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Mathematik: Die Gelfand-Transformation - Teil 2
Freigegeben von matroid am So. 26. Juni 2016 10:11:44
Verfasst von Triceratops -   756 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Die Gelfand-Transformation

In diesem zweiten Teil des Artikels führen wir C*-Algebren ein und benutzen die Gelfand-Transformation aus dem ersten Teil, um kommutative C*-Algebren zu klassifizieren. Wir besprechen ebenfalls den nicht-unitalen Fall. Die Gelfand-Transformation für die nicht-unitale Banachalgebra <math>L^1(\mathbb{R})</math> führt zur Fourier-Transformation.

Inhalt
Teil 1.
1. Der Begriff einer Banachalgebra
2. Das Spektrum eines Elementes
3. Die Resolventenfunktion
4. Der Charakterraum
5. Die Gelfand-Transformation
Teil 2.
6. Der Begriff einer C*-Algebra
7. Der Satz von Gelfand-Neumark
8. Der Funktionalkalkül
9. Banachalgebren ohne Eins
10. Die Fourier-Transformation


6. Der Begriff einer C*-Algebra

Für welche Banachalgebren <math>A</math> ist die Gelfand-Transformation
 
<math>\displaystyle \eta : A \to C(\Phi_A),~ a \mapsto \widehat{a}</math>
 
ein (isometrischer) Isomorphismus? Wir erinnern daran, dass <math>\Phi_A</math> der Charakterraum von <math>A</math> und <math>\widehat{a}</math> durch <math>\widehat{a}(\varphi)=\varphi(a)</math> definiert ist. Wir müssen dabei beachten, dass die kommutative Banachalgebra <math>C(X)</math> der stetigen Funktionen <math>X \to \mathbb{C}</math> für einen kompakten Hausdorffraum <math>X</math> noch eine Zusatzstruktur trägt, nämlich die punktweise komplexe Konjugation. Diese Struktur wird durch den nun folgenden Begriff einer <math>C^*</math>-Algebra abstrahiert.
 
Definition 6.1.
Eine involutive Algebra <math>A</math> ist eine Algebra über <math>\mathbb{C}</math> zusammen mit einer Abbildung <math>A \to A</math>, <math>a \mapsto \overline{a}</math>, Involution genannt, sodass für alle <math>a,b \in A</math> und <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> gilt:
 
<math>\displaystyle \overline{a \cdot b} = \overline{b} \cdot \overline{a}, ~ \overline{a+b}=\overline{a}+\overline{b},~ \overline{\lambda \cdot a} = \overline{\lambda} \cdot \overline{a},~ \overline{\overline{a}}=a.</math>
 
Eine <math>C^*</math>-Algebra ist eine Banachalgebra über <math>\mathbb{C}</math> zusammen mit einer Struktur als involutive Algebra, sodass für alle <math>a \in A</math> gilt:
 
<math>\displaystyle \lVert a \cdot \overline{a} \rVert = \lVert a \rVert^2.</math>
 
In den meisten Quellen gibt es die Notation <math>a^*</math> anstelle von <math>\overline{a}</math> (vgl. Beispiel 6.4) und involutive Algebren werden oft <math>*</math>-Algebren genannt.
 
Bemerkung 6.2.
In jeder involutiven Algebra gilt <math>\overline{1}=1</math>, denn <math>\overline{1}=1 \cdot \overline{1} = \overline{\overline{1}} \cdot \overline{1} = \overline{1 \cdot \overline{1}} = \overline{\overline{1}}=1</math>. Außerdem gilt in jeder <math>C^*</math>-Algebra <math>\lVert \overline{a} \rVert = \lVert a \rVert</math>, denn es gilt <math>\lVert a \rVert^2 = \lVert a \cdot \overline{a} \rVert \leq \lVert a \rVert \cdot \lVert \overline{a} \rVert</math>, also <math>\lVert a \rVert \leq \lVert \overline{a} \rVert</math>, was mit <math>\overline{a}</math> anstelle von <math>a</math> auch <math>\lVert \overline{a} \rVert \leq \lVert \overline{\overline{a}} \rVert = \lVert a \rVert</math> nach sich zieht.
 
Bemerkung 6.3.
Beim Nachweis einer <math>C^*</math>-Algebra reicht es, <math>\lVert a \rVert^2 \leq \lVert a \cdot \overline{a} \rVert</math> für alle <math>a \in A</math> zu zeigen: Es folgt <math>\lVert a \rVert^2 \leq \lVert a \rVert \cdot \lVert \overline{a}\Vert</math> und damit <math>\lVert a \rVert \leq \lVert \overline{a} \rVert</math>. Setzt man hier <math>a</math> anstelle von <math>\overline{a}</math> ein, folgt wie zuvor <math>\lVert a \rVert = \lVert \overline{a} \rVert</math>. Mit der Submultiplikativität ergibt sich nun die fehlende Ungleichung <math>\lVert a  \cdot  \overline{a} \rVert \leq \lVert a \rVert \cdot \lVert \overline{a} \rVert = \lVert a \rVert \cdot \lVert a \rVert = \lVert a \rVert^2</math>.

Beispiele 6.4.
Es ist <math>\mathbb{C}</math> mit der komplexen Konjugation als Involution eine kommutative <math>C^*</math>-Algebra, denn für <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> gilt <math>\lambda \cdot \overline{\lambda}=|\lambda|^2</math> und daher <math>|\lambda \cdot \overline{\lambda}|=|\lambda|^2</math>. Allgemeiner wird für einen kompakten Hausdorffraum <math>X</math> die Banachalgebra <math>C(X)</math> mit der Involution <math>\overline{f}(x):=\overline{f(x)}</math> eine kommutative <math>C^*</math>-Algebra. Die Banachalgebra <math>\ell^1(\mathbb{Z})</math> trägt zwar eine Involution, nämlich <math>\overline{f}(z)=\overline{f(-z)}</math>, allerdings ist die Gleichung <math>\lVert a \cdot \overline{a} \Vert = \lVert a \rVert^2</math> z.B. für <math>a=e_0 - e_1 - e_2</math> verletzt. Ein nichtkommutatives Beispiel einer <math>C^*</math>-Algebra ist <math>\mathcal{L}(H)</math> für einen Hilbertraum <math>H</math>, wobei <math>\overline{T}:=T^*</math> der zu <math>T</math> adjungierte Operator sei. Zum Nachweis von <math>\lVert T \cdot T^*\rVert = \lVert T \rVert^2</math> überlegt man sich zunächst mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung die Beziehungen
 
<math>\displaystyle \lVert T \rVert^2 = \sup_{\lVert x \rVert \leq 1 ,\, \lVert y \rVert \leq 1} \langle Tx,Ty \rangle,~~\lVert T \rVert = \sup_{\lVert x \rVert \leq 1 ,\, \lVert y \rVert \leq 1} \langle Tx,y \rangle = \sup_{\lVert x \rVert \leq 1 ,\, \lVert y \rVert \leq 1} \langle x,Ty \rangle.</math>
 
Daraus folgt dann zunächst

<math>\lVert T \rVert =  \sup_{\lVert x \rVert \leq 1 ,\, \lVert y \rVert \leq 1} \langle T^* x,y \rangle = \lVert T^* \rVert,</math>
 
und damit
 
<math>\displaystyle \lVert T \rVert^2 = \lVert T^* \rVert^2 = \sup_{\lVert x \rVert \leq 1 ,\, \lVert y \rVert \leq 1} \langle T^* x,T^* y \rangle = \sup_{\lVert x \rVert \leq 1 ,\, \lVert y \rVert \leq 1} \langle T T^* x,y \rangle = \lVert T \cdot T^* \rVert.</math>
 
Tatsächlich ist jede <math>C^*</math>-Algebra zu einer abgeschlossenen Unter-<math>C^*</math>-Algebra von <math>\mathcal{L}(H)</math> für einen Hilbertraum <math>H</math> isomorph. Aber diesen Satz von Gelfand-Neumark-Segal werden wir hier nicht beweisen. Dieser Satz erklärt allerdings, warum sich viele Begriffe für <math>C^*</math>-Algebren an diesem Beispiel orientieren. Andere Begriffe stammen wiederum aus der Quantenmechanik, wofür es ein Modell mit <math>C^*</math>-Algebren gibt.
 
Bemerkung 6.5.
Sei <math>(A_i)_{i \in I}</math> eine Familie von <math>C^*</math>-Algebren. Dann wird die Banachalgebra <math>\prod_{i \in I}^{\infty} A_i</math> aus Bemerkung 1.7 eine <math>C^*</math>-Algebra mit <math>\overline{(a_i)_{i \in I}} := (\overline{a_i})_{i \in I}</math>.
 
Definition 6.6.
Sei <math>A</math> eine <math>C^*</math>-Algebra. Ein Element <math>a \in A</math> mit <math>a=\overline{a}</math> heißt selbstadjungiert. Ein Element <math>a \in A</math> heißt unitär, wenn <math>a \cdot \overline{a}=1</math> und <math>\overline{a} \cdot a = 1</math> gilt.
 
Beispiele 6.7.
Für jedes <math>a \in A</math> ist <math>a \cdot \overline{a}</math> selbstadjungiert. Weitere Beispiele sind der Real- und Imaginärteil
 
<math>\displaystyle \mathrm{Re}(a) := \tfrac{a+\overline{a}}{2},~\mathrm{Im}(a):=\tfrac{a-\overline{a}}{2i}</math>
 
eines Elementes <math>a \in A</math>. Offenbar gilt
 
<math>\displaystyle a = \mathrm{Re}(a) + i \cdot \mathrm{Im}(a),~\overline{a}=\mathrm{Re}(a) - i \cdot \mathrm{Im}(a).</math>
 
Im Beispiel <math>A=C(X)</math> ist <math>f : X \to \mathbb{C}</math> genau dann selbstadjungiert bzw. unitär, wenn <math>f(X) \subseteq \mathbb{R}</math> bzw. <math>f(X) \subseteq S^1</math>. Diese beiden Beobachtungen verallgemeinern wir nun:
 
Lemma 6.8.
Sei <math>A</math> eine <math>C^*</math>-Algebra und <math>a \in A</math> unitär. Dann ist <math>\sigma(a) \subseteq S^1</math>.
 
Beweis. Es gilt <math>\lVert a \rVert^2 = \lVert a \cdot \overline{a} \rVert = \lVert 1 \rVert \leq 1</math>. Für <math>\lambda \in \sigma(a)</math> gilt also nach Satz 2.7 <math>|\lambda| \leq 1</math>. Aus Lemma 2.10 folgt nun aber <math>\lambda^{-1} \in \sigma(a^{-1})</math> und auch <math>a^{-1}=\overline{a}</math> ist unitär, sodass also <math>|\lambda^{-1}| \leq 1</math> und damit <math>|\lambda|=1</math> folgt. <math>\square</math>
 
Lemma 6.9.
Sei <math>A</math> eine <math>C^*</math>-Algebra und <math>a \in A</math> selbstadjungiert. Dann ist <math>\sigma(a) \subseteq \mathbb{R}</math>.

