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Mathematik: Die Gelfand-Transformation - Teil 1
Freigegeben von matroid am Mi. 08. Juni 2016 21:01:56
Verfasst von Triceratops -   1006 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Die Gelfand-Transformation

In diesem ersten Teil des Artikels werden Banachalgebren eingeführt und die Gelfand-Transformation von kommutativen Banachalgebren besprochen. Zwei kleine Anwendungen betreffen die Spektralwerte einer Summe von kommutierenden Operatoren und den Satz von Wiener über invertierbare Fourierreihen. Im nächsten Teil werden wir die Gelfand-Transformation auf die Klassifikation der kommutativen C*-Algebren und die Fourier-Transformation anwenden.

Inhalt
Teil 1.
1. Der Begriff einer Banachalgebra
2. Das Spektrum eines Elementes
3. Die Resolventenfunktion
4. Der Charakterraum
5. Die Gelfand-Transformation
Teil 2.
6. Der Begriff einer C*-Algebra
7. Der Satz von Gelfand-Neumark
8. Der Funktionalkalkül
9. Banachalgebren ohne Eins
10. Die Fourier-Transformation


1. Der Begriff einer Banachalgebra

Wir setzen die Begriffe einer Algebra und eines Banachraumes als bekannt voraus. Algebren und Ringe haben in den folgenden Abschnitten stets eine Eins. Entsprechend müssen die Homomorphismen von Algebren die Eins erhalten.
 
Definition 1.1.
Eine Banachalgebra <math>A</math> über <math>\mathbb{K} \in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}</math> ist ein Banachraum über <math>\mathbb{K}</math> zusammen mit einer Struktur als Algebra über <math>\mathbb{K}</math> (mit Eins), sodass zusätzlich für alle <math>a,b \in A</math> gilt:

<math>\displaystyle \lVert 1 \rVert \leq 1,~ \lVert a \cdot b \rVert \leq \lVert a \rVert \cdot \lVert b \rVert.</math>

Man nennt diese Eigenschaft Submultiplikativität. Sofern der Grundkörper <math>\mathbb{K}</math> keine Rolle spielt, werden wir einfach von Banachalgebren sprechen.

Definition 1.2.
Ein Homomorphismus von Banachalgebren ist per Definition ein Homomorphismus von Algebren, der zugleich stetig ist. Wir werden allerdings oftmals auch mit allgemeinen Homomorphismen von Algebren arbeiten.
 
Bemerkung 1.3.
Wir erinnern daran, dass die Definition eines Banachraumes die Ungleichungen

<math>\displaystyle \lVert a+b \rVert \leq \lVert a \rVert + \lVert b \rVert, ~ \lVert \lambda \cdot a \rVert \leq |\lambda| \cdot \lVert a \rVert</math>

für <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> und <math>a,b \in A</math> beinhaltet. Es folgt daraus bereits <math>\lVert \lambda \cdot a \rVert = |\lambda| \cdot \lVert a \rVert</math>: Für <math>\lambda=0</math> ist das klar und für <math>\lambda \neq 0</math> ist

<math>\displaystyle |\lambda| \cdot \lVert a \rVert = |\lambda| \cdot \lVert \lambda^{-1} \cdot (\lambda \cdot a) \rVert \leq |\lambda| \cdot |\lambda^{-1}| \cdot \lVert \lambda \cdot a \rVert = \lVert \lambda \cdot a \rVert.</math>

In Banachalgebren <math>A</math> gilt allerdings die Multiplikativität <math>\lVert a \cdot b \rVert = \lVert a \rVert \cdot \lVert b \rVert</math> für alle <math>a,b \in A</math> eher selten, zumal dies die Nullteilerfreiheit impliziert.

Bemerkung 1.4.
In einer Banachalgebra gilt für endlich viele Elemente <math>a_1,\dotsc,a_n</math> (der Fall <math>n=0</math> ist eingeschlossen) die Ungleichung

<math>\displaystyle \lVert a_1 \cdot \dotsc \cdot a_n \rVert \leq \lVert a_1 \rVert \cdot \dotsc \cdot \lVert a_n \rVert.</math>

Insbesondere gilt <math>\lVert a^n \rVert \leq \lVert a \rVert^n</math> für Elemente <math>a</math> und natürliche Zahlen <math>n</math>. In einer Banachalgebra sind die Addition <math>(a,b) \mapsto a+b</math>, die Multiplikation <math>(a,b) \mapsto a \cdot b</math> sowie die Skalarmultiplikation <math>(\lambda,a) \mapsto \lambda \cdot a</math> stetige Abbildungen.

Beispiele 1.5.

1. Das einfachste Beispiel ist die triviale Banachalgebra <math>\{0\}</math> mit <math>1=0</math>. Hieran wird deutlich, dass wir in der Definition einer Banachalgebra nicht <math>\lVert 1 \rVert = 1</math> fordern dürfen. In allen nichttrivialen Banachalgebren gilt allerdings <math>\lVert 1 \rVert = 1</math>, denn es gilt <math>1 \neq 0</math> und <math>\lVert 1 \rVert = \lVert 1 \cdot 1 \rVert \leq \lVert 1 \rVert \cdot \lVert 1 \rVert \leq 1 \cdot \lVert 1 \rVert = \lVert 1 \rVert</math>.

2. Ein fundamentales Beispiel ist die Banachalgebra <math>C(X)</math> der <math>\mathbb{K}</math>-wertigen stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum <math>X</math>. Die Algebrastruktur ist punktweise erklärt, die Norm ist die Supremumsnorm <math>\lVert f \rVert_{\infty} := \sup_{x \in X} |f(x)|</math>. Für <math>X=\emptyset</math> ergibt sich die triviale Banachalgebra, für <math>X=\{1\}</math> die Banachalgebra <math>\mathbb{K}</math> und allgemeiner für <math>X=\{1,\dotsc,n\}</math> die Banachalgebra <math>\mathbb{K}^n</math> mit der Maximumsnorm.

3. Ein weiteres Beispiel für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> ist die sogenannte Diskalgebra <math>A</math>, bestehend aus den stetigen Funktionen <math>D=\{z \in \mathbb{C} : |z| \leq 1\} \to \mathbb{C}</math>, die holomorph auf <math>D^{\circ}=\{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\}</math> sind. Hier nehmen wir ebenfalls die Supremumsnorm.

4. Wenn <math>V</math> ein Banachraum über <math>\mathbb{K}</math> ist, dann haben wir die Banachalgebra <math>\mathcal{L}(V)</math> über <math>\mathbb{K}</math> der stetigen linearen Abbildungen <math>L:V \to V</math> mit der Komposition als Multiplikation und der Operatornorm <math>\lVert L \rVert = \sup_{\lVert x \rVert \leq 1} \lVert L(x)\rVert</math>. Im Gegensatz zu den vorherigen Beispielen ist diese Banachalgebra nicht kommutativ (sofern <math>\dim(V)>1</math>). Für <math>n=\dim(V)<\infty</math> ergibt sich die Matrixalgebra <math>M_n(\mathbb{K})</math>.

5. Die kommutative Banachalgebra <math>\ell^1(\mathbb{Z})</math> besteht aus den Folgen <math>a=(a_n)_{n \in \mathbb{Z}}</math> in <math>\mathbb{K}</math> mit <math>\lVert a \rVert_1 := \sum_{n \in \mathbb{Z}} |a_n| < \infty</math>. Das Produkt <math>a*b</math> zweier Elemente ist die Faltung

<math>\displaystyle (a*b)_n := \sum_{m \in \mathbb{Z}} a_m b_{n-m},</math>

und die Eins ist <math>e_0</math>. Überprüfen wir <math>a*b \in \ell^1(\mathbb{Z})</math> und <math>\lVert a * b \rVert_1 \leq \lVert a \rVert_1 \cdot \lVert b \rVert_1</math>:

<math>\displaystyle \lVert a * b \rVert_1 = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \Bigl| \sum_{m \in \mathbb{Z}} a_m b_{n-m} \Bigr| \leq \sum_{n \in \mathbb{Z}} \sum_{m \in \mathbb{Z}} |a_m| |b_{n-m}|\medskip\\
 = \sum_{m \in \mathbb{Z}} |a_m| \sum_{n \in \mathbb{Z}}  |b_{n-m}|=\sum_{m \in \mathbb{Z}} |a_m| \lVert b \rVert  = \lVert a \rVert_1 \cdot \lVert b \rVert_1. </math>
 
Die Banachalgebra <math>\ell^1(\mathbb{N})</math> ist analog definiert und kann als abgeschlossene Unteralgebra von <math>\ell^1(\mathbb{Z})</math> aufgefasst werden, bestehend aus den Folgen mit <math>a_n=0</math> für <math>n<0</math>.

