzahl\  der\  Zahlen\  in\  [1 ... \prod_{P_{n}}])}{(Anzahl\  1-elementiger\  T_{P_{n}}\  in\  [1 ... \prod_{P_{n}}])} =
\frac{\prod_{P_{n}}}{\prod_{i=2}^{n}(p_{i} - 2)} =</math>

    <math>2 \prod_{i=2}^{n}\frac{p_{i}}{p_{i} - 2} = \frac{2}{3-2} *\frac{3 * 5 * 7 *\ldots*p_{n-1}}{(5-2)*(7-2)*(11-2)*\ldots*(p_{n}-2)}*p_{n} \leq 2p_{n}.\  q.e.d.</math>

Ab <math>n > 4</math> gilt sogar

<math>ab_{1,n} = 2 (\prod_{i=2}^{n-1}\frac{p_{i}}{(p_{i+1}-2)})*p_{n}  = 2x_{n}p_{n} < 2p_{n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)</math>

, da 11 die erste Primzahl ist, die von Vorgänger einen größeren Abstand als 2 hat. Offensichtlich geht der Faktor <math>x_{n}</math> als Faktor von  <math>ab_{1,n}</math> für <math>n \rightarrow \infty</math> gegen eine dicht bei <math>0</math> liegende positive Zahl, falls er nicht sogar eine Nullfolge darstellt. In [1] ist eine Aufstellung der Anzahlen der Primzahlzwillinge für die 16 Zahlenbereichen von <math>1</math> bis zu den ersten <math>16</math> Zehnerpotenzen angegeben, die die Tendenz, dass für steigende Werte von <math>n</math> zunehmend mehr Primzahlzwillinge in <math>[n^2 ... (n+1)^2]</math> auftreten bestätigen, die aus der Verkleinerung des Faktors <math>x_{n}</math> mit steigendem <math>n</math> vorherzusehen war. Der Faktor <math>x_{n}</math> aus Formel (4) herausgelöst hat folgenden Aufbau:

<math>x_{n}=\prod_{i=2}^{n-1}\frac{p_{i}}{(p_{i+1}-2)}.</math>

Sobald <math>p_{i+1} - p_{i} > 2</math> treten Faktoren <math>< 1</math> in  <math>x_{n}</math> auf, aber nicht Faktoren <math>> 1</math>. Tritt ein 1-elementiger <math>T_{P_{n}}</math> im Intervall <math>[p_{n} ... p_{n+1}^2]</math> auf, so sind dessen Grenzzahlen ein Primzahlzwilling. Aber selbst im Intervall <math>[p_{n}^2 ... (p_{n}+1)^2]</math> könnte auf Grund des durchschnittlichen Abstands <math>ab_{1,n} \leq 2p_{n}</math> der 1-elementigen teilbaren Bereiche  bezüglich <math>P_{n}</math> ein Primzahlzwilling auftreten - dann erst recht jeweils zwischen  <math>[(p_{n}+1)^2 ... (p_{n}+2)^2]</math> , ... und <math>[(p_{n+1}-1)^2 ... p_{n+1}^2]</math>. Was wie folgt allgemeiner formuliert werden kann: Die Chance, dass zwischen <math>n^{2}</math> und <math>(n+1)^{2}</math> ein Primzahlzwilling existiert, könnte groß sein und eventuell mit wachsendem n sogar größer werden.

Eine Näherungsformel für die Anzahl von Zwillingen bis zu bestimmten Stützstellen
Eine Vorhersage zu den Anzahlen vor einigen bestimmten Zahlenwerten auftretender Primzahlzwillinge, sollte nach folgenden Formeln näherungsweise möglich sein - wir passen die bei der genaueren Approximation von <math>\pi(x)</math> verwendeten Formeln entsprechend an:

<math>N(m)</math> sei wieder die auf <math>m</math> folgende Primzahl.