Beweis. Wir betrachten das Element <math>u := e^{ia}</math> (vgl. Lemma 2.18). Es gilt <math>\overline{u} = e^{\overline{ia}}=e^{-ia}</math>. Aus Lemma 2.18 folgt daher, dass <math>u</math> unitär ist, sodass <math>\sigma(e^{ia}) \subseteq S^1</math> nach Lemma 6.8. Für <math>\lambda \in \sigma(a)</math> gilt <math>e^{i\lambda} \in \sigma(e^{ia})</math> nach Lemma 2.18, sodass also <math>|e^{i\lambda}|=1</math> und damit <math>\lambda \in \mathbb{R}</math> gilt. <math>\square</math>
 
Bemerkung 6.10.
Für Elemente <math>a</math> einer <math>C^*</math>-Algebra gilt <math>\sigma(\overline{a})=\{\overline{\lambda} : \lambda \in \sigma(a)\}</math>.

Wir erinnern daran, dass <math>\rho(a)</math> den Spektralradius von <math>a</math> bezeichnet (Abschnitt 2).
 
Satz 6.11.
In einer <math>C^*</math>-Algebra <math>A</math> gilt <math>\rho(a)=\lVert a \rVert</math> für alle selbstadjungierten <math>a \in A</math>. Folglich gilt für beliebige <math>a \in A</math> die Gleichung <math>\lVert a \rVert = \rho(a \cdot \overline{a})^{1/2}</math>. Die Norm auf <math>A</math> ist somit eindeutig durch die zugrunde liegende involutive Algebra von <math>A</math> bestimmt.
 
Beweis. Für selbstadjungierte <math>a \in A</math> gilt <math>\lVert a \rVert = \lVert a \cdot \overline{a} \rVert^{1/2} = \lVert a^2 \rVert^{1/2} = \dotsc = \lVert a^{2^k} \rVert^{1/2^k}</math> für alle <math>k \geq 0</math>. Die Behauptung folgt daher aus der Formel für <math>\rho(a)</math> aus Satz 2.17. <math>\square</math>
 
Bemerkung 6.12.
Die Norm einer Banachalgebra ist nicht alleine durch die algebraische Struktur bestimmt. So haben wir etwa auf <math>\mathbb{C}^n</math> für jedes <math>1 \leq p \leq \infty</math> die <math>p</math>-Norm, welche eine Operatornorm auf <math>\mathcal{L}(\mathbb{C}^n) = M_n(\mathbb{C})</math> induziert. Nur für <math>p=2</math> liegt eine bzw. die <math>C^*</math>-Norm vor.
 
Definition 6.13.
Ein Homomorphismus von involutiven Algebren bzw. <math>C^*</math>-Algebren ist ein Homomorphismus von Algebren, der zusätzlich mit der Involution vertauscht.
 
Lemma 6.14.
Es sei <math>f : A \to B</math> ein Homomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren. Gilt <math>\lVert f(a) \rVert = \lVert a \rVert</math> bzw. <math>\lVert f(a) \rVert \leq \lVert a \rVert</math> für alle selbstadjungierten <math>a \in A</math>, so gilt dies bereits für alle <math>a \in A</math>.

Beweis. Für <math>a \in A</math> gilt <math>\lVert f(a) \rVert^2 = \lVert f(a) \cdot \overline{f(a)} \rVert = \lVert f(a \cdot \overline{a})\rVert \,\,\substack{=\\\leq} \,\, \lVert a \cdot \overline{a} \rVert = \lVert a \rVert^2</math>. <math>\square</math>

Satz 6.15.
Es sei <math>f : A \to B</math> ein Homomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren. Dann gilt <math>\lVert f(a) \rVert \leq \lVert a \rVert</math> für alle <math>a \in A</math>, d.h., <math>f</math> ist stetig mit <math>\lVert f \rVert \leq 1</math>.
 
Beweis. Nach Lemma 6.14 müssen wir lediglich <math>\lVert f(a) \rVert \leq \lVert a \rVert</math> für selbstadjungierte <math>a \in A</math> zeigen. Es gilt <math>\sigma(f(a)) \subseteq \sigma(a)</math> nach Bemerkung 2.3 und folglich <math>\rho(f(a)) \leq \rho(a)</math>. Die Behauptung folgt nun aus Satz 6.11. <math>\square</math>
 
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die topologische Struktur von <math>C^*</math>-Algebren stark durch die algebraische Struktur festgelegt ist.

7. Der Satz von Gelfand-Neumark

Satz 7.1.
Jeder Charakter <math>\varphi</math> einer <math>C^*</math>-Algebra <math>A</math> ist ein Homomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren, erfüllt also <math>\varphi(\overline{a})=\overline{\varphi(a)}</math> für <math>a \in A</math>. Folglich ist die Gelfand-Transformation <math>\eta : A \to C(\Phi_A)</math> ein Homomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren.

Beweis. Sei <math>\varphi \in \Phi_A</math> und <math>a \in A</math>. Dann sind <math>\mathrm{Re}(a)</math> und <math>\mathrm{Im}(a)</math> selbstadjungiert, nach Satz 4.2 und Lemma 6.9 sind daher <math>\varphi(\mathrm{Re}(a))</math> und <math>\varphi(\mathrm{Im}(a))</math> reelle Zahlen. Es gilt außerdem
 
<math>\displaystyle \varphi(a)=\varphi(\mathrm{Re}(a) + i \cdot \mathrm{Im}(a)) = \varphi(\mathrm{Re}(a)) +i \cdot  \varphi(\mathrm{Im}(a)).</math>
 
Es folgt
 
<math>\displaystyle \overline{\varphi(a)} = \varphi(\mathrm{Re}(a)) - i \cdot \varphi(\mathrm{Im}(a))= \varphi(\mathrm{Re}(a) - i \cdot \mathrm{Im}(a)) = \varphi(\overline{a}).</math>
 
Daher ist <math>\varphi :A \to \mathbb{C}</math> ein Homomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren. Weil die Involution auf <math>C(\Phi_A)</math> punktweise durch diejenige von <math>\mathbb{C}</math> erklärt wird, ist daher auch <math>\eta : A \to C(\Phi_A)</math> ein Homomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren. <math>\square</math>
 
Satz 7.2. (Satz von Stone-Weierstraß)
Sei <math>X</math> ein kompakter Hausdorffraum. Sei <math>A</math> eine abgeschlossene Unter-<math>C^*</math>-Algebra von <math>C(X)</math>, die Punkte trennt, d.h., für <math>x,y \in X</math> mit <math>x \neq y</math> gibt es eine Funktion <math>f \in A</math> mit <math>f(x) \neq f(y)</math>. Dann ist <math>A=C(X)</math>.
 
Beweis. 1. Schritt. Es reicht, die reelle Version zu zeigen: Ist <math>B</math> eine abgeschlossene reelle Unteralgebra von <math>C(X,\mathbb{R})</math>, die Punkte trennt, so gilt <math>B=C(X,\mathbb{R})</math>. Denn für eine abgeschlossene Unter-<math>C^*</math>-Algebra <math>A \subseteq C(X,\mathbb{C})</math> ist <math>\mathrm{Re}(A)</math> eine abgeschlossene Unteralgebra von <math>C(X,\mathbb{R})</math> mit <math>A=\mathrm{Re}(A) + \mathrm{Re}(A) \cdot i</math>, und wenn <math>A</math> Punkte trennt, so auch <math>\mathrm{Re}(A)</math>. Wenn wir also <math>\mathrm{Re}(A)=C(X,\mathbb{R})</math> gezeigt hätten, dann folgte auch <math>A=C(X,\mathbb{R}) + C(X,\mathbb{R}) \cdot i = C(X,\mathbb{C})</math>. Im Folgenden sei daher <math>B \subseteq C(X,\mathbb{R})</math>.
 
2. Schritt. Für alle <math>\alpha,\beta \in \mathbb{R}</math> und <math>x,y \in X</math> mit <math>x \neq y</math> gibt es ein <math>f \in B</math> mit <math>f(x)=\alpha</math>, <math>f(y)=\beta</math>: Wir finden nämlich ein <math>g \in B</math> mit <math>g(x) \neq g(y)</math> und können dann <math>f := \alpha + (\beta-\alpha) \cdot (g - g(x))/(g(y) - g(x)) \in B</math> wählen.
 
3. Schritt. Wir finden eine monoton wachsende Folge <math>(u_n)_{n \geq 0}</math> von reellen Polynomen, die auf <math>[0,1]</math> gleichmäßig gegen <math>t \mapsto \sqrt{t}</math> konvergiert: Eine mögliche Wahl ist  <math>u_0(t)=0</math> und <math>u_{n+1}(t)=u_n(t) + \frac{1}{2} (t - u_n(t)^2)</math>. Die Ungleichung <math>u_n(t) \leq \sqrt{t}</math> zeigt sich per Induktion nach <math>n</math>, und daraus folgt dann <math>u_n(t) \leq u_{n+1}(t)</math>. Für festes <math>t \in [0,1]</math> ist <math>(u_n(t))_{n \geq 0}</math> eine beschränkte monoton wachsende Folge reeller Zahlen, somit existiert der Grenzwert <math>v(t)</math>. Nach dem Satz von Dini konvergiert <math>(u_n)_{n \geq 0}</math> auf <math>[0,1]</math> sogar gleichmäßig gegen <math>v</math>. Die Rekursionsgleichung zeigt im Grenzwert <math>t - v(t)^2=0</math>, also <math>v(t)=\sqrt{t}</math>.
 
4. Schritt. Für <math>f \in B</math> gilt <math>|f| \in B</math>: Es gilt nämlich <math>|f|/\lVert f \rVert = \lim_{n \to \infty} u_n(f^2/\lVert f\rVert^2)</math> mit den Polynomen <math>u_n</math> aus dem 3. Schritt. Wegen <math>\min(f,g)=\frac{1}{2} (f+g-|f-g|)</math> und <math>\max(f,g)=\frac{1}{2} (f+g+|f-g|)</math> folgt aus dieser Beobachtung: Für <math>f,g \in B</math> sind auch <math>\min(f,g),\max(f,g) \in B</math>.

