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Mathematik: Konzepte der Ringtheorie
Freigegeben von matroid am Sa. 20. Februar 2016 20:56:50
Verfasst von Martin_Infinite -   1293 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Konzepte der Ringtheorie

Die Grundbegriffe der Ringtheorie kann man in vielen Algebra-Büchern nachlesen, aber dieser Artikel geht etwas anders als üblich vor. Die Definitionen der Grundbegriffe sind hier nicht minimalistisch angelegt, sondern sollen das einfangen, worum es meiner Erfahrung nach wirklich geht. Außerdem werden die allgegenwärtigen universellen Eigenschaften stark betont. Auf diese Weise lassen sich auch konkrete Probleme viel besser angehen.
 
Im Einzelnen geht es um Ringe, Homomorphismen von Ringen, Unterringe, Quotientenringe, Ideale, Einheiten, Monoide, schließlich Monoidringe und Polynomringe. Diese Begriffe werden zwar nicht besonders tief untersucht, dafür aber systematisch motiviert und definiert.
 
Dieser Artikel kann als Fortsetzung der Reihe über die Konzepte der Gruppentheorie (Teil 1 und Teil 2) verstanden werden. Grundkenntnisse über Gruppen werden vorausgesetzt, ansonsten ist aber kein Vorwissen nötig.

Richard Dedekind
Mitbegründer der Ringtheorie


Inhalt

1. Ringe und ihre Homomorphismen
2. Unterringe und Quotientenringe
3. Exkurs über Monoide
4. Monoid- und Polynomringe
 

1. Ringe und ihre Homomorphismen

1.1. Ringe: Definition und Beispiele

Ringe sind, grob gesagt, Rechenstrukturen, in denen man vernünftig addieren, subtrahieren und multiplizieren kann. Die Ringtheorie wurde von Richard Dedekind und David Hilbert im Zusammenhang mit zahlentheoretischen Fragestellungen ins Leben gerufen; wenig später hat sich schon gezeigt, dass Ringe zu den fundamentalsten algebraischen Strukturen überhaupt gehören.
 
Definition. Ein Ring ist ein Tupel <math>R=(A,*,1)</math>, bestehend aus

• einer kommutativen Gruppe <math>A=(X,+,0,-)</math>,
• einer Abbildung <math>* : X \times X \to X</math>, geschrieben als <math>(a,b) \mapsto a*b</math>,
• einem Element <math>1 \in X,</math>

sodass die folgenden Axiome gelten:

• Es ist <math>*</math> assoziativ und besitzt <math>1</math> als neutrales Element.
• Für jedes <math>a \in X</math> ist die Abbildung <math>X \to X</math>, <math>x \mapsto a * x</math> ein Homomorphismus <math>A \to A</math>.
• Für jedes <math>a \in X</math> ist die Abbildung <math>X \to X</math>, <math>x \mapsto x * a</math> ein Homomorphismus <math>A \to A</math>.

Schreiben wir einmal hin, was das nun im Einzelnen bedeutet:

Bei einem Ring <math>R</math> haben wir eine unterliegende Menge <math>|R|:=X</math>, Elemente <math>0,1 \in X</math>, genannt Nullelement und Einselement, zwei binäre Verknüpfungen <math>+,*</math> auf <math>X</math>, genannt Addition und Multiplikation, und eine unäre Verknüpfung <math>-</math> auf <math>X</math>, genannt (additive) Inversion, sodass die folgenden Ringaxiome für alle <math>x,y,z \in X</math> gelten:

<math>x+(y+z)=(x+y)+z</math>
<math>x+0=0+x=x</math>
<math>x+(-x)=(-x)+x=0</math>
<math>x+y=y+x</math>

<math>x*(y*z)=(x*y)*z</math>
<math>x*1=1*x=x</math>
 
<math>x*0=0=0*x</math>
<math>x*(-y)=-\,x*y=(-x)*y</math>
<math>x*(y+z)=x*y+x*z</math>
<math>(x+y)*z=x*z + y*z</math>
 
Bemerkung. Weil wir bereits aus der Gruppentheorie wissen, dass eine Abbildung <math>X \to X</math> genau dann ein Homomorphismus von Gruppen <math>A \to A</math> ist, wenn die Verknüpfung <math>+</math> erhalten bleibt, folgen die Axiome
 
<math>x*0=0=0*x</math>
<math>x*(-y)=-\,x*y=(-x)*y</math>
 
bereits aus den in der Auflistung zuletzt genannten Axiomen, den Distributivgesetzen. Wegen der Kommutativität der Addition folgt außerdem bereits <math>0+x=x</math> aus <math>x+0=x</math>, und <math>(-x)+x=0</math> folgt aus <math>x+(-x)=0</math>.
 
Bemerkung. Aus den Ringaxiomen folgt <math>(-x)*(-y) = -\, x*(-y) = -\,-\,x*y=x*y</math>.

Man könnte zusammenfassend sagen, dass ein Ring eine Rechenstruktur ist, in der man addieren, subtrahieren und multiplizieren kann, genau wie man es bereits aus der Schule gewohnt ist. Nur die Division ist erst einmal nicht möglich!
 
Notation. Jeder Ring <math>R=(A,*,1)</math> besitzt eine unterliegende kommutative Gruppe <math>A</math>, die additive Gruppe von <math>R</math>. Anstelle von <math>A=(X,+,0,-)</math> schreiben wir gerne <math>A=(X,+)</math>, weil wir in der Gruppentheorie gelernt haben, dass <math>0</math> und <math>-</math> eindeutig durch <math>(X,+)</math> bestimmt sind. Einen Ring können wir entsprechend als <math>R=(X,+,*,1)</math> schreiben. Aus gewissen Gründen, die bald klar werden, lassen wir hier <math>1</math> nicht weg, auch wenn es nur ein Einselement geben kann: Denn wenn <math>1,1'</math> zwei Einselemente sind, so folgt <math>1=1*1'=1'</math>. Man vereinbart die Schreibweisen <math>x^0 := 1</math>, <math>x^1 := x</math>, <math>x^2 := x*x</math>, <math>x^3 := x^2*x</math>, etc.
 
Definition. Ein Ring <math>R=(X,+,*,1)</math> heißt kommutativ, wenn <math>*</math> kommutativ ist, d.h. für alle <math>x,y \in X</math> gilt <math>x*y=y*x</math>. Wir nennen <math>R</math> nullteilerfrei, wenn für alle <math>x,y \in X</math> gilt: Aus <math>x * y = 0</math> folgt <math>x=0</math> oder <math>y=0</math>.

Beispiel. (a) Mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation ganzer Zahlen ist <math>\mathcal{Z}:=(\mathds{Z},+,*,1)</math> ein kommutativer Ring. Er ist nullteilerfrei.

(b) Auch andere Zahlbereiche bilden kommutative Ringe, zum Beispiel die rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Diese Ringe bezeichnen wir mit <math>\mathcal{Q},\mathcal{R}</math> und <math>\mathcal{C}</math>.

(c) Die triviale Gruppe, deren unterliegende Menge <math>\{0\}</math> ist, besitzt genau eine Ringstruktur. Es gilt dabei <math>1=0</math>. Wir erhalten somit den trivialen Ring, den man üblicherweise mit <math>0</math> bezeichnet.

(d) Die stetigen Funktionen <math>[0,1] \to \mathds{R}</math> kann man punktweise addieren und multiplizieren. Die Null bzw. Eins sei die konstante Funktion mit eben diesem Wert. Auf diese Weise erhalten wir einen kommutativen Ring <math>C([0,1])</math>. Er ist nicht nullteilerfrei. Das Intervall <math>[0,1]</math> kann hier durch einen beliebigen topologischen Raum ersetzt werden.

(e) Es sei <math>A</math> eine kommutative Gruppe und <math>X=\mathrm{End}(A)</math> die Menge ihrer Endomorphismen. Weil <math>A</math> kommutativ ist, kann man die Endomorphismen punktweise addieren und erhält damit wiederum Endomorphismen. Das erklärt eine kommutative Gruppenstruktur auf <math>X</math>. Die Multiplikation <math>\circ : X \times X \to X</math> sei die Komposition von Endomorphismen. Auf diese Weise erhalten wir einen Ring <math>\underline{\mathrm{End}}(A) := (\mathrm{End}(A),+,\circ,\mathrm{id}_A)</math>. Dieser ist in der Regel nicht kommutativ.

(f) Wenn <math>R</math> ein Ring ist und <math>n \geq 0</math> ist, dann bilden die <math>n \times n</math>-Matrizen mit Einträgen in <math>|R|</math> (d.h. ganz einfach Abbildungen <math>\{1,\dotsc,n\} \times \{1,\dotsc,n\} \to |R|</math> in einem quadratischen Schema angeordnet) mit der punktweisen Addition und der Matrixmultiplikation

<math>\small\begin{pmatrix} a_{11} &\dotsc & a_{1n} \\ \vdots && \vdots \\ a_{n1} & \dotsc & a_{nn} \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} b_{11} &\dotsc & b_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{n1} &\dotsc & b_{nn} \end{pmatrix} := \begin{pmatrix} a_{11}* b_{11}{+}\dotsc{+}a_{1n}*b_{n1} &\dotsc & a_{11}* b_{1n}{+}\dotsc{+}a_{1n}*b_{nn} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1}* b_{11}{+}\dotsc{+}a_{nn}*b_{n1} & \dotsc & a_{n1}* b_{1n}{+}\dotsc{+}a_{nn}*b_{nn} \end{pmatrix}</math>
 
ebenfalls einen Ring <math>M_n(R)</math>. Zum Beispiel haben wir den nicht-kommutativen Ring <math>M_2(\mathcal{R})</math> der <math>2 \times 2</math>-Matrizen reeller Zahlen. Er ist nicht nullteilerfrei.

Bemerkung. (a) Wenn <math>R</math> ein Ring ist, dann können wir einen neuen Ring <math>R^{\mathrm{op}}</math> konstruieren: Die additive Gruppe sei diejenige von <math>R</math>, aber als Multiplikation nehmen wir <math>(a,b) \mapsto b * a</math>. Die Eins bleibt gleich. Beachte, dass <math>R</math> genau dann kommutativ ist, wenn <math>R = R^{\mathrm{op}}</math> gilt.

(b) Ein Ring <math>R</math> ist genau dann nullteilerfrei, wenn für alle Elemente <math>x,y,z \in |R|</math> mit <math>x \neq 0</math> die Implikation <math>x * y = x * z \Rightarrow y = z</math> gilt; betrachte dazu <math>x * (y-z).</math> Analog gilt die Implikation <math>y * x = z * x \Rightarrow y = z</math>.
 
(c) Achtung: In einigen Büchern, vor allem zur kommutativen Algebra und zur algebraischen Geometrie, sind Ringe generell als kommutativ vorausgesetzt, werden aber leider einfach "Ringe" genannt. Ringe im allgemeinen Sinne würden dort also nichtkommutative Ringe heißen.
 

1.2. Homomorphismen von Ringen

Als Nächstes möchten wir Ringe miteinander in Beziehung setzen:

Definition. Es seien <math>R=(A,*,1)</math> und <math>S=(B,*,1)</math> zwei Ringe. Ein Homomorphismus <math>f : R \to S</math> ist per Definition ein Homomorphismus <math>f : A \to B</math> der additiven Gruppen, für den für alle <math>x,y\in |R|</math> gilt:

<math>f(x*y)=f(x)*f(y),</math>
<math>f(1)=1.</math>

Dass <math>f</math> ein Homomorphismus der additiven Gruppen ist, bedeutet bekanntlich:

<math>f(x+y)=f(x)+f(y)</math>
<math>f(0)=0</math>
<math>f(-x)=-f(x)</math>

Dabei muss man lediglich die erste Gleichung nachprüfen. Ein Homomorphismus von Ringen ist also einfach eine Abbildung der unterliegenden Mengen, welche die gesamte Rechenstruktur respektiert. Die Menge der Homomorphismen <math>R \to S</math> bezeichnen wir mit <math>\mathrm{Hom}(R,S)</math>.

Bemerkung. (a) Es ist zwingend notwendig, <math>f(1)=1</math> zu fordern, denn dies ergibt sich nicht aus dem Rest: Betrachte etwa die Abbildung <math>f : |R| \to |S|</math> mit <math>f(x):=0</math> für alle <math>x \in |R|</math>. Diese ist zwar ein Homomorphismus der additiven Gruppen und erhält auch die Multiplikation, ist aber nur dann ein Homomorphismus, wenn <math>1=0</math> im Ring <math>S</math> gilt. Das bedeutet aber, dass <math>S</math> trivial ist, denn aus <math>1=0</math> folgt per Multiplikation mit einem beliebigen Element <math>x</math> die Gleichung <math>x=0</math>.

