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Mathematik: Dreieck eines Gleichgewichtszustandes
Freigegeben von matroid am Di. 14. Juni 2016 20:00:29
Verfasst von Quadratus -   399 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Der Artikel beschäftigt sich mit einem Dreieck, welches entsteht, wenn man eine an einem Kabel aufgehängte Lampe mit einem an der Decke befestigten Faden seitlich abspannt.

Im reibungsfreien Zustand entsteht dabei ein Dreieck aus den zwei Aufhängepunkten und dem Verbindungspunkt Kabel-Faden, dessen Innenwinkel <math>\alpha, \pi/2+\alpha</math> und <math>\pi/2-2\alpha</math> betragen. Dabei hängt der Winkel <math>\alpha</math> vom Verhältnis der Länge des abspannenden Fadens zur Distanz zwischen den beiden Aufhängepunkten ab, der Cosinus des Winkels genügt einer quadratischen Gleichung.

Das Dreieck besitzt dem Höhen- und Kathedensatz ähnliche Flächen- und Längenverhältnisse.

Unter Vorgabe der Distanz zwischen den Aufhängepunkten und der Länge des abspannenden Fadesn lässt sich das Dreieck mit Zirkel und Lineal konstruieren.

Minimierung der Lampenhöhe


Abb: Lampe an Decke. Das Kabel geht von Punkt B über C an die Lampe, ein Faden von Punkt A zu Punkt C spannt die Lampe seitlich ab. Die Lagerung in C ist reibungsfrei.

Hängt man eine Lampe, wie in der Abbildung dargestellt, an der Decke auf, so fragt sich jedes MP-Mitglied natürlich sofort, bei welchem Winkel <math>\alpha</math> die Lampe am tiefsten hängt.

Von nun an werden alle Längen in Einheiten der Strecke <math>c</math> angegeben, d.h. <math>c=1</math>, und das oben erwähnte Verhältnis von abspannender Fadenlänge <math>b</math> zur Distanz <math>c</math> der Aufhängepunkte ist dann gleich <math>b</math>.

Zur Bestimmung des Winkels <math>\alpha</math> berechnet man einfach den Abstand der Lampe zur Decke und leitet diesen nach <math>\alpha</math> ab, oder man sagt sich, dass der Tiefpunkt genau dann ereicht ist, wenn eine kleine Änderung des Winkels <math>\alpha</math> die Höhe <math>h_c</math> um denselben Betrag ändert wie die Länge <math>a (\frac{dh_c}{d\alpha}=\frac{da}{d\alpha})</math>.

Beide Varianten liefern das selbe Ergebnis, und man erhält unter Verwendung des Cosinus-Satzes, welcher die Seite <math>a</math> zu <math>a=\sqrt{1+b^2-2\cdot b\cdot cos(\alpha)}</math> bestimmt, folgende Bestimmungsgleichung für <math>\alpha</math>:

<math>tan(\alpha)=\sqrt{1+b^2-2\cdot b\cdot cos(\alpha)}</math>(1a)

<math>tan^2(\alpha)=1+b^2-2\cdot b\cdot cos(\alpha)</math>(1b)

Da die rechte Seite von (1a) die Strecke <math>a</math> ist und die linke Seite <math>\frac{h_c}{p}</math>, ergibt sich die Länge der Seite <math>a</math> aus dem Verhältnis von <math>h_c</math> zu <math>p</math>, also <math>a=\frac{h_c}{p}</math>.

Wegen <math>tan^2(\alpha)=1/cos^2(\alpha)-1</math> ist (1b) eine Gleichung dritten Grades in <math>cos(\alpha)</math> und kann elementar gelöst werden.

<math>2\cdot b\cdot cos^3(\alpha)-(2+b^2)\cdot cos^2(\alpha)+1=0</math>(1c)

Für den Wert <math>b=0</math> folgt sofort <math>\alpha=\pi/4</math> und für <math>b=1</math> auch relativ offensichtlich <math>\alpha=\pi/2</math>.

Minimierung der Potentiellen Energie

Eine andere Herangehensweise ist die Anwendung des Prinzips der Minimalen Potentiellen Energie, welches mich als junger Student gleich fasziniert hat. Dieses Prinzip besagt, dass sich in reibungsfreien Systemen ein Zustand mit mininaler potentieller Energie einstellt. In diesem Zustand ist das System dann im Kräftegleichgewicht.


Abb: Kräftegleichgewicht Die eingezeichneten Kräfte (rot) sind die Kräfte im Kabel und vom Betrag her gleich.

Stellt man das Kräftegleichgewicht entlang der Achse senkrecht zur Strecke b (graue Linie) auf, erhält man

<math>F\cdot cos(\varphi_1)=F\cdot sin(\varphi_2)</math>,

wobei F die Kraft im Kabel ist. Wegen Reibungsfreiheit ist diese nach unten und nach oben betragsmäßig gleich groß.

Die eben erstellte Gleichgewichtsbedingung fordert, dass die Winkel <math>\varphi_1</math> und <math>\varphi_2</math> gleich sind, <math>\varphi_1=\varphi_2=\varphi</math>, die Geometrie liefert uns <math>\varphi=\alpha</math>.

Damit ist das Dreieck durch den Winkel <math>\alpha</math> vollständig bestimmt und enthält die Innenwinkel

<math>\alpha=\alpha</math>
<math>\beta=\pi/2-2\alpha</math>
<math>\gamma=\pi/2+\alpha</math>

Der Winkel <math>\alpha</math> hängt nur von der Strecke b ab bzw., falls <math>c\neq1</math> gewählt wird, vom Verhältnis <math>b/c</math>.