5. Schritt. Sei <math>f \in C(X,\mathbb{R})</math>. Für jedes <math>x \in X</math> und <math>\varepsilon>0</math> gibt es ein <math>g \in B</math> mit <math>g(x)=f(x)</math> und <math>g \leq f + \varepsilon</math>: Für jedes <math>y \in X</math> wählen wir mit dem 2. Schritt ein <math>h_y \in B</math> mit <math>h_y(x)=f(x)</math> und <math>h_y(y) < f(y)+\varepsilon</math>. Wähle eine offene Umgebung <math>U_y</math> von <math>y</math>, auf der <math>h_y < f + \varepsilon</math> gilt. Weil <math>X</math> kompakt ist, gibt es endlich viele <math>y_1,\dotsc,y_n</math> mit <math>X = U_{y_1} \cup \dotsc \cup U_{y_n}</math>. Setze <math>g = \inf(h_{y_1},\dotsc,h_{y_n})</math>. Nach dem 4. Schritt gilt <math>g \in B</math>. Es gilt auch <math>g(x)=f(x)</math> wegen <math>h_{y_i}(x)=f(x)</math> und <math>g \leq f+ \varepsilon</math>, weil dies auf jedem <math>U_{y_i}</math> gilt.
 
6. Schritt. Es gilt <math>B=C(X,\mathbb{R})</math>: Sei <math>f \in C(X,\mathbb{R})</math> und <math>\varepsilon>0</math>. Für  jedes <math>x \in X</math> finden wir mit dem 5. Schritt ein <math>g_x \in B</math> mit <math>g_x(x)=f(x)</math> und <math>g_x \leq f + \varepsilon</math>. Wegen <math>f(x)-\varepsilon < g_x(x)</math> gibt es eine offene Umgebung <math>U_x</math> von <math>x</math>, auf der <math>f - \varepsilon < g_x</math> gilt. Weil <math>X</math> kompakt ist, gibt es endlich viele <math>x_1,\dotsc,x_n</math> mit <math>X=U_{x_1} \cup \dotsc \cup U_{x_n}</math>. Setze <math>h = \sup(g_{x_1},\dotsc,g_{x_n})</math>. Mit dem 4. Schritt folgt <math>h \in B</math>. Es gilt <math>h \leq f + \varepsilon</math> wegen <math>g_{x_i} \leq f + \varepsilon</math> sowie <math>f - \varepsilon \leq h</math>, weil dies auf jedem <math>U_{x_i}</math> gilt. Also ist <math>\lVert f - h \rVert \leq \varepsilon</math>. Weil <math>\varepsilon</math> beliebig war, folgt hieraus <math>f \in \overline{B}=B</math>. <math>\square</math>

Bemerkung 7.3.
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass umgekehrt für einen kompakten Hausdorffraum <math>X</math> die Algebra <math>C(X)</math> auch tatsächlich Punkte trennt. Dies ist eine Folge aus dem Lemma von Urysohn.
 
Satz 7.4. (Satz von Gelfand-Neumark)
Sei <math>A</math> eine kommutative <math>C^*</math>-Algebra. Dann ist die Gelfand-Transformation <math>\eta : A \to C(\Phi_A)</math> ein isometrischer Isomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren.

Beweis. Nach Satz 7.1 ist <math>\eta</math> ein Homomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren. Für selbstadjungierte <math>a \in A</math> gilt nach Satz 5.4 und Satz 6.11 <math>\lVert \eta(a) \rVert = \lVert \widehat{a} \rVert = \rho(a)=\lVert a \rVert</math>. Nach Lemma 6.14 ist daher <math>\eta</math> isometrisch. Um die Surjektivität zu zeigen, betrachten wir das Bild <math>\eta(A) \subseteq C(\Phi_A)</math> und wenden darauf Satz 7.2 an. Dies ist eine abgeschlossene Unter-<math>C^*</math>-Algebra, weil <math>\eta</math> ein isometrischer Homomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren ist. Das Bild trennt auch Punkte, denn für <math>\varphi \neq \psi</math> in <math>\Phi_A</math> gibt es ein <math>a \in A</math> mit <math>\varphi(a) \neq \psi(a)</math>, also <math>\eta(a)(\varphi) \neq \eta(a)(\psi)</math>. <math>\square</math>

Korollar 7.5.
Für eine Banachalgebra <math>A</math> über <math>\mathbb{C}</math> sind äquivalent:
1. Die Gelfand-Transformation <math>\eta : A \to C(\Phi_A)</math> ist ein isometrischer Isomorphismus.
2. Es gibt einen kompakten Hausdorffraum <math>X</math> mit <math>A \cong C(X)</math>.
3. Es trägt <math>A</math> die Struktur einer kommutativen <math>C^*</math>-Algebra.

Beweis. <math>1. \Rightarrow 2. \Rightarrow 3.</math> sind trivial und <math>3. \Rightarrow 1.</math> folgt aus Satz 7.4. <math>\square</math>

Bemerkung 7.6.
Die bisherigen Ergebnisse lassen sich kategorientheoretisch interpretieren: Wenn <math>\mathbf{Comm}C^*\mathbf{Alg}</math> die Kategorie der kommutativen <math>C^*</math>-Algebren (hier immer mit Eins) mit Homomorphismen von <math>C^*</math>-Algebren und <math>\mathbf{CompHaus}</math> die Kategorie der kompakten Hausdorffräume mit stetigen Abbildungen bezeichnet, so gibt es kontravariante Funktoren in beide Richtungen:
 
<math>\displaystyle C : \mathbf{CompHaus}^{op} \to \mathbf{Comm}C^*\mathbf{Alg},\medskip}\\X \mapsto C(X),\, (f:X \to Y) \mapsto (f^*:C(Y) \to C(X))</math>
 
mit <math>f^*(h) := h \circ f</math> für <math>h \in C(Y)</math>, und
 
<math>\displaystyle \Phi : \mathbf{Comm}C^*\mathbf{Alg} \to \mathbf{CompHaus}^{op},\medskip}\\A \mapsto \Phi_A,\, (f:A \to B) \mapsto (f^*:\Phi_B \to \Phi_A)</math>
 
mit <math>f^*(\varphi):=\varphi \circ f</math> für <math>\varphi \in \Phi_B</math>. Die Sätze 7.4 und 4.8 besagen nun gerade, dass diese beiden Funktoren bis auf Isomorphie zueinander invers sind. Es gibt daher eine Äquivalenz von Kategorien
 
<math>\displaystyle \mathbf{Comm}C^*\mathbf{Alg} \simeq \mathbf{CompHaus}^{op}.</math>
 
Dies ist die Gelfand-Dualität. Sie ist eine sehr präzise Formulierung des Mottos, dass das Studium von kommutativen <math>C^*</math>-Algebren 1:1 dem Studium von kompakten Hausdorffräumen entspricht.
 
Zum Beispiel korrespondiert die Inklusion von kommutativen <math>C^*</math>-Algebren <math>\iota:c \hookrightarrow \ell^{\infty}</math> (wobei <math>c</math> die Algebra der konvergenten Folgen und <math>\ell^{\infty}</math> die Algebra der beschränkten Folgen bezeichnet) der stetigen Abbildung von kompakten Hausdorffräumen <math>\iota^*:\beta(\mathbb{N}) \twoheadrightarrow \mathbb{N} \cup \{\infty\}</math>, die <math>n \in \mathbb{N}</math> auf <math>n</math> schickt und alles andere auf <math>\infty</math>, wenn wir die natürlichen Identifikationen <math>c  \cong C(\mathbb{N} \cup \{\infty\})</math> und <math>\ell^{\infty} \cong C(\beta(\mathbb{N}))</math> vornehmen.

8. Der Funktionalkalkül

In diesem Abschnitt möchten wir als Anwendung des Satzes von Gelfand-Neumark kurz den Funktionalkalkül besprechen.

Definition 8.1.
Sei <math>A</math> eine <math>C^*</math>-Algebra und <math>a \in A</math>. Die von <math>a</math> erzeugte abgeschlossene Unter-<math>C^*</math>-Algebra <math>C^*(a)</math> sei der Abschluss der von <math>a</math> und <math>\overline{a}</math> erzeugten Unteralgebra. Dies ist die kleinste Unter-<math>C^*</math>-Algebra von <math>A</math>, die <math>a</math> enthält.
 
Definition 8.2.
Ein Element <math>a</math> einer <math>C^*</math>-Algebra <math>A</math> heißt normal, wenn <math>a</math> mit <math>\overline{a}</math> kommutiert. Das bedeutet gerade, dass <math>C^*(a)</math> kommutativ ist.

Beispiele 8.3.
Jedes selbstadjungierte oder unitäre Element ist normal. In einer kommutativen <math>C^*</math>-Algebra ist jedes Element normal. Wenn <math>a,b</math> normal sind und <math>a,\overline{b}</math> sowie <math>\overline{a},b</math> miteinander kommutieren, dann ist auch <math>a+b</math> normal. Für einen Hilbertraum <math>H</math> ist <math>T \in \mathcal{L}(H)</math> genau dann normal, wenn <math>\lVert T(x) \Vert = \lVert T^*(x) \rVert</math> für alle <math>x \in H</math> gilt. Wenn nämlich <math>T</math> normal ist, dann gilt für alle <math>x \in H</math>
 
<math>\displaystyle \lVert T(x) \rVert^2 = \langle T(x),T(x) \rangle = \langle T^*(T(x)),x\rangle  = \langle T(T^*(x)),x \rangle = \langle T^*(x),T^*(x) \rangle = \lVert T^*(x) \rVert^2.</math>
 
Gilt diese Gleichung umgekehrt für alle <math>x \in H</math>, so folgt aus der Polarisierungsidentität <math>\langle T(x),T(y) \rangle = \langle T^*(x),T^*(y) \rangle</math> für alle <math>x,y \in H</math> bzw. <math>\langle T^*(T(x)),y \rangle = \langle T(T^*(x)),y \rangle</math>, also <math>T^*(T(x))=T(T^*(x))</math>.
 
Korollar 8.4.
Sei <math>A</math> eine <math>C^*</math>-Algebra, die von einem normalen Element <math>a \in A</math> als <math>C^*</math>-Algebra erzeugt wird. Dann ist <math>\widehat{a} : \Phi_A \to \sigma(a)</math> ein Homöomorphismus.
 
Beweis. Der Beweis verläuft analog zu Korollar 5.8 unter Benutzung von Satz 7.1. <math>\square</math>
 
Satz 8.5.
Sei <math>A</math> eine <math>C^*</math>-Algebra und <math>a \in A</math> invertierbar. Dann gilt <math>a^{-1} \in C^*(a)</math>.
 