<math>P'=\left\{
p_i | p_i \in P \wedge p_1=5 \wedge p_i= N(N(p_{i-1})^2) \wedge p_{i-1} \in P'\right\} </math>

<math>\pi'''(p_{j+1})= 1,3+\sum^{p_i<=p_{j}}_{p_i, p_j \in P'}\frac{N(N(p_{i})^2)-(p_{i}+1)}{ab_{1,i}}</math>, wobei in den <math>ab_{1,i}</math> natürlich alle Primzahlen <math><= p_{i}</math> berücksichtigt sind (siehe Folgerung 3).

<math>P'=\left\{5, 53, 3.491, 12.243.019, ...\right\}</math>

<math>
$$\begin{tabular}{@{}|c|*{3}{c|}}
x & zw(x) & \pi'''(x) & \%-Abw. zu zw(x) \\ \hline
53 & 6 & 6,0 & 0,0 \\
3.491 & 93 & 90,3 & -2,9\\
12.243.019 & 70.222 & 76.398,4 & 8,8
\end{tabular}$$
</math>
Der Wert für <math>zw(12.243.019)</math> (tatsächliche Zwillinge bis 12.243.019) wurden durch folgendes Mathematica Notebook ermittelt:
anz1 = 0;
p1 = 3;
For[ i = 4, i <= 12243020, i++, {
   If[PrimeQ[i], {p2 = i; If[p2 - p1 == 2, {anz1++ }]; p1 = p2}];
   }];
Print["Anzahl Primzahlzwillinge bis 12.243.020=" , anz1];

Die Approximation  <math>\pi'''(x)</math>  für die Anzahl der Primzahlzwillinge bis  <math>x</math>  verhält sich für die ersten <math>12.243.019</math> natürlichen Zahlen ähnlich wie die Approximation  <math>\pi''(x)</math>  für die Funktion  <math>\pi(x)</math>. Das sollte die Vermutung der Unendlichkeit der Primzahlzwillinge unterstützen.
Sie werden sich jetzt eventuell fragen inwiefern eine Abweichung von 8,8% bei den Zwillingen einer Abweichung von 4,8% bei den Primzahlen ähnlich ist. Leichter ließe sich das für mich erklären, wenn die Abweichungen der Schätzwerte negative %-Werte hätten. Angenommen die Abweichung des Schätzwertes der Primzahlen zu <math>\pi(x)</math> betrage -5%. Dann kann man annehmen, dass auch die Anzahl solcher Primzahlen bis <math>x</math>, die die Primzahlzwillinge bilden, bei der Schätzung ungefähr 5% zu gering geschätzt werden. Der Fall, dass beide Primzahlen eines realen Zwillings als zusammengesetzte Zahlen gewertet werden, wird dabei recht selten eintreten. Deshalb weicht der Schätzwert der Zwillinge fast um das Doppelte vom Schätzwert der Primzahlen ab. Denn ein Zwilling verliert seinen Namen, wenn auch nur eine seiner Primzahlen nicht als solche gewertet wird. Bei positiven Abweichungen der Schätzwerte sollte sich das analog verhalten.


Interessant sind wohl auch die aufgetretenen Werte für  <math>x_{n}= ab_{1,n}/2p_n</math> :

 Für  <math>p_{488}=3491</math>  ist z.B.  <math>x_{488}=0,023</math> .

Da es aber schwer fallen wird eine reelle Zahl  <math>q<1</math>  zu finden, die größer als unendlich viele der Werte  <math>p_i/(p_{i+1}-2)</math>  ist, wird es eventuell schwer oder gar unmöglich sein die Konvergenz der Folge  <math>x_{n}</math>  gegen  <math>0</math>  nachzuweisen.