Das zugehörige gleichschenklige Dreieck findet man wegen <math>\alpha=\pi/2-2\alpha</math> beim Winkel <math>\alpha=\pi/6</math>, welches zum Wert von <math>b=\sqrt{1/3}</math> gehört.

Die Anwendung der drei Relationen des Sinussatzes ergeben weitere Einblicke. Unter Verwendung von <math>sin(\pi/2+\alpha)=cos(\alpha)</math> und <math>sin(\pi/2-2\alpha)=cos(2\alpha)=2cos^2(\alpha)-1</math> erhält man:

<math>sin(\beta)/b=sin(\gamma)/c =></math>
<math>cos^2(\alpha)-b/2*cos(\alpha)-1/2=0</math>(2a)

also eine quadratische Gleichung für <math>cos(\alpha)</math>. An den Grenzen <math>b=0</math> und <math>b=1</math> lauten die Werte für <math>\alpha</math>

<math>b=0</math>:<math>cos(\alpha)=\sqrt{1/2} => \alpha=\pi/4</math>

<math>b=1</math>:<math>cos(\alpha)=1 => \alpha=0</math>

Der quadratische Term (2a) kann von der kubischen Gleichung (1c) abgespalten werden, wobei man als dritte Lösung <math>cos(\alpha)=1/b</math> erhält.

Die zweite Relation erzeugt Gleichung (1):

<math>sin(\alpha)/a=sin(\gamma)/c => tan(\alpha) = a</math>(2b)

Die dritte Relation macht eine Aussage über Längen- und Flächenverhältnisse:

<math>sin(\beta)/b=sin(\alpha)/a =></math>
<math>(2cos^2(\alpha)-1)\cdot a=sin(\alpha)\cdot b=h_c</math>.(2c)

Wegen <math>cos^2(\alpha)=\frac{1}{tan^2(\alpha)+1}</math> kann (2c) durch Alleinstellen von <math>tan^2(\alpha)</math> umgeformt werden zu

<math>tan^2(\alpha)=\frac{a-h_c}{a+h_c}</math>.

Unter Berücksichtigung von (1b) hat das Dreieck damit die Eigenschaft

<math>\frac{{h_c}^2}{{p}^2}=\frac{a-h_c}{a+h_c}=a^2</math>.

Die Bahnkurve von Punkt C

Mit den Ergebnissen des letzten Abschnittes lässt sich nun leicht die Kurve berechnen, auf der die Punkte C liegen.

Man betrachtet das rechtwinklige Dreieck aus B, C und dem Fußpunkt der Höhe <math>h_c</math>, bei dem der Pythagoras lautet:

<math>h_c^2+(1-p)^2=a^2=\frac{h_c^2}{p^2}</math>

und erhält <math>h_c</math> in Abhängigkeit von p als

<math>h_c = p\sqrt{\frac{1-p}{1+p}}</math>

Die Kurve geht wie zu erwarten bei B senkrecht nach unten und fällt bei A im 45°-Winkel ein. Sie ist in der Grafik des Anhangs gelb eingeblendet.

Zusammenfassung

Die Innenwinkel des Dreiecks lauten:

<math>\alpha=\alpha</math> <math>\beta=\pi/2-2\alpha</math> <math>\gamma=\pi/2+\alpha</math>

mit Winkel <math>\alpha</math> aus

<math>cos(\alpha)=\frac{b}{4}+\sqrt{(\frac{b}{4})^2+\frac{1}{2}}</math>

Im Dreieck herschen folgende Längen- und Flächenverhältnisse:

<math>a=\frac{h_c}{p}</math> <math>a^2=\frac{a-h_c}{a+h_c}</math> <math>\frac{h_c^2}{p^2}=\frac{a-h_c}{a+h_c}</math>

Die Punkte C des Dreiecks liegen auf der Kurve

<math>y=x\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}</math>

Anhang: Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Zur Konstruktion benötigen wir die Bestimmungsgleichung (2a) für <math>\alpha</math>:

<math>cos(\alpha)=\frac{b}{4}+\sqrt{(\frac{b}{4})^2+\frac{1}{2}}</math>

Zunächst zeichnet man die Punkte B und A und verlängert dann nach rechts um <math>1/2</math>, dies ergibt Punkt D. (Strecke AB = 1)

Nun schlägt man einen Thaleskreis über B und D und ein Lot über A. Das Lot schneidet den Thaleskreis in E. Die Strecke AE hat die Länge <math>\sqrt{1/2}</math>.

Jetzt ist es an der Zeit, sich für eine Länge <math>b</math> zu entscheiden. Ist <math>b</math> bestimmt, trägt man ein Viertel davon vom Punkt A aus in Richtung Punkt D ab und erhält Punkt F. Die Strecke FE hat die Länge <math>\sqrt{(\frac{b}{4})^2+\frac{1}{2}}</math>.

Also verlängert man die Strecke FE um ein Viertel von b und bekommt so den Punkt G. Jetzt hat die Strecke FG die Länge <math>\frac{b}{4}+\sqrt{(\frac{b}{4})^2+\frac{1}{2}}=cos(\alpha)</math>.

Schlägt man einen Thaleskreis über B und A und einen Kreis um F mit dem Radius FG, dann schneiden sich beiden Kreise im Punkt H und der Winkel B-A-H hat den Wert <math>\alpha</math>.

Die Länge <math>b</math> von A aus in Richtung H abgetragen liefert Punkt C.


Abb: Konstruktion mit Zirkel und LinealDie Punkte C liegen alle auf der gelb eingezeichneten Kurve.

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Dreieck eines Gleichgewichtszustandes [von Quadratus]  
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