Beweis. 1. Fall: <math>a</math> ist selbstadjungiert. Wir betrachten die kommutative <math>C^*</math>-Algebra <math>C^*(a,a^{-1}) \subseteq A</math>, die von <math>a</math> und <math>a^{-1}</math> erzeugt wird, sowie die Unter-<math>C^*</math>-Algebra <math>C^*(a)</math>. Wir wollen <math>C^*(a) = C^*(a,a^{-1})</math> zeigen. Nach Satz 7.4 gilt für <math>X=\Phi_{C^*(a,a^{-1})}</math>, dass <math>C^*(a,a^{-1}) \to C(X)</math>, <math>a \mapsto (\varphi \mapsto \varphi(a))</math> ein Isomorphismus ist. Wir können daher Satz 7.2 anwenden und es reicht zu zeigen, dass <math>C^*(a)</math> Punkte trennt. Seien dazu <math>\varphi \neq \psi</math> zwei Elemente in <math>X</math>, also zwei Charaktere auf <math>C^*(a,a^{-1})</math>. Aus <math>\varphi(a)=\psi(a)</math> folgte auch <math>\varphi(a^{-1})=\varphi(a)^{-1}=\psi(a)^{-1}=\psi(a^{-1})</math> und dann <math>\varphi=\psi</math>, Widerspruch. Also gilt <math>\varphi(a) \neq \psi(a)</math> und wir sehen, dass <math>a \in C^*(a)</math> die beiden Punkte trennt.

2. Fall: <math>a</math> ist beliebig. Dann ist <math>a \overline{a}</math> invertierbar und selbstadjungiert, sodass also nach dem 1. Fall <math>(\overline{a} a)^{-1}</math> in <math>C^*(a \overline{a}) \subseteq C^*(a)</math> enthalten ist. Dann ist aber auch <math>(\overline{a} a)^{-1} \overline{a} = a^{-1}</math> in <math>C^*(a)</math> enthalten. <math>\square</math>

Satz 8.6.
Sei <math>A</math> eine <math>C^*</math>-Algebra und <math>a \in A</math> ein normales Element. Dann gibt es genau einen Isomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren <math>C^*(a) \to C(\sigma(a))</math>, der <math>a</math> auf die Funktion <math>\sigma(a) \to \mathbb{C}</math>, <math>t \mapsto t</math> schickt.
 
Beweis. Die Eindeutigkeit des Isomorphismus ist klar, weil <math>C^*(a)</math> von <math>a</math> erzeugt wird. Zur Existenz stellen wir zunächst mit Satz 7.4 fest, dass die Gelfand-Transformation <math>C^*(a) \to C(\Phi_{C^*(a)})</math> ein Isomorphismus ist. Nach Korollar 8.4 ist <math>\Phi_{C^*(a)} \to \sigma_{C^*(a)}(a)</math>, <math>\varphi \mapsto \varphi(a)</math> ein Homöomorphismus. Es bleibt daher zu zeigen, dass die Inklusion <math>\sigma_A(a) \subseteq \sigma_{C^*(a)}(a)</math> tatsächlich eine Gleichheit ist. Sei also <math>\lambda \in \mathbb{C}</math> derart, dass <math>a-\lambda 1</math> in <math>A</math> invertierbar ist. Nun ist aber <math>a-\lambda 1</math> normal. Aus Satz 8.5 folgt also, dass <math>(a-\lambda 1)^{-1}</math> in <math>C^*(a-\lambda 1) = C^*(a)</math> enthalten ist. Daher ist <math>a-\lambda 1 </math> auch in <math>C^*(a)</math> invertierbar. Daraus folgt die Behauptung. <math>\square</math>

Definition 8.7.
Sei <math>A</math> eine <math>C^*</math>-Algebra und <math>a \in A</math> ein normales Element. Das Urbild einer stetigen Funktion <math>h : \sigma(a) \to \mathbb{C}</math> unter dem Isomorphismus <math>C^*(a) \cong C(\sigma(a))</math> aus Satz 8.6 wird mit <math>h(a)</math> bezeichnet. Es gilt also <math>h(a) \in C^*(a)</math>, und <math>h \mapsto h(a)</math> ist ein Isomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren <math>C(\sigma(a)) \to C^*(a)</math>, der eindeutig durch <math>t(a)=a</math> bestimmt ist. Es heißt <math>h(a)</math> der Funktionalkalkül von <math>a</math> mit <math>h</math>.
 
Bemerkung 8.8.
Mit den obigen Bezeichnungen gilt <math>\sigma(h(a))=\sigma(h)=\mathrm{im}(h)=h(\sigma(a))</math> (dies verallgemeinert Lemma 2.11) und <math>\lVert h(a) \rVert = \lVert h \rVert_{\infty}</math>.
 
Beispiele 8.9.
Sei <math>A</math> eine <math>C^*</math>-Algebra und <math>a \in A</math> selbstadjungiert mit <math>\sigma(a) \subseteq \mathbb{R}^+</math>. Dann haben wir die Wurzelfunktion <math>\sqrt{-}</math> auf <math>\sigma(a)</math> und können daher das selbstadjungierte Element <math>\sqrt{a} \in C^*(a)</math> bilden mit <math>(\sqrt{a})^2=a</math>. Ist umgekehrt <math>a \in A</math> selbstadjungiert mit <math>a=b^2</math> für ein selbstadjungiertes Element <math>b \in A</math>, so gilt <math>\sigma(a) \subseteq \mathbb{R}^+</math> nach Lemma 2.11. Solche Elemente <math>a</math> werden auch positive Elemente genannt. (Achtung: Damit ist auch <math>0</math> positiv.) Wir haben hiermit nebenbei bewiesen, dass jede positiv-definite Matrix eine Quadratwurzel besitzt.
 
Bemerkung 8.10.
Wenn <math>f : A \to B</math> ein Homomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren ist und <math>a \in A</math> normal ist, dann ist das Diagramm

<math>\begin{tikzcd}
C^*(a) \ar{r} \ar{d} & C(\sigma(a)) \ar{d} \\
C^*(f(a)) \ar{r} & C(\sigma(f(a)))
\end{tikzcd}</math>
 
kommutativ, wobei wir horizontal die Isomorphismen aus Satz 8.6 haben, <math>C(\sigma(a))  \to C(\sigma(f(a)))</math> die Einschränkung entlang von <math>\sigma(f(a)) \subseteq \sigma(a)</math> ist, und <math>C^*(a) \to C^*(f(a))</math> die Einschränkung von <math>f</math> ist. Aus dieser Beobachtung folgt die Gleichung <math>f(h(a))=h(f(a))</math> für alle <math>h \in C(\sigma(a))</math>, bzw. genauer gesagt <math>f(h(a))=h|_{\sigma(f(a))}(f(a))</math>.
 
Als allgemeine Anwendung des Funktionalkalküls erhalten wir:
 
Satz 8.11.
Jeder injektive Homomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren ist isometrisch.
 
Beweis. Sei <math>f : A \to B</math> ein injektiver Homomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren. Nach Satz 6.15 müssen wir lediglich <math>\lVert f(a) \rVert \geq \lVert a \rVert</math> zeigen, wobei wir analog zu Lemma 6.14 annehmen können, dass <math>a</math> selbstadjungiert ist. Angenommen, es gilt <math>\lVert f(a) \rVert < \lVert a \rVert</math>. Nach Satz 2.7 und Lemma 6.9 ist <math>\sigma(a)</math> eine kompakte Teilmenge des reellen Intervalls <math>[-\lVert a \rVert,+\lVert a \rVert]</math>. Aus Satz 6.11 wissen wir andererseits <math>\rho(a)=\lVert a \rVert</math>. Es folgt, dass <math>\lVert a \rVert \in \sigma(a)</math> oder <math>-\lVert a \rVert \in \sigma(a)</math> gilt. Wähle eine stetige Funktion <math>h</math> auf <math>[-\lVert a \rVert,+\lVert a \rVert]</math>, die auf <math>[-\lVert f(a) \rVert,+\lVert f(a) \rVert]</math> verschwindet, aber <math>h(-\lVert a \rVert)=h(\lVert a \rVert)=1</math> erfüllt. Schränken wir <math>h</math> auf das Spektrum <math>\sigma(a)</math> ein und bilden mit dem Funktionalkalkül das Element <math>h(a)</math>. Dann gilt nach Bemerkung 8.10 <math>f(h(a))=h(f(a))=0</math>, weil <math>h</math> auf <math>\sigma(f(a)) \subseteq [-\lVert f(a) \rVert,+\lVert f(a) \rVert]</math> verschwindet. Andererseits ist <math>\lVert h(a) \rVert = \lVert h \rVert_{\sigma(a)} \geq 1</math> und damit <math>h(a) \neq 0</math>. Also ist <math>f</math> nicht injektiv, Widerspruch. <math>\square</math>

Bemerkung 8.12.
Wenn <math>A</math> eine <math>C^*</math>-Algebra und <math>I</math> ein abgeschlossenes Ideal von <math>A</math> ist, das unter der Involution abgeschlossen ist (also <math>a \in I \Rightarrow \overline{a} \in I</math>), dann trägt die Banachalgebra <math>A/I</math> aus Bemerkung 1.9 die Involution <math>\overline{[a]}:=[\overline{a}]</math>, und tatsächlich handelt es sich hierbei um eine <math>C^*</math>-Algebra. Der Nachweis von <math>\lVert [a] \rVert^2 = \lVert [a] \overline{[a]}\rVert</math> ist alles andere als trivial, und wir verzichten an dieser Stelle auf den Beweis. Aus Satz 8.11 lässt sich daraus jedenfalls folgern, dass das Bild eines beliebigen Homomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren <math>f : A \to B</math> abgeschlossen ist und daher eine abgeschlossene Unter-<math>C^*</math>-Algebra ist: Dazu muss man lediglich <math>f</math> zu einem injektiven Homomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren <math>\overline{f} : A/\ker(f) \to B</math> fortsetzen, welcher also isometrisch ist und daher abgeschlossenes Bild besitzt. Diese besondere Eigenschaft gilt für Banachalgebren nicht, genauso wenig wie Satz 8.11, wie etwa die Gelfand-Transformation <math>\ell^1(\mathbb{Z}) \to C(S^1)</math> aus Abschnitt 5 zeigt.

9. Banachalgebren ohne Eins

Definition 9.1.
Eine Banachalgebra ohne Eins über <math>\mathbb{K}</math> ist ein Banachraum über <math>\mathbb{K}</math> zusammen mit einer Algebrastruktur ohne (vorausgesetzte) Eins über <math>\mathbb{K}</math>, sodass <math>\lVert a \cdot b \rVert \leq \lVert a \rVert \cdot \lVert b \rVert</math> erfüllt ist. Eine <math>C^*</math>-Algebra ohne Eins ist eine Banachalgebra ohne Eins über <math>\mathbb{C}</math> zusammen mit einer Selbstabbildung <math>a \mapsto \overline{a}</math>, sodass die Gleichungen aus Definition 6.1 erfüllt sind. Wir verlangen wohlgemerkt nicht, dass es keine Eins gibt, aber selbst wenn sie existiert, soll sie nicht zur Struktur dazugehören. Homomorphismen zwischen Banachalgebren ohne Eins sind entsprechend stetige lineare Abbildungen, die das Produkt erhalten.
 