Bemerkung 1.6.
Man mag sich fragen, wieso oben <math>X</math> als Hausdorffsch angenommen wird. Tatsächlich stellt dies gar keine Einschränkung dar. Ist <math>X</math> irgendein topologischer Raum, so ist der Hausdorffquotient von <math>X</math> gegeben durch <math>X/R</math> zusammen mit der Projektion <math>X \to X/R</math>, wobei <math>R</math> der Durchschnitt aller Äquivalenzrelationen <math>S</math> auf <math>X</math> ist, für die <math>X/S</math> Hausdorffsch ist. Die injektive stetige Abbildung <math>X/R \to \prod_S X/S</math> zeigt, dass <math>X/R</math>  ebenfalls Hausdorffsch ist, und es gilt die folgende universelle Eigenschaft: Ist <math>Y</math> irgendein Hausdorffraum, so setzt sich jede stetige Abbildung <math>X \to Y</math> eindeutig zu einer stetigen Abbildung <math>X/R \to Y</math> fort. Dies gilt insbesondere für <math>Y=\mathbb{K}</math>, sodass also <math>C(X) \cong C(X/R)</math> als Algebren gilt. Mit <math>X</math> ist ebenfalls <math>X/R</math> kompakt, und der Isomorphismus <math>C(X) \cong C(X/R)</math> ist sogar isometrisch.

Eine ähnliche Überlegung zeigt, dass wir <math>X</math> als kompakt annehmen dürfen: Um eine sinnvolle Norm auf stetigen Funktionen zu erklären, sollten wir beschränkte stetige Funktionen <math>X \to \mathbb{K}</math> anschauen, deren Bild also in einem kompakten Ball <math>B \subseteq \mathbb{K}</math> enthalten ist. Die universelle Eigenschaft der Stone-Cech-Kompaktifizierung <math>\beta(X)</math> zeigt nun, dass sich <math>X \to \mathbb{K}</math> eindeutig zu einer stetigen Abbildung <math>\beta(X) \to \mathbb{K}</math> fortsetzt, sodass genauer gesagt die Banachalgebra der beschränkten stetigen Funktionen <math>X \to \mathbb{K}</math> isometrisch isomorph zu <math>C(\beta(X))</math> ist. Zum Beispiel ist die Banachalgebra <math>\ell^{\infty}(\mathbb{N})</math> der beschränkten Folgen isometrisch isomorph zu <math>C(\beta(\mathbb{N}))</math>.

Bemerkung 1.7.
Sei <math>(A_i)_{i \in I}</math> eine Familie von Banachalgebren. Dann ist <math>\prod^{\infty}_{i \in I} A_i</math> die Banachalgebra der Familien <math>(a_i \in A_i)_{i \in I}</math> mit <math>\sup_{i \in I} \lVert a_i \rVert < \infty</math>. Addition und Multiplikation werden indexweise definiert. Die Norm ist <math>\lVert (a_i)_{i \in I} \rVert := \sup_{i \in I} \lVert a_i \rVert</math>. Zum Beispiel gilt <math>\prod^{\infty}_{i \in I} C(X_i) \cong C(X)</math>, wobei <math>X=\beta(\coprod_{i \in I} X_i)</math>. Für endliche Indexmengen <math>I</math> ist einfach <math>X=\coprod_{i \in I} X_i</math>, weil dann <math>\coprod_{i \in I} X_i</math> bereits kompakt ist.

Bemerkung 1.8.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra und <math>T \subseteq A</math> eine beliebige Teilmenge. Dann ist die Kommutante <math>T' := \{a \in A : \forall b \in T (ab=ba)\}</math> eine abgeschlossene Unteralgebra von <math>A</math> und damit ebenfalls eine Banachalgebra.

Bemerkung 1.9.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra und <math>I \subseteq A</math> ein abgeschlossenes Ideal. Dann trägt der Quotient <math>A/I</math> bekanntlich eine Struktur als Algebra und ist zugleich mit der Quotientennorm ein Banachraum. Die Vollständigkeit folgt aus der Abgeschlossenheit von <math>I</math>. Tatsächlich wird damit <math>A/I</math> zu einer Banachalgebra.

Bemerkung 1.10.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra und <math>B</math> eine Unteralgebra von <math>A</math>, die nicht notwendigerweise abgeschlossen ist. Dann ist der Abschluss <math>\overline{B}</math> eine abgeschlossene Unteralgebra von <math>A</math> und damit ebenfalls eine Banachalgebra. Wenn <math>T</math> irgendeine Teilmenge von <math>A</math> ist, so verstehen wir unter der von <math>T</math> erzeugten abgeschlossenen Unteralgebra von <math>A</math> den Abschluss der von <math>T</math> erzeugten Unteralgebra von <math>A</math>.

2. Das Spektrum eines Elementes

Definition 2.1.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra über <math>\mathbb{K}</math>. Für <math>a \in A</math> sei
 
<math>\displaystyle \sigma(a) := \{\lambda \in \mathbb{K} : a-\lambda 1 \text{ ist nicht invertierbar}\}.</math>
 
Diese Menge heißt das Spektrum von <math>a</math>. Das Spektrum hängt offenbar nicht von der Norm von <math>A</math> ab, sondern lediglich von der Algebrastruktur. Wenn die Algebra <math>A</math> verdeutlicht werden soll, schreiben wir <math>\sigma_A(a)</math>.

Beispiele 2.2.
Das Spektrum einer stetigen Funktion <math>f : X \to \mathbb{K}</math> auf einem kompakten Hausdorffraum <math>X</math> bezüglich der Algebra <math>C(X)</math> ist der Bildbereich von <math>f</math>. Dies ist eine kompakte Teilmenge von <math>\mathbb{K}</math>, und nichtleer falls <math>X \neq \emptyset</math>. Für eine Matrix <math>a \in M_n(\mathbb{K})</math> ist <math>\sigma(a)</math> die Menge der Eigenwerte von <math>a</math> in <math>\mathbb{K}</math>. Diese ist sogar endlich, und nichtleer wenn <math>\mathbb{K} = \mathbb{C}</math>  und <math>n \neq 0</math> ist. Wir werden gleich sehen, dass das Spektrum eines Elementes einer nichttrivialen Banachalgebra über <math>\mathbb{C}</math> immer kompakt und nichtleer ist.
 
Bemerkung 2.3.
Seien <math>A,B</math> zwei Banachalgebren. Für Homomorphismen von Algebren <math>f : A \to B</math> (nicht notwendigerweise stetig) gilt für alle <math>a \in A</math>:
 
<math>\displaystyle \sigma(f(a)) \subseteq \sigma(a).</math>
 
Denn wenn <math>a-\lambda 1 \in A</math> invertierbar ist, dann ist auch <math>f(a-\lambda 1)=f(a)-\lambda 1 \in B</math> invertierbar. Selbst wenn <math>f</math> die Einbettung einer abgeschlossenen Unteralgebra <math>A \subseteq B</math> ist, kann <math>\sigma(f(a)) \neq \sigma(a)</math> gelten: Sei <math>A \subseteq C(D)</math> die Diskalgebra aus Beispiel 1.5. Nach dem Maximumsprinzip ist <math>A \to C(S^1)</math>, <math>h \mapsto h|_{S^1}</math> injektiv, sogar isometrisch. Betrachte das Polynom <math>z \in A</math>. Dann gilt <math>\sigma_A(z)=D</math>, aber <math>\sigma_{C(S^1)}(z|_{S^1})=S^1</math>.
 
Lemma 2.4.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra und <math>a \in A</math> mit <math>\lVert a \rVert < 1</math>. Dann ist <math>1-a</math> invertierbar. Genauer gesagt gilt
 
<math>\displaystyle (1-a)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} a^k</math>
 
und <math>\lVert (1-a)^{-1} \rVert \leq (1-\lVert a \rVert)^{-1}</math>.
 