Aufruf
Vielleicht findet sich ein Mathematiker, der etwas Allgemeingültiges zur Verteilung der 1-elementigen <math>T_{P_{n}}</math> im Intervall <math>[0 ... \prod_{P_{n}}]</math> herausfindet. Es spricht jedenfalls Einiges dafür, dass die 1-elementigen <math>T_{P_{n}}</math> im Intervall <math>[0 ... \prod_{P_{n}}]</math> relativ gleichmäßig verteilt sind:
  • die Symmetrie der <math>T_{P_{n}}</math> in diesem Intervall
  • die Zusammensetzung des Intervalls <math>[0 ... \prod_{P_{n}}]</math> aus <math>p_{n}</math> annähernd gleichförmig-symmetrischen Intervallen <math>[i\prod_{P_{n-1}} ... (i+1)\prod_{P_{n-1}}]</math> , die ihrerseits wieder analog zusammengesetzt sind ... bis hin zu den 2-elementigen Intervallen, die die kleinste Primzahl hervorgerufen hat.
  • die Abnahme des Einflusses größer werdender Primzahlen auf die Reduktion der 1-elementigen <math>T_{P_{n}}</math> - von <math>p_{n}</math> durch <math>P_{n-1}</math> erhalten gebliebenen 1-elementigen <math>T_{P_{n-1}}</math> bleiben durchschnittlich genau <math>p_{n}-2</math> als 1-elementige <math>T_{P_{n}}</math> übrig
  • die Anzahlen der Primzahlzwillinge innerhalb der ersten 16 Zehnerpotenzen an natürlichen Zahlen [1] - Primzahlen ab <math>10^8</math> könnte man schon als relativ groß zur Zahl 2 betrachten
  • nicht zuletzt die Aussage des Primzahlsatzes [2]

     Aber es spricht auch etwas dagegen das diese eventuell relativ gleichmäßige Verteilung der 1-elementigen <math>T_{P_{n}}</math> im Intervall <math>[0 ... \prod_{P_{n}}]</math> Rückschlüsse auf das Teilintervall <math>(p_{n}^2 ... p_{n+1}^2)</math> zulässt, da es für große <math>p_{n}</math> vernachlässigbar klein zum Intervall <math>[0 ... \prod_{P_{n}}]</math> ist.
     Dafür spricht aber andererseits der zur Größe des Intervalls <math>[p_{n}^2 ... p_{n+1}^2]</math> noch kleinere durchschnittliche Abstand der 1-elementigen <math>T_{P_{n}}</math>. Das möge an Motivation reichen.


    4. zur Unendlichkeit der 3-elementigen teilbaren Bereiche bezüglich <math>P_{n}</math>

    Lemma 3:
    Die Anzahl <math>a_{3,n}</math> der 3-elementigen teilbaren Bereiche  bezüglich <math>P_{n}</math> für <math>n>1</math> im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{n}}]</math> ist:

    <math>a_{3,n} = \prod_{i=2}^{n}(p_{i} - 2)</math>.

    Beweis:
    • Hier gilt alles was zu den 1-elementigen teilbaren Bereichen bezüglich <math>P_{n}</math> gezeigt und argumentiert wurde.
      • Das ist so, weil es für <math>n=2</math> und <math>n=3</math> in <math>[1 ...  \prod_{P_{n}}]</math> genau so viele 1-elementige wie 3-elementige teilbare Bereiche gibt und 3-elementige teilbare Bereiche nicht aufeinander folgen können sowie jeden teilbaren Bereich nun einmal zwei Grenzzahlen einschließen, die die Anzahl der teilbaren Bereiche für alle <math>n</math> festlegen, wie beim Beweis zur Anzahl 1-elementiger teilbarer Bereiche bezüglich <math>P_{n}</math>
      • Die 3-elementigen Bereiche seien für <math>[1 ... \prod_{P_{2}}]</math> mit <math>\{2, 3, 4\}</math> und für <math>[1 ... \prod_{P_{3}}]</math> mit <math>\{8, 9, 10\}, \{14, 15, 16\}, \{20, 21, 22\}</math> genannt. q.e.d.

    Deshalb liegt die Vermutung nahe, dass Primzahlzwillinge und Primzahlen mit
    Abstand 4 annähernd gleich häufig auftreten.