(b) Was wir soeben nebenbei gezeigt haben: Wenn <math>0</math> den trivialen Ring bezeichnet, dann gibt es für jeden Ring <math>R</math> genau einen Homomorphismus <math>R \to 0</math>. Das ist aber (im Gegensatz zu Gruppen) nicht in die andere Richtung erfüllt: Ein Ringhomomorphismus <math>0 \to R</math> ist eindeutig bestimmt, sofern er existiert, aber die Erhaltung des Einselementes bedingt <math>1=0</math> in <math>R</math>, d.h. dass <math>R</math> trivial ist.

(c) Ein weiterer wesentlicher Unterschied zu Homomorphismen von kommutativen Gruppen ist Folgender: Wir können zwei Homomorphismen von Ringen <math>f,g : R \to S</math> nicht punktweise zu einem Homomorphismus von Ringen <math>f+g : R \to S</math> addieren. Die Erhaltung des Einselementes (und der Multiplikation) macht uns da einen Strich durch die Rechnung.
 
Bemerkung. Für jeden Ring <math>R</math> ist <math>\mathrm{id}_R : R \to R</math>, <math>x \mapsto x</math> ein Homomorphismus. Sind <math>R,S,T</math> drei Ringe und <math>f : R \to S</math> und <math>g : S \to T</math> zwei Homomorphismen, so ist auch <math>g \circ f : R \to T</math>, <math>x \mapsto g(f(x))</math>, ein Homomorphismus von Ringen. Der Beweis sei dem Leser überlassen.

Definition. Ein Isomorphismus von Ringen ist ein Homomorphismus <math>f : R \to S</math>, für den es einen inversen Homomorphismus <math>f^{-1} : S \to R</math> gibt, d.h. einen Homomorphismus mit <math>f \circ f^{-1} = \mathrm{id}_S</math> und <math>f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_R</math>. Dieser ist dann eindeutig bestimmt. Wenn es einen Isomorphismus <math>f : R \to S</math> gibt, nennen wir die Ringe <math>R</math> und <math>S</math> zueinander isomorph und schreiben <math>R \cong S</math>.

Isomorphe Ringe besitzen anschaulich gesprochen dieselben strukturellen Eigenschaften. Die Isomorphie von Ringen ist offenbar eine Äquivalenzrelation auf der Gesamtheit der Ringe.

Bemerkung. Genauso wie bei Gruppen zeigt man: Ist <math>f : R \to S</math> ein Homomorphismus von Ringen, dessen unterliegende Abbildung von Mengen <math>f : |R| \to |S|</math> bijektiv ist, so ist <math>f</math> bereits ein Isomorphismus, und umgekehrt.

Beispiel. (a) Es gibt nicht nur einen trivialen Ring; aber je zwei triviale Ringe sind zueinander isomorph; auf eindeutige Weise sogar.

(b) Es sei <math>\mathcal{R}</math> der Ring der reellen Zahlen. Dann hat man für jedes <math>t \in [0,1]</math> einen Homomorphismus <math>\mathrm{ev}_t : C([0,1]) \to \mathcal{R}</math>, <math>\alpha \mapsto \alpha(t)</math>, der also eine stetige Funktion bei <math>t</math> auswertet. Dieser ist surjektiv, aber nicht injektiv, und daher kein Isomorphismus. Tatsächlich sind <math>C([0,1])</math> und <math>\mathcal{R}</math> nicht isomorph, was man an der Nullteilerfreiheit ablesen kann.

(c) Die Ringe <math>\mathcal{Z}</math> und <math>\mathcal{Q}</math> sind nicht zueinander isomorph, etwa weil in <math>\mathcal{Q}</math> die Gleichung <math>x+x=1</math> eine Lösung hat, in <math>\mathcal{Z}</math> aber nicht. Das zeigt noch mehr, nämlich dass es gar keinen Homomorphismus von Ringen <math>\mathcal{Q}\to\mathcal{Z}</math> gibt.
 
(d) Es gibt einen Homomorphismus <math>f : \mathcal{C} \to M_2(\mathcal{R})</math>, der eine komplexe Zahl <math>a+ib</math> auf die Matrix <math>\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}</math> abbildet (Zeige das!). Offenbar ist <math>f</math> injektiv, aber nicht surjektiv. Die beiden Ringe sind auch gar nicht isomorph, weil <math>M_2(\mathcal{R})</math> im Gegensatz zu <math>\mathcal{C}</math> nicht kommutativ ist.

(e) Die Grenzwertsätze für Folgen aus der Analysis kann man wie folgt zusammenfassen: Die konvergenten reellen Zahlenfolgen bilden mit punktweiser Addition und Multiplikation einen Ring <math>R</math>, und der Grenzwert ist ein Homomorphismus von Ringen <math>\lim : R \to \mathcal{R}</math>. Eine entsprechende Aussage gilt für <math>\mathcal{C}</math>.
 
Lemma. Der Ring <math>\mathcal{Z}</math> erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Für jeden Ring <math>R</math> gibt es genau einen Homomorphismus <math>\mathcal{Z} \to R</math>.

Beweis. Wenn <math>f : \mathcal{Z} \to R</math> ein solcher Homomorphismus ist, so gilt für <math>z \in \mathds{Z}</math> entweder <math>z \geq 0</math> und damit <math>f(z)=f(1+\dotsc+1)=f(1)+\dotsc+f(1)=1+\dotsc+1</math> (mit <math>z</math> Summanden), oder <math>z < 0</math> und damit <math>f(z)=-f(-z)=-(1+\dotsc+1)</math> (mit <math>-z</math> Summanden). Dies zeigt die Eindeutigkeit von <math>f</math>. Umgekehrt erklärt diese Vorschrift einen Homomorphismus, wie man leicht nachrechnet. <math>\checkmark</math>
 
Aufgabe. Es sei <math>R</math> ein Ring mit der Eigenschaft <math>x^2 = x</math> für alle <math>x \in |R|</math>. Zeige, dass <math>R</math> kommutativ ist.

2. Unterringe und Quotientenringe

2.1. Unterringe

Zur abstrakten Definition von Unterringen und Quotientenringen gehen wir genauso wie bei Untergruppen und Quotientengruppen vor (vgl. Konzepte der Gruppentheorie).

Definition. Es sei <math>R</math> ein Ring. Ein Unterring von <math>R</math> ist ein Paar <math>(S,i)</math>, bestehend aus einem Ring <math>S</math> und einem injektiven Homomorphismus <math>i : S \to R</math>.

Weil wir <math>S</math> als den Definitionsbereich von <math>i</math> erkennen, ist ein Unterring von <math>R</math> also eigentlich einfach nur ein injektiver Homomorphismus <math>i : S \to R</math>. Das <math>S</math> schreiben wir nur der Deutlichkeit halber hin.
 
Definition. Wir schreiben <math>(S,i) \leq (T,j)</math> für zwei Unterringe eines Ringes <math>R</math>, wenn es einen Homomorphismus <math>k : S \to T</math> gibt mit <math>j \circ k = i</math>.

Dieser Homomorphismus <math>k</math> ist dann aufgrund der Injektivität von <math>j</math> eindeutig. Außerdem ist <math>k</math> injektiv, weil es <math>i</math> ist. Das heißt, <math>(S,k)</math> ist ein Unterring von <math>T</math>.

<math>\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt}] S \ar{rr}{k} \ar{dr}[swap]{i} && T \ar{dl}{j} \\ & R & \end{tikzcd}</math>

Offenbar ist <math>\leq</math> reflexiv und transitiv. Wir schreiben <math>(S,i) \cong (T,j)</math>, wenn <math>(S,i) \leq (T,j) \leq (S,i)</math> gilt, d.h. es einen Isomorphismus <math>k : S \to T</math> gibt mit <math>j \circ k = i</math>.

Beispiel. Es ist <math>i : \mathcal{Z} \to \mathcal{Q}, \, z \mapsto \frac{z}{1}</math> ein injektiver Homomorphismus von Ringen. Also ist <math>(\mathcal{Z},i)</math> ein Unterring von <math>\mathcal{Q}</math>. Beachte, dass mit der üblichen Konstruktion der rationalen Zahlen <math>\mathds{Z} \not\subseteq \mathds{Q}</math> gilt; dies ist aber auch irrelevant.
 
Definition. Es sei <math>R</math> ein Ring. Ein Quotientenring von <math>R</math> ist ein Paar <math>(Q,p)</math>, bestehend aus einem Ring <math>Q</math> und einem surjektiven Homomorphismus <math>p : R \to Q</math>.

Wie oben definiert man eine reflexive transitive Relation auf den Quotientenringen von <math>R</math>.

Bemerkung. Wenn <math>(S,i)</math> ein Unterring eines kommutativen Ringes <math>R</math> ist, dann ist auch <math>S</math> kommutativ. Wenn <math>(Q,p)</math> ein Quotientenring eines kommutativen Ringes <math>R</math> ist, dann ist auch <math>Q</math> kommutativ.
 
Wir möchten nun Unterringe und Quotientenringe klassifizieren.
 
Lemma. Es gilt das folgende Unterring-Kriterium: Es sei <math>R</math> ein Ring und <math>T \subseteq |R|</math> eine Teilmenge (oder allgemeiner, irgendeine injektive Abbildung <math>T \to |R|</math>) mit den folgenden Eigenschaften:

• Es gilt <math>0 \in T</math> und <math>1 \in T</math>.
• Aus <math>x,y \in T</math> folgt <math>x + y \in T</math>.
• Aus <math>x \in T</math> folgt <math>-x \in T</math>.
• Aus <math>x,y \in T</math> folgt <math>x * y \in T</math>.

Dann gibt es genau einen Unterring <math>i : S \to R</math>, dessen unterliegende Mengenabildung die Inklusion <math>T \to |R|</math> ist.

Beweis. Zur Existenz setzen wir <math>S:=(T,+',0,-',*',1)</math>, wobei <math>+'</math> und <math>*'</math> die Einschränkungen von <math>+</math> und <math>*</math> zu Abbildungen <math>T \times T \to T</math> seien und entsprechend <math>-' : T \to T</math> die Einschränkung von <math>-</math> sei. Das funktioniert gerade aufgrund der Annahmen. Dass <math>S</math> ein Ring ist, ist klar, weil die Ringaxiome direkt von <math>R</math> vererbt werden. Nach Konstruktion ist außerdem die Inklusion ein Ringhomomorphismus <math>S \to R</math>. Die Eindeutigkeit ist klar. <math>\checkmark</math>
 
Lemma. Es sei <math>f : R \to S</math> ein Homomorphismus von Ringen. Dann faktorisiert <math>f</math> als <math>R \xrightarrow{p} \mathrm{Bild}(f) \xrightarrow{i} S</math>, wobei <math>p</math> ein surjektiver Homomorphismus und <math>i</math> ein injektiver Homomorphismus ist. Wir nennen den Unterring <math>(\mathrm{Bild}(f),i)</math>, oft auch nur den unterliegenden Ring <math>\mathrm{Bild}(f)</math>, das Bild von <math>f</math>.

Beweis. Betrachte die Teilmenge <math>T=\{f(x) : x \in |R|\}</math> von <math>|S|</math>. Darauf lässt sich das Unterring-Kriterium anwenden; das folgt sofort daraus, dass <math>f</math> ein Homomorphismus ist. Die Inklusion <math>T \to |S|</math> setzt sich also zu einem Homomorphismus von Ringen <math>i : B \to S</math> fort. Wir können <math>|f| : |R| \to |S|</math> zu einer surjektiven Abbildung <math>|R| \to T</math> einschränken, die offenbar ein surjektiver Homomorphismus <math>p : R \to B</math> ist. Wir setzen <math>\mathrm{Bild}(f) := B</math>. <math>\checkmark</math>

Unser nächstes Ziel ist es, einen Unterring <math>R \to S</math> durch Hinzunahme einer Familie von Elementen aus <math>|S|</math> zu einem größeren Unterring zu erweitern. Wir können sogar beliebige Homomorphismen <math>R \to S</math> zulassen.
 
Definition. Es sei <math>f : R \to S</math> ein Ringhomomorphismus und <math>(s_i)_{i \in I}</math> eine Familie von Elementen in <math>|S|</math>. Wir definieren <math>f\langle(s_i)_{i \in I}\rangle \to S</math> als einen kleinsten Unterring <math>g : S' \to S</math> derart, dass <math>f : R \to S</math> über <math>g : S' \to S</math> faktorisiert (d.h.  <math>\mathrm{Bild}(f) \leq \mathrm{Bild}(g)</math>) und alle <math>s_i</math> im Bild von <math>g</math> liegen. Es heißt <math>f\langle (s_i)_{i \in I} \rangle \to S</math> der von <math>f</math> und <math>(s_i)_{i \in I}</math> erzeugte Unterring von <math>S</math>.
 