Beweis. Es ist <math>(\sum_{k=0}^{n} a^k)_{n \geq 0}</math> eine Cauchyfolge: Für <math>m \geq n</math> gilt nämlich
 
<math>\displaystyle \Bigl\lVert \sum_{k=n}^{m} a^k \Bigr\rVert \leq \sum_{k=n}^{m} \lVert a \rVert^k = \frac{\lVert a \rVert^{m+1}-\lVert a \rVert^n}{\lVert a\rVert -1} \longrightarrow 0.</math>
 
Also existiert <math>x := \sum_{k=0}^{\infty} a^k</math>. Man sieht <math>x=1+ax</math> und damit <math>1=(1-a)x</math>, analog folgt <math>1=x(1-a)</math>. Also ist <math>1-a \in A^{\times}</math> mit <math>(1-a)^{-1}=\sum_{k=0}^{\infty} a^k</math>. Für <math>n \geq 0</math> gilt
 
<math>\displaystyle \Bigl\lVert \sum_{k=0}^{n} a^k \Bigr\rVert \leq \sum_{k=0}^{n} \lVert a \rVert^k \leq \sum_{k=0}^{\infty} \lVert a \rVert^k = (1-\lVert a \rVert)^{-1}.</math>
 
Daraus folgt <math>\lVert (1-a)^{-1} \rVert \leq (1-\lVert a \rVert)^{-1}</math>. <math>\square</math>

Bemerkung 2.5.
Das Lemma wird im Folgenden eine wichtige Rolle spielen. Die geometrische Reihe <math>\sum_{k=0}^{\infty} a^k</math> wird üblicherweise Neumann-Reihe genannt. Wir haben die Vollständigkeit von <math>A</math> in essentieller Weise gebraucht. Wenn <math>A</math> lediglich eine normierte Algebra ist (also ein normierter Raum zusammen mit einer damit kompatiblen Algebrastruktur), so muss <math>1-a</math> für <math>\lVert a \rVert < 1</math> nicht invertierbar sein: Betrachte etwa die normierte Unteralgebra der Polynome <math>\mathbb{K}[T] \subseteq C([0,1])</math> und <math>a = \frac{1}{2} T</math>.
 
Korollar 2.6.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra. Dann ist <math>A^{\times} = \{a \in A : a \text{ ist invertierbar}\}</math> eine offene Teilmenge von <math>A</math>.
 
Beweis. Wir können <math>A \neq \{0\}</math> annehmen. Für <math>a \in A^{\times}</math> gilt dann <math>\varepsilon:= \lVert a^{-1} \rVert^{-1}>0</math>. Sei <math>b \in A</math> mit <math>\lVert a - b \rVert < \varepsilon</math>. Es folgt <math>\lVert a^{-1} (a-b) \rVert < 1</math>, sodass also <math>1-a^{-1}(a-b) \in A^{\times}</math> nach Lemma 2.4. Daher ist auch <math>b=a(1-a^{-1}(a-b)) \in A^{\times}</math>. <math>\square</math>

Satz 2.7.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra über <math>\mathbb{K}</math> und <math>a \in A</math>. Dann ist <math>\sigma(a)</math> eine abgeschlossene Teilmenge von <math>\mathbb{K}</math>, die in der Kugel <math>\overline{B}_{\lVert a\rVert}(0)=\{\lambda \in \mathbb{K} : |\lambda| \leq \lVert a \rVert\}</math> enthalten ist. Insbesondere ist <math>\sigma(a)</math> kompakt.
 
Beweis. Für <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> mit <math>\lambda > \lVert a \rVert</math> ist <math>a-\lambda 1 = -\lambda(1-\lambda^{-1} a)</math> nach Lemma 2.4 invertierbar, also <math>\lambda \notin \sigma(a)</math>. Dies zeigt <math>\sigma(a) \subseteq \overline{B}_{\lVert a \rVert}(0)</math>. Die Abbildung <math>\lambda  \mapsto x - \lambda 1</math> ist stetig und das Urbild der nach Korollar 2.6 abgeschlossenen Teilmenge <math>A \setminus A^{\times}</math> ist gerade <math>\sigma(a)</math>. Damit ist <math>\sigma(a)</math> abgeschlossen. <math>\square</math>

Beispiele 2.8.
Sei <math>H = \ell^2</math> der Banachraum (eigentlich sogar ein Hilbertraum) der komplexen Folgen <math>a=(a_n)_{n \geq 0}</math> mit <math>\lVert a \rVert^2 := \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|^2 < \infty</math>. Der Shift-Operator <math>S : H \to H</math> ist durch <math>S(a)_n = a_{n-1}</math> für <math>n \geq 1</math> und <math>S(a)_0=0</math> definiert, also:
 
<math>\displaystyle S(a_0,a_1,a_2,\dotsc)=(0,a_0,a_1,a_2,\dotsc).</math>
 
Offenbar ist <math>S</math> linear und isometrisch, insbesondere <math>S \in \mathcal{L}(H)</math>. Bestimmen wir das Spektrum <math>\sigma(S)</math>: Nach Satz 2.7 ist <math>\sigma(S) \subseteq D=\{z \in \mathbb{C}:|z| \leq 1\}</math>. Es gilt auch die Umkehrung: Wenn <math>S-\lambda 1</math> invertierbar ist, gibt es ein <math>a \in H</math> mit <math>(S-\lambda 1)(a)=e_0</math>, das heißt <math>-\lambda a_0 = 1</math> und <math>a_n - \lambda a_{n+1}=0</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>. Es folgt <math>\lambda \neq 0</math> sowie <math>a_n = - \lambda^{-n-1}</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math>. Aus <math>\infty > \lVert a \rVert^2 = \sum_{n=0}^{\infty} |\lambda|^{-n-1}</math> folgt nun <math>|\lambda| > 1</math>. Also ist <math>\sigma(S)=D</math>.
 
Lemma 2.9.
In jedem Ring gilt: Wenn <math>a,b</math> und <math>a-b</math> invertierbar sind und <math>a,b</math> miteinander kommutieren, dann ist auch <math>a^{-1}-b^{-1}</math> invertierbar.
 
Beweis. Es gilt <math>a-b=-ab(a^{-1}-b^{-1})=-(a^{-1}-b^{-1})ab</math>. Also ist <math>a^{-1}-b^{-1}</math> beidseitiger Teiler von <math>a-b</math> und damit invertierbar. <math>\square</math>

Für <math>T \subseteq \mathbb{C}^*</math> schreiben wir <math>T^{-1} := \{\lambda^{-1} : \lambda \in T\}</math>.
 
Lemma 2.10.
Es sei <math>a \in A^{\times}</math>, also <math>0 \notin \sigma(a)</math>. Dann ist <math>\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}</math>.

Beweis. Dies folgt aus Lemma 2.9 mit <math>b = \lambda 1</math>. <math>\square</math>

Lemma 2.11.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra über <math>\mathbb{K}</math> und <math>p \in \mathbb{K}[T]</math> ein Polynom. Für <math>a \in A</math> gilt dann <math>p(\sigma(a)) \subseteq \sigma(p(a))</math>. Für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> gilt sogar Gleichheit.

Beweis. Sei <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> und <math>p(a)-p(\lambda)1</math> invertierbar. Dann ist auch <math>a-\lambda 1</math> invertierbar, weil <math>a-\lambda 1</math> ein beidseitiger Teiler von <math>p(a)-p(\lambda) 1</math> ist. Dies zeigt <math>p(\sigma(a)) \subseteq \sigma(p(a))</math>. Für die Umkehrung sei <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> und <math>\lambda \in \sigma(p(a))</math>. Schreibe <math>p-\lambda 1=v(T-u_1) \cdot \dotsc \cdot (T-u_n)</math> mit <math>u_1,\dotsc,u_n \in \mathbb{C}</math> und <math>v \in \mathbb{C}^{\times}</math>. Weil <math>p(a)-\lambda 1 \in A</math> nicht invertierbar ist, gibt es ein <math>i</math>, sodass <math>a-u_i 1</math> nicht invertierbar ist, womit also <math>u_i \in \sigma(a)</math> gilt. Ferner gilt <math>p(u_i)-\lambda = 0</math> in <math>\mathbb{C}</math> und damit <math>\lambda=p(u_i) \in p(\sigma(a))</math>. <math>\square</math>
 
Bemerkung 2.12.
Für <math>\mathbb{K}=\mathbb{R}</math> kann es passieren, dass <math>p(\sigma(a))</math> eine echte Teilmenge von <math>\sigma(p(a))</math> ist. Betrachte zum Beispiel die Rotationsmatrix
 
<math>\displaystyle a = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}.</math>
 
Dann ist (über <math>\mathbb{R}</math>) <math>\sigma(a)=\emptyset</math>, <math>\sigma(a^2)=\sigma(-1)=\{-1\}</math>, also <math>\sigma(a)^2 \neq \sigma(a^2)</math>. Über <math>\mathbb{C}</math> gilt hingegen <math>\sigma(a)=\{\pm i\}</math> und damit <math>\sigma(a)^2=\sigma(a^2)</math>.
 