Beispiele 9.2.
Sei <math>X</math> ein lokalkompakter Hausdorffraum. Dann ist <math>C_0(X)</math> die Algebra der stetigen Funktionen <math>f : X \to \mathbb{K}</math> mit der Eigenschaft: Für alle <math>\varepsilon>0</math> gibt es eine kompakte Teilmenge <math>K \subseteq X</math> mit <math>f(X \setminus K) \subseteq B_{\varepsilon}(0)</math>. Diese sind insbesondere beschränkt, sodass man die Supremumsnorm auf <math>C_0(X)</math> definieren kann. Bezüglich dieser wird <math>C_0(X)</math> zu einer Banachalgebra ohne Eins über <math>\mathbb{K}</math>, für <math>\mathbb{K}=\mathbb{C}</math> sogar einer <math>C^*</math>-Algebra ohne Eins mit der punktweisen komplexen Konjugation. Ein typisches Beispiel ist <math>\frac{1}{1+t^2} \in C_0(\mathbb{R})</math>. Wenn <math>X</math> kompakt ist, dann ist <math>C_0(X)=C(X)</math>.
 
Bemerkung 9.3.
Für <math>f \in C_0(X)</math> sagt man auch, dass <math>f</math> im Unendlichen verschwindet. Das liegt an der folgenden Beobachtung: Es sei <math>X^+</math> die Einpunktkompaktifizierung von <math>X</math>, also der Raum <math>X \cup \{\infty\}</math> (mit <math>\infty \notin X</math>) mit den folgenden offenen Teilmengen: Die offenen Teilmengen, die nicht <math>\infty</math> enthalten, sind die offenen Teilmengen von <math>X</math>. Die offenen Umgebungen von <math>\infty</math> sind von der Form <math>X \setminus K \cup \{\infty\}</math>, wobei <math>K \subseteq X</math> kompakt ist. Dann ist <math>X^+</math> ein kompakter Hausdorffraum, und es gilt nach Konstruktion <math>C_0(X) \cong \{f \in C(X^+) : f(\infty)=0\}</math>. Ist umgekehrt <math>Y</math> ein beliebiger kompakter Hausdorffraum und <math>p \in Y</math>, so ist <math>C_0(Y \setminus \{p\}) \cong \{f \in C(Y) : f(p)=0\}</math>.

Definition 9.4.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra ohne Eins über <math>\mathbb{K}</math>. Der Charakterraum <math>\Phi_A</math> ist definiert als der Raum der Homomorphismen <math>\varphi : A \to \mathbb{K}</math> von Algebren ohne Eins (Charaktere) mit <math>\varphi \neq 0</math>, versehen mit der von <math>\prod_{a \in A} \mathbb{K}</math> vererbten Topologie. Anstelle von <math>\varphi(a)</math> schreiben wir auch <math>\widehat{a}(\varphi)</math>.
 
Bemerkung 9.5.
Wenn <math>A</math> doch eine Eins hat, dann stimmt dies mit der bisherigen Definition des Charakterraumes (Abschnitt 4) überein: Es gilt <math>\varphi(1)=\varphi(1 \cdot 1)=\varphi(1) \cdot \varphi(1)</math> in <math>\mathbb{K}</math>, also <math>\varphi(1) \in \{0,1\}</math>. Aus <math>\varphi(1)=0</math> folgte nun <math>\varphi(a)=\varphi(a \cdot 1)=\varphi(a) \cdot \varphi(1)=0</math> für alle <math>a \in A</math>, also <math>\varphi=0</math>. Ansonsten gilt daher <math>\varphi(1)=1</math>.
 
Wir beweisen nun eine Verallgemeinerung von Satz 4.2:
 
Satz 9.6.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra ohne Eins über <math>\mathbb{K}</math>. Jeder Charakter <math>\varphi : A \to \mathbb{K}</math> ist stetig mit <math>\lVert \varphi \rVert \leq 1</math>.

Beweis. Für <math>a \in A</math> mit <math>|\varphi(a)| > \lVert a \rVert</math> gilt <math>\lVert x \rVert < 1</math> mit <math>x := \varphi(a)^{-1} a</math>, sodass die Reihe <math>y:=\sum_{k=1}^{\infty} x^k</math> konvergiert (analog zu Lemma 2.4). Es gilt <math>xy = x+y</math> und damit <math>\varphi(x) \varphi(y)=\varphi(x)+\varphi(y)</math>. Andererseits gilt <math>\varphi(x)=1</math>, und das ist ein Widerspruch. Alternativ könnten wir die Behauptung unter Benutzung von Satz 9.8 unten auch direkt auf Satz 4.2 zurückführen. <math>\square</math>

Als Nächstes werden wir zu einer gegebenen Banach- oder <math>C^*</math>-Algebra ohne Eins eine Eins formal hinzufügen.
 
Definition 9.7.
Sei <math>A</math> eine Banachalgebra ohne Eins über <math>\mathbb{K}</math>. Dann ist die Banachalgebra <math>A^+</math> über <math>\mathbb{K}</math> definiert durch den Banachraum <math>A \oplus \mathbb{K}</math> mit der Norm <math>\lVert (a,u) \rVert = \lVert a \rVert + |u|</math> und der Multiplikation
 
<math>\displaystyle (a,u) \cdot (b,v) = (a \cdot b+u \cdot b+v \cdot a,u \cdot v).</math>
 
Hierbei nutzen wir sowohl die Multiplikation als auch die Skalarmultiplikation von <math>A</math>. Es ist <math>(0,1)</math> eine Eins von <math>A^{+}</math>. Wir können daher auch <math>a+u1</math> anstelle von <math>(a,u)</math> schreiben. Prüfen wir die Eigenschaften einer Banachalgebra nach: Es gilt <math>\lVert (0,1) \rVert = 1</math> und
 
<math>\displaystyle\lVert (a,u) \cdot (b,v) \rVert = \lVert a \cdot b+u \cdot b+v \cdot a \rVert+ |u \cdot v|  \leq \lVert a \rVert \cdot \lVert b \rVert + |u| \cdot \lVert b \rVert + |v| \cdot  \lVert a \rVert + |u| \cdot  |v| \medskip \\
=(\lVert a \rVert + |u|) \cdot (\lVert b \rVert + |v|)=\lVert (a,u) \rVert \cdot \lVert (b,v) \rVert.</math>
 
Es heißt <math>A^+</math> die Unitalisierung von <math>A</math>. Offenbar ist <math>A \cong A \times \{0\}</math>, <math>a \mapsto (a,0)</math> ein abgeschlossenes Ideal von <math>A^+</math> mit <math>A^+ / A \cong \mathbb{K}</math>. Jeder (stetige) Homomorphismus <math>A \to B</math> induziert einen (stetigen) Homomorphismus <math>A^+ \to B^+</math>.

Satz 9.8.
Es sei <math>A</math> eine Banachalgebra ohne Eins über <math>\mathbb{K}</math>. Dann gibt es einen Homöomorphismus <math>\Phi_A \cong \Phi_{A^+} \setminus \{p\}</math>, wobei der Charakter <math>p : A^+ \to \mathbb{K}</math> durch <math>p(a,u)=u</math> definiert ist.
 
Beweis. Für einen Charakter <math>\varphi : A \to \mathbb{K}</math> von Algebren ohne Eins rechnet man nach, dass <math>\overline{\varphi} : A^+ \to \mathbb{K}</math>, <math>(a,u) \mapsto \varphi(a) + u</math> ein Charakter von Algebren ist. Dabei ist <math>\varphi = 0</math> mit <math>\overline{\varphi}=p</math> äquivalent. Ist umgekehrt <math>\psi : A^+ \to \mathbb{K}</math> ein Charakter, so ist auch <math>\psi|_A : A \to \mathbb{K}</math> ein Charakter. Dies beschreibt eine Bijektion <math>\Phi_{A^+} \setminus \{p\} \to \Phi_A</math>, <math>\psi \mapsto \psi|_A</math>. Die Stetigkeit folgt daraus, dass für jedes <math>a \in A</math> die Abbildung <math>\Phi_{A^+} \to \mathbb{K}</math>, <math>\psi \mapsto \psi(a)</math> stetig ist. Die Umkehrabbildung <math>\Phi_A \to \Phi_{A^+} \setminus \{p\}</math> ist ebenfalls stetig: Ist <math>(a,u) \in A^+</math>, so ist nämlich <math>\Phi_A \to \mathbb{K}</math>, <math>\varphi \mapsto \varphi(a) + u</math> stetig, weil es <math>\varphi \mapsto \varphi(a)</math> ist und <math>u</math> eine Konstante ist. <math>\square</math>
 
Satz 9.9.
Sei <math>A</math> eine kommutative Banachalgebra ohne Eins über <math>\mathbb{K}</math>. Dann ist <math>\Phi_A</math> ein lokalkompakter Hausdorffraum, und man hat einen Homomorphismus von Algebren ohne Eins <math>\eta : A \to C_0(\Phi_A)</math>, <math>a \mapsto \widehat{a}</math> mit <math>\lVert \eta \rVert \leq 1</math>.
 
Beweis. Nach Satz 9.8 ist <math>\Phi_A \cong \Phi_{A^+} \setminus \{p\}</math>. Weil <math>\Phi_{A^+}</math> ein kompakter Hausdorffraum ist (Satz 4.7), ist also <math>\Phi_A</math> ein lokalkompakter Hausdorffraum. Wir kennen bereits den Homomorphismus <math>\eta : A^+ \to C(\Phi_{A^+})</math>, <math>a \mapsto \widehat{a}</math> mit <math> \lVert \eta \rVert \leq 1</math> aus Satz 5.2. Für <math>a \in A</math> gilt <math>\eta(a)(p)=p(a)=0</math> und damit <math>\eta(a)|_{\Phi_{A^+} \setminus \{p\}} \in C_0(\Phi_{A^+} \setminus \{p\}) \cong C_0(\Phi_A)</math>. Wir erhalten daher durch Einschränkung <math>\eta : A \to C_0(\Phi_A)</math>. Es gilt, genau wie im unitalen Fall, <math>\eta(a)(\phi)=\phi(a)</math>. <math>\square</math>

Lemma 9.10.
Sei <math>A</math> eine <math>C^*</math>-Algebra ohne Eins. Es gebe ein <math>e \in A</math> mit <math>ex=x</math> für alle <math>x \in A</math>. Dann ist <math>e</math> eine Eins von <math>A</math> und <math>A</math> ist eine <math>C^*</math>-Algebra mit Eins.