Die Existenz von <math>f\langle (s_i)_{i \in I}\rangle</math> folgt leicht daraus, dass Unterringe unter Durchschnitten abgeschlossen sind. Wenn die unterliegende Mengenabbildung von <math>f:R \to S</math> eine Inklusion <math>|R| \subseteq |S|</math> ist, insbesondere also <math>f</math> ein Unterring ist, so schreiben wir einfach <math>R\langle (s_i)_{i \in I} \rangle</math>. Diese Schreibweise benutzt man öfters auch für den allgemeinen Fall, wobei dann <math>f</math> implizit ist und nicht in der Notation für den erzeugten Unterring auftritt (was potentiell zu Verwirrungen führen kann). Für <math>I=\{1,2,\dotsc,n\}</math> schreiben wir auch <math>R \langle s_1,\dotsc,s_n \rangle</math>.
 
Wir geben nun eine konkretere Beschreibung von <math>f\langle (s_i)_{i \in I} \rangle</math> und damit nebenbei auch eine alternative Konstruktion an.
 
Lemma. Es sei <math>f : R \to S</math> ein Ringhomomorphismus und <math>(s_i)_{i \in I}</math> eine Familie von Elementen in <math>|S|</math>. Es sei <math>P \subseteq |S|</math> die Menge der Elemente, die sich als endliche Summen von endlichen Produkten von Elementen der Form <math>s_i</math> mit <math>i \in I</math> oder <math>f(r)</math> mit <math>r \in |R|</math> schreiben lassen (ein Beispiel wäre etwa <math>f(r) * s_{i} - s_{i'} * f(r') * s_{i} * s_{i''}</math>). Dann gibt es genau einen Unterring <math>S' \to S</math>, sodass <math>|S'| \to |S|</math> gerade die Inklusion <math>P \hookrightarrow |S|</math> ist. Dieser erfüllt zudem die definierende Eigenschaft von <math>f\langle (s_i)_{i \in I} \rangle \to S</math>.

Beweis. Der erste Teil ist eine Anwendung des Unterring-Kriteriums und der Ringaxiome - mehr nicht. Der zweite Teil ist leicht zu prüfen und die Details seien dem Leser überlassen. <math>\checkmark</math>
 
Beispiel. Wir betrachten den Unterring <math>\mathcal{Z} \to \mathcal{Q}</math> und das Element <math>\frac{1}{2} \in \mathds{Q}</math>. Der davon erzeugte Unterring <math>\mathcal{Z}\langle\frac{1}{2}\rangle \to \mathcal{Q}</math> besteht explizit aus den Brüchen der Form <math>\frac{z}{2^n}</math> mit <math>z \in \mathds{Z}</math> und <math>n \in \mathds{N}</math>.

2.2. Quotientenringe

Nun schauen wir uns Quotientenringe an. Sei dazu <math>p : R \to S</math> ein Quotientenring von <math>R</math>, d.h. ein surjektiver Homomorphismus. Dieser induziert einen surjektiven Homomorphismus der additiven Gruppen. Dieser ist dann bekanntlich vollständig durch seinen Kern <math>I</math> festgelegt. Denn jedes Element von <math>|S|</math> hat die Form <math>p(a)</math> für ein <math>a \in |R|</math> und es ist <math>p(a) = p(b)</math> mit <math>a-b \in |I|</math> äquivalent. Weil nun aber <math>p</math> ein Ringhomomorphismus ist, ist <math>I</math> nicht nur eine Untergruppe der additiven Gruppe von <math>R</math>, sondern es gilt für alle <math>a \in |R|</math> und <math>i \in |I|</math> auch <math>a * i \in |I|</math>, denn <math>p(a * i)=p(a) * p(i)=p(a) *0 = 0</math>. Genauso sieht man <math>i* a \in |I|</math>.
 
Definition. Ein Ideal eines Ringes <math>R</math> ist eine Untergruppe <math>I</math> der additiven Gruppe von <math>R</math> mit der Eigenschaft, dass für alle <math>a \in |R|</math> und <math>i \in |I|</math> auch <math>a * i \in |I|</math> und <math>i * a \in |I|</math> gilt.

Beispiel. Wir haben oben gesehen, dass für jeden Ringhomomorphismus <math>f : R \to S</math> der Kern <math>\mathrm{Kern}(f)</math> des unterliegenden Homomorphismus additiver Gruppen ein Ideal von <math>R</math> ist. Daraus ergeben sich insbesondere das Nullideal <math>\langle 0 \rangle</math> als Kern der Identität <math>\id_R : R \to R</math> sowie das Einsideal <math>\langle 1 \rangle</math> als Kern des eindeutigen Homomorphismus <math>R \to 0</math> (also die ganze additive Gruppe von <math>R</math>). Das Einsideal ist das einzige Ideal, welches die Eins enthält; daher der Name.
 
Die Umkehrung gilt auch, wie wir nun sehen werden:
 
Satz. Es sei <math>R</math> ein Ring und <math>I</math> ein Ideal von <math>R</math>. Dann gibt es einen surjektiven Homomorphismus <math>p : R \to S</math> mit <math>\mathrm{Kern}(p)=I</math>. Ist <math>p' : R \to S'</math> ein weiterer surjektiver Homomorphismus mit <math>\mathrm{Kern}(p')=I</math>, so gibt es genau einen Isomorphismus <math>\alpha : S \to S'</math> mit <math>\alpha \circ p = p'</math>.

Beweis. Es sei <math>A</math> die additive Gruppe von <math>R</math>. Weil <math>I</math> eine Untergruppe von <math>A</math> ist und <math>A</math> kommutativ ist, können wir die Quotientengruppe <math>p : A \to A/I</math> bilden, deren Kern gerade <math>I</math> ist. Wir versehen <math>A/I</math> mit der eindeutigen Ringstruktur, sodass <math>p</math> ein Homomorphismus von Ringen wird: Wir setzen <math>1 := p(1)</math> und <math>p(a) * p(b) := p(a * b)</math>. Es muss lediglich die Wohldefiniertheit dieses Produktes gezeigt werden. Aus <math>p(a)=p(a')</math> folgt <math>a-a' \in I</math> und damit <math>a*b - a'*b = (a-a') * b \in I</math>, d.h. <math>p(a*b)=p(a'*b)</math>. Analog sieht man: Aus <math>p(b)=p(b')</math> folgt <math>p(a*b)=p(a*b')</math>. Aus <math>p(a)=p(a')</math> und <math>p(b)=p(b')</math> folgt daher <math>p(a*b)=p(a'*b)=p(a'*b')</math>. Damit ist das Produkt auf <math>A/I</math> wohldefiniert. Offensichtlich ist es assoziativ, besitzt <math>1</math> als neutrales Element und erfüllt die beiden Distributivgesetze - das folgt alles aus den entsprechenden Eigenschaften von <math>R</math>, weil <math>p</math> mit allen Operationen verträglich ist und außerdem surjektiv ist. Wir erhalten damit einen Ring <math>R/I</math> zusammen mit einem surjektiven Homomorphismus <math>p : R \to R/I</math> mit Kern <math>I</math>. Ist nun <math>p' : R \to S'</math> ebenfalls ein surjektiver Homomorphismus mit Kern <math>I</math>, so überlegt man sich, dass <math>p(a) \mapsto p'(a)</math> einen Isomorphismus <math>\alpha : S \to S'</math> definiert mit <math>\alpha \circ p = p'</math>. Er ist eindeutig, weil <math>p</math> surjektiv ist. <math>\checkmark</math>

Definition. Den nach dem Satz bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig bestimmten Quotientenring von <math>R</math> mit Kern <math>I</math> bezeichnen wir mit <math>p : R \to R/I</math>. Wir nennen ihn den Quotientenring von <math>R</math> nach dem Ideal <math>I,</math> oder auch <math>R</math> modulo <math>I</math>.

In dem Ring <math>R/I</math> wird wie folgt gerechnet: Jedes Element hat die Form <math>p(a)</math> mit <math>a \in |R|</math>. Es ist <math>p(a)=p(b)</math> mit <math>a-b \in I</math> äquivalent. Weil <math>p</math> ein Homomorphismus ist, gilt <math>0=p(0)</math>, <math>1=p(1)</math>, <math>p(a)+p(b)=p(a+b)</math> und <math>p(a) * p(b) = p(a * b)</math>. Den Homomorphismus <math>p</math> schreiben wir oft als <math>p(a) = a \bmod I</math> oder <math>p(a)=[a]</math>. Wir können uns vorstellen, dass der Ring <math>R/I</math> mittels <math>p</math> aus <math>R</math> hervorgeht, indem man die Elemente von <math>I</math> "frisst".

Beispiel. Sei <math>t \in [0,1]</math> und <math>\mathrm{ev}_t : C([0,1]) \to \mathcal{R}</math> der schon besprochene Homomorphismus, der eine stetige Funktion bei <math>t</math> auswertet. Dieser ist surjektiv (betrachte dazu konstante Funktionen), und der Kern <math>\mathfrak{m}_t</math> besteht aus den stetigen Funktionen, die bei <math>t</math> eine Nullstelle besitzen. Also ist <math>C([0,1])/\mathfrak{m}_t \cong \mathcal{R}</math>.

Satz. Es gilt der Isomorphiesatz für Ringe: Wenn <math>f : R \to S</math> ein Homomorphismus von Ringen ist, dann ist <math>R/\mathrm{Kern}(f) \cong \mathrm{Bild}(f)</math>.

Beweis. Es schränkt sich <math>f</math> zu einem surjektiven Homomorphismus <math>p : R \to \mathrm{Bild}(f)</math> mit <math>\mathrm{Kern}(p)=\mathrm{Kern}(f)</math> ein; die Behauptung folgt daher aus unserer Definition des Quotientenringes. <math>\checkmark</math>
 
Für das Arbeiten mit Quotientenringen ist das folgende Resultat entscheidend:

Satz. Es gilt der Homomorphiesatz für Ringe: Es sei <math>I</math> ein Ideal eines Ringes <math>R</math> und <math>p : R \to R/I</math> der zugehörige Quotientenring. Ist <math>f : R \to S</math> ein Homomorphismus von Ringen mit <math>I \subseteq \mathrm{Kern}(f)</math>, so gibt es genau einen Homomorphismus <math>\overline{f}: R/I \to S</math> von Ringen mit <math>\overline{f} \circ p = f</math>.

<math>\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt},row sep=30pt] R/I \ar[dashed]{rr}{\overline{f}}  && S \\  & R \ar{ul}{p} \ar{ur}[swap]{f} & \end{tikzcd}</math>

Beweis. Nach dem Homomorphiesatz von Gruppen gibt es genau einen Homomorphismus auf den additiven Gruppen mit der gewünschten Bedingung. Weil aber <math>p</math> ein surjektiver Homomorphismus von Ringen ist, folgen die Erhaltung der Eins und die Multiplikativität von <math>\overline{f}</math> automatisch, d.h. <math>\overline{f}</math> ist ein Homomorphismus von Ringen. Die Eindeutigkeit gilt dann natürlich erst recht auf Niveau der Ringe. <math>\checkmark</math>

Beispiel. Die Ideale von <math>\mathcal{Z}</math> haben die Form <math>(n \cdot \mathds{Z},+)</math> für eindeutig bestimmte <math>n \in \mathds{N}</math>, denn dies sind die Untergruppen der additiven Gruppe und diese sind hier automatisch Ideale. Wir können also den Quotientenring bilden und bezeichnen ihn mit <math>\mathcal{Z}/n</math>. Die additive Gruppe kennen wir bereits aus der Gruppentheorie. Die Projektion <math>\mathcal{Z} \to \mathcal{Z}/n</math> heißt Reduktion modulo <math>n</math>. Der Ring hat <math>n</math> Elemente für <math>n>0</math>, nämlich <math>[0],\dotsc,[n-1]</math>, und für <math>n=0</math> liegt der unendliche Ring <math>\mathcal{Z}</math> vor. Der Homomorphiesatz besagt hier: Wenn <math>R</math> ein Ring ist, so gibt es einen Homomorphismus <math>\mathcal{Z}/n \to R</math>, und dann auch nur einen, wenn <math>n \cdot 1 = 0</math> in <math>R</math> gilt. Weil jedes Element von <math>\mathcal{Z}/n</math> ein ganzzahliges Vielfaches des Einselementes ist, besitzt <math>\mathcal{Z}/n</math> (bis auf Isomorphie) nur einen Unterring, nämlich <math>\mathrm{id} : \mathcal{Z}/n \to \mathcal{Z}/n</math>. Für <math>n|m</math> ist <math>m \cdot \mathds{Z}</math> in <math>n \cdot \mathds{Z}</math> enthalten, weshalb <math>m \cdot \mathds{Z}</math> im Kern von <math>\mathcal{Z} \to \mathcal{Z}/n</math> enthalten ist, d.h. es gibt einen (eindeutigen) Homomorphismus <math>\mathcal{Z}/m \to \mathcal{Z}/n</math>. Dieser heißt ebenfalls Reduktion modulo <math>n</math>. Zum Beispiel bildet <math>\mathcal{Z}/6 \to \mathcal{Z}/3</math> die Elemente <math>[0],[1],[2],[3],[4],[5]</math> auf <math>[0],[1],[2],[0],[1],[2]</math> ab. Man kann sich überlegen, dass der Ring <math>\mathcal{Z}/n</math> genau dann nullteilerfrei ist, wenn <math>n=0</math> oder <math>n=1</math> oder <math>n</math> eine Primzahl ist. Die Idealstruktur von <math>\mathcal{Z}/n</math> ergibt sich aus der Aufgabe weiter unten.
 