Definition 2.13.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra über <math>\mathbb{K}</math> und <math>a \in A</math>. Der Spektralradius <math>\rho(a)</math> sei der kleinste Radius einer abgeschlossenen Kugel mit Zentrum <math>0</math>, die das Spektrum umfasst <math>\sigma(a)</math>. Das heißt:
 
<math>\displaystyle \rho(a) := \sup_{\lambda \in \sigma(a)} |\lambda|.</math>
 
Nach Satz 2.7 gilt <math>0 \leq \rho(a) \leq \lVert a \rVert.</math>
 
Beispiele 2.14.
Wenn <math>A \neq \{0\}</math> und <math>a \in A</math> nilpotent ist (also <math>a^n=0</math> für ein <math>n \in \mathbb{N}</math>), dann gilt <math>\sigma(a)=\{0\}</math> und daher <math>\rho(a)=0</math>. Denn <math>a</math> ist nicht invertierbar, also <math>0 \in \sigma(a)</math>, aber <math>1-a</math> ist nach der gewöhnlichen geometrischen Reihe invertierbar, und entsprechend auch <math>a - \lambda 1 = -\lambda (1-\lambda^{-1} a)</math> für alle <math>\lambda \in \mathbb{C}^*</math>, also <math>\lambda \notin \sigma(a)</math>. Alternativ könnten wir mit Lemma 2.11 argumentieren: Es gilt <math>\sigma(a)^n \subseteq \sigma(a^n)=\sigma(0)=\{0\}</math>. In der Banachalgebra <math>A=C(X)</math> gilt <math>\rho(f)=\lVert f \rVert</math> für alle <math>f \in C(X)</math>.
 
Satz 2.15.
Sei <math>A \neq \{0\}</math> eine Banachalgebra über <math>\mathbb{C}</math> und <math>a \in A</math>. Dann ist <math>\sigma(a) \neq \emptyset</math>.
 
Wir werden den Beweis im nächsten Abschnitt nachholen. Es ist offenbar wichtig, dass wir hier über <math>\mathbb{C}</math> arbeiten (vgl. Bemerkung 2.12). Und in der trivialen Banachalgebra <math>A=\{0\}</math>, in der jedes Element invertierbar ist, gilt <math>\sigma(0)=\emptyset</math>.
 
Ein Divisionsring ist per Definition ein Ring <math>A</math> mit <math>A^{\times} = A \setminus \{0\}</math>, d.h. <math>A \neq \{0\}</math> und jedes Element <math>\neq 0</math> in <math>A</math> ist invertierbar. Demnach sind kommutative Divisionsringe dasselbe wie Körper.
 
Korollar 2.16. (Satz von Gelfand-Mazur)
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra über <math>\mathbb{C}</math>, die zugleich ein Divisionsring ist. Dann ist <math>A=\mathbb{C}</math>.

Beweis. Es ist <math>\mathbb{C} \to A</math>, <math>\lambda \mapsto \lambda 1</math> ein injektiver isometrischer Homomorphismus. Wir müssen nur die Surjektivität zeigen. Sei dazu <math>a \in A</math>. Dann gibt es nach Satz 2.15 ein <math>\lambda \in \mathbb{C}</math>, sodass <math>a-\lambda 1</math> nicht invertierbar ist. Es folgt <math>a-\lambda 1 = 0</math> und damit <math>a=\lambda 1</math>. <math>\square</math>

Satz 2.17.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra über <math>\mathbb{C}</math> und <math>a \in A</math>. Dann existiert der Grenzwert <math>\lim_{n \to \infty} \lVert a^n \rVert^{1/n}</math>, und stimmt mit <math>\rho(a)</math> überein.
 
Wir werden den Beweis im nächsten Abschnitt führen. Für spätere Anwendung vermerken wir noch:
 
Lemma 2.18.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra und <math>a \in A</math>. Dann existiert
 
<math>\displaystyle e^a := \sum_{k=0}^{\infty} \frac{a^k}{k!} \in A.</math>
 
Es gilt <math>e^{\sigma(a)} \subseteq \sigma(e^a)</math>. Wenn <math>a,b</math> miteinander kommutieren, dann gilt <math>e^{a+b}=e^a \cdot e^b</math>.

Beweis. Die Beweise für die Existenz von <math>e^a</math> und die Gleichung <math>e^{a+b}=e^a \cdot e^b</math> verlaufen wie in der reellen Analysis, in etwa wie bei Lemma 2.4. Nun sei <math>\lambda \in \sigma(a)</math>. Dann ist <math>a-\lambda 1</math> ein beidseitiger Teiler von <math>e^a-e^{\lambda} 1</math>, sodass also mit <math>a-\lambda 1</math> ebenfalls <math>e^a - e^{\lambda} 1</math> nicht invertierbar ist. Also ist <math>e^{\lambda} \in \sigma(e^a)</math>. <math>\square</math>

3. Die Resolventenfunktion

In diesem Abschnitt sei <math>A</math> stets eine nichttriviale Banachalgebra über <math>\mathbb{C}</math>. Wir setzen außerdem Grundlagen holomorpher Funktionen voraus.
 
Satz 3.1.
Sei <math>a \in A^{\times}</math> und <math>h \in A</math> mit <math>\lVert h \rVert < \lVert a^{-1} \rVert^{-1}</math>. Dann ist <math>a+h \in A^{\times}</math> und
 
<math>\displaystyle \lVert (a+h)^{-1} - a^{-1} + a^{-1} h a^{-1} \rVert \leq \frac{\lVert a^{-1} \rVert^3 \, \lVert h \rVert^2}{1-\lVert a^{-1} \rVert \, \lVert h \rVert}.</math>
 
Beweis. Wir haben <math>a+h \in A^{\times}</math> bereits im Beweis von Korollar 2.6 gesehen. Es gilt <math>(a+h)^{-1} = (1+a^{-1} h)^{-1} a^{-1}</math> und daher
 
<math>\displaystyle (a+h)^{-1} - a^{-1} + a^{-1} h a^{-1} = ((1+a^{-1} h)^{-1} - 1 + a^{-1} h) a^{-1} = ((1+x)^{-1} - 1 + x) a^{-1}</math>
 
für <math>x := a^{-1} h</math>. Es gilt <math>\lVert x \rVert < 1</math>, sodass wir Lemma 2.4 anwenden können: Es gilt <math>(1+x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 \pm \dotsc</math>, also
 
<math>\displaystyle \lVert (1+x)^{-1} - 1 + x \rVert  \leq  \Bigl\lVert x^2 \cdot \sum_{k=0}^{\infty} (-x)^k \Bigr\rVert \leq \frac{\lVert x \rVert^2}{1-\lVert x \rVert} \leq \frac{\lVert a^{-1} \rVert^2 \, \lVert h \rVert^2}{1-\lVert a^{-1} \rVert \, \lVert h \rVert}.</math>
 
Daraus folgt die Behauptung. <math>\square</math>
 
Korollar 3.2.
Es ist <math>A^{\times} \to A^{\times}</math>, <math>a \mapsto a^{-1}</math> Fréchet-differenzierbar, insbesondere stetig. Das Differential in einem Punkt <math>a \in A^{\times}</math> ist die lineare Abbildung <math>h \mapsto -a^{-1} h a^{-1}</math>.

Beweis. Aus Satz 3.1 folgt
 
<math>\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\lVert (a+h)^{-1} - a^{-1} - (- a^{-1} h a^{-1}) \rVert}{\lVert h \rVert} = 0. ~ \square</math>
 
Wir bemerken, dass für <math>A=\mathbb{C}</math> das Differential aus Korollar 3.2 die üblichere Form <math>1 \mapsto -\frac{1}{a^2}</math> annimmt.
 
Definition 3.3.
Für <math>a \in A</math> ist die Resolventenfunktion <math>R_a : \mathbb{C} \setminus \sigma(a) \to A</math> definiert durch
 
<math>\displaystyle R_a(\lambda):=(a-\lambda 1)^{-1}.</math>
 
Satz 3.4.
Sei <math>\varphi : A \to \mathbb{C}</math> eine stetige lineare Abbildung und <math>a \in A</math>. Dann ist
 
<math>\displaystyle f := \varphi \circ R_a : \mathbb{C} \setminus \sigma(a) \to \mathbb{C},~\lambda \mapsto \varphi((a-\lambda 1)^{-1})</math>
 
eine holomorphe Funktion mit <math>\lim_{|\lambda| \to \infty} f(\lambda)=0</math>.
 
Beweis. Sei <math>\lambda \in \mathbb{C} \setminus \sigma(a)</math> und <math>\mu \in \mathbb{C}</math> hinreichend nahe bei <math>\lambda</math>. Aus Satz 3.1 folgt
 
<math>\displaystyle \lVert (a-\mu 1)^{-1} - (a-\lambda 1)^{-1} + (\lambda - \mu) (a-\lambda 1)^{-2} \lVert \leq C |\lambda - \mu|^2</math>
 
für eine Konstante <math>C \geq 0</math>, die nicht von <math>\mu</math> abhängt. Daraus folgt
 
<math>\displaystyle \lim_{\mu \to \lambda} \frac{(a-\mu 1)^{-1} - (a-\lambda 1)^{-1}}{\mu - \lambda} = (a-\lambda 1)^{-2}.</math>
 
Weil <math>\varphi</math> stetig und linear ist, folgt hieraus
 
<math>\displaystyle \lim_{\mu \to \lambda} \frac{f(\mu)-f(\lambda)}{\mu - \lambda} = \varphi((a-\lambda 1)^{-2}).</math>
 
Damit ist <math>f</math> holomorph. Wegen der Stetigkeit der Inversionsabbildung (Korollar 3.2) gilt ferner
 
<math>\displaystyle \lim_{|\lambda| \to \infty} \lambda \cdot f(\lambda) = \lim_{|\lambda| \to \infty} \varphi\bigl(\lambda (a - \lambda 1)^{-1}\bigr)= \lim_{|\lambda| \to \infty} \varphi\Bigl(\bigl(\tfrac{a}{\lambda}-1\bigr)^{-1}\Bigr) = \varphi(-1).</math>
 
Daraus folgt <math>\lim_{|\lambda| \to \infty} f(\lambda)=0</math>. <math>\square</math>

Wir können nun die beiden offenen Sätze aus dem vorherigen Abschnitt beweisen.