    5. zur Unendlichkeit benachbarter ein- und 3-elementiger teilbarer Bereiche

    Wir werden versuchen die genaue Anzahl solcher Konstellationen in Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{n}}]</math> zu bestimmen. Betrachten wir zunächst die existierenden Konstellationen im Intervall <math>[1 ... 30]</math> in Form der jeweils drei Grenzzahlen:
    <math>\{7, 11, 13\}</math> , <math>\{11, 13, 17\}</math> , <math>\{13, 17, 19\}</math> und <math>\{17, 19, 23\}</math>.
    Das kleine Problem, dass sich alle Konstellationen überlappen, ist sofort offensichtlich, aber es ist gar keins. Wichtiger ist, dass durch das zusammenfügen der 30-er Intervalle keine zusätzlichen Konstellationen entstehen, wie es bei den 6-er Intervallen der Fall gewesen wäre.

    Lemma 4:
    Die Anzahl <math>a_{1,3,n}</math> der Konstellationen aus benachbarten 1-elementigen und 3-elementigen teilbaren Bereichen bezüglich <math>P_{n}</math> für <math>n>2</math> im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{n}}]</math> ist:

    <math>a_{1,3,n} = 2\prod_{i=3}^{n}(p_{i} - 3).</math>

    Beweis: (Wieder per Vollständiger Induktion)
    Die Behauptung ist richtig für n=3, da im Intervall <math>[1 ... 30]</math> mit <math>\{7, 11, 13\}</math> , <math>\{11, 13, 17\}</math> , <math>\{13, 17, 19\}</math> und <math>\{17, 19, 23\}</math> vier derartige Konstellationen existieren. Für n=4 muss es dann <math>4(7-3)</math> derartiger Konstellationen geben, da die <math>7</math> aus einer bisherigen Konstellation resultierenden jeweils um <math>3</math> zu vermindern sind, was der Anzahl der durch die <math>7</math> wirksam geteilten Grenzzahlen entspricht.

    Die Behauptung sei richtig für n=k.

    Wir zeigen, dass sie dann auch für n=k+1 gilt:
    Es gilt also <math>a_{1, 3, k} = 2\prod_{i=3}^{k}(p_{i} - 3)</math> für die Anzahl der betrachteten Konstellationen bezüglich <math>P_{k}</math> für ein <math>k>3</math> im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{k}}]</math>. Wegen der zyklischen Eigenschaft der teilbaren Bereiche gilt für die Anzahl a der betrachteten Konstellationen bezüglich <math>P_{k}</math> mit <math>k>2</math> im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{k+1}}]</math> , dem '<math>p_{k+1}</math>-Fachen' des normalen zu <math>P_{k}</math> gehörigen Intervalls, <math>a=p_{k+1}*2\prod_{i=3}^{k}(p_{i} - 3)</math>. Betrachten wir jetzt die erste Grenzzahl m einer beliebigen der betrachteten Konstellationen mit <math>m < \prod_{P_{k}}</math> , so existieren <math>p_{k+1}</math> analoge Konstellationen die mit den Grenzzahlen <math>m + j\prod_{P_{k}}</math> beginnen bis <math>\prod_{P_{k+1}}</math> , wobei <math>j\in\left\{0, 1, 2, ..., p_{k+1}-1\right\}</math> ist.

    Von diesen sind aber genau 3 keine der betrachteten Konstellationen bezüglich <math>P_{k+1}</math> , da bei den dreien genau eine der drei Grenzzahlen wirksam durch <math>p_{k+1}</math> geteilt wird. Also bleiben für <math>a_{1,3,k+1}=(p_{k+1}-3)*2\prod_{i=3}^{k}(p_{i} - 3)=2\prod_{i=3}^{k+1}(p_{i} - 3)</math> der betrachteten Konstellationen im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{k+1}}]</math> bezüglich <math>P_{k+1}</math> übrig. q.e.d.

    Folgerung 4:
    Der durchschnittliche Abstand <math>ab_{1,3,n}</math> zwischen aufeinander folgenden benachbarten ein- und 3-elementigen teilbaren Bereichen bezüglich <math>P_{n}</math> für <math>n>2</math> ist:

    <math>ab_{1,n} =  (\prod_{i=2}^{n-1}\frac{p_{i}}{p_{i+1}-3})p_{n} = x_{1,3,n}*p_{n} < 2p_{n}</math>

    "Beweis":
    Es genügt die Behauptung für das Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{n}}]</math> zu beweisen, da es das erste Intervall unendlich vieler bezüglich der Teilbarkeitsstruktur gleichartiger Intervalle ist, die die natürlichen Zahlen disjunkt überdecken.