Definition. Sei <math>R</math> ein Ring. Die Charakteristik von <math>R</math> ist per Definition die natürliche Zahl <math>n \in \mathds{N}</math>, für die <math>(n \cdot \mathds{Z},+)</math> der Kern des eindeutigen Homomorphismus <math>\mathcal{Z} \to R</math> ist.

Zum Beispiel hat der Ring <math>\mathcal{Z}/n</math> die Charakteristik <math>n</math>, und der Ring <math>\mathcal{Q}</math> hat die Charakteristik <math>0</math>.
 
Bemerkung. Die Charakteristik kann zugleich als die Elementordnung des Einselementes in der additiven Gruppe beschrieben werden. Wenn <math>R \hookrightarrow S</math> ein Unterring ist, so haben <math>R</math> und <math>S</math> dieselbe Charakteristik. Daraus ergibt sich, dass ein nullteilerfreier Ring als Charakteristik nur <math>0,1</math> oder eine Primzahl besitzen kann.
 
Definition. Sei <math>R</math> ein Ring und <math>S \subseteq |R|</math> eine Teilmenge. Das von <math>S</math> erzeugte Ideal von <math>R</math> ist per Definition das kleinste Ideal <math>I</math> mit <math>S \subseteq |I|</math>. Man schreibt <math>\langle S \rangle</math> oder auch <math>(S)</math> für dieses Ideal.

Explizit besteht <math>|\langle S \rangle|</math> aus Elementen der Form <math>a_1 s_1 b_1 + \dotsc + a_n s_n b_n</math> mit <math>a_k,b_k \in |R|</math> und <math>s_k \in S</math>. Falls <math>R</math> kommutativ ist, kann man sich hierbei auf die Elemente der Form <math>a_1 s_1 + \dotsc + a_n s_n</math> beschränken. Ideale der Form <math>\langle \{s\} \rangle =: \langle s \rangle</math> nennt man auch Hauptideale. Wir haben also gesehen, dass jedes Ideal von <math>\mathcal{Z}</math> ein Hauptideal ist.
 
Aufgabe. Es sei <math>p : R \to R/I</math> ein Quotientenring. Konstruiere eine ordnungserhaltende Bijektion zwischen den Idealen von <math>R/I</math> und den Idealen von <math>R</math>, die <math>I</math> enthalten. Zeige außerdem: Wenn <math>J</math> ein Ideal von <math>R</math> mit <math>I \subseteq J</math> ist und <math>\overline{J}</math> das zugehörige Ideal in <math>R/I</math> ist, so gilt <math>(R/I)\,/\,\overline{J} \cong R/J</math>. Geh schließlich auf den Spezialfall <math>R=\mathcal{Z}</math> ein. Tipp: Benutze die bereits bekannte Bijektion für Normalteiler von Quotientengruppen.

3. Exkurs über Monoide

3.1. Monoide und ihre Homomorphismen

Ein Ring ist eine kommutative Gruppe zusammen mit einer damit verträglichen assoziativen Multiplikation, die ein neutrales Element besitzt. Auch eine Gruppe besitzt eine assoziative Verknüpfung, die ein neutrales Element besitzt. Es ist also naheliegend, dieser gemeinsamen Struktur einen eigenen Namen zu geben. Diese Struktur wird sich ebenfalls bei der Konstruktion von Polynomringen als nützlich erweisen.

Definition. Ein Monoid <math>M=(X,*,1)</math> besteht aus einer Menge <math>X</math>, einer assoziativen Verknüpfung <math>* : X \times X \to X</math> und einem diesbezüglich neutralen Element <math>1 \in X</math>. Ein Monoid <math>M</math> heißt kommutativ, wenn eine <math>*</math> kommutative Verknüpfung ist. Es heißt <math>*</math> die Multiplikation und <math>1</math> das Einselement. Ferner ist <math>|M|:=X</math> die unterliegende Menge von <math>M</math>.

Wie auch schon bei Gruppen und Ringen gibt es einen Homomorphismus-Begriff:

Definition. Sind <math>M=(X,*,1)</math>, <math>N=(Y,*,1)</math> zwei Monoide, so ist ein Homomorphismus <math>f : M \to N</math> eine Abbildung <math>f : X \to Y</math> mit <math>f(x*y)=f(x)*f(y)</math> für alle <math>x,y \in X</math> sowie <math>f(1)=1</math>. Homomorphismen kann man offenbar miteinander verketten. Ein Isomorphismus von Monoiden ist ein invertierbarer Homomorphismus von Monoiden. Das läuft darauf hinaus, dass die unterliegende Abbildung von Mengen bijektiv ist. Die Menge der Homomorphismen <math>M \to N</math> wird mit <math>\mathrm{Hom}(M,N)</math> bezeichnet.

Bemerkung. Ein Ring ist nichts weiter als die "Verschmelzung" einer kommutativen Gruppe mit einem Monoid. Jeder Ring <math>R</math> besitzt ein unterliegendes Monoid <math>R_{\mathrm{Mon}}</math> bezüglich der Multiplikation; dabei wird also die additive Struktur "vergessen". Ein Homomorphismus von Ringen ist gerade eine Abbildung der unterliegenden Mengen, welche sowohl mit der additiven Gruppen- als auch mit der multiplikativen Monoidstruktur verträglich ist. Per Definition ist ein Ring genau dann kommutativ, wenn das unterliegende Monoid kommutativ ist.
 
Definition. Ein Untermonoid eines Monoids <math>M</math> ist injektiver Homomorphismus von Monoiden <math>i : N \to M</math>. Ein Quotientenmonoid eines Monoids <math>M</math> ist ein surjektiver Homomorphismus von Monoiden <math>p : M \to N</math>.

Beispiel. Es ist <math>\mathcal{N} := (\mathds{N},+,0)</math> ein kommutatives Monoid, das additive Monoid der natürlichen Zahlen. Tatsächlich besitzt es eine universelle Eigenschaft: Wir haben das Element <math>1 \in \mathds{N}</math>, und wenn <math>M = (|M|,*,1)</math> irgendein Monoid ist mit einem Element <math>x \in |M|</math>, so gibt es genau einen Homomorphismus <math>f : \mathcal{N} \to M</math> mit <math>f(1)=x</math>.

<math>\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt},row sep=5pt,column sep=40pt] \mathcal{N} \ar{r} & M \\ 1 \ar[mapsto]{r} & x \end{tikzcd}</math>

Man setzt nämlich <math>f(n) = x^n</math> für <math>n \in \mathds{N}</math>, wobei <math>x^n</math> rekursiv durch <math>x^0 = 1</math> und <math>x^{n+1} = x^n * x</math> definiert ist. Es gilt also nach Konstruktion <math>f(0)=1</math>, und die Gleichung <math>f(n+m)=f(n) * f(m)</math> (für <math>n,m \in \mathds{N}</math>) zeigt sich leicht per Induktion nach <math>m</math>. Das Bild von <math>f</math> ist das kleinste Untermonoid von <math>M</math>, welches <math>x</math> enthält; es besteht aus den Potenzen <math>1,x,x^2,x^3,\dotsc</math>. Dieses Untermonoid ist kommutativ, selbst wenn es <math>M</math> nicht sein sollte. Die universelle Eigenschaft kann man auch so formulieren: Es ist <math>\mathrm{Hom}(\mathcal{N},M) \to |M|</math>, <math>f \mapsto f(1)</math> bijektiv.

Beispiel. Wenn <math>X</math> eine Menge ist, dann ist <math>\mathrm{End}(X)</math> das Monoid der Abbildungen <math>X \to X</math> mit der Komposition von Abbildungen als Verknüpfung. Die Eins ist hierbei die Identität. Ganz ähnlich lässt sich für jeden Ring <math>R</math> das Monoid <math>\mathrm{End}(R)</math> der Homomorphismen von Ringen <math>R \to R</math> betrachten.

3.2. Konstruktionen mit Monoiden

Bemerkung. (a) Viele Konstruktionen, die wir aus der Gruppentheorie kennen, können wir genauso für Monoide durchführen. Zum Beispiel lässt sich das Produkt <math>\prod_{i \in I} M_i</math> einer Familie von Monoiden <math>(M_i)_{i \in I}</math> einfach durch das Produkt der unterliegenden Mengen mit der punktweise definierten Multiplikation erklären. Es erfüllt die universelle Eigenschaft <math>\mathrm{Hom}(N,\prod_{i \in I} M_i) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}(N,M_i)</math>: Diese Bijektion ist durch <math>f \mapsto (p_i \circ f)_{i \in I}</math> gegeben, wobei <math>p_i : \prod_{i \in I} M_i \to M_i</math> die jeweilige Projektion ist.

<math>\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt},row sep=20pt] N \ar{dr}[swap]{f_i} \ar[dashed]{rr}{f} && \prod_{i \in I} M_i  \ar{dl}{p_i}\\ & M_i & \end{tikzcd}</math>

(b) Die kommutierende direkte Summe <math>\bigoplus^{\text{\tiny komm}}_{i \in I} M_i</math> wird ebenfalls wie bei Gruppen erklärt: Es handelt sich um das Untermonoid des Monoids <math>\prod_{i \in I} M_i</math>, welches aus den Tupeln <math>(x_i)_{i \in I}</math> besteht, für die der Träger <math>\{i \in I : x_i \neq 1\}</math> endlich ist (d.h. <math>\{i \in I : x_i \neq 0\}</math> in der additiven Schreibweise). Die universelle Eigenschaft lautet: <math>\mathrm{Hom}(\bigoplus^{\text{\tiny komm}}_{i \in I} M_i,N)</math> identifiziert sich mit der Menge der Familien <math>(f_i : M_i \to N)</math> von Homomorphismen, für die jeweils <math>f_i(x)</math> mit <math>f_j(y)</math> kommutiert (für <math>i \neq j</math>). Die Bijektion ist dabei durch die Inklusionen <math>\iota_i : M_i \to \bigoplus^{\text{\tiny komm}}_{i \in I} M_i</math> induziert.

<math>\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt},row sep=20pt] \bigoplus^{\text{\tiny komm}}_{i \in I} M_i \ar[dashed]{rr}{f} && N \\ & M_i \ar{ul}{\iota_i} \ar{ur}[swap]{f_i ~ \text{kommutieren paarweise}}& \end{tikzcd}</math>
 
Wenn alle <math>M_i</math> kommutativ sind, dann ist auch <math>\bigoplus_{i \in I} M_i := \bigoplus^{\text{\tiny komm}}_{i \in I} M_i</math> kommutativ, und man spricht dann einfach von der direkten Summe. Es besteht die universelle Eigenschaft <math>\mathrm{Hom}(\bigoplus_{i \in I} M_i,N) \cong \prod_{i \in I} \mathrm{Hom}(M_i,N)</math> für kommutative Monoide <math>N</math>.