Beweis von Satz 2.15. Angenommen, <math>\sigma(a)=\emptyset</math>. Sei <math>\varphi : A \to \mathbb{C}</math> eine stetige lineare Abbildung. Nach Satz 3.4 ist <math>\varphi \circ R_a</math> eine beschränkte holomorphe Funktion, die auf ganz <math>\mathbb{C}</math> definiert ist, und gegen <math>0</math> strebt im Unendlichen. Nach dem Satz von Liouville ist sie also konstant, und zwar mit dem Wert <math>0</math>. Weil dies für alle <math>\varphi</math> gilt, ist nach dem Satz von Hahn-Banach auch <math>R_a</math> konstant mit dem Wert <math>0</math>. Wegen <math>R_a(0)=a^{-1}</math> folgt hieraus <math>A=\{0\}</math>, Widerspruch. <math>\square</math>

Beweis von Satz 2.17. Für <math>\lambda \in \sigma(a)</math> und <math>n \in \mathbb{N}</math> gilt <math>\lambda^n \in \sigma(a^n)</math> nach Lemma 2.11. Aus Satz 2.7 folgt daher <math>\lVert \lambda^n \rVert \leq \lVert a^n \rVert</math>, also <math>|\lambda| \leq \lVert a^n \rVert^{1/n}</math>. Dies zeigt
 
<math>\displaystyle \rho(a) \leq \liminf_{n \to \infty} \lVert a^n \rVert^{1/n}.</math>
 
Sei nun <math>\varphi : A \to \mathbb{C}</math> eine stetige lineare Abbildung und die Funktion <math>f : \mathbb{C} \setminus \sigma(a) \to \mathbb{C}</math>, <math>f(\lambda)=\varphi((a-\lambda 1)^{-1})</math> wie in Satz 3.4 definiert. Sei <math>|\lambda| > \lVert a \rVert</math>. Es gilt dann <math>\lVert \lambda^{-1} a \rVert  < 1</math> und folglich (Lemma 2.4) <math>(1-\lambda^{-1} a)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} (\lambda^{-1} a)^k</math>, also
 
<math>\displaystyle f(\lambda) = \varphi((a-\lambda 1)^{-1})=\varphi(-\lambda^{-1} (1-\lambda^{-1} a)^{-1}) = -\sum_{k=0}^{\infty} \lambda^{-k-1} \varphi(a^k).</math>
 
Nach Satz 3.4 ist <math>f</math> holomorph auf <math>\mathbb{C} \setminus \sigma(a)</math> und damit auf <math>\{\lambda \in \mathbb{C} : |\lambda| > \rho(a)\}</math>. Daher gilt die obige Gleichung <math>f(\lambda)= -\sum_{k=0}^{\infty} \lambda^{-k-1} \varphi(a^k)</math> bereits für alle <math>\lambda</math> aus dieser Menge, und die Potenzreihe konvergiert dort absolut. Insbesondere gilt
 
<math>\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} |\varphi(\lambda^{-n} a^n) | < \infty.</math>
 
Hierbei war <math>\varphi</math> beliebig. Aus dem Satz von Banach-Steinhaus folgt daher, dass es eine von <math>\lambda</math> abhängige Konstante <math>C \geq 0</math> gibt, sodass <math>\lVert \lambda^{-n} a^n \rVert \leq C</math> für alle <math>n \in \mathbb{N}</math> gilt. Daraus folgt <math>\lVert a^n \rVert^{1/n} \leq |\lambda| \, C^{1/n}</math>, und weiter
 
<math>\displaystyle \limsup_{n \to \infty} \lVert a^n \rVert^{1/n} \leq |\lambda|</math>
 
für alle <math>|\lambda| > \rho(a)</math>. Wir haben damit
 
<math>\displaystyle \rho(a) \leq \liminf_{n \to \infty} \lVert a^n \rVert^{1/n} \leq \limsup_{n \to \infty} \lVert a^n \rVert^{1/n} \leq \rho(a)</math>
 
bewiesen. Daraus folgt die Behauptung. <math>\square</math>

4. Der Charakterraum

Definition 4.1.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra über <math>\mathbb{K}</math>. Ein Charakter von <math>A</math> ist ein Homomorphismus von Algebren <math>\varphi : A \to \mathbb{K}</math> über <math>\mathbb{K}</math>. Das heißt, <math>\varphi</math> ist eine lineare Abbildung mit <math>\varphi(1)=1</math> und <math>\varphi(a \cdot b)=\varphi(a) \cdot \varphi(b)</math> für <math>a,b \in A</math>. Die Menge der Charaktere bezeichnen wir mit <math>\Phi_A</math>.
 
Auch wenn wir Charaktere nicht als stetig vorausgesetzt haben, gilt das bemerkenswerte Resultat:
 
Satz 4.2.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra über <math>\mathbb{K}</math>. Jeder Charakter <math>\varphi : A \to \mathbb{K}</math> ist stetig mit <math>\lVert \varphi \rVert \leq 1</math>. Für alle <math>a \in A</math> gilt sogar <math>\varphi(a) \in \sigma(a)</math>.
 
Beweis. Sei <math>a \in A</math> mit <math>\varphi(a) \notin \sigma(a)</math>. Dann ist <math>a - \varphi(a)1</math> invertierbar in <math>A</math> und damit auch <math>\varphi(a - \varphi(a)1)</math> invertierbar in <math>\mathbb{K}</math>, Widerspruch zu <math>\varphi(a - \varphi(a)1)=0</math>. Also gilt <math>\varphi(a) \in \sigma(a)</math>. Mit Satz 2.7 folgt <math>|\varphi(a)| \leq \lVert a \rVert</math>. <math>\square</math>
 
Satz 4.3.
Sei <math>A</math> eine kommutative Banachalgebra über <math>\mathbb{C}</math>. Dann gibt es eine Bijektion zwischen den Charakteren von <math>A</math> und den maximalen Idealen von <math>A</math>. Sie ist durch <math>\varphi \mapsto \ker(\varphi)</math> gegeben. Jedes maximale Ideal ist abgeschlossen.

Beweis. Sei <math>\varphi</math> ein Charakter von <math>A</math>. Dann ist <math>A/\ker(\varphi) \cong \mathrm{im}(\varphi)=\mathbb{C}</math> ein Körper und damit <math>\ker(\varphi)</math> ein maximales Ideal. Es sei umgekehrt <math>I \subseteq A</math> ein maximales Ideal. Dann ist der Abschluss <math>\overline{I}</math>  ein Ideal mit <math>I \subseteq \overline{I}</math>. Es gilt <math>\overline{I} \neq A</math>, denn aus <math>I \subseteq A \setminus A^{\times}</math> folgt <math>\overline{I} \subseteq A \setminus A^{\times}</math> nach Korollar 2.6. Die Maximalität zeigt daher <math>I=\overline{I}</math>, womit <math>I</math> abgeschlossen ist. Dann ist die Quotientenalgebra <math>A/I</math> bezüglich der Quotientennorm eine Banachalgebra. Weil <math>I</math> maximal und <math>A</math> kommutativ ist, ist <math>A/I</math> ein Körper. Nach Korollar 2.16 ist daher <math>A/I = \mathbb{C}</math>. Die Quotientenabbildung <math>A \to A/I = \mathbb{C}</math> ist nun ein Charakter mit Kern <math>I</math>. Sind <math>\varphi,\psi : A \to \mathbb{C}</math> zwei Charaktere mit <math>\ker(\varphi)=\ker(\psi)</math>, so folgt <math>\varphi=\psi</math>: Denn aus <math>\varphi(a-\varphi(a)1)=0</math> folgt auch <math>\psi(a-\varphi(a)1)=0</math> und damit <math>\psi(a)=\varphi(a)</math> für alle <math>a \in A</math>. <math>\square</math>
 
Lemma 4.4.
Sei <math>A</math> eine kommutative Banachalgebra über <math>\mathbb{C}</math>. Es gilt genau dann <math>\lambda \in \sigma(a)</math>, wenn <math>\varphi(a)=\lambda</math> für ein <math>\varphi \in \Phi_A</math> gilt.
 
