Die Mathe-Redaktion - 28.03.2017 12:03 - Registrieren/Login
Auswahl
Schwarzes Brett
Fragensteller hat Anwort gelesen, aber bisher nicht weiter reagiert2017-03-27 21:53 bb
MPCT 2017 Planung
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Feb. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 406 Gäste und 24 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Mathematik: Überschallmusik
Freigegeben von matroid am So. 24. April 2016 12:23:23
Verfasst von MontyPythagoras -   689 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Physik

Überschallmusik


ÜberschallknallIn meiner soeben ins Leben gerufenen Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" möchte ich hier die hörbaren Ergebnisse eines Gedankenexperiments präsentieren, und zwar, wie es sich anhört, wenn sich eine Musik spielende Schallquelle mit Überschallgeschwindigkeit am Hörer vorbeibewegt.
Es ist allgemein bekannt, dass sich bei einer sich bewegenden Schallquelle die Tonhöhe für den ruhenden Beobachter verändert, wenn sich die Schallquelle auf den Beobachter zu oder von ihm weg bewegt. Verantwortlich dafür ist der sogenannte Doppler-Effekt. Innerhalb des Schallkegels gibt es aber noch einen weiteren, interessanten Effekt, nämlich die Umkehr des Schalls. Der Schall, der quasi von der Schallquelle abgehängt wurde, trifft nämlich "rückwärts" beim Beobachter ein, wenn die Schallquelle schon am Beobachter vorbeigeflogen ist.
Diesen Effekt habe ich in diesem Artikel berechnet und natürlich auch in Form von MP3-Sound-Files hörbar gemacht.

Berechnung der Schall-Ankunftszeit

Schall breitet sich bekanntlich mit der Schallgeschwindigkeit aus, die am Boden ca. 340m/s beträgt. Wenn also eine Schallwelle vom Sender ausgesandt wird, muss sie noch die Strecke zwischen Sender und Beobachter mit Schallgeschwindigkeit zurücklegen. In nachfolgendem Bild ist der Ablauf schematisch dargestellt:



Der Sender fliegt mit Überschallgeschwindigkeit von links nach rechts im Abstand <math>d</math> am Beobachter vorbei. Die Zeit <math>\tau</math> bezieht sich immer auf die Schallquelle, die Zeit <math>t</math> auf den Beobachter. Zum Zeitpunkt <math>\tau=0</math> befindet sich der Sender bei <math>x=0</math>, also in größter Nähe zum Beobachter. Zwischen dem Sender und dem Beobachter liegt ansonsten die veränderliche Entfernung <math>r</math>.
Dann ist

<math>\displaystyle r=\sqrt{v^{2}\tau^{2}+d^{2}}</math>

Der Zeitpunkt, zu dem der Schall beim Beobachter eintrifft, ist:

<math>\displaystyle t=\tau+\frac{r}{c}</math>

<math>\displaystyle t=\tau+\frac{\sqrt{v^{2}\tau^{2}+d^{2}}}{c}</math>

Wenn man ausrechnen möchte, wann die zum Zeitpunkt <math>t</math> gehörte Schallwelle vom Sender abgeschickt wurde, muss man diese Gleichung nach <math>\tau</math> auflösen, was ich hier aber nicht im Detail zeige. Man erhält:

<math>\displaystyle \tau=\frac{-c^{2}t\pm\sqrt{c^{2}v^{2}t^{2}-d^{2}\left(v^{2}-c^{2}\right)}}{v^{2}-c^{2}}</math>

Man erkennt, dass es zwei Lösungen für <math>\tau</math> gibt, was bedeutet, dass immer zwei Schallwellen gleichzeitig beim Beobachter eintreffen, und zwar eine, die nach dem Punkt <math>\tau=\tau_0</math> ausgesandt wurde, und eine andere, die davor ausgesandt wurde. Je mehr Zeit beim Beobachter vergeht, um so weiter räumlich entfernt waren die Ursprungspunkte der gerade eintreffenden Schallwellen. Das führt zu dem paradox erscheinenden Effekt, dass der "von rechts" kommende Schall dem Sender zu folgen scheint, während der "von links" kommende Schall sich nach links zu entfernen scheint.
Der Schall wird für den Beobachter überhaupt erst hörbar, wenn ihn der Schallkegel erreicht. Das ist der Fall zum Zeitpunkt <math>t=t_0</math>. Diesen Zeitpunkt kann man leicht ausrechnen, in dem man den Term unter der Wurzel oben gleich null setzt. Daraus ergibt sich:

<math>\displaystyle t_{0}=\frac{d\sqrt{v^{2}-c^{2}}}{cv}</math>

Diese initiale Schallwelle wurde ausgesandt zum Zeitpunkt

<math>\displaystyle \tau_{0}=-\frac{cd}{v\sqrt{v^{2}-c^{2}}}</math>

Berechnung eines Sound-Files aus einer Quelldatei

Mit obigen Gleichungen hat man im Grunde schon alles, was man braucht, um einen neuen Sound-File zu erzeugen. Ein Sound-File ist ja im Grunde nichts weiter als eine Liste von diskretisierten Schalldruckwerten. Abhängig von der Abtastrate (bei CDs 44100Hz) ergibt sich eine bestimmte zeitliche Schrittweite. Will man also den Schalldruck beim Beobachter zu einem diskreten Zeitpunkt berechnen, muss man über obige Gleichungen auf den ursprünglichen Zeitpunkt beim Sender zurückrechnen.
Um einen realistischen, räumlichen Eindruck zu erzeugen, muss man einerseits noch die zeitlich veränderliche Distanz berücksichtigen, da sich der Sender ja zunächst zügig nähert und lauter wird, um sich danach wieder zu entfernen, andererseits muss man je nach momentaner Winkellage des Senders zum Beobachter den linken und den rechten Kanal unterschiedlich gewichten:

<math>\displaystyle p_{B}(t)=f(r)g(x)p_{S}(\tau)</math>

<math>p_B</math> ist der Schalldruckwert beim Beobachter, <math>p_S</math> dementsprechend der Schalldruckwert beim Sender (also der Wert der Quelldatei). Dabei ist der Entfernungsfaktor <math>f</math>:

<math>\displaystyle f(r)=d/r</math>

denn der Schalldruck ist reziprok proportional zur Entfernung zur Schallquelle.
Mit dem Gewichtungsfaktor <math>g</math> für den räumlichen Eindruck ist es etwas schwieriger, eine genaue Betrachtung würde diesen Rahmen sprengen. Jedenfalls wendet man die x-Koordinate für die Winkelbestimmung an und mit zwei separaten Gewichtungsfaktoren erhält man zwei Stereo-Kanäle aus einem Mono-Quellsignal.
Um die Klangqualität trotz der zeitlichen Streckung zu gewährleisten, wurde die Quelldatei mittels "Adobe Audition" sowohl in der Abtastrate auf 192kHz als auch in der Auflösung von 16bit auf 32bit hochgerechnet.


Sound-Files des Überschall-Vorbeiflugs

Für die Simulation habe ich folgende Werte angenommen:
Dichteste Entfernung zum Beobachter <math>d=500\textrm m</math>
Schallgeschwindigkeit <math>c=340\textrm m/s</math>
Geschwindigkeit der Schallquelle Mach 1,5, also <math>v=510\textrm m/s</math>
Als Quelldatei für den Überschallflug habe ich den Song "Highway To Hell" von AC/DC verwendet, und zwar als Live-Version bei ihrem Konzert 2009 in Buenos Aires. Wer es sich vorher einmal im Original anhören möchte, kann das Video hier auf Youtube ansehen. "Highway To Hell" fand ich für einen Überschalljet irgendwie passend...
Der Zeitpunkt, wo der Schallkegel den Beobachter erreicht, ist bei <math>\tau_0=</math> 01:30 Minuten. Ich habe nachfolgend insgesamt drei Sound-Files bereitgestellt:
Der erste ist der Schall, der nach dem Zeitpunkt <math>\tau_0</math> ausgesandt wurde, der also in obigem Bild sozusagen "von rechts" zurückkommt. Nach einigen Sekunden, wenn der "Knall" vorbei ist, nähert sich die Frequenzverschiebung einem konstanten Wert an. Man kann berechnen, dass die Frequenz des ausgesandten Signals für den Beobachter um den Faktor <math>\frac{1}{1+\frac{v}{c}}</math> gedehnt wird. Die Musik wird also um den Faktor 2,5 verlangsamt und die Tonhöhe sinkt um mehr als eine Oktave.
Der zweite ist der "von links" nacheilende Schall, der allerdings wie oben schon beschrieben klingt, als ob sich die Schallquelle immer weiter nach links entfernt. Es gibt also sozusagen eine gegenläufige Phantom-Schallquelle. Hier verändert sich die Frequenz wegen des umgekehrten Vorzeichens der Geschwindigkeit um den Faktor <math>\frac{1}{1-\frac{v}{c}}</math>. Der Faktor ist also -2, wobei das Minus ein Indiz für die Umkehrung der zeitlichen Reihenfolge ist. Außerdem wird der Schall um den Faktor 2 beschleunigt und infolgedessen um eine Oktave angehoben.
Der dritte Sound-File ist dann die Summe aus beiden vorigen Teilen, also der einigermaßen realistische Klang des Überschall-Vorbeiflugs. Ab 17 Sekunden Laufzeit kann man noch einmal recht deutlich auf dem rechten Kanal die Textzeile "I'm on the highway to hell" erkennen, als würde sie von einem langsamen Riesen gesungen.