Beispiel. Wenden wir die Konstruktion nun auf eine Familie von Kopien von <math>\mathcal{N}</math> an, so erhalten wir also ein kommutatives Monoid <math>\bigoplus_{i \in I} \mathcal{N}</math> mit der universellen Eigenschaft <math>\mathrm{Hom}(\bigoplus_{i \in I} \mathcal{N},M) \cong |M|^I</math> für kommutative Monoide <math>M</math>. Die Bijektion ist gegeben durch <math>f \mapsto (f(X_i))_{i \in I}</math>, wobei <math>X_i \in |\bigoplus_{i \in I} \mathcal{N}|</math> das Tupel ist, welches an allen Stellen <math>0</math> (das neutrale Element in <math>\mathcal{N}</math>!) ist, außer an der Stelle <math>i</math>, wo es <math>1</math> ist. Jedes Element von <math>|\bigoplus_{i \in I} \mathcal{N}|</math> lässt sich in der additiven Schreibweise als <math>\sum_{i \in I} n_i \cdot X_i</math> darstellen, wobei die Koeffizienten <math>n_i \in \mathds{N}</math> fast alle <math>0</math> sind. In der multiplikativen Schreibweise wäre dies <math>\prod_{i \in I} X_i^{n_i}</math>. Wir nennen <math>\bigoplus_{i \in I} \mathcal{N}</math> das freie kommutative Monoid auf <math>I</math>.
 
Beispiel. Die Primfaktorzerlegung sagt uns gerade, dass <math>(\mathds{N}_+,*,1) \to \bigoplus_{p \text{ prim}} \mathcal{N}</math>, <math>n \mapsto (v_p(n))_{p \text{ prim}}</math> ein Isomorphismus von kommutativen Monoiden ist. Es ist also <math>(\mathds{N}_+,*,1)</math> ein freies kommutatives Monoid, frei erzeugt von allen Primzahlen.
 

3.3. Einheiten

Definition. Es sei <math>M=(X,*,1)</math> ein Monoid. Ein Element <math>x \in X</math> heißt invertierbar, oder auch eine Einheit, wenn es ein <math>y \in X</math> gibt mit <math>x * y = y * x = 1</math>. In diesem Fall ist <math>y</math> eindeutig bestimmt und heißt das zu <math>x</math> inverse Element. Man schreibt <math>y=x^{-1}</math>.

Bemerkung. Jede Gruppe <math>G=(X,*,1,\iota)</math> besitzt ein unterliegendes Monoid <math>U(G)=(X,*,1)</math>. Ein Homomorphismus von Gruppen <math>G \to H</math> entspricht 1:1 einem Homomorphismus zwischen den unterliegenden Monoiden <math>U(G) \to U(H)</math>. Die Monoide der Form <math>U(G)</math> sind genau jene, in denen jedes Element invertierbar ist. Allerdings ist kein Monoid wirklich selbst eine Gruppe, weil die Inversionsabbildung zum Datum einer Gruppe dazugehört, zu einem Monoid (in dem jedes Element invertierbar ist) allerdings gemäß unserer Definition nicht. Man muss zwischen <math>(X,*,1,\iota)</math> und <math>(X,*,1)</math> unterscheiden, auch wenn das an dieser Stelle etwas pingelig wirkt. (In der Literatur werden solche algebraischen Strukturen einfach mit ihrer unterliegenden Menge <math>X</math> bezeichnet, was die Unterscheidung geradezu unmöglich macht.)
 
Bemerkung. Sei <math>M=(X,*,1)</math> ein Monoid. Dann ist <math>1 \in X</math> invertierbar mit <math>1^{-1}=1</math>. Sind <math>x,y\in X</math> invertierbar, so ist auch <math>x*y</math> invertierbar mit <math>(x*y)^{-1} = y^{-1} * x^{-1},</math> denn es gilt
 
<math>(x * y) * (y^{-1} * x^{-1}) = x * (y * y^{-1}) * x^{-1} = x * 1 * x^{-1} = x * x^{-1} = 1,</math>
 
und analog <math>(y^{-1} * x^{-1}) * (x * y)=1</math>. Ist ferner <math>x \in X</math> invertierbar, so ist auch <math>x^{-1}</math> invertierbar mit <math>(x^{-1})^{-1}=x</math>. Dies zeigt, dass die invertierbaren Elemente eine Gruppe bilden:
 
Definition. Die Einheiten eines Monoids <math>M</math> bilden eine Gruppe <math>M^{\times}</math>, die Einheitengruppe von <math>M</math>. Ist <math>R</math> ein Ring, so ist die Einheitengruppe <math>R^{\times}</math> von <math>R</math> als die Einheitengruppe des unterliegenden Monoids definiert.

Beispiel. Es gilt <math>|\mathcal{N}^{\times}|=\{0\}</math>. Es gilt <math>|\mathcal{Z}^{\times}|=\{+1,-1\}</math>. Es besteht <math>|C([0,1])^{\times}|</math> aus den stetigen Funktionen <math>f : [0,1] \to \mathds{R}</math>, welche keine Nullstellen besitzen. Für eine Menge <math>X</math> ist <math>\mathrm{End}(X)^{\times}=\mathrm{Sym}(X)</math> die Gruppe der Permutationen von <math>X</math>. Was den Ring <math>\mathcal{Z}/n</math> für <math>n \in \mathds{N}_{\geq 1}</math> angeht, lässt sich unter Verwendung des Lemmas von Bezout aus der Zahlentheorie zeigen, dass die Einheitengruppe <math>(\mathcal{Z}/n)^{\times}</math> (bekannt als prime Restklassengruppe) aus <math>[k]</math> besteht, für die <math>k</math> und <math>n</math> teilerfremd sind.

Bemerkung. (a) Das Einsideal <math>\langle 1 \rangle</math> eines Ringes <math>R</math> ist das einzige Ideal von <math>R</math>, welches eine Einheit enthält: Denn wenn eine Einheit <math>x</math> in einem Ideal enthalten ist, dann ist auch <math>x^{-1} * x = 1</math> enthalten, und damit für alle <math>y \in |R|</math> auch <math>y * 1  = y</math>.
 
(b) Jeder Homomorphismus von Monoiden bildet Einheiten auf Einheiten ab, und induziert daher einen Homomorphismus der zugehörigen Einheitengruppen. Daraus folgt: Jeder Homomorphismus von Ringen induziert einen Homomorphismus zwischen den zugehörigen Einheitengruppen. Wenn zwei Ringe isomorph sind, dann sind auch ihre Einheitengruppen isomorph.

(c) Wir haben jeder Gruppe ein Monoid, und jedem Monoid eine Gruppe zugeordnet. Diese Konstruktionen sind im folgenden Sinne zueinandner adjungiert: Wenn <math>G</math> eine Gruppe ist und <math>M</math> ein Monoid ist, so gibt es eine Bijektion <math>\mathrm{Hom}(U(G),M) \cong \mathrm{Hom}(G,M^{\times})</math>. Das liegt daran, dass jeder Homomorphismus <math>U(G) \to M</math> automatisch alles auf Einheiten schickt, weil die Elemente von <math>|G|</math> ja Einheiten sind.

Aufgabe. Sei <math>M</math> ein Monoid. Finde eine Menge <math>X</math> und einen injektiven Homomorphismus von Monoiden <math>M \to \mathrm{End}(X)</math>.

4. Monoid- und Polynomringe

4.1. Monoidringe

Jeder Ring <math>R</math> besitzt ein unterliegendes Monoid <math>R_{\mathrm{Mon}}</math>, und jeder Homomorphismus von Ringe <math>f : R \to S</math> liefert auch einem Homomorphismus der unterliegenden Monoide <math>f_{\mathrm{Mon}} : R_{\mathrm{Mon}} \to S_{\mathrm{Mon}}</math>. Geht so etwas auch in die andere Richtung?
 
Starten wir also mit einem Monoid <math>M</math> und fragen uns, ob wir <math>M</math> irgendwie zu einem Ring "erweitern" können. Wir können die Elemente von <math>|M|</math> bereits multiplizieren, aber was soll die Summe <math>x+y</math> von zwei Elementen <math>x,y \in |M|</math> sein? Diesen Ausdruck müssen wir ebenfalls in unserem Ring finden. Aber wenn das so ist, dann müsste allgemeiner jede endliche Summe <math>\pm x_1 + \dotsc + \pm x_n</math> dazugehören. Solche Ausdrücke sind schon unter der Addition und der Multiplikation abgeschlossen; das folgt leicht aus den Ringaxiomen. In diesen Ausdrücken können wir nun gleiche Monoidelemente zusammenfassen und bekommen Ausdrücke der Form

<math>\displaystyle \sum_{x \in |M|} z(x) * x,</math>

wobei <math>z : |M| \to \mathds{Z}</math> eine Funktion ist, für die der Träger <math>\{x : z(x) \neq 0\}</math> endlich ist. Das Distributivgesetz (auf endliche Summen verallgemeinert) sagt uns, wie wir zwei solche Summen miteinander multiplizieren. Wir möchten unnötige Relationen vermeiden und damit die Koeffizientenfunktion <math>z</math> aus dem Ausdruck <math>\sum_{x \in |M|} z(x) * x</math> ablesen können. Und genau so definieren wir nun unseren Ring:
 
Definition. Es sei <math>M</math> ein Monoid. Es sei <math>\mathcal{Z}[M]</math> der folgende Ring: Die unterliegende Menge besteht aus Funktionen <math>z : |M| \to \mathds{Z}</math>, deren Träger endlich ist. Solche Funktionen werden punktweise addiert. Die Multiplikation solcher Funktionen ist durch die Faltung gegeben:
 
<math>\displaystyle (z * z')(x) := \sum_{a,b \in |M|,\,a*b=x} z(a) * z'(b).</math>

Beachte: Dies ist letztlich eine endliche Summe, weil die Träger von <math>z</math> und <math>z'</math> endlich sind, also nur über endlich viele <math>(a,b)</math> summiert werden muss. Daraus folgt dann im übrigen auch, dass der Träger von <math>z * z'</math> endlich ist, wie gewünscht. Die Eins <math>1_{\mathcal{Z}[M]}</math> sei die Funktion, die <math>1 \in |M|</math> den Wert <math>1 \in \mathds{Z}</math> zuordnet und allen anderen Monoidelementen den Wert <math>0 \in \mathds{Z}</math>. Die Ringaxiome sind nun leicht nachzurechnen. Man nennt <math>\mathcal{Z}[M]</math> den Monoidring von <math>M</math> über <math>\mathcal{Z}</math>.
 
Bei der Konstruktion ist nichts Spezielles von <math>\mathcal{Z}</math> benutzt worden: Ist <math>R</math> irgendein Ring, so können wir den Monoidring <math>R[M]</math> von <math>M</math> über <math>R</math> analog konstruieren, indem wir die Menge der Funktionen <math>r : |M| \to |R|</math> mit endlichem Träger benutzen und die obigen Verknüpfungen übernehmen. Wir zeigen einmal exemplarisch die Assoziativität der Faltung:
 
<math>\displaystyle (r * (s * t))(x) = \sum_{a*d=x} r(a) * (s*t)(d)\medskip\\
=\sum_{a*b=x} r(a) * \sum_{b*c=d} s(b)*t(c)\medskip\\
=\sum_{a*d=x} \sum_{b*c=d} r(a)*s(b)*t(c)\medskip\\
=\sum_{a*b*c=x} r(a)*s(b)*t(c)</math>
 
Eine völlig analoge Rechnung zeigt, dass <math>((r * s) * t)(x)</math> dasselbe liefert.
 
Definition. Wenn <math>G</math> eine Gruppe ist, so ist der Gruppenring <math>R[G]</math> als der Monoidring des unterliegenden Monoids von <math>G</math> definiert.

Die spezielle Gruppenstruktur geht also bei der Definition des Gruppenringes zunächst einmal nicht ein. Sie sorgt jedoch für eine sog. Hopfalgebra-Struktur; dies nur als Bemerkung.
 
Satz. Der Monoidring über <math>\mathcal{Z}</math> erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Es sei <math>M</math> ein Monoid und <math>R</math> ein Ring. Dann gibt es eine Bijektion
 
<math>\mathrm{Hom}(\mathcal{Z}[M],R) \cong \mathrm{Hom}(M,R_{\mathrm{Mon}}).</math>

Die Bijektion ist genauer gesagt durch einen (injektiven) Homomorphismus von Monoiden <math>i : M \to \mathcal{Z}[M]_{\mathrm{Mon}}</math> induziert; für jeden Homomorphismus von Monoiden <math>f : M \to R_{\mathrm{Mon}}</math> gibt es genau einen Homomorphismus von Ringen <math>\overline{f} : \mathcal{Z}[M] \to R</math> mit <math>\overline{f}_{\mathrm{Mon}} \circ i = f</math>.
 