Beweis. Nach dem Zornschen Lemma sind die Elemente, die in einem maximalen Ideal enthalten sind, gerade jene, die nicht invertierbar sind. Es gilt daher <math>\lambda \in \sigma(a)</math> genau dann, wenn <math>a-\lambda 1</math> in einem maximalen Ideal enthalten ist, was widerum nach Satz 4.3 bedeutet, dass es ein <math>\varphi \in \Phi_A</math> gibt mit <math>\varphi(a-\lambda 1)=0</math>, also <math>\varphi(a)=\lambda</math>. <math>\square</math>

Definition 4.5.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra über <math>\mathbb{K}</math>. Wir können <math>\Phi_A</math> als Teilmenge von <math>\prod_{a \in A} \mathbb{K}</math> auffassen und können damit die Teilraumtopologie der Produkttopologie auf <math>\Phi_A</math> betrachten. Dabei wird <math>\mathbb{K}</math> mit der üblichen Topologie versehen. Mit dieser Topologie versehen heißt <math>\Phi_A</math> der Charakterraum von <math>A</math>.

Bemerkung 4.6.
Nach Konstruktion ist für jedes <math>a \in A</math> die Projektion
 
<math>\displaystyle \mathrm{pr}_{a} : \Phi_A \to \mathbb{K}, ~ \varphi \mapsto \varphi(a)</math>
 
stetig, und die Topologie ist so gemacht, dass eine Abbildung nach <math>\Phi_A</math> genau dann stetig ist, wenn die Komposition mit jeder Projektion nach <math>\mathbb{K}</math> stetig ist. Die Topologie von <math>\Phi_A</math> hängt alleine von der Algebrastruktur von <math>A</math> ab, was für die Elemente von <math>\Phi_A</math> ebenfalls zutrifft. Insbesondere gilt: Wenn <math>A,B</math> als Algebren isomorph sind, dann sind <math>\Phi_A,\Phi_B</math> homöomorph.
 
Satz 4.7.
Sei <math>A</math> eine kommutative Banachalgebra über <math>\mathbb{K}</math>. Dann ist der Charakterraum <math>\Phi_A</math> ein kompakter Hausdorffraum.

Beweis. Als Teilraum eines Produktes von Hausdorffräumen ist <math>\Phi_A</math> ebenfalls Hausdorffsch. Es bleibt die Kompaktheit zu zeigen. Aus Satz 4.2 folgt <math>\Phi_A \subseteq P \subseteq \prod_{a \in A} \mathbb{K}</math> mit <math>P=\prod_{a \in A} \overline{B}_{\lVert a \rVert}(0)</math>. Nach dem Satz von Tychonoff ist <math>P</math> kompakt. Es ist <math>\Phi_A</math> ein abgeschlossener Teilraum von <math>P</math>, weil er durch die stetigen Gleichungen <math>\varphi(1)=1</math>, <math>\varphi(a \cdot b)=\varphi(a) \cdot \varphi(b)</math> ausgeschnitten wird. Daher ist auch <math>\Phi_A</math> kompakt. <math>\square</math>
 
Satz 4.8.
Es sei <math>X</math> ein kompakter Hausdorffraum. Dann gibt es einen natürlichen Homöomorphismus <math>\delta : X \to \Phi_{C(X)}</math>.
 
Beweis. Für jedes <math>x \in X</math> ist offenbar <math>\delta(x) : C(X) \to \mathbb{C}</math>, <math>f \mapsto f(x)</math> ein Charakter. Die damit erklärte Funktion <math>\delta : X \to \Phi_{C(X)}</math> ist stetig, denn für jedes <math>f \in C(X)</math> ist die Komposition von <math>\delta : X \to \Phi_{C(X)}</math> mit <math>\mathrm{pr}_f : \Phi_{C(X)} \to \mathbb{C}</math> stetig, nämlich gleich <math>f</math>. Die Injektivität von <math>\delta</math> folgt aus dem Lemma von Urysohn. Was die Surjektivität betrifft, reicht es nach Satz 4.3 zu zeigen, dass jedes maximale Ideal von <math>C(X)</math> von der Form <math>\ker(\delta(x))=\{f \in C(X) : f(x)=0\}</math> für ein <math>x \in X</math> ist. Sei also <math>I \subseteq C(X)</math> ein maximales Ideal. Angenommen, für kein <math>x \in X</math> gilt <math>I \subseteq \ker(\delta(x))</math>. Wähle dann für alle <math>x \in X</math> ein <math>f_x \in I</math> mit <math>f_x(x) \neq 0</math>. Wähle eine offene Umgebung <math>U_x</math> von <math>x</math> mit <math>f_x \neq 0</math> auf <math>U_x</math>. Wähle mit der Kompaktheit von <math>X</math> endlich viele <math>x_1,\dotsc,x_n</math> mit <math>X=U_{x_1} \cup \dotsc \cup U_{x_n}</math> und betrachte <math>g := f_{x_1} \overline{f_{x_1}} + \dotsc +f_{x_n} \overline{f_{x_n}}</math>. Dann ist <math>g : X \to \mathbb{R}_{\geq 0} \subseteq \mathbb{C}</math> stetig und <math>g \in I</math>. Auf jedem <math>U_{x_i}</math> gilt <math>g > 0</math>. Daher ist <math>g</math> invertierbar in <math>C(X)</math>. Dies widerspricht der Annahme, dass <math>I</math> ein echtes Ideal ist. Also gibt es ein <math>x \in X</math> mit <math>I \subseteq \ker(\delta(x))</math>. Mit der Maximalität von <math>I</math> folgt nun <math>I=\ker(\delta(x))</math>. Jetzt sind wir fertig: Eine bijektive stetige Abbildung von einem kompakten Raum in einen Hausdorffraum ist bereits ein Homöomorphismus. <math>\square</math>
 
Korollar 4.9.
Sind <math>X</math> und <math>Y</math> kompakte Hausdorffräume, für die <math>C(X)</math> und <math>C(Y)</math> als Algebren isomorph sind, so sind <math>X</math> und <math>Y</math> homöomorph.
 
Beispiele 4.10.
Im nichtkommutativen Fall kann es passieren, dass es gar keine Charaktere gibt: Betrachte dazu <math>A=M_n(\mathbb{K})</math> für <math>n>1</math> und sei <math>\varphi : M_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}</math> ein Charakter. Für <math>i \neq j</math> gilt <math>e_{ij}^2=0</math> und damit <math>\varphi(e_{ij})^2=0</math>, also <math>\varphi(e_{ij})=0</math>. Andererseits gilt <math>e_{ii}=e_{ij} e_{ji}</math>, sodass auch <math>\varphi(e_{ii})=0</math> folgt. Wegen <math>1=\sum_i e_{ii}</math> folgt nun nach Anwenden von <math>\varphi</math> der Widerspruch <math>1=0</math>.

5. Die Gelfand-Transformation

Definition 5.1.
Sei <math>A</math> eine kommutative Banachalgebra über <math>\mathbb{K}</math> und <math>a \in A</math>. Die Gelfand-Transformierte von <math>a</math> ist die Funktion
 
<math>\displaystyle \widehat{a} :  \Phi_A \to \mathbb{K},~ \varphi \mapsto \varphi(a).</math>
 
Dies ist also eine andere Schreibweise für <math>\mathrm{pr}_a</math>. Insbesondere ist <math>\widehat{a}</math> stetig.
 
Satz 5.2.
Sei <math>A</math> eine kommutative Banachalgebra über <math>\mathbb{K}</math>. Dann erklärt <math>a \mapsto \widehat{a}</math> einen Homomorphismus von Algebren
 
<math>\displaystyle \eta : A \to C(\Phi_A).</math>
 
Er ist stetig mit <math>\lVert \eta \rVert \leq 1</math>.
 
Beweis. Die Algebrastruktur von <math>C(\Phi_A)</math> ist punktweise definiert und für jeden Punkt <math>\varphi \in \Phi_A</math> ist die Komposition <math>\mathrm{pr}_{\varphi} \circ \eta :A \to \mathbb{K}</math> ein Homomorphismus von Algebren ist, nämlich <math>\varphi</math>. Daher ist <math>\eta</math> ein Homomorphismus von  Algebren. Ferner gilt nach Satz 4.7 <math>\lVert \eta(a) \rVert = \sup_{\varphi \in \Phi_A} \lVert \varphi(a) \rVert \leq \lVert a \rVert</math>. <math>\square</math>

Definition 5.3.
Es heißt <math>\eta : A \to C(\Phi_A)</math>, <math>a \mapsto \widehat{a}</math> die Gelfand-Transformation von <math>A</math>.
 