Beweis. Für <math>x \in A</math> gilt <math>\overline{x}=\overline{ex} = \overline{x} \, \overline{e}</math>. Also gilt <math>x = x \overline{e}</math> für alle <math>x \in A</math>.  Weiter folgt <math>\overline{e}=e \overline{e}=e</math>, womit <math>e</math> eine Eins ist. Nach Bemerkung 6.2 gilt <math>\overline{e}=e</math>. Es folgt <math>\lVert e \rVert = \lVert e \overline{e} \rVert = \lVert e \rVert^2</math> und damit <math>\lVert e \rVert \in \{0,1\}</math>, also sicherlich <math>\lVert e \rVert \leq 1</math>. Daher ist <math>A</math> eine <math>C^*</math>-Algebra mit Eins. <math>\square</math>
 
Satz 9.11.
Sei <math>A</math> eine <math>C^*</math>-Algebra ohne Eins. Wir versehen die Algebra <math>A^+</math> aus Definition 9.7 mit der Involution <math>\overline{(a,u)} := (\overline{a},\overline{u})</math>. Dann gibt es eine Norm auf <math>A^+</math>, bezüglich der <math>A^+</math> zu einer <math>C^*</math>-Algebra mit Eins wird. Sie ist zur Norm aus Definition 9.7 äquivalent und entspricht auf <math>A</math> der gegebenen Norm.
 
Beweis. 1. Fall: <math>A</math> hat kein neutrales Element bez. der Multiplikation. Dann betrachten wir für jedes <math>(a,u)  \in A^+</math> die lineare Abbildung <math>T_{(a,u)} : A \to A</math>, <math>x \mapsto ax+ux</math>. Dies ist die Einschränkung der Linksmultiplikation mit <math>(a,u)</math> von <math>A^+</math> auf <math>A</math>. Wir setzen
 
<math>\displaystyle \lVert (a,u) \rVert := \lVert T_{(a,u)} \rVert = \sup_{\lVert x \rVert \leq 1} \lVert ax+ux \rVert.</math>
 
Wenn <math>\lVert (a,u) \rVert =0</math> gilt, dann folgt <math>ax+ux=0</math> für alle <math>x \in A</math>. Falls <math>u \neq 0</math>, setze <math>e:=-u^{-1} a</math>. Dann gilt <math>ex=x</math> für alle <math>x \in A</math>. Nach Lemma 9.10 wäre dann <math>e</math> eine Eins, Widerspruch. Also gilt <math>u=0</math>, also <math>ax=0</math> für alle <math>x \in A</math>. Insbesondere gilt <math>a \overline{a} = 0</math> und damit <math>a=0</math> (wegen <math>\lVert a \rVert^2 = \lVert a \overline{a} \rVert</math>). Die restlichen Normeigenschaften und die Submultiplikativität sind nun leicht zu prüfen. Zum Nachweis der Identität <math>\lVert \overline{(a,u)} (a,u) \rVert = \lVert (a,u) \rVert^2</math> beobachten wir zunächst
 
<math>\displaystyle \overline{ax{+}ux} (ax{+}ux) = \overline{x} (\overline{a} (a x {+} u x) + \overline{u} (a x {+} u x)) = \overline{x} \, T_{(\overline{a},\overline{u})}(T_{(a,u)}(x))=\overline{x} \, T_{\overline{(a,u)} (a,u)}(x),</math>
 
sodass
 
<math>\displaystyle\lVert (a,u) \rVert^2 = \sup_{\lVert x \rVert \leq 1} \lVert ax+ux \rVert^2  = \sup_{\lVert x \rVert \leq 1} \lVert \overline{(ax+ux)} (ax+ux)  \rVert \leq  \sup_{\lVert x \rVert \leq 1}  \lVert \overline{x} \rVert \lVert T_{\overline{(a,u)} (a,u)}(x) \rVert\medskip \\ \leq  \sup_{\lVert x \rVert \leq 1} \lVert T_{\overline{(a,u)} (a,u)}(x) \rVert  = \lVert \overline{(a,u)} (a,u) \rVert.</math>
 
Diese Ungleichung reicht bereits aus (Bemerkung 6.3). Für <math>a \in A</math> gilt <math>\lVert (a,0) \rVert = \sup_{\lVert x \rVert \leq 1} \lVert ax \rVert = \lVert a \rVert</math>, denn <math>\leq</math> ist klar und für <math>\geq</math> dürfen wir <math>a \neq 0</math> annehmen und beachten

<math>\displaystyle\lVert a \rVert = \tfrac{1}{\lVert \overline{a} \rVert} \lVert a \overline{a} \rVert =\Bigl\lVert a \tfrac{1}{\lVert \overline{a} \rVert} \overline{a} \Bigr\rVert \leq \sup_{\lVert x \rVert \leq 1} \lVert ax \rVert.</math>

Die Norm auf <math>A^+</math> schränkt sich also zur gegebenen Norm auf <math>A</math> ein. Die Äquivalenz der Norm zur Maximumsnorm auf <math>A \times \mathbb{C}</math> und die Vollständigkeit von <math>A^+</math> folgen aus Lemma 9.12 unten.
 
2. Fall: <math>A</math> hat ein neutrales Element <math>e</math> bez. der Multiplikation. Nach Lemma 9.10 ist <math>A</math> eine <math>C^*</math>-Algebra mit Eins. Man rechnet nun nach, dass
 
<math>\displaystyle A^+ \to A \times \mathbb{C},~ (a,u) \mapsto (a+ue,u)</math>
 
ein Isomorphismus von involutiven Algebren mit Eins ist, wobei auf <math>A \times \mathbb{C}</math> die Multiplikation komponentenweise definiert ist. Weil <math>A \times \mathbb{C}</math> eine <math>C^*</math>-Algebra mit Eins ist (Bemerkung 6.5), wird auf diese Weise ebenfalls <math>A^+</math> zu einer <math>C^*</math>-Algebra mit Eins. Die Norm ist explizit <math>\lVert (a,u)\rVert = \max(\lVert a+ue\rVert,|u|)</math>. Insbesondere gilt <math>\lVert (a,0) \rVert = \lVert a \rVert</math>. Bezüglich dieser Norm gilt nun <math>(a_n,u_n) \to 0</math> genau dann, wenn <math>a_n + u_n e \to 0</math> in <math>A</math> und <math>u_n \to 0</math> in <math>\mathbb{C}</math>. Dies bedeutet also <math>a_n \to 0</math> in <math>A</math> und <math>u_n \to 0</math> in <math>\mathbb{C}</math>, d.h. <math>(a_n,u_n) \to (0,0)</math> in der Norm aus Definition 9.7. <math>\square</math>
 
Lemma 9.12.
Sei <math>V</math> ein normierter Raum und <math>A,B</math> zwei Unterräume von <math>V</math> mit <math>A \cap B = \{0\}</math>. Es sei <math>A</math> abgeschlossen und <math>\dim(B)=1</math>. Dann ist die Norm von <math>A + B \subseteq V</math> äquivalent zur Maximumsnorm auf <math>A \times B</math>. Wenn <math>A</math> vollständig ist, dann ist auch <math>A + B</math> vollständig.

Beweis. Eine Linearform ist stetig, wenn ihr Kern abgeschlossen ist. Daraus folgt, dass die Projektion <math>A + B \to B</math>, <math>a+b \mapsto b</math> stetig ist. Dann ist auch <math>A + B \to A + B</math>, <math>a+b \mapsto (a+b)-b = a</math> und damit auch <math>A + B \to A</math>, <math>a+b \mapsto a</math> stetig. Also ist <math>A + B \to A \times B</math>, <math>a+b \mapsto (a,b)</math> stetig. Die Stetigkeit der Umkehrabbildung <math>A \times B \to A + B</math>, <math>(a,b) \mapsto a+b</math> folgt direkt aus der Dreiecksungleichung. Weil nun <math>A \times B</math> vollständig ist, ist auch <math>A+B</math> vollständig. <math>\square</math>
 
Mit der Unitalisierung von <math>C^*</math>-Algebren lassen sich einige Resultate über <math>C^*</math>-Algebren ohne Eins aus dem Fall mit Eins ableiten:

Satz 9.13.
Sei <math>A</math> eine involutive Algebra ohne Eins. Dann gibt es höchstens eine Norm auf <math>A</math>, die <math>A</math> zu einer <math>C^*</math>-Algebra ohne Eins macht.
 
Beweis. Dies lässt sich mittels Satz 9.11 auf Satz 6.11 zurückführen. <math>\square</math>

Satz 9.14.
Seien <math>A,B</math> zwei <math>C^*</math>-Algebren ohne Eins und <math>f : A \to B</math> ein Homomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren ohne Eins. Dann gilt <math>\lVert f(a) \rVert \leq \lVert a \Vert </math> für alle <math>a \in A</math>.

Beweis. Wir benutzen Satz 9.11 und finden eine Fortsetzung <math>f^+ : A^+ \to B^+</math> zu einem Homomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren. Die Behauptung folgt daher aus Satz 6.15. <math>\square</math>

Satz 9.15. (Satz von Gelfand-Neumark - ohne Eins)
Sei <math>A</math> eine kommutative <math>C^*</math>-Algebra ohne Eins. Dann ist <math>\eta : A \to C_0(\Phi_A)</math> ein isometrischer Isomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren ohne Eins.
 
Beweis. Nach Satz 9.11 können wir die kommutative <math>C^*</math>-Algebra <math>A^+</math> betrachten. Nach Satz 7.4 ist <math>\eta : A^+ \to C(\Phi_{A^+})</math> ein isometrischer Isomorphismus von <math>C^*</math>-Algebren. Das Ideal <math>A \subseteq A^+</math> wird dabei auf das Ideal <math>\{f \in C(\Phi_{A^+}) : f(p)=0\} \cong C_0(\Phi_A)</math> geschickt. <math>\square</math>
 
Bemerkung 9.16.
Für einen lokalkompakten Hausdorffraum <math>X</math> gibt es einen isometrischen Isomorphismus <math>C_0(X)^+ \cong C_0(X^+)</math> (der <math>(f,u) \in C_0(X)^+</math> auf die Funktion <math>X^+ \to \mathbb{C}</math> , <math>x \mapsto f(x)+u</math>, <math>\infty \mapsto u</math> schickt) und <math>\Phi_{C_0(X)} \cong X</math>. Dies folgt leicht aus Bemerkung 9.3, Satz 9.9 und Satz 4.8. Insbesondere gilt <math>C_0(X) \cong C_0(Y) \Rightarrow X \cong Y</math> für lokalkompakte Hausdorffräume <math>X,Y</math>.
 