<math>\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt},row sep=7pt]\mathcal{Z}[M] \ar[dashed]{rr}{\overline{f}} && R \\ \mathcal{Z}[M]_{\mathrm{Mon}} \ar[dashed]{rr}{\overline{f}_{\mathrm{Mon}}} && R_{\mathrm{Mon}} \\ && \\ &&  \\ & M \ar{uuur}[swap]{f} \ar{uuul}{i} &  \end{tikzcd}</math>
 
Zum Beweis kommen wir gleich. Die universelle Eigenschaft ermöglicht es uns, Homomorphismen auf Monoidringen zu erklären. Noch allgemeiner gilt für beliebige Koeffizientenringe:
 
Satz. Der Monoidring erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Es seien <math>M</math> ein Monoid und <math>R,S</math> zwei Ringe. Dann gibt es eine injektive Abbildung
 
<math>\mathrm{Hom}(R[M],S) \to \mathrm{Hom}(M,S_{\mathrm{Mon}}) \times \mathrm{Hom}(R,S).</math>
 
Das Bild besteht dabei aus den Paaren <math>(\beta,\gamma)</math> von Homomorphismen, für die gilt: Für alle <math>x \in |M|</math> und <math>r \in |R|</math> kommutieren <math>\beta(x),\gamma(r) \in |S|</math> miteinander.

Wir erhalten außerdem:
 
Korollar. Der Gruppenring erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Es sei <math>G</math> eine Gruppe und <math>R</math> ein Ring. Dann gibt es eine Bijektion
 
<math>\mathrm{Hom}(\mathcal{Z}[G],R) \cong \mathrm{Hom}(G,R^{\times}).</math>

Diese universelle Eigenschaft sagt aus, dass die Bildung des Gruppenringes zur Bildung der Einheitengruppe adjungiert ist.
 
Beweis des Satzes. Es seien <math>M</math> ein Monoid und <math>R,S</math> zwei Ringe. Wir konstruieren zunächst einen (injektiven) Homomorphismus

<math>i : M \longrightarrow R[M]_{\mathrm{Mon}}.</math>

Dazu ordnen wir <math>x \in |M|</math> der Funktion <math>i(x) : |M| \to |R|</math> zu, die alle Monoidelemente auf <math>0</math> schickt bis auf <math>x</math>, welches auf <math>1</math> geschickt wird. Ferner haben wir den (injektiven) Homomorphismus

<math>j : R \longrightarrow R[M],</math>
 
welcher ein Element <math>r \in |R|</math> auf die Funktion <math>j(r) : |M| \to |R|</math> schickt, welche <math>1 \in |M|</math> auf <math>r</math> schickt, und alle anderen Monoidelemente auf <math>0</math>. Dass <math>i</math> und <math>j</math> tatsächlich Homomorphismen sind, rechnet man leicht nach. Ebenso prüft man nach, dass <math>i(x)</math> jeweils mit <math>j(r)</math> in <math>R[M]</math> kommutiert: Das Produkt <math>i(x) * j(r) = j(r) * i(x)</math> ist jeweils die Funktion, welche <math>x</math> auf <math>r</math> und alle anderen Monoidelemente auf <math>0</math> abbildet.
 
Aus jedem Homomorphismus <math>\alpha : R[M] \to S</math> von Ringen bekommt man nun einen Homomorphismus von Monoiden <math>\alpha_{\mathrm{Mon}} \circ i : M \to S_{\mathrm{Mon}}</math> sowie einen Homomorphismus von Ringen <math>\alpha \circ j : R \to S</math>, und die Bilder kommutieren jeweils miteinander.
 
Es seien umgekehrt <math>\beta : M \to S_{\mathrm{Mon}}</math> und <math>\gamma : R \to S</math> zwei Homomorphismen, deren Bilder jeweils miteinander kommutieren. Wir definieren <math>\alpha : R[M] \to S</math> auf den Elementen durch

<math>\displaystyle \alpha(r) := \sum_{x \in |M|} \gamma(r(x)) * \beta(x).</math>
 
für <math>r \in |R[M]|</math>. Beachte, dass dies letztendlich eine endliche Summe ist, weil <math>r</math> endlichen Träger besitzt. Rechnen wir nach, dass <math>\alpha</math> ein Homomorphismus von Ringen ist:
 
<math>\displaystyle \alpha(1_{R[M]})=\sum_{x \in |M|} \gamma(1_{R[M]}(x)) * \beta(x) = \gamma(1) * \beta(1) = 1;</math>
 
 
<math>\displaystyle \alpha(r+s) = \sum_{x \in |M|} \gamma((r+s)(x)) * \beta(x)\medskip\\
= \sum_{x \in |M|} \gamma(r(x)+s(x)) * \beta(x)\medskip\\
= \sum_{x \in |M|} (\gamma(r(x))+\gamma(s(x))) * \beta(x)\medskip\\
= \sum_{x \in |M|} \bigl(\gamma(r(x)) * \beta(x)  + \gamma(s(x)) * \beta(x)\bigr)\medskip\\
= \sum_{x \in |M|} \gamma(r(x))*\beta(x) + \sum_{x \in |M|} \gamma(s(x))*\beta(x)\medskip\\
= \alpha(r) + \alpha(s);</math>
 
 
<math>\displaystyle\alpha(r) * \alpha(s) = \sum_{x,y \in |M|} \gamma(r(x)) * \beta(x) * \gamma(s(y)) * \beta(y)\medskip\\
= \sum_{x,y \in |M|} \gamma(r(x)) * \gamma(s(y)) * \beta(x) * \beta(y)\\\medskip
= \sum_{x,y \in |M|} \gamma(r(x)*s(y)) * \beta(x*y)\medskip\\
 = \sum_{z \in |M|} ~ \sum_{x,y \in |M|,\, x*y=z} \gamma(r(x) * s(y)) * \beta(z)\medskip\\
 = \sum_{z \in |M|} ~ \gamma\Bigl(\sum_{x,y \in |M|,\, x*y=z} r(x) * s(y)\Bigr) * \beta(z)\medskip\\
= \sum_{z \in |M|} \gamma((r*s)(z))*\beta(z)\medskip\\
= \alpha(r*s).</math>
 
Für <math>x \in |M|</math> gilt offensichtlich <math>\alpha(i(x))=\beta(x)</math>. Das zeigt <math>\alpha_{\mathrm{Mon}} \circ i = \beta</math>. Ferner sieht man <math>\alpha \circ j = \gamma</math>. Dies zeigt die Existenz von <math>\alpha</math>; fehlt noch die Eindeutigkeit.
 
Dazu sei <math>\alpha : R[M] \to S</math> ein beliebiger Homomorphismus von Ringen mit <math>\alpha_{\mathrm{Mon}} \circ i = \beta</math> und <math>\alpha \circ j = \gamma</math>. In <math>R[M]</math> besteht die folgende Gleichung, wobei <math>r \in R[M]</math> beliebig ist:

<math>\displaystyle r = \sum_{x \in |M|} j(r(x)) * i(x).</math>

Dies folgt leicht aus unserer Beschreibung von <math>j(u)*i(x)</math> oben. Wenden wir auf diese Gleichung nun den Homomorphismus <math>\alpha</math> an, so folgt
 
<math>\displaystyle \alpha(r) = \sum_{x \in |M|} \alpha(j(r(x))) * \alpha(i(x))=\sum_{x \in |M|} \gamma(r(x)) * \beta(x).</math>
 
Daher ist <math>\alpha</math> eindeutig bestimmt. <math>\checkmark</math>
 
Die genannten Folgerungen aus dem Satz ergeben sich so: Die Menge <math>\mathrm{Hom}(\mathcal{Z}[M],R)</math> identifiziert sich mit den Paaren von Homomorphismen <math>\beta : M \to R_{\mathrm{Mon}}</math> und <math>\gamma : \mathcal{Z} \to R</math>, deren Bilder miteinander kommutiert. Aber <math>\gamma</math> ist eindeutig bestimmt, und die Kommutativität ist automatisch gegeben. Ist nun <math>G</math> eine Gruppe, so entspricht <math>\beta : U(G) \to R_{\mathrm{Mon}}</math> einem Homomorphismus von Gruppen <math>\beta : G \to (R_{\mathrm{Mon}})^{\times} = R^{\times}</math>. <math>\checkmark</math>
 
Bemerkung. Wegen der Injektivität von <math>i : M \to R[M]_{\mathrm{Mon}}</math> schreibt man öfters <math>x</math> anstelle von <math>i(x)</math>. Analoges gilt für <math>j : R \to R[M]</math>. Jedes Element <math>r</math> von <math>|R[M]|</math> hat demnach die Gestalt
 
<math>\displaystyle r = \sum_{x \in |M|} r(x) * x.</math>

Die universelle Eigenschaft lässt sich so veranschaulichen:

<math>\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt},row sep=5pt] & M \ar{ddddr}{\beta, \text{ kommutiert mit } \gamma} \ar{ddddl}[swap]{i} & \\ && \\ && \\ && \\ R[M]_{\mathrm{Mon}} \ar[dashed]{rr}{\alpha_{\mathrm{Mon}}} && S_{\mathrm{Mon}}\\ R[M] \ar[dashed]{rr}{\alpha} && S  \\ && \\ && \\  && \\& R \ar{uuuur}[swap]{\gamma} \ar{uuuul}{j} & \end{tikzcd}</math>

Beispiel. Für die symmetrische Gruppe <math>G=\mathrm{Sym}(\{1,\dotsc,n\})</math> ist <math>\sum_{\sigma \in |G|} \mathrm{sgn}(\sigma) * \sigma</math> ein Element in <math>|\mathcal{Z}[G]|</math>; für <math>n=3</math> hat es die Gestalt
 
<math>1 + (1\,2\,3) + (1\,3\,2) - (1\,2)-(1\,3) - (2\,3).</math>
 
Korollar. Sei <math>R</math> ein Ring. Jeder Homomorphismus von Monoiden <math>f : M \to N</math> induziert einen Homomorphismus von Ringen <math>R[f] : R[M] \to R[N]</math> mit <math>r \mapsto r</math> für <math>r \in |R|</math> und <math>m \mapsto f(m)</math> für <math>m \in |M|</math> (mit der obigen Notationsvereinbarung).

Beweis. Wir wenden die universelle Eigenschaft auf <math>M \xrightarrow{f} N \xrightarrow{i} R[N]_{\mathrm{Mon}}</math> sowie <math>R \xrightarrow{j} R[N]</math> an. <math>\checkmark</math>
 
Korollar. Wenn <math>M,N</math> zwei isomorphe Monoide sind (bzw. isomorphe Gruppen), dann sind auch ihre Monoidringe (bzw. Gruppenringe) <math>R[M],R[N]</math> isomorph.

Bemerkung. Die Umkehrung dieser Aussage gilt übrigens nicht, aber das ist tiefliegender. Erst 2001 ist es Martin Hertweck in der Arbeit "A Counterexample to the Isomorphism Problem for Integral Group Rings" gelungen, zwei endliche Gruppen <math>G,H</math> der Ordnungen <math>\mathrm{ord}(G)=2^{25} \cdot 97^2</math> bzw. <math>\mathrm{ord}(H)=2^{21} \cdot 97^{28}</math> zu "finden", die also nicht isomorph sind, deren Gruppenringe über <math>\mathcal{Z}</math> aber isomorph sind. Bisher sind keine Beispiele von Gruppen mit dieser Eigenschaft mit einer kleineren Ordnung bekannt! Überhaupt gibt es zum Gruppenring viele ungelöste verblüffend einfach zu formulierende Probleme. So besagt zum Beispiel eine Vermutung von Kaplansky, dass der Ring <math>\mathcal{Z}[G]</math> nullteilerfrei ist, wenn <math>G</math> torsionsfrei ist, d.h. für alle <math>n \geq 1</math> und <math>g \in |G|</math> gilt <math>g^n=1 \Rightarrow g=1</math>. Die Umkehrung ist übrigens klar: Wenn <math>G</math> nicht torsionsfrei ist, etwa <math>g^n=1</math> mit <math>g \neq 1</math>, dann hat <math>\mathcal{Z}[G]</math> den Nullteiler <math>g-1</math>, denn <math>(g-1)(g^{n-1}+\dotsc+g+1)=g^n-1=0</math>.
 
Bemerkung. Es gibt auch "stetige" Varianten des Gruppenringes. Zum Beispiel bilden die stetigen Funktionen <math>f : \mathds{R} \to \mathds{R}</math> mit kompaktem Träger mit der punktweisen Addition und der Faltung
 
<math>\displaystyle (f * g)(x) := \int_{\mathds{R}} f(t) * g(-t+x) \, dt</math>
 
einen kommutativen Pseudo-Ring; dabei bezeichnet ein Pseudo-Ring einen "Ring ohne geforderte Eins".
 
Was passiert, wenn man die Konstruktion des Monoidringes iteriert?
 
