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Vom Mendelsohn-Modell zum Gompertz- und logistischen Wachstumsgesetz
Freigegeben von matroid am Do. 21. Juli 2016 21:19:44
Verfasst von Marbin -   697 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

<math>$${\Large \textbf{Vom Mendelsohn-Modell zum Gompertz- und logistischen Wachstumsgesetz}}</math>

Die Gompertz- sowie die logistische Funktion sind in der Onkologie eine populäre Methode, die empirischen Wachstumskurven von avaskulären und vaskulären Tumoren im Frühstadium zu modellieren. Diese phänomenologischen Modelle sind jedoch ausschließlich beschreibender Art, eine biologische Rechtfertigung fehlt. Motivation dieses Artikels ist es nun, eine mögliche biologische Begründung der Gompertz- und logistischen Funktion bei Anwendung auf Tumorwachstumsmodellierung zu liefern.


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Vom Mendelsohn-Modell zum Gompertz- und logistischen Wachstumsgesetz [von Marbin]  
$${Large textbf{}} Die Gompertz- sowie die logistische Funktion sind in der Onkologie eine populäre Methode, die empirischen Wachstumskurven von avaskulären und vaskulären Tumoren im Frühstadium zu modellieren. Diese phänomenolog
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" Vom Mendelsohn-Modell zum Gompertz- und logistischen Wachstumsgesetz" | 7 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Vom Mendelsohn-Modell zum Gompertz-Wachstumsgesetz
von Ex_Mitglied_36500 am Di. 26. Juli 2016 21:23:52


Hi Marbin,

Kompliment, ein sehr interessanter Artikel! Ich finde es schön, daß es hier auch mal etwas Abwechslung gibt.
Ich habe inhaltlich ein paar Anmerkungen zu machen:

1. Approximieren ist nicht wirklich das korrekte Wort. Man kann z.B. stetige Funktionen auf kompakten Intervallen durch Polynome approximieren (Approximationssatz von Weierstraß). Oder man kann periodische Funktionen unter bestimmten Bedingungen durch trigonometrische Polynome approximieren (Fourieranalyse). Oder man kann eine quadratintegrable Funktion durch glatte Funktionen approximieren. Entscheidend ist, daß man den Fehler beliebig klein machen kann. Das ist hier aber nicht der Fall. Du ersetzt einfach eine Funktion durch eine andere, die ähnlich aussieht. Tatsächlich hat mich das beim Lesen etwas aufgehalten, weil ich überlegt habe, wie man auf diese Ersetzung kommt. Deine Verwendung des Symbols <math>\cong</math> ist auch semantisch falsch: Das Symbol drückt aus, daß eine Asymptotik vorliegt:
<math>\displaystyle f(x) \cong g(x)\qquad x \to x_0</math> bedeutet <math>\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1</math>.

2. Daß eine kleine Veränderung des Integranden global zu einem völlig anderen Integral führen kann, ist ein bekannter Effekt. Daß man den Integranden durch einen ähnlichen ersetzt, ist nicht wirklich eine Erklärung (es funktioniert ja nur, weil man weiß, was herauskommen soll). Daß das Mendelsohn-Modell unbeschränktes Wachstum zeigt, läßt darauf schließen, daß ihm ein Dämpfungsterm fehlt. Vgl. freien Fall mit Luftreibung:
<math>\ddot x (t) = - g</math> (freier Fall, unbeschränktes Wachstum und eine unbeschränkte Geschwindigkeit)
<math>\ddot x (t) = - g - \gamma \dot x(t)\,\vert \dot x(t) \vert</math> (freier Fall mit Luftreibung, asymptotisch lineares Wachstum, d.h. eine beschränkte Geschwindigkeit)
Im Gegensatz zur Gompertzfunktion ist das Mendelsohn-Modell plausibel. Interessanter fände ich jetzt, der Frage nachzugehen, wie man das Mendelsohn-Modell modifizieren muß, um ein sigmoides Wachstum zu bekommen, d.h. wo dieser Dämpfungsterm herkommt (anscheinend gibt es bei einem großer Tumor bezogen auf seine Oberfläche relativ weniger Stoffwechsel) und wie man ihn beschreiben muß.

3. Du schreibst:
"Daraus folgt, dass der Tumor mit Zytostatika behandelt werden sollte, solange sich das Wachstum im Mendelsohn-Modell-Bereich befindet."
Woraus folgt das?

Viele Grüße!