Teil 1: Schall nach tau0
Teil 2: Schall vor tau0
Teil 3: "Highway To Hell" bei Mach 1,5

Fazit: Nachdem man die Auswirkung der Überschallgeschwindigkeit gehört hat, weiß man zumindest, dass man nichts verpasst hat, nur weil Düsenjets keine Musik aus ihren Triebwerken abspielen. Wirklich besser als der originale Klang eines Strahltriebwerks klingt das hier wohl auch nicht. Und das liegt nicht am verwendeten Song.

Musikalische Grüße,

Thomas
 (MontyPythagoras)

Link auf diesen Artikel Link auf diesen Artikel  Druckbare Version Druckerfreundliche Version  Einen Freund auf diesen Artikel aufmerksam machen Weitersagen Kommentare zeigen Kommentare  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Physik :: automatisch eingefügt und unbearbeitet :
Überschallmusik [von MontyPythagoras]  
In meiner soeben ins Leben gerufenen Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" möchte ich hier die hörbaren Ergebnisse eines Gedankenexperiments präsentieren, und zwar, wie es sich anhört, wenn sich eine Musik spielende Schallquelle mit Überschallgeschwindigkeit am Hö
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
Verwandte Links
 
Besucherzähler 689
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 7 externe Besuche in 2017.03 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://matheplanet.com114.3%14.3 %
http://google.de342.9%42.9 %
http://images.google.de342.9%42.9 %

[Seitenanfang]

" Mathematik: Überschallmusik" | 5 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Überschallmusik
von digerdiga am So. 24. April 2016 20:18:26


fed-Code einblenden

 [Bearbeiten]

Re: Überschallmusik
von Slash am So. 24. April 2016 22:17:59


Ein super Artikel MontyPythagoras! smile

Wirklich ganz, ganz große Klasse. Für mich als Musiker natürlich besonders interesssant, auch wenn ich (noch) keinen Pilotenschein habe. Ich freue mich schon auf die weiteren Artikel dieser Serie.

Gruß, Slash

 [Bearbeiten]

Re: Überschallmusik
von MontyPythagoras am Mo. 25. April 2016 11:38:22


Hallo Slash,
vielen Dank. Du kannst Dir sicher denken, dass ich durch Deinen Thread zu diesem Artikel inspiriert wurde, und hatte mir schon gedacht, dass er Dir gefällt. Ich wollte auch erst einen Song von GnR nehmen, aber "Highway To Hell" passte thematisch irgendwie besser als alles mir bekannte von GnR. "Aeroplane" von Red Hot Chili Peppers war auch noch in der engeren Auswahl, ist aber weniger bekannt.

Hallo digerdiga,
bei <math>\tau_0</math> wird genau die Schallwelle ausgesandt, die den Beobachter als erstes erreicht, und zwar zum Zeitpunkt <math>t=t_0</math>. Dazwischen liegt halt genau die Dauer, die der Schall braucht, um mit Schallgeschwindigkeit vom Sender zum Beobachter zu "reisen".
Ich wollte den Artikel relativ kurz halten und bin deshalb nicht zu sehr im Detail auf die mathematischen Feinheiten eingegangen. Der Dopplereffekt versteckt sich im Grunde in der Formel für die Laufzeiten:

<math>\displaystyle t=\tau+\frac{\sqrt{v^2\tau^2+d^2}}c</math>

Wenn man die Formel ableitet, kommt man auf die momentane Frequenzverschiebung:

<math>\displaystyle \frac{\mathrm dt}{\mathrm d\tau}=1+\frac{v^2\tau}{c\sqrt{v^2\tau^2+d^2}}</math>

<math>\displaystyle \frac1{\mathrm dt}=\frac{1}{1+\frac{v^2\tau}{c\sqrt{v^2\tau^2+d^2}}}\cdot\frac1{\mathrm d\tau}</math>

Der Term <math>\frac1{\mathrm dt}</math> ist ein Maß für die gehörte Frequenz beim Beobachter, <math>\frac1{\mathrm d\tau}</math> für die Frequenz beim Sender, also:

<math>\displaystyle f_B=\frac1{1+\frac{v^2\tau}{c\sqrt{v^2\tau^2+d^2}}}\cdot f_S</math>