     <math>ab_{1,3,n} = \frac{(Anzahl\  der\  Zahlen\  in\  [1 ... \prod_{P_{n}}])}{(Anzahl\  betrachteter\ Konstellationen\ in\  [1 ... \prod_{P_{n}}])} =
\frac{\prod_{P_{n}}}{2\prod_{i=3}^{n}(p_{i} - 3)} =</math>

     <math>(\prod_{i=2}^{n-1}\frac{p_{i}}{p_{i+1} - 3})p_{n} = x_{1,3,n}*p_{n}.</math>

    Der Faktor <math>x_{1,3,n}</math> ist für alle <math>n</math> größer als der Faktor <math>2x_{n}</math> aus Folgerung 3. Trotzdem wird dieser Faktor <math>x_{1,3,n}</math> für hinreichend großes <math>n</math> vermutlich <math>< 1</math> werden. Für kein <math>n</math> erreicht er den Wert 2. (Ich spare mir dies ausführlich aufzuschreiben und zu begründen.)

    Tritt eine der betrachteten Konstellationen im Intervall <math>[p_{n}^2 ... p_{n+1}^2]</math> auf, so sind deren Grenzzahlen ein Primzahldrilling. Die Vermutung liegt nahe, dass dies für einen nicht zu vernachlässigen Anteil der n der Fall ist.

    6. zur Unendlichkeit der 5-elementigen <math>T_{P_{n}}</math>

    Lemma 5:
    Die Anzahl <math>a_{5,n}</math> der 5-elementigen teilbaren Bereiche  bezüglich <math>P_{n}</math> für <math>n>3</math> im Intervall <math>[1 ... \prod_{P_{n}}]</math> ist exakt durch nachfolgende Folgenentwicklung gegeben:

    <math>a_{5,3} = 2</math>
    <math>a_{5,4} = a_{5,3}  (p_{4} - 2) + a_{1,3,3}</math>
    <math>\vdots</math>
    <math>a_{5,n} = a_{5,n-1}  (p_{n} - 2) + a_{1,3,n-1}</math> ,

    <math>\  wobei\  a_{1,3,m} = 2\prod_{i=3}^{m}(p_{i} - 3)</math> ist.

    Beweis:
    Die Behauptung ist richtig für <math>n=3</math> , da im Intervall <math>[1 ... 30]</math> mit <math>[2 ... 6]</math> und <math>[24 ... 28]</math> genau 2 5-elementige <math>T_{P_{3}}</math> existieren. Sei die Behauptung richtig für <math>n=k</math> , so existieren in <math>[1 ... \prod_{P_{k}}]</math> genau <math>a_{5,k} = a_{5,k-1}  (p_{k} - 2) + a_{1,3,k-1}</math> 5-elementige teilbare Bereiche bezüglich <math>P_{k}</math>. In <math>[1 ... \prod_{P_{k+1}}]</math> müssen dann <math>p_{k+1}a_{5,k}</math> 5-elementige teilbare Bereiche  bezüglich <math>P_{k}</math> existieren. Durch <math>p_{k+1}</math> verringert sich einerseits diese Anzahl um <math>2a_{5,k}</math> , da aus diesen 5-elementigen teilbaren Bereiche bezüglich <math>P_{k}</math> größere teilbare Bereiche  bezüglich <math>P_{k+1}</math> werden. Andererseits entstehen aus den 1-3-Konstellationen zusätzlich genau <math>2\prod_{i=3}^{k}(p_{i} - 3)</math> 5-elementige teilbare Bereiche  bezüglich <math>P_{k+1}</math> indem die mittleren Grenzzahlen der 1-3-Konstellationen durch <math>p_{k+1}</math> wirksam geteilt werden.

    Zusammengefasst und etwas umgestellt ergibt das:

    <math>a_{5,k+1} = a_{5,k}  (p_{k+1} - 2) + a_{1,3,k}.\ </math> q.e.d.