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Re: Vom Mendelsohn-Modell zum Gompertz-Wachstumsgesetz
von Marbin am Mi. 27. Juli 2016 08:42:51


Hi bokajowitsch,

1. Ich hatte das Symbol <math>\cong</math> unter der Annahme verwendet, es bedeute "ungefähr gleich". Die Interpretation in Latex und HTML ist jedoch, dass Gruppen isomorph sind. Wieder etwas gelernt. Die Idee der Näherung kam aus der Reihenentwicklung <math>x^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{a^{n}\cdot \left ( -\ln (x) \right )^{n}}{n!}=1-\ln (x)+...</math>

2. Das Mendelsohn-Modell lässt sich wie folgt modifizieren, um ein sigmoides Wachstum zu bekommen: <math>\frac{\mathrm{d} V(t)}{\mathrm{d} t}=a\cdot V(t)^{\frac{2}{3}}-b\cdot V(t)</math>. Dies ist die sogenannte Bertalanffy-Gleichung.

3. Ich folgere es aus der Annahme, dass der Tumor die Zytostatika wie die Nährstoffe im avaskulären Stadium bis zum Erreichen eines gewissen Volumens über dessen Oberfläche aufnimmt. Ich schreibe dem Tumor eine gewisse Intelligenz, oder vielleicht besser gesagt eine biologische Raffinesse oder optimiertes Verhalten zu. Zunächst wächst der Tumor unbemerkt, nimmt Nährstoffe nur über seine Oberfläche auf. Dann ändert er plötzlich sein Verhalten. Er wächst nicht weiter, sondern bildet eigene Blutgefäße. Nun wächst er weiter, er ist klinisch nachweisbar, kann operativ entfernt oder das Wachstum durch Chemo/Strahlentherapie eingeschränkt werden. Doch es ist schon zu spät. Über die Blutbahn sind Bruchstücke des Tumors in den ganzen Körper gelangt und haben bereits Metastasen gebildet. Eigentlich müssten wir einmal pro Jahr präventiv eine Chemotherapie über uns ergehen lassen, um kleinste Tumore abzutöten, aber wer lässt diese Prozedur schon über sich ergehen, wenn die Früherkennungsuntersuchung negativ ist.

Grüße,

Marbin

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Re: Vom Mendelsohn-Modell zum Gompertz-Wachstumsgesetz
von Marbin am Fr. 29. Juli 2016 19:17:57


<math>$${\Large \textbf{Nachtrag}}</math> (wird hoffentlich im Artikel selbst auch noch upgedatet):

Bei Verwendung der Reihe <math>a\cdot V(t)^{-k}=a\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{k^{n}\cdot \left ( -\ln \left ( V(t) \right ) \right )^{n}}{n!}</math> erhalten wir allgemein:

<math>\frac{\mathrm{d} V(t)}{\mathrm{d} t}=V(t)\cdot a\cdot \sum_{n=0}^{i}\dfrac{k^{n}\cdot \left ( -\ln \left (V(t)  \right ) \right )^{n}}{n!}.</math>

Für <math>i=0</math> ergibt sich exponentielles Wachstum, für <math>i=1</math> das Gompertz-Wachstumsmodell und für <math>i=\infty</math> das Mendelsohn-Wachstumsmodell.

Wenn wir anstelle die Reihe

<math>~a\cdot V(t)^{-k}=a\cdot \sum_{n=0}^{\infty}\binom{-k}{n}\cdot \left ( V(t)-1 \right )^{^n}</math>

und dazu die entsprechende Differentialgleichung

<math>\frac{\mathrm{d} V(t)}{\mathrm{d} t}=V(t)\cdot a\cdot \sum_{n=0}^{i}\binom{-k}{n}\cdot \left ( V(t)-1 \right )^{^n}</math>

betrachten, ergibt sich für <math>i=0</math> exponentielles Wachstum, für <math>i=1</math> das logistische Wachstumsmodell und für <math>i=\infty</math> wiederum das Mendelsohn-Wachstumsmodell.

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Re: Vom Mendelsohn-Modell zum Gompertz-Wachstumsgesetz
von Ex_Mitglied_36500 am Sa. 30. Juli 2016 04:31:53


Hi Marbin,

zu 1. Okay, ich war nicht auf diese Reihenentwicklung gekommen. Wenn das so ist, dann ist "approximieren" wohl doch gerechtfertigt. Ich denke, es wäre gut, Du würdest das im Artikel ergänzen