Der Dopplerfaktor ist hier keine Konstante, weil sich ja die relative Geschwindigkeit des Senders zum Beobachter während des Vorbeiflugs kontinuierlich ändert. Lediglich für <math>\tau\rightarrow\pm\infty</math> stellt sich asymptotisch ein annähernd konstanter Wert ein. Das passiert sogar ziemlich schnell, wenn man sich den Kurvenverlauf näher ansieht:



Man erkennt, dass für <math>\tau\rightarrow-\infty</math> der Dopplerfaktor gegen -2 strebt (minus bedeutet Schallumkehrung, Faktor 2 bedeutet "Zeitraffer" und eine Oktave höherer Ton), für <math>\tau\rightarrow+\infty</math> strebt der Dopplerfaktor gegen 0,4, also Verlangsamung und Absenkung der Tonhöhe um mehr als eine Oktave.
Für Deine Frage ist aber entscheidend, was bei <math>\tau_0=-0,877s</math> passiert. Wie Du siehst, liegt hier eine Polstelle vor, der Betrag des Dopplerfaktors steigt auf "Unendlich" an. Das bedeutet, dass für einen kurzen Moment viele Schallwellen praktisch gleichzeitig eintreffen. Du kannst Dir vorstellen, dass viele gleichzeitig ankommende "Wellenberge" zu einer starken Druckspitze, also einem Knall, führen. Das lässt sich in realistischer Art und Weise in einem Sound-File überhaupt nicht abbilden. Daher klingt dieser Moment in den von mir erzeugten Sound-Files nur halbwegs realistisch.
Du erkennst aber auch am Verlauf der Kurve oben, dass sich der Klang im Rahmen der Doppler-Frequenzverschiebung schnell normalisiert.
Rechnet man diese Kurve auf die Zeit beim Beobachter um, ergibt sich folgendes Bild:



Erst ab dem Zeitpunkt <math>t_0=1,096s</math> trifft der Schall ein (hier beginnen die Sound-Files), es gibt subjektiv zwei Schallquellen, und auch der Knall ist anhand der Asymptoten des Dopplerfaktors deutlich zu erkennen.
Wenn man den Sound-File anhört, kann man glaube ich auch ganz gut heraushören, dass der Knall leicht links von der Mitte auftritt. Nachfolgend eine bildliche Darstellung, der linke Kanal ist oben:



Links startet also lauter, aber weil die Schallquelle sich zügig nach rechts wegbewegt, überwiegt nach kurzer Zeit der rechte Kanal.
Dass der rechte Kanal auch nach einiger Zeit noch von der Lautstärke her überwiegt, liegt einerseits an der Asymmetrie des Schallkegels (gleichzeitig eintreffende Schallwellen waren rechts näher als links, also gibt es eine stärkere entfernungsabhängige Abschwächung des linken Kanals), andererseits werden die von rechts kommenden Schallwellen zu tieferen Tönen hin verschoben, die von links kommenden dagegen zu höheren. Dadurch geht auf beiden Seiten etwas an Klangvolumen verloren, weil es in den unhörbaren Frequenzbereich verschoben wird. Aufgrund der höhenlastigen Charakteristik dieses Musikstücks geht auf der linken, beschleunigten Seite mehr verloren als auf der verlangsamten rechten Seite.
Ich denke, damit ist auch Deine Frage nach der Winkelabhängigkeit beantwortet, denn selbstverständlich ist in diesen Formeln indirekt über die Zeit <math>\tau</math> der jeweilige "Sendeort" berücksichtigt.
Jetzt war dieser Kommentar fast länger als der Artikel selbst, aber vielleicht baue ich diesen Kommentartext noch nachträglich in den Artikel ein.

Ciao,

Thomas

 [Bearbeiten]

Re: Überschallmusik
von Bernhard am Fr. 29. April 2016 00:29:07


Hallo Monthy!

Du schreibst von "Deiner soeben ins Leben gerufenen Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht". Eine nette Idee, solch eine Artikelserie aufzulegen. Nur das "soeben" stimmt nicht. Denn Deine schöne Papierfliegeranalyse vom letzten Jahr gehört doch im Prinzip auch bereits dazu, oder?

Viele Grüße, Bernhard

 [Bearbeiten]

Re: Überschallmusik
von MontyPythagoras am Fr. 29. April 2016 09:41:26


Hallo Bernhard,
tja, vorher war es ja nur ein einzelner Artikel. Erst durch einen zweiten Artikel wird es zu einer Reihe, oder nicht?  razz

Ciao,

Thomas

 [Bearbeiten]

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2017 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]