    7. zur Unendlichkeit ähnlicher Konstellationen

    Der Begriff Konstellation wurde zwar schon verwendet, doch möchte ich ihn jetzt etwas schärfer und anders fassen. Eine Konstellation von teilbaren Bereichen bezüglich der teilenden Menge <math>P_{n}</math> sei definiert als endliche Anzahl aufeinander folgender <math>T_{P_{n}}</math> einschließlich deren Grenzzahlen - auch der außen liegenden.

    Die Länge einer Konstellation von <math>T_{P_{n}}</math> sei definiert als die Anzahl der zur Konstellation gehörenden Zahlen.

    Eine Konstellation von <math>T_{P_{n+m}}</math> ist ähnlich einer Konstellation von <math>T_{P_{n}}</math> - wobei <math>m \geq 0</math> -, wenn sie die gleiche Länge und die gleichen wirksamen Teiler an den gleichen Positionen der Konstellationen haben sowie unterschiedliche Zahlenbereiche umfassen.

    O.B.d.A. habe jede frühste Konstellation von <math>T_{P_{n}}</math> den wirksamen Teiler <math>p_{n}</math>. Wenn sie den größten wirksamen Teiler <math>p_{n-m}</math> hätte, würde sie auch schon als Konstellation von <math>T_{P_{n-m}}</math> existieren.
    Außerdem soll jede frühste Konstellation von <math>T_{P_{n}}</math> die kleinste Startzahl aller ähnlichen Konstellation aufweisen, was bedeutet, dass sie vor  <math>\prod_{P_{n}}</math>  zu beginnen hat.

    einfache Folgerungen:
    - Die Spiegelung einer Konstellation von <math>T_{P_{n}}</math> ist nur ähnlich, wenn deren wirksame Teiler zentralsymmetrisch in der Ausgangs-Konstellation angeordnet sind.

    - Enthält eine frühste Konstellation von <math>T_{P_{n}}</math> bestimmte <math>p_{i} < p_{n}</math> nicht als wirksame Teiler, so treten bis <math>\prod_{P_{n}}</math> eventuell ähnliche Konstellationen von <math>T_{P_{n}}</math> bis zur Anzahl von maximal <math>\prod_{P_{i}} </math> auf, falls <math>P_{i}</math> die Menge der nicht wirksamen Teiler <math>< p_{n}</math> der Konstellation von <math>T_{P_{n}}</math> ist. Dieser maximale Wert wird aber nie erreicht werden.

    - Für den Nachweis der Unendlichkeit von bestimmten Primzahltupeln [3] haben nicht nur entsprechende frühste Konstellationen von <math>T_{P_{n}}</math>, sondern auch eventuelle weitere ähnliche bis <math>\prod_{P_{n}}</math>, alle Spiegelungen der bisher genannten bis <math>\prod_{P_{n}}</math>, weitere Konstellationen mit gleichen Grenzzahlabständen und deren Spiegelungen bis <math>\prod_{P_{n}}</math> gleichrangige Bedeutung.

    - Ist eine Konstellation von <math>T_{P_{n}}</math> die frühste und existieren bis
    <math>\prod_{P_{n}}</math> noch weitere m-1 ähnliche, so können alle diese m unter bestimmten weiteren Bedingungen Ausgangspunkte für je unendlich viele, jeweils disjunkte Mengen bildende, weitere ähnliche Konstellationen sein. (wird nachfolgend bewiesen)

    Lemma 6:
    Sei <math>k>1</math> eine beliebige feste natürliche Zahl und die Länge einer Konstellation von <math>T_{P_{k}}</math> sei kleiner als <math>2p_{k+1}</math>. Dann existieren für jedes <math>n>k</math> jeweils unendlich viele ähnliche Konstellationen von <math>T_{P_{n}}</math> zu dieser Konstellation von <math>T_{P_{k}}</math>.