Für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> gilt:
 
Satz 5.4.
Sei <math>A</math> eine kommutative Banachalgebra über <math>\mathbb{C}</math>. Dann ist <math>\widehat{a} : \Phi_A \to \mathbb{K}</math> eine stetige Funktion mit <math>\lVert \widehat{a} \rVert = \rho(a)</math> und <math>\mathrm{im}(\widehat{a})=\sigma(a)</math>.
 
Beweis. Die Gleichung <math>\mathrm{im}(\widehat{a})=\sigma(a)</math> ist eine Umformulierung von Lemma 4.4. Daraus ergibt sich dann durch Supremumsbildung <math>\lVert \widehat{a} \rVert = \rho(a)</math>. <math>\square</math>

Bemerkung 5.5.
Wir haben somit jedem Element einer völlig abstrakten kommutativen Banachalgebra eine konkrete stetige Funktion auf einem gewöhnlichen Raum zugeordnet. Dabei wird im komplexen Fall das Spektrum des Elementes gerade der Bildbereich, und der Spektralradius die Supremumsnorm der zugeordneten Funktion. Außerdem ist die Zuordnung mit der algebraischen Struktur verträglich. Es gelten also die Beziehungen
 
<math>\displaystyle  \widehat{a+b}=\widehat{a}+\widehat{b},~ \widehat{\lambda \cdot a} = \lambda \cdot \widehat{a},~ \widehat{a \cdot b}=\widehat{a} \cdot \widehat{b},~ \widehat{1}=1.</math>
   
Als Anwendung erhalten wir eine Verallgemeinerung von Lemma 2.11, die selbst für Matrizen interessant ist:
 
Korollar 5.6.
Es sei <math>A</math> eine Banachalgebra über <math>\mathbb{C}</math> und <math>a,b \in A</math> zwei Elemente, die miteinander kommutieren. Dann gilt
 
<math>\displaystyle \sigma(a \cdot b) \subseteq \sigma(a) \cdot \sigma(b), \medskip \\
\sigma(a + b) \subseteq \sigma(a) + \sigma(b).</math>
 
Beweis. Falls <math>A=C(X)</math> für einen kompakten Hausdorffraum <math>X</math> gilt, folgen die Inklusionen aus den  Beobachtungen <math>\mathrm{im}(f \cdot g) \subseteq \mathrm{im}(f) \cdot \mathrm{im}(g)</math> und <math>\mathrm{im}(f+g) \subseteq \mathrm{im}(f) + \mathrm{im}(g)</math> für <math>f,g \in C(X)</math>. Ist also allgemeiner <math>A</math> eine kommutative Banachalgebra, so erhalten wir mit Satz 5.4:
 
<math>\displaystyle \sigma(a \cdot b) = \mathrm{im}(\widehat{a \cdot b})=\mathrm{im}(\widehat{a} \cdot \widehat{b}) \subseteq \mathrm{im}(\widehat{a}) \cdot \mathrm{im}(\widehat{b}) = \sigma(a) \cdot \sigma(b)</math>
 
und analog <math>\sigma(a+b) \subseteq \sigma(a)+\sigma(b)</math>. Im allgemeinen Fall sei <math>B</math> die von den Elementen der Form <math>a</math>, <math>b</math>, <math>(a-\lambda 1)^{-1}</math>, <math>(b-\lambda 1)^{-1}</math>, <math>(ab-\lambda 1)^{-1}</math>, <math>(a+b-\lambda 1)^{-1}</math> (für die <math>\lambda</math>, wo dies Sinn ergibt) erzeugte abgeschlossene Unteralgebra von <math>A</math>. Diese ist kommutativ, weil die Erzeuger miteinander kommutieren. Dann gilt <math>\sigma_A(a) = \sigma_B(a)</math>, <math>\sigma_A(b)=\sigma_B(b)</math>, <math>\sigma_A(a \cdot b) = \sigma_B(a \cdot b)</math> und <math>\sigma_A(a + b) = \sigma_B(a + b)</math>. Daher folgt die Behauptung aus dem bereits bewiesenen kommutativen Fall. <math>\square</math>

Bemerkung 5.7.
Die Inklusionen aus Korollar 5.6 gelten nicht unbedingt, wenn <math>a,b</math> nicht miteinander kommutieren. Betrachte etwa die beiden Matrizen
 
<math>\displaystyle a=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \, b = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ~ \Longrightarrow ~ a \cdot b= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \, a+b = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.</math>
 
Dann gilt <math>\sigma(a)=\sigma(b)=\{0\}</math>, aber <math>\sigma(a \cdot b)= \{0,1\}</math> und <math>\sigma(a+b)=\{\pm 1\}</math>. Außerdem hatten wir bereits in Bemerkung 2.12 gesehen, dass es notwendig ist, über <math>\mathbb{C}</math> zu arbeiten.
 
Korollar 5.8.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra über <math>\mathbb{C}</math>, die von einem Element <math>a \in A</math> topologisch erzeugt wird, d.h. <math>\mathbb{C}[a] \subseteq A</math> ist dicht. Dann ist <math>\widehat{a} : \Phi_A \to \sigma(a)</math> ein Homöomorphismus. Dies gilt auch dann, wenn <math>a</math> invertierbar ist und <math>A</math> lediglich von <math>a,a^{-1}</math> erzeugt wird.
 
Beweis. Offenbar ist <math>A</math> kommutativ. Nach Satz 5.4 ist <math>\widehat{a} : \Phi_A \to \sigma(a)</math> eine surjektive stetige Funktion. Weil <math>\Phi_A</math> und <math>\sigma(a)</math> kompakte Hausdorffräume sind, müssen wir nur noch die Injektivität zeigen. Seien also <math>\varphi,\psi \in \Phi_A</math> Charaktere mit <math>\widehat{a}(\varphi) =\widehat{a}(\psi)</math> bzw. <math>\varphi(a)=\psi(a)</math>. Dann ist <math>B:=\{b \in A : \varphi(b)=\psi(b)\}</math> eine abgeschlossene Unteralgebra von <math>A</math>, die <math>a</math> enthält. Wenn also <math>A</math> von <math>a</math> topologisch erzeugt wird, folgt <math>A=B</math> und damit die Behauptung. Wenn <math>a</math> invertierbar ist und <math>A</math> von <math>a,a^{-1}</math> topologisch erzeugt wird, dann ist auch <math>a^{-1} \in B</math> und damit wieder <math>A=B</math>. <math>\square</math>
 
Dies können wir nun auf die Banachalgebren <math>\ell^1(\mathbb{N})</math> und <math>\ell^1(\mathbb{Z})</math> aus Beispiel 1.5 anwenden. Wie zuvor sei <math>D=\{z \in \mathbb{C} : |z| \leq 1\}</math> und <math>S^1=\{z \in \mathbb{C} : |z|=1\}</math>. Weiter bezeichne <math>e_1 \in \ell^1(\mathbb{N}) \subseteq \ell^1(\mathbb{Z})</math> die in <math>1</math> konzentrierte Folge mit Wert <math>1</math>.
 
Satz 5.9.
Die Abbildungen <math>\widehat{e_1} : \Phi_{\ell^1(\mathbb{N})} \to D</math> und <math>\widehat{e_1} : \Phi_{\ell^1(\mathbb{Z})} \to S^1</math> sind Homöomorphismen. Unter diesen Identifikationen sind die Gelfand-Transformationen <math>\ell^1(\mathbb{N}) \to C(D)</math> bzw. <math>\ell^1(\mathbb{Z}) \to C(S^1)</math> gegeben durch <math>a \mapsto \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n z^n</math> bzw. <math>a \mapsto \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n z^n</math>.
 