Bemerkung 9.17.
Mit der richtigen Wahl von Morphismen besagen Satz 9.15 und Bemerkung 9.16, dass <math>X \mapsto C_0(X)</math> und <math>A \mapsto \Phi_A</math> eine Äquivalenz von Kategorien <math>\mathbf{Comm}C^*\mathbf{Alg}_{\mathbf{nu}} \simeq \mathbf{LocCompHaus}^{op}</math> induzieren (der Index <math>\mathbf{nu}</math> steht für nicht-unital). Als Morphismen <math>f:A \to B</math> zwischen kommutativen <math>C^*</math>-Algebren ohne Eins <math>A,B</math> müssen wir solche Homomorphismen von <math>C^*</math>-Algebren ohne Eins nehmen, die <math>\overline{f(A) B} = B</math> erfüllen (nur so kann <math>f^* : \Phi_B \to \Phi_A</math> definiert werden). Als Morphismen <math>f : X \to Y</math> zwischen lokalkompakten Hausdorffräumen <math>X,Y</math> müssen wir solche stetigen Abbildungen nehmen, für die <math>f^{-1}(K) \subseteq X</math> kompakt ist für alle kompakten <math>K \subseteq Y</math> (nur so kann <math>f^* : C_0(Y) \to C_0(X)</math> definiert werden). Dies ist die nicht-unitale Gelfand-Dualität. Abschließend bemerken wir noch, dass <math>X</math> genau dann kompakt ist, wenn <math>C_0(X)</math> eine Eins hat.

10. Die Fourier-Transformation

Wir möchten in diesem Abschnitt die Gelfand-Transformation auf die Banachalgebra ohne Eins <math>L^1(\mathbb{R})</math> anwenden. Diese besteht aus den bezüglich des Lebesgue-Maßes absolut-integrierbaren Funktionen <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}</math>, wobei zwei solche Funktionen identifiziert werden, wenn sie fast überall übereinstimmen. Die Norm ist
 
<math>\displaystyle \lVert f \rVert_1 := \int_{\mathbb{R}} |f(x)| \, dx.</math>
 
Das Produkt ist nicht punktweise, sondern durch die Faltung gegeben:
 
<math>\displaystyle (f * g)(t) = \int_{\mathbb{R}} f(x) \cdot g(t-x) \, dx.</math>

Dies ist also die stetige Version der Banachalgebra <math>\ell^1(\mathbb{Z})</math> aus Beispiel 1.5. Man kann sich mit dem Satz von Fubini <math>f * g \in L^1(\mathbb{R})</math> sowie <math>\lVert f * g \rVert_1 \leq \lVert f \rVert_1 \lVert g \rVert_1</math> überlegen. Die Substitution <math>y:=t-x</math> im Integral zeigt <math>(f * g)(t)=(g * f)(t)</math>, sodass <math>L^1(\mathbb{R})</math> kommutativ ist. Es gibt allerdings keine Eins (dies ergibt sich z.B. aus Satz 10.1 in Verbindung mit Satz 4.7). Es ist <math>L^1(\mathbb{R})</math> sogar eine involutive Algebra vermöge <math>\overline{f}(t)=\overline{f(-t)}</math>, allerdings handelt es sich um keine <math>C^*</math>-Algebra, weil die Identität <math>\lVert f * \overline{f} \rVert = \lVert f \rVert^2</math> nicht erfüllt ist. Wir berechnen nun den Charakterraum von <math>L^1(\mathbb{R})</math>:
 
Satz 10.1.
Es gibt einen Homöomorphismus <math>\delta : \mathbb{R} \to \Phi_{L^1(\mathbb{R})}</math>.

Beweis. Es sei <math>\varphi : L^1(\mathbb{R}) \to \mathbb{C}</math> ein Charakter, <math>\varphi \neq 0</math>. Insbesondere ist <math>\varphi</math> eine stetige lineare Abbildung und gehört damit zum stetigen Dualraum <math>L^1(\mathbb{R})^* \cong L^{\infty}(\mathbb{R})</math>. Es gibt daher eine Funktion <math>0 \neq \beta \in L^{\infty}(\mathbb{R})</math> mit
 
<math>\displaystyle \varphi(f) = \int_{\mathbb{R}} f(t) \beta(t) \, dt</math>
 
für alle <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math>. Für <math>x \in \mathbb{R}</math> und <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math> sei <math>f_x \in L^1(\mathbb{R})</math> durch <math>f_x(t)=f(t-x)</math> definiert. Beachte <math>\lVert f_x \rVert_1 = \lVert f \rVert_1</math>. Damit berechnen wir für <math>f,g \in L^1(\mathbb{R})</math>:
 
<math>\displaystyle\varphi(f * g) = \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} f(t-x)  g(x) \, dx \, \beta(t) \, dt=\int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} f(t-x)  \beta(t) \, dt \, g(x) \, dx \medskip \\
 =\int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} f_x(t) \beta(t) \, dt \, g(x) \, dx  = \int_{\mathbb{R}} g(x) \varphi(f_x) \, dx.</math>
 
Aber <math>\varphi(f*g)</math> ist identisch mit
 
<math>\displaystyle \varphi(f) \cdot \varphi(g) = \int_{\mathbb{R}} g(x) \, (\varphi(f) \beta(x)) \, dx.</math>
 
Lassen wir nun <math>g \in L^1(\mathbb{R})</math> laufen, so folgt, dass die beiden <math>L^{\infty}</math>-Funktionen <math>x \mapsto \varphi(f) \beta(x)</math> und <math>x \mapsto \varphi(f_x)</math> dieselbe Linearform auf <math>L^1(\mathbb{R})</math> repräsentieren. Es folgt
 
<math>\displaystyle \varphi(f) \beta(x) = \varphi(f_x)</math>
 
für fast alle <math>x \in \mathbb{R}</math>. Nun kann man sich mit der Dichtheit von <math>C_c(\mathbb{R}) \subseteq L^1(\mathbb{R})</math> überlegen, dass die Funktion
 
<math>\displaystyle \mathbb{R} \to L^1(\mathbb{R}), ~ x \mapsto f_x</math>
 
gleichmäßig stetig ist. Wenn wir nun noch ein <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math> wählen mit <math>\varphi(f) \neq 0</math>, so folgt, dass <math>\beta</math> fast überall mit einer stetigen Funktion übereinstimmt. Wir können daher annehmen, dass <math>\beta</math> selbst stetig ist. Aus <math>(f_x)_y = f_{x+y}</math> folgt nun leicht <math>\beta(x+y)=\beta(x) \beta(y)</math>. Insbesondere gilt <math>\beta(0) \in \{0,1\}</math>. Aus <math>\beta(0)=0</math> folgt allerdings <math>\beta(x)=\beta(x+0)=\beta(x) \beta(0)=0</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math>, Widerspruch. Also gilt <math>\beta(0)=1</math> und damit <math>\beta(x) \neq 0</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math>, weil nämlich <math>\beta(x) \beta(-x)=\beta(x-x)=\beta(0)=1</math> gilt. Wir haben damit gezeigt, dass <math>\beta</math> ein stetiger Gruppenhomomorphismus <math>\mathbb{R} \to \mathbb{C}^*</math> ist. Nun folgt aus Satz 10.2 unten, dass es eine komplexe Zahl <math>z</math> gibt mit <math>\beta(x)=e^{zx}</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math>. Weil nun andererseits <math>\beta</math> wesentlich beschränkt ist, folgt <math>\mathrm{Re}(z)=0</math>. Es gibt also eine reelle Zahl <math>t \in \mathbb{R}</math> mit <math>\beta(x)=e^{-itx}</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math>. Es gilt daher für alle <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math>:
 
<math>\displaystyle \varphi(f) = \int_{\mathbb{R}} f(x)  e^{-itx} \,dx.</math>
 
Umgekehrt können wir für jedes <math>t \in \mathbb{R}</math> die lineare Abbildung <math>\varphi_t : L^1(\mathbb{R}) \to \mathbb{C}</math> durch die obige Formel definieren:
 
<math>\displaystyle \varphi_t(f) := \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-itx} \,dx.</math>
 
Dies ist wohldefiniert wegen <math>\int_{\mathbb{R}} |f(x)  e^{-itx}| \, dx = |f|_1</math>. Tatsächlich ist <math>\varphi_t</math> ein Charakter: Für <math>f,g \in L^1(\mathbb{R})</math> gilt
 
<math>\displaystyle \varphi_t(f * g)=\int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} f(y) g(x-y) \, dy \, e^{-itx} \, dx = \int_{\mathbb{R}} f(y) e^{-ity} \int_{\mathbb{R}}  g(x-y) e^{-t(x-y)} \, dx \, dy \medskip \\
= \int_{\mathbb{R}} f(y) e^{-ity} \int_{\mathbb{R}}  g(x) e^{-tx} \, dx \, dy = \varphi(f) \cdot \varphi(g).</math>
 
Aus <math>\varphi_t = \varphi_{t'}</math> folgt <math>e^{-itx}=e^{-it'x}</math> für fast alle <math>x \in \mathbb{R}</math> und daher <math>t=t'</math>. Damit ist gezeigt, dass
 
<math>\displaystyle \delta : \mathbb{R} \to \Phi_{L^1(\mathbb{R})}, ~ t \mapsto \varphi_t</math>
 
eine bijektive Abbildung ist. Um die Stetigkeit von <math>\delta</math> zu zeigen, müssen wir uns überlegen, dass für jedes <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math> die Funktion <math>\mathbb{R} \to \mathbb{C}</math>, <math>t \mapsto \varphi_t(f)</math> stetig ist. Man bezeichnet sie mit <math>\widehat{f}</math>, es gilt also
 
<math>\displaystyle \widehat{f}(t) = \int_{\mathbb{R}} f(x)  e^{-itx} \,dx.</math>
 
Die Stetigkeit folgt aus der Abschätzung
 
<math>\displaystyle |\widehat{f}(t) - \widehat{f}(s)| \leq \int_{\mathbb{R}} |f(x)| |e^{-itx} - e^{-isx}|\, dx,</math>
 
der Stetigkeit von <math>t \mapsto e^{-itx}</math> und dem Satz von der majorisierten Konvergenz. Um die Stetigkeit von <math>\delta^{-1}</math> zu zeigen, gelte <math>\varphi_{t_n} \to \varphi_t</math>, das heißt <math>\widehat{f}(t_n) \to \widehat{f}(t)</math> für alle <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math>. Aus Beispiel 10.5 unten folgt dann <math>\frac{1}{1+it_n} \to \frac{1}{1+i t}</math> und damit <math>t_n \to t</math>, wie gewünscht. <math>\square</math>
 
Satz 10.2.
Es sei <math>\mathbb{R}</math> die additive Gruppe der reellen Zahlen und <math>\mathbb{C}^*</math> die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen <math>\neq 0</math>. Jeder stetige Gruppenhomomorphismus <math>\mathbb{R} \to \mathbb{C}^*</math> hat die Form <math>x \mapsto e^{zx}</math> für genau ein <math>z \in \mathbb{C}</math>.

Beweis. Es sei <math>\beta : \mathbb{R} \to \mathbb{C}^*</math> ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Es gilt insbesondere <math>\beta(x+y)=\beta(x) \beta(y)</math>. Wir zeigen zunächst, dass <math>\beta</math> differenzierbar ist. Wähle dazu ein <math>\delta>0</math> mit <math>\int_0^{\delta} \beta(y) \, dy \neq 0</math>. Dann berechnen wir für <math>x,y \in \mathbb{R}</math>:
 
<math>\displaystyle \beta(x) \int_{0}^{\delta} \beta(y) \, dy = \int_{0}^{\delta} \beta(x) \beta(y) \, dy = \int_{0}^{\delta} \beta(x+y) \, dy = \int_{x}^{x+\delta} \beta(x) \, dx.</math>
 
Die rechte Seite ist nach dem Hauptsatz der Integralrechnung differenzierbar in <math>x</math>, und damit auch die linke Seite. Also ist auch <math>\beta(x)</math> in <math>x</math> differenzierbar. Leiten wir nun die Gleichung <math>\beta(x+y)=\beta(x) \beta(y)</math>  nach <math>y</math> ab, bekommen wir <math>\beta'(x+y)=\beta(x) \beta'(y)</math> und damit (setze <math>y=0</math>) <math>\beta'(x)=\beta(x) \beta'(0)</math>. Daraus folgt, dass die Ableitung der Funktion <math>x \mapsto \beta(x)/e^{\beta'(0) x}</math> verschwindet. Die Funktion muss also konstant sein, wegen <math>\beta(0)=1</math> genauer gesagt konstant <math>1</math>. Es folgt <math>\beta(x)=e^{\beta'(0) x}</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math>. Es bleibt die Eindeutigkeit zu zeigen. Wegen <math>e^{zx}=e^{z'x} \Leftrightarrow e^{(z'-z)x}=1</math> reicht es zu zeigen, dass <math>e^{zx}=1</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> schon <math>z=0</math> impliziert. Schreibe <math>z=a+ib</math>, dann folgt durch Betragsbildung <math>e^{ax}=0</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> und damit <math>a=0</math>. Es folgt weiter <math>e^{ibx}=1</math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math>, und für <math>b \neq 0</math> folgte der Widerspruch <math>e^{i \pi}=1</math>. <math>\square</math>

Für den Homöomorphismus <math>\delta : \mathbb{R} \to \Phi_{L^1(\mathbb{R})}</math> aus Satz 10.1 gilt nun:
 
Satz 10.3.
Die Komposition <math>L^1(\mathbb{R}) \xrightarrow{\eta} C_0(\Phi_{L^1(\mathbb{R})}) \xrightarrow{\delta^*} C_0(\mathbb{R})</math> schickt eine Funktion <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math> auf die Funktion <math>\widehat{f} \in C_0(\mathbb{R})</math> mit
 
<math>\displaystyle \widehat{f}(t) = \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-ixt} \, d x.</math>
 
Es heißt <math>\widehat{f}</math> die Fourier-Transformierte von <math>f</math>. Die Gelfand-Transformation ist für <math>L^1(\mathbb{R})</math> also gerade die Fourier-Transformation.
 
Beweis. Für <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math> gilt <math>\delta^*(\eta(f))(t)=\eta(f)(\delta(t))=\eta(f)(\varphi_t)=\varphi_t(f) = \widehat{f}(t)</math>. <math>\square</math>

Korollar 10.4.
Für <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math> ist tatsächlich <math>\widehat{f} \in C_0(\mathbb{R})</math> mit <math>\lVert \widehat{f} \rVert_{\infty} \leq \lVert f \rVert_1</math>. Für <math>f,g \in L^1(\mathbb{R})</math> gilt <math>\widehat{f*g} = \widehat{f} \cdot \widehat{g}.</math>
 
Beispiele 10.5.
Sei <math>a > 0</math>. Definiere die Funktion <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> durch
 
<math>\displaystyle f(x) := \left\{\begin{array}{ll} e^{-ax} & x \geq 0 \\ 0 & x < 0\end{array}\right..</math>
 
Dann ist <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math>, denn es gilt
 
<math>\displaystyle |f|_1 = \int_{0}^{\infty} e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a}.</math>
 
Für die Fourier-Transformierte <math>\widehat{f}</math> gilt:
 
<math>\displaystyle \widehat{f}(t) = \int_{0}^{\infty}  e^{-ax} e^{-itx} \, dx = \int_{0}^{\infty} e^{-(a+it)x} \, dx  = \frac{1}{a+it}.</math>
   
Ohne Beweis vermerken wir:
 
Satz 10.6. (Umkehrformel)
Sei <math>f \in L^1(\mathbb{R})</math> mit <math>\widehat{f} \in L^1(\mathbb{R})</math>. Dann gilt für fast alle <math>x \in \mathbb{R}</math>:
 
<math>\displaystyle f(x)= \frac{1}{\tau}\int_{\mathbb{R}} \widehat{f}(t) e^{itx}\, dt.</math>
 
Insbesondere ist die Fourier-Transformation <math>L^1(\mathbb{R}) \to C_0(\mathbb{R})</math>, <math>f \mapsto \widehat{f}</math> injektiv. Sie ist nicht surjektiv, hat aber dichtes Bild.
 
Die Fourier-Transformation besitzt vielfältige Anwendungen in der Mathematik und der Physik, aber das Anliegen dieses Abschnitts war es lediglich, sie aus der Gelfand-Transformation zu synthetisieren. Ganz ähnliche Überlegungen funktionieren für die Banachalgebra ohne Eins <math>L^1(G)</math>, wobei <math>G</math> eine lokalkompakte hausdorffsche topologische abelsche Gruppe ist. Die Integration bezieht sich dann auf das Haar'sche Maß von <math>G</math>, und der Charakterraum von <math>L^1(G)</math> identifiziert sich mit dem sogenannten Pontrjagin-Dual <math>\widehat{G}=\mathrm{Hom}_{\text{stetig}}(G,S^1)</math>.


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Die Gelfand-Transformation - Teil 2 [von Triceratops]  
Die Gelfand-TransformationIn diesem zweiten Teil des Artikels führen wir C*-Algebren ein und benutzen die Gelfand-Transformation aus dem ersten Teil, um kommutative C*-Algebren zu klassifizieren. Wir besprechen ebenfalls den nicht-unitalen Fall. Die Gelfand-Transformation für die nicht-unitale Banac
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" Mathematik: Die Gelfand-Transformation - Teil 2" | 4 Kommentare
 
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Re: Die Gelfand-Transformation - Teil 2
von MeWi am Mo. 27. Juni 2016 11:09:55


Schöner Artikel.

Einen Einwand habe ich allerdings: Ich halte die Benutzung des Begriffs "Banachalgebra ohne Eins" (und ebenso natürlich "C*-Algebra ohne Eins") für ausgesprochen unglücklich. Nicht nur ist er leicht irreführend (im Stile Dieudonnés wäre eine Wortungetüm wie "nicht notwendig unitale Banachalgebra" angemessener), er wird auch schlicht nie so verwendet. So schwerfällig ist das kleine Wörtchen "unital" doch nicht, dass man es nicht mitschleppen könnte. Und am Ende arbeitet man ohnehin oft genug in der Kategorie der "nicht notwendig unitalen" C*-Algebren mit diesen oder jenen Morphismen.

Und noch ein kleiner Nachtrag: Die Fourier-Transformation wird weitaus schöner, wenn man mit <math>C^\ast(G)</math> statt mit <math>L^1(G)</math> arbeitet.

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Re: Die Gelfand-Transformation - Teil 2
von LeBtz am Di. 28. Juni 2016 09:33:41


Danke für diesen Artikel und seinen Vorgänger.

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Re: Die Gelfand-Transformation - Teil 2
von Gockel am Di. 28. Juni 2016 18:21:13


@MeWi: Noch besser wäre es, Algebren Algebren sein zu lassen inkl. der ihnen zustehenden Eins und statt "Algebren ohne Eins" lieber von "Idealen" zu sprechen, denn das ist der eigentliche Kern der Sache, auch wenn sich das bei Funktionalanalytikern noch nicht richtig herumgesprochen hat.

Warum ist das sinnvoll, das so zu machen?
Die allermeisten Argumente über C*-"Algebren" enthalten eine Fallunterscheidung, in der zuerst der nichtunitale Fall auf den unitalen Fall zurückgeführt wird (manchmal versteckt), indem eine solche "Algebra" erst einmal in eine richtige Algebra als Ideal eingebettet wird (kanonische Kandidaten sind die universelle Unitalisierung aka Einpunktkompaktifizierung bzw. die Multiplikatoralgebra aka Stone-Cech-Kompaktifizierung). Ein Aspekt, der z.B. immer wieder für Verwirrung sorgt, ist die Frage, wieso man denn jetzt mal die eine und mal die andere Algebra nimmt oder in 1% der Fälle sogar eine noch völlig andere. Die Antwort ist klar: Weil der Autor verschwiegen hat, zu sagen, in welcher Algebra er das jeweilige Ideal eingebettet sieht, und dass das Ideal <math>I\unlhd I^+</math> eben nicht das gleiche ist wie das Ideal <math>I\unlhd M(I)</math>.
Warum sieht die Gelfand-Dualität für lokalkompakte Räume so komisch aus? Wieso braucht man eigentliche Abbildungen? Wieso tauchen in einer anderen Version plötzlich Homomorphismen <math>A\to M(B)</math> statt <math>A\to B</math> auf? Wieso gibt es überhaupt zwei Versionen? Ganz einfach: Das sind zwei verschiedene Gelfand-Dualitäten; eine für die Einpunktkompaktifizierung und eine für die Stone-Cech-Kompaktifizierung.

Alternativ wird mit approximativen Einsen gearbeitet. Auch das ist sinnvoll, wird aber nicht konsequent genug betrieben, weil z.B. nicht erkannt wird, dass Algebren mit approximativen Einsen eine eigenständige Kategorie bilden und man sie von der Kategorie der echten Algebren unterscheiden muss. Überall werden Vergissfunktoren vergessen und ad hoc Begriffe wie "Nichtentartetheit" eingeführt, um diesen konzeptuellen Mangel zu verschleiern.

mfg Gockel.

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Re: Die Gelfand-Transformation - Teil 2
von Triceratops am Do. 27. Oktober 2016 18:49:05


Ich bin per Zufall auf diese interessante mathoverflow-Diskussion gestoßen. Dort wird gezeigt, dass die <math>C^*</math>-Norm der Unitalisierung (Satz 9.11 hier) auch ohne Fallunterscheidung angegeben werden kann. Das ist schön.

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