    Beweis:
    Wenn die Länge einer Konstellation von <math>T_{P_{k}} < 2p_{k+1}</math> ist, so enthält diese Konstellation für <math>k>1</math> weniger als <math>p_{k+1}</math> Grenzzahlen - sei deren Anzahl m. Daraus folgt, analog zu einigen der zuvor geführten Beweise, dass die Anzahl ähnlicher Konstellationen
    <math>a_{KvT_{P_{k}},n,aehnl} \geq \prod_{i=k+1}^{n}(p_{i} - m)\geq 1</math>
    - in jedem der unendlich vielen disjunkten zyklischen Intervalle <math>[j \prod_{P_{n}}+1 ... (j+1) \prod_{P_{n}}]</math>  ist. q.e.d.

    Enthält außerdem eine der betrachteten Konstellationen von <math>T_{P_{k}}</math> alle Primzahlen aus <math>P_{k}</math> als wirksame Teiler, so gilt sogar <math>a_{KvT_{P_{k}},n,aehnl} = \prod_{i=k+1}^{n}(p_{i} - m)</math> , da es in <math>[0 ... \prod_{i=1}^{k}p_{i}]</math> keine weitere vollständige ähnliche Konstellation gibt - gespiegelte Konstellationen sind dann nur ähnlich, wenn im Zentrum der jeweiligen Konstellation eine der Zahlen  <math>j\prod_{P_{k}}</math>  liegt.

    Satz zu ähnlichen Konstellationen:
    Sei <math>k>1</math> eine beliebige feste natürliche Zahl und die Anzahl der Grenzzahlen einer Konstellation von <math>T_{P_{k}}</math> sei kleiner als <math>p_{k+1}</math>. Dann existieren für jedes <math>n>k</math> jeweils unendlich viele ähnliche Konstellationen von <math>T_{P_{n}}</math> zu dieser Konstellation von <math>T_{P_{k}}</math>.

    Beweis:
    Analog zu Lemma 6.
    Aber es besteht die Möglichkeit, dass einzelne Primzahlen bis einschließlich <math>p_{n}</math> doppelt als wirksame Teiler in den dann unähnlichen Konstellationen auftreten, was bezüglich der Anzahlen ähnlicher Konstellationen nicht schadet, da sie auch bei einmaligem Auftreten die Konstellationen unähnlich machen.

    Bemerkung:
    Endet eine der betrachteten ähnlichen Konstellationen von <math>T_{P_{n}}</math> vor <math>p_{n+1}^2</math> und beginnt sie nach <math>p_{n}</math> , so sind deren Grenzzahlen - und nur diese - Primzahlen. Ob es unter den unendlich vielen ähnlichen Konstellationen zu einer der betrachteten Konstellationen von <math>T_{P_{k}}</math> auch unendlich viele gibt deren Grenzzahlen Primzahlen sind, wäre eine Vermutung wert.

    8. Hinweise

    Falls Sie Fehler gefunden, Fragen oder Hinweise zum Geschriebenen haben, können Sie mich gerne auch unter melchmerdif(at)freenet.de erreichen. Ich werde versuchen alle auf dieses mathematische Thema beschränkten Anliegen zu verstehen und zu beantworten.
    Da nach der Veröffentlichung eines Artikels dieser nicht mehr ohne Mithilfe Dritter geändert werden kann, werden Änderungen hauptsächlich im dann verlinkten PDF-Artikel erscheinen.

    Literatur


    [1] Weisstein, Eric W.: Twin Primes.
     mathworld.wolfram.com/TwinPrimes.html, 2014
    [2] Wikipedia: Primzahlsatz. de.wikipedia.org/wiki/Primzahlsatz, 2015
    [3] Wikipedia: Primzahltupel. de.wikipedia.org/wiki/Primzahltupel, 2015
    [4] Wikipedia: Sieb des Eratosthenes.
                   de.wikipedia.org/wiki/Sieb_des_Eratosthenes, 2015

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    Analyse teilbarer Zahlenbereiche bezüglich Teilermengen [von salomeMe]  
    Untersuchungen zu teilbaren Zahlenbereichen (tZb) bezüglich der kleinsten n Primzahlen: Def. tZb ...; mittlerer Abstand von tZb bestimmter Zahlenanzahl bzgl. der kleinsten n Primzahlen; mögliche Zusammenhänge mit Primzahl-Vermutungen.
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