Beweis. Es wird <math>\ell^1(\mathbb{N})</math> von <math>e_1</math> topologisch erzeugt, weil sich jedes <math>a \in \ell^1(\mathbb{N})</math> schreiben lässt als <math>a=\sum_{n \in \mathbb{N}} a_n e_1^n</math>, wobei <math>e_1^n=e_n</math> zu beachten ist. Analog wird <math>\ell^1(\mathbb{Z})</math> von <math>e_1</math> und <math>e_1^{-1}=e_{-1}</math> topologisch erzeugt, weil sich jedes <math>a \in \ell^1(\mathbb{Z})</math> schreiben lässt als <math>a=\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n e_1^n</math>. Wir können also Korollar 5.8 anwenden, und müssen nur noch die Spektren bestimmen. In beiden Räumen gilt <math>\lVert e_1 \rVert = 1</math> und damit <math>\sigma(e_1) \subseteq D</math>. Für <math>\ell^1(\mathbb{N})</math> gilt auch die Umkehrung: Ist <math>|\lambda| \leq 1</math>, so ist <math>e_1-\lambda 1 \in \ell^1(\mathbb{N})</math> nicht invertierbar. Denn wir können den Charakter <math>\varphi : \ell^1(\mathbb{N}) \to \mathbb{C}</math> definieren durch <math>\varphi(a) = \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n \lambda^n</math>, und es gilt <math>\varphi(e_1 - \lambda 1)=0</math>. In <math>\ell^1(\mathbb{Z})</math> gilt <math>\lVert e_1^{-1} \rVert = 1</math> und damit <math>\sigma(e_1)^{-1}=\sigma(e_1^{-1}) \subseteq D</math>, zusammen mit <math>\sigma(e_1) \subseteq D</math> also <math>\sigma(e_1) \subseteq S^1</math>. Sei umgekehrt <math>\lambda \in S^1</math>, dann ist <math>e_1 - \lambda 1</math> nicht invertierbar. Denn wir können den Charakter <math>\varphi : \ell^1(\mathbb{Z}) \to \mathbb{C}</math> definieren durch <math>\varphi(a) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n \lambda^n</math>, und es gilt <math>\varphi(e_1 - \lambda 1)=0</math>. <math>\square</math>
 
Anhand dieses Beispiels sieht man, dass die Gelfand-Transformation weder isometrisch noch surjektiv sein muss. Als Anwendung erhalten wir:

Satz 5.10. (Satz von Wiener)
Sei <math>f : S^1 \to \mathbb{C}^*</math> eine stetige Funktion, die auf <math>S^1</math> eine absolut-konvergente Fourierreihenentwicklung besitze:
 
<math>\displaystyle f(z) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n z^n,~ \sum_{n \in \mathbb{Z}} |a_n| < \infty.</math>
 
Dann trifft dies auf die stetige Funktion <math>f^{-1} : S^1 \to \mathbb{C}^*</math> ebenfalls zu. Die entsprechende Aussage gilt auch für Potenzreihenentwicklungen von stetigen Funktionen <math>D \to \mathbb{C}^*</math>.

Beweis. Nach Annahme hat <math>f</math> ein Urbild <math>a \in \ell^1(\mathbb{Z})</math> unter der Gelfand-Transformation <math>\ell^1(\mathbb{Z}) \to C(S^1)</math> aus Satz 5.9. Es gilt dabei <math>0 \notin \mathrm{im}(f)= \sigma(a)</math> (Satz 5.4), sodass <math>a</math> invertierbar ist. Für <math>b=a^{-1}</math> gilt nun <math>\widehat{b}=f^{-1}</math>. Für Potenzreihenentwicklungen können wir mit <math>\ell^1(\mathbb{N})</math> analog argumentieren. <math>\square</math>
 
Bemerkung 5.11. Man hätte Satz 5.9 auch direkt und zugleich allgemeiner beweisen können: Für jede Banachalgebra <math>A</math> induziert die Auswertung bei <math>e_1</math> eine Bijektion zwischen den Homomorphismen von Algebren <math>\ell^1(\mathbb{N}) \to A</math> mit Norm <math>\leq 1</math> und den Elementen <math>a \in A</math> mit <math>\lVert a \rVert \leq 1</math>, bzw. eine Bijektion zwischen den Homomorphismen von Algebren <math>\ell^1(\mathbb{Z}) \to A</math> mit Norm <math>\leq 1</math> und den Elementen <math>a \in A^{\times}</math> mit <math>\lVert a \rVert \leq 1</math> und <math>\lVert a^{-1} \rVert \leq 1</math> (was bereits <math>\lVert a \rVert = \lVert a^{-1} \rVert = 1</math> im Falle <math>A \neq \{0\}</math> impliziert). In diesem Sinne ist <math>\ell^1(\mathbb{N})</math> die universelle Banachalgebra, die von einem Element der Norm <math>\leq 1</math> erzeugt wird. Diese Beobachtungen hängen auch eng damit zusammen, dass <math>\ell^1(\mathbb{N})</math> die Vervollständigung der Polynomalgebra <math>\mathbb{C}[T]</math> bzw. <math>\ell^1(\mathbb{Z})</math> die Vervollständigung der Laurentalgebra <math>\mathbb{C}[T,T^{-1}]</math> jeweils bezüglich der <math>1</math>-Norm ist.


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Die Gelfand-Transformation - Teil 1 [von Triceratops]  
Die Gelfand-TransformationIn diesem ersten Teil des Artikels werden Banachalgebren eingeführt und die Gelfand-Transformation von kommutativen Banachalgebren besprochen. Zwei kleine Anwendungen betreffen die Spektralwerte einer Summe von kommutierenden Operatoren und den Satz von Wiener über invertie
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" Mathematik: Die Gelfand-Transformation - Teil 1" | 2 Kommentare
 
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Re: Die Gelfand-Transformation - Teil 1
von Ex_Mitglied_36500 am Do. 09. Juni 2016 03:00:27


Hi Triceratops!
Ich habe den Artikel noch nicht zu Ende gelesen. Was mir bis jetzt aufgefallen ist: Bemerkung 1.8 (Definition der Kommutante) verstehe ich nicht, die Notation ist obskur. Und die Beweisführung bei Satz 2.18 (über das Exponential) verstehe ich auch nicht. Wie kommt man darauf, daß es ein beidseitiger Teiler ist, und wieso folgt daraus, daß es nicht invertierbar ist?
Planst Du nur den kommutativen Fall? Ich habe mich zufällig gerade am Wochenende in Rahmen meiner Bachelorarbeit mit C*-Algebren befaßt (und zwar in der mathematischen statistischen Physik). Ich denke, daß die GNS-Konstruktion für die Physiker hier sehr interessant wäre.

PS: Was Bemerkung 1.8 angeht, habe ich mittlerweile eine Vermutung... Kann es sein, daß Du einfach, um einen zweifachen Doppelpunkt zu vermeiden, die Bedingung in Klammern gesetzt hast?
Die Frage bezüglich Satz 2.18 ist aber noch aktuell.
Übrigens: Daß Du die Stone-Cech-Kompaktifizierung erwähnt hast, hat ein kleineres Aha-Erlebnis bei mir ausgelöst!

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Re: Die Gelfand-Transformation - Teil 1
von Triceratops am Fr. 10. Juni 2016 08:03:08


Die GNS-Konstruktion wird im Artikel nicht vorkommen. Dazu muss ich auf andere Bücher und Skripte verweisen.
 
Bemerkung 1.8: Deine Vermutung ist richtig. Es besteht <math>T'</math> aus den Elementen von <math>A</math>, die mit allen Elementen aus <math>T</math> kommutieren. In der Gruppentheorie wird die entsprechende Konstruktion Zentralisator genannt.

(Ursprünglich war ein Beweis von Korollar 5.6 bzw. genauer gesagt der Reduktion auf den kommutativen Fall mit Kommutanten geplant, daher die Bemerkung. Sie hat ansonsten keine Bedeutung für den Artikel.)
 
Lemma 2.18: Wir können <math>A</math> sowieso als kommutativ annehmen, weil sich alles in der von <math>a</math> erzeugten abgeschlossenen Unteralgebra abspielt. Ist allgemeiner <math>b \in A</math> ein Element, das mit <math>a</math> kommutiert, so ist <math>a-b</math> ein Teiler von <math>e^a - e^b</math>. Denn zunächst ist <math>e^a - 1 = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^k}{k!} = a \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a^{k-1}}{k!}</math> ein Vielfaches von <math>a</math>. Also ist <math>e^a - e^b = e^b (e^{a-b}-1)</math> ein Vielfaches von <math>a-b</math>.

Wenn <math>x</math> ein beidseitiger Teiler von <math>y</math> ist und <math>y</math> invertierbar ist, dann ist auch <math>x</math> invertierbar. Diese elementare Beobachtung wurde bereits bei Lemma 2.9 und Lemma 2.11 benutzt.

(Lemma 2.18 wird erst in Abschnitt 6 benutzt. Man kann auch einen Beweis mit der Gelfand-Transformation aus Abschnitt 5 führen: Es ist o.B.d.A. <math>A</math> kommutativ (vgl. das Argument in Korollar 5.6). Dann gilt <math>\sigma(e^a)=\{\varphi(e^a):\varphi \in \Phi_A\}=\{e^{\varphi(a)}:\varphi \in \Phi_A\} = \{e^{\lambda}: \lambda \in \sigma(a)\} = e^{\sigma(a)}</math>. Es gilt also sogar Gleichheit. Eine allgemeinere Aussage gibt es im sogenannten holomorphen Funktionalkalkül.)
 
Was ich noch ergänzen wollte: Es gibt einen elementaren Beweis für die Sätze 2.15 und 2.17, der ohne die in Abschnitt 3 verwendete Theorie der holomorphen Funktionen und die Sätze von Liouville, Hahn-Banach und Banach-Steinhaus auskommt: Christian Bär, Christian Becker, "C*-algebras", Lect. Notes Phys. 786, 1-37 (2009). Man braucht lediglich primitive Einheitswurzeln und macht damit viele Abschätzungen.

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