Satz. Es seien <math>M,N</math> zwei Monoide und <math>R</math> ein Ring. Dann gibt es einen Isomorphismus von Ringen <math>R[M][N] \cong R[M \times N]</math>; hierbei ist <math>R[M][N]</math> als <math>(R[M]) [N]</math> zu lesen. Insbesondere gilt für kommutative Monoide <math>M,N</math> die Isomorphie <math>R[M][N] \cong R[M \oplus N]</math>.

Beweis. Sei <math>K=M \times N = M \oplus^{\text{\tiny komm}} N</math>. Der Monoidhomomorphismus <math>M \hookrightarrow K</math> induziert einen Ringhomomorphismus <math>R[M] \to R[K]</math>. Wir betrachten ferner die Komposition von Monoidhomomorphismen <math>N \hookrightarrow K \to R[K]_{\mathrm{Mon}}</math>. Die Bilder von <math>R[M] \to R[K]</math> und <math>N \to R[K]_{\mathrm{Mon}}</math> kommutieren jeweils miteinander. Aus der universellen Eigenschaft von <math>R[M][N]</math> ergibt sich daher ein Ringhomomorphismus <math>R[M][N] \to R[K]</math>. Umgekehrt: Betrachte die Komposition von Ringhomomorphismen <math>R \to R[M] \to R[M][N]</math>, und außerdem die beiden Monoidhomomorphismen <math>M \to R[M]_{\mathrm{Mon}} \to R[M][N]_{\mathrm{Mon}}</math> und <math>N \to R[M][N]_{\mathrm{Mon}}</math>, deren Bilder jeweils miteinander kommutieren und daher sich zu einem Monoidhomomorphismus <math>K \to R[M][N]_{\mathrm{Mon}}</math> fortsetzen. Die Bilder von <math>R \to R[M][N]</math> und <math>K \to R[M][N]_{\mathrm{Mon}}</math> kommutieren jeweils miteinander. Die universelle Eigenschaft von <math>R[K]</math> liefert daher einen Ringhomomorphismus <math>R[K] \to R[M][N]</math>. Aus den Eindeutigkeitsaussagen der hier benutzten universellen Eigenschaften ergibt sich sofort, dass die beiden so konstruierten Ringhomomorphismen <math>R[K] \leftrightarrows R[M][N]</math> zueinander invers sind. <math>\checkmark</math>
 
Bemerkung. Der obige Beweis konstruiert den natürlichen Isomorphismus <math>R[M \times N] \to R[M][N]</math> zwar mithilfe von universellen Eigenschaften, führt aber auch zu einer konkreten Beschreibung des Isomorphismus' auf Elementen:
 
<math>\displaystyle\sum_{(m,n) \in |M| \times |N|} r(m,n) * (m,n) \mapsto \sum_{n \in |N|} \Bigl(\sum_{m \in |M|} r(m,n) *  m\Bigr) *  n</math>

Man könnte auch hergehen und die Isomorphie rein rechnerisch anhand dieser Vorschrift beweisen.

Bemerkung. Ein Monoidring <math>R[M]</math> ist genau dann kommutativ, wenn <math>R</math> und <math>M</math> kommutativ sind.
 
Beispiel. Im Fall <math>M=(\mathds{N}_{\geq 1},*,1)</math> besteht der Monoidring <math>\mathcal{Z}[M]</math> aus den Zahlenfolgen <math>r : \mathds{N}_{\geq 1} \to \mathds{Z}</math> mit endlichem Träger, die indexweise addiert und mit der sogenannten Dirichlet-Faltung

<math>\displaystyle (r*s)(n) = \sum_{\substack{a,b \in \mathds{N}_{\geq 1} \\ a*b=n}} r(a) * s(b)</math>
 
multipliziert werden. Hierbei kann man sogar auf die Forderung des endlichen Trägers verzichten, weil es nämlich für festes <math>n</math> lediglich endlich viele <math>a,b</math> mit <math>a*b=n</math> gibt. Dieser Ring ist besonders in der Zahlentheorie und der Kombinatorik nützlich, zum Beispiel um einen eleganten Beweis der Möbius-Inversionsformel zu geben.
 

4.2. Polynomringe

Man kann sich fragen, ob man jede Menge auf universelle Weise zu einem Ring erweitern kann. Nach unserem Studium von Monoidringen bietet es sich an, einen Umweg über Monoide zu gehen. Wir ordnen jeder Menge <math>I</math> ein kommutatives Monoid <math>M:=\bigoplus_{i \in I} \mathcal{N}</math> zu, das freie kommutative Monoid auf <math>I</math> (zur nichtkommutativen Version später). Wenn wir <math>M</math> multiplikativ schreiben, hat jedes Element von <math>|M|</math> die Gestalt <math>\prod_{i \in I} X_i^{a_i}</math>, wobei <math>a_i \in \mathds{N}</math> und <math>a_i=0</math> für fast alle <math>i \in I</math> gilt.
 
Definition. Sei <math>R</math> ein Ring und <math>I</math> eine Menge. Der Polynomring <math>R[(X_i)_{i \in I}]</math> ist als der Monoidring <math>R[\bigoplus_{i \in I} \mathcal{N}]</math> definiert. Die Elemente der unterliegenden Menge heißen Polynome mit Koeffizienten aus <math>R</math> und Unbestimmten <math>(X_i)_{i \in I}</math>.

Wie sehen diese Polynome nun konkret aus, und welche universelle Eigenschaft erfüllt der Polynomring? Das ergibt sich alles aus dem, was wir über Monoidringe herausgefunden haben:
 
Jedes Element von <math>|R[(X_i)_{i \in I}]|</math> lässt sich schreiben als <math>\sum_{m \in |M|} r(m) * m</math>, wobei <math>r : |M| \to |R|</math> eine Funktion mit endlichem Träger ist. Benutzen wir die obige Beschreibung von <math>|M|</math>, gelangen wir also zur Darstellung

<math>\displaystyle\sum_{\substack{a \,:\, I \to \mathds{N} \smallskip\\ a_i = 0 \text{ für fast alle } i}} r((a_i)_{i \in I}) * \prod_{i \in I} X_i^{a_i}.</math>
 
Ein konkretes Beispiel für ein Polynom ist <math>7 * X_1^2 - 2 * X_1 * X_2 + X_2^3 * X_3</math>, wobei hier <math>I=\{1,2,3\}</math> ist. Das schreibt man einfach kurz als <math>7 X_1^2 - 2 X_1 X_2 + X_2^3 X_3</math>. Der Polynomring <math>R[(X_i)_{i \in I}]</math> ist übrigens genau dann kommutativ, wenn es <math>R</math> ist; dies ist in vielen Anwendungen der Fall.
 
Ist <math>S</math> irgendein Ring, so gibt es nach der universellen Eigenschaft des Monoidringes eine Bijektion zwischen <math>\mathrm{Hom}(R[(X_i)_{i \in I}],S)</math> und der Menge der Paare von Homomorphismen <math>(\beta,\gamma)</math>, wobei <math>\beta : M \to S_{\mathrm{Mon}}</math> ein Homomorphismus von Monoiden und <math>\gamma : R \to S</math> ein Homomorphismus von Ringen ist, deren Bilder jeweils miteinander kommutieren. Nun entspricht <math>\beta</math> nach der universellen Eigenschaft des freien kommutativen Monoids <math>M</math> einer Familie von Elementen <math>(s_i)_{i \in I}</math> in <math>|S|</math>, die paarweise miteinander kommutieren. Die Bedingung, dass die Bilder von <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> jeweils miteinander kommutieren, bedeutet dann, dass die Bilder von <math>\gamma</math> mit jedem <math>s_i</math> kommutieren. Fassen wir also zusammen:

Satz. Ist <math>S</math> irgendein Ring, so identifiziert sich <math>\mathrm{Hom}(R[(X_i)_{i \in I}],S)</math> mit der Menge der <math>(\gamma,(s_i)_{i \in I})</math>, wobei <math>\gamma : R \to S</math> ein Homomorphismus von Ringen ist, und <math>(s_i)_{i \in I}</math> eine Familie von Elementen von <math>|S|</math> ist, die paarweise miteinander kommutieren und ebenfalls mit den Bildern von <math>\gamma</math> kommutieren.

<math>\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt},row sep=7pt]  & R \ar{ddddr}{\gamma, \text{ kommutiert mit den } s_i} \ar{ddddl}[swap]{j} & \\ && \\ && \\ && \\ R[(X_i)_{i \in I}] \ar[dashed]{rr} && S \\ X_i \ar[mapsto]{rr} && s_i
\end{tikzcd}</math>

Der zu <math>\gamma</math> und <math>(s_i)_{i \in I}</math> gehörige Homomorphismus <math>R[(X_i)_{i \in I}] \to S</math> wird mit <math>f \mapsto f^{\gamma}((s_i)_{i \in I})</math> bezeichnet und oftmals Auswertungs-Homomorphismus genannt.
 
Dieser Satz ist eigentlich mehr als nur eine Eigenschaft des Polynomringes; man sollte die darin formulierte universelle Eigenschaft als primäre Definition des Polynomringes sehen. Wir wollen Polynomringe gerade so haben, dass man Homomorphismen auf den Koeffizienten und den Unbestimmten <math>X_i</math> erklären kann und dabei auf nichts weiter als die Kommutativität achten muss. Für kommutative Zielringe entfällt diese Bedingung sogar:
 
Korollar. Ist <math>S</math> ein kommutativer Ring, so gibt es eine Bijektion <math>\mathrm{Hom}(R[(X_i)_{i \in I}],S) \cong \mathrm{Hom}(R,S) \times |S|^I</math>, nämlich <math>\alpha \mapsto (\alpha \circ j, (\alpha(X_i))_{i \in I})</math>.

Bemerkung. Wozu sollte man überhaupt Homomorphismen auf dem Polynomring definieren wollen? Der Grundgedanke ist der folgende: Wenn man etwas über einen Ring herausfinden möchte, könnte es passieren, dass die konkreten Gegebenheiten vom Wesentlichen ablenken oder sogar unerwünschte Relationen herbeiführen. In einem Polynomring hat man das alles nicht. Dort gilt für die Elemente wirklich nur das, was von den Ringaxiomen erzwungen wird (davon abgesehen, dass die Unbestimmten kommutieren sollen). Das führt aber auch dazu, dass Polynomringe sehr gute Eigenschaften haben (z.B. ist <math>\mathcal{Q}[X_1,\dotsc,X_n]</math> faktoriell, was grob gesagt die Zerlegung von Polynomen in prime Polynome zulässt). Man studiert das jeweilige Problem dann zunächst in einem Polynomring und bildet es danach mithilfe eines Homomorphismus, der durch die universelle Eigenschaft garantiert ist, in einen konkreten Ring ab. Der Homomorphismus selbst sagt uns dann auch noch, inwiefern sich der konkrete vom allgemeinen Fall unterscheidet. Genau das wird in der Ringtheorie an vielen Stellen gewinnbringend umgesetzt.

Beispiel. Für <math>I=\{1,\dotsc,n\}</math> schreibt man gerne <math>R[X_1,\dotsc,X_n]:=R[(X_i)_{i \in I}]</math>. Für <math>n=0</math> ist das einfach <math>R</math>, und für <math>n=1</math> erhalten wir den Polynomring in nur einer Variablen <math>X</math>. Solche Polynome haben die übliche Gestalt
 
<math>\displaystyle \sum_{n \in \mathds{N}} r(n) * X^n,</math>
 
wobei <math>r : \mathds{N} \to |R|</math> endlichen Träger hat. Die universelle Eigenschaft gestattet es uns zum Beispiel, einen Ringhomomorphismus <math>\alpha : \mathcal{Z}[X] \to \mathcal{R}</math> zu definieren durch den üblichen Unterring <math>\mathcal{Z} \to \mathcal{R}</math> und <math>X \mapsto \pi</math>. Die Transzendenz von <math>\pi</math> drückt sich gerade darin aus, dass <math>\alpha</math> injektiv ist.

Beispiel. Nach der universellen Eigenschaft des Polynomringes <math>R[X,Y]</math> in zwei Variablen gibt es (genau) einen Homomorphismus <math>\alpha : R[X,Y] \to R[X,Y]</math> mit <math>\alpha(X)=Y</math> und <math>\alpha(Y)=Y^2-X</math> (und <math>r \mapsto r</math> für <math>r \in |R|</math>). Ebenso gibt es einen Homomorphismus <math>\beta : R[X,Y] \to R[X,Y]</math> mit <math>\beta(X)= X^2-Y</math> und <math>\beta(Y)=X</math>. Diese beiden Homomorphismen sind zueinander invers, sind also Isomorphismen: Es gilt <math>\alpha(\beta(Y))=\alpha(X)=Y</math> und
 
<math>\alpha(\beta(X))=\alpha(X^2-Y)=\alpha(X)^2-\alpha(Y)=Y^2-(Y^2-X)=X,</math>

also <math>\alpha \circ \beta = \mathrm{id}</math>, und ähnlich zeigt man <math>\beta \circ \alpha = \mathrm{id}</math>.

Bemerkung. In vielen Situationen treten Ringe der Form <math>R[X_1,\dotsc,X_n]/\langle f_1,\dotsc,f_r \rangle</math> auf, wobei <math>R</math> ein kommutativer Ring ist und <math>f_1,\dotsc,f_r</math> Polynome in den Unbestimmten <math>X_1,\dotsc,X_n</math> über <math>R</math> sind. Man muss sich darunter den universellen kommutativen Ring über <math>R</math> vorstellen, welcher Elemente <math>x_1,\dotsc,x_n</math> besitzt, sodass jeweils <math>f_i(x_1,\dotsc,x_n)=0</math> gilt. Denn die universelle Eigenschaft des Quotientenringes (d.h. der Homomorphiesatz) und die universelle Eigenschaft des Polynomringes sagen genau das aus: Wenn <math>\gamma : R \to A</math> ein Homomorphismus kommutativer Ringe ist und <math>x_1,\dotsc,x_n \in |A|</math> sind mit <math>f_i^{\gamma}(x_1,\dotsc,x_n)=0</math> für <math>i=1,\dotsc,r</math>, so gibt es genau einen Homomorphismus <math>R[X_1,\dotsc,X_n]/\langle f_1,\dotsc,f_r \rangle \to A</math> mit <math>r \mapsto \gamma(r)</math> und <math>\overline{X_i} \mapsto x_i</math>, wobei <math>\overline{X_i}</math> das Bild von <math>X_i</math> im Quotientenring bezeichnet. Diese universelle Eigenschaft ist zentral für den Umgang mit solchen Ringen. Zum Beispiel gibt es genau zwei Homomorphismen <math>\mathcal{Q}[X]/(X^2-2) \to \mathcal{R}</math>, nämlich <math>\overline{X} \mapsto \sqrt{2}</math> und <math>\overline{X} \mapsto -\sqrt{2}</math>.
 
Satz. Sei <math>R</math> ein Ring. Es gibt einen Isomorphismus von Ringen <math>R[X_1,\dotsc,X_n][Y_1,\dotsc,Y_m] \cong R[X_1,\dotsc,X_n,Y_1,\dotsc,Y_m]</math> mit <math>X_i \mapsto X_i</math> für <math>i=1,\dotsc,n</math>, <math>Y_j \mapsto Y_j</math> für <math>j=1,\dotsc,m</math> und <math>r \mapsto r</math> für <math>r \in |R|</math>.

Beweis. Wenn <math>N</math> das freie kommutative Monoid auf <math>n</math> Erzeugern und <math>M</math> das freie kommutative Monoid auf <math>m</math> Erzeugern ist, dann ist <math>N \oplus M</math> das freie kommutative Monoid auf <math>n+m</math> Erzeugern. Die Behauptung folgt daher aus dem bereits bekannten Isomorphismus <math>R[N][M] \cong R[N \oplus M]</math>. <math>\checkmark</math>

Beispiel. Der Isomorphismus <math>\mathcal{Z}[X,Y] \cong \mathcal{Z}[X][Y]</math> bildet das Polynom <math>1+ 3 XY + X^2 Y-2 X Y^3 + X^5</math> auf das Polynom <math>(1+X^5) + (3X+X^2) Y + (-2X) Y^3</math> ab.
 
Bemerkung. (a) Der obige Satz impliziert <math>R[X_1,\dotsc,X_n] \cong R[X_1][X_2]\dotsc[X_n]</math>, sodass sich das Studium von Polynomen in endlich vielen Variablen öfters auf das Studium von Polynomen in einer Variablen reduzieren lässt. Das ist sehr praktisch.
 
(b) Sei <math>f : R \to S</math> ein Homomorphismus von Ringen und <math>(s_i)_{i \in I}</math> eine Familie von Elementen in <math>|S|</math>, die paarweise miteinander kommutieren und ebenfalls mit den Bildern von <math>f</math> kommutieren. Dann ist der davon erzeugte Unterring <math>f \langle (s_i)_{i \in I} \rangle \to S</math> gerade das Bild des Homomorphismus <math>R[(X_i)_{i \in I}] \to S</math> mit <math>X_i \mapsto s_i</math> und <math>r \mapsto f(r)</math>.
 
(c) Sei <math>\tau : I \to J</math> eine Abbildung von Mengen. Diese induziert einen eindeutigen Homomorphimus von Ringen <math>\widetilde{\tau} : R[(X_i)_{i \in I}] \to R[(Y_j)_{j \in J}]</math> mit <math>r \mapsto r</math> für <math>r \in |R|</math> und <math>X_i \mapsto Y_{\tau(i)}</math> für <math>i \in I</math>. Wenn <math>\tau</math> injektiv ist, dann ist auch <math>\widetilde{\tau}</math> injektiv. Ein direkter rechnerischer Beweis ist problemlos möglich, aber wir können auch so argumentieren: Für <math>I=\emptyset</math> ist es klar. Für <math>I \neq \emptyset</math> gibt es ein <math>\sigma : J \to I</math> mit <math>\sigma \circ \tau = \mathrm{id}_I</math>. Es folgt <math>\widetilde{\sigma} \circ \tilde{\tau}= \widetilde{\sigma \circ \tau} = \widetilde{\mathrm{id}_I} = \mathrm{id}_{R[(X_i)_{i \in I}]}</math>. Insbesondere ist <math>\widetilde{\tau}</math> injektiv. Alternativ kann man durch eine direkte Rechnung das allgemeinere Resultat zeigen, dass ein injektiver Homomorphismus von Monoiden <math>M \to N</math> einen injektiven Homomorphismus von Ringen <math>R[M] \to R[N]</math> induziert. Die analoge Aussage gilt auch für surjektive Homomorphismen. Ebenso gilt: Wenn <math>R \to S</math> ein injektiver bzw. surjektiver Homomorphismus von Ringen ist, so trifft dasselbe auf den induzierte Homomorphismus von Ringen <math>R[M] \to S[M]</math> zu.

4.3. Nichtkommutative Varianten

Man kann auch einen universellen Ring <math>R \langle (X_i)_{i \in I} \rangle</math> definieren, der sich vom Polynomring dahingehend unterscheidet, dass die Variablen <math>X_i</math> nicht mehr miteinander kommutieren (aber immer noch mit den Elementen aus <math>|R|</math>):

Definition. Das freie Monoid <math>M</math> auf einer Menge <math>I</math> ist gegeben durch <math>|M| = \coprod_{n \geq 0} I^n</math> mit der Multiplikation <math>(i_1,\dotsc,i_n) * (j_1,\dotsc,j_m) := (i_1,\dotsc,i_n,j_1,\dotsc,j_m)</math>. Der nichtkommutative Polynomring <math>R \langle (X_i)_{i \in I} \rangle</math> ist als der zugehörige Monoidring <math>R[M]</math> definiert.

Ein konkretes Beispiel ist das nichtkommutative Polynom <math>X Y^2 Z - Y Z X Y</math> in <math>|R\langle X,Y,Z \rangle|</math>.
 
Satz. Das freie Monoid <math>M</math> auf einer Menge <math>I</math> erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Es gibt Elemente <math>X_i \in |M|</math> für <math>i \in I</math> derart, dass es für jedes Monoid <math>N</math> und jede Familie von Elementen <math>(x_i)</math> in <math>|N|</math> genau einen Homomorphismus <math>f : M \to N</math> gibt mit <math>f(X_i)=x_i</math> für alle <math>i \in I</math>.

Beweis. Es sei <math>X_i = (i) \in I^1 \subseteq |M|</math>. Setze nun <math>f(i_1,\dotsc,i_n)=x_{i_1} * \dotsc * x_{i_n}</math>. Dies ist ein Homomorphismus mit <math>f(X_i)=x_i</math>, und offenbar eindeutig dadurch bestimmt. <math>\checkmark</math>

Satz. Der nichtkommutative Polynomring <math>R \langle (X_i)_{i \in I} \rangle</math> erfüllt die folgende universelle Eigenschaft: Wann immer man einen Ring <math>S</math> hat mit einer Familie von Elementen <math>(s_i)_{i \in I}</math> sowie einen Ringhomomorphismus <math>f : R \to S</math>, sodass die <math>s_i</math> mit den Bildern von <math>f</math> kommutieren, so gibt es genau einen Homomorphismus <math>R \langle (X_i)_{i \in I} \rangle \to S</math> mit <math>r \mapsto f(r)</math> für <math>r \in |R|</math> und <math>X_i \mapsto s_i</math> für <math>i \in I</math>.

Beweis. Dies folgt aus der universellen Eigenschaft des Monoidringes und des freien Monoids. <math>\checkmark</math>
 
Korollar. Für jeden Ring <math>R</math> ist die Abbildung <math>\mathrm{Hom}(\mathcal{Z}\langle (X_i)_{i \in I} \rangle,R) \to |R|^I</math>, <math>f \mapsto (f(X_i))_{i \in I}</math> bijektiv. Man nennt daher <math>\mathcal{Z}\langle (X_i)_{i \in I} \rangle</math> den freien Ring auf <math>I</math>.

Bemerkung. Man könnte sogar auf die Bedingung verzichten, dass die Unbestimmten mit den Koeffizienten kommutieren. Dann muss man aber auch Ausdrücke wie zum Beispiel <math>r * X^2 * s *  Y - Y * t * X</math> betrachten. Die Ausdrücke werden relativ kompliziert. In der Praxis betrachtet man stattdessen getwistete Polynomringe: Man geht von einem Endomorphismus <math>\sigma : R \to R</math> des Koeffizientenringes aus und definiert den Ring <math>R[X_1,\dotsc,X_n]_{\sigma}</math> so, dass er nach wie vor aus Polynomen besteht, aber <math>X_i * r = \sigma(r) * X_i</math> gilt.
 
Noch allgemeiner:
 
Definition. Sei <math>M</math> ein Monoid, <math>R</math> ein Ring und <math>\sigma : M \to \mathrm{End}(R)</math> ein Homomorphismus von Monoiden. Dann definieren wir den getwisteten Monoidring <math>R[M]_{\sigma}</math> wie folgt: Die additive Gruppe stimmt mit derjenigen des Monoidringes <math>R[M]</math> überein; das Einselement ebenfalls. Die Multiplikation ist definiert durch
 
<math>\displaystyle (r * s)(x) = \sum_{a*b=x} r(a) * \sigma(a,s(b)).</math>

Man hat Homomorphismen <math>i : M \to (R[M]_{\sigma})_{\mathrm{Mon}}</math> und <math>j : R \to R[M]_{\sigma}</math>, allerdings gilt nun die Vertauschungsregel <math>i(x) * j(r) = \sigma(x)(j(r)) * i(x)</math>. Zudem ist <math>R[M]_{\sigma}</math> universell mit dieser Eigenschaft. Der Beweis verläuft analog zum bereits behandelten Spezialfall <math>\sigma(x)=\mathrm{id}_R</math>.
 
Aufgabe. Sei <math>R</math> ein nullteilerfreier Ring. Zeige, dass dann auch der Polynomring in einer Variablen <math>R[X]</math> nullteilerfrei ist. Folgere daraus, dass für jede Menge <math>I</math> der Polynomring <math>R[(X_i)_{i \in I}]</math> nullteilerfrei ist. Hinweis: Erledige zunächst den Fall, dass <math>I</math> endlich ist, mit einer Induktion nach der Anzahl der Elemente von <math>I</math>. Reduziere den allgemeinen Fall auf den endlichen Fall.

Schluss

Richtig spannend wird die Ringtheorie, wenn sie zur Lösung von konkreten Problemen wie zum Beispiel aus der Zahlentheorie, der Darstellungstheorie oder der algebraischen Geometrie herangezogen wird. Das würde aber den Rahmen dieses ohnehin schon überlangen Artikels sprengen und könnte vielleicht Gegenstand einer Fortsetzung über Ringtheorie sein, wenn daran Interesse besteht.

Ich bedanke mich herzlich bei meinen Korrekturlesern KidinK, Quantum-007 und ligning.


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Konzepte der Ringtheorie [von Martin_Infinite]  
Die Grundbegriffe der Ringtheorie kann man in vielen Algebra-Büchern nachlesen, aber dieser Artikel geht etwas anders als üblich vor. Die Definitionen der Grundbegriffe sind hier nicht minimalistisch angelegt, sondern sollen das einfangen, worum es meiner Erfahrung nach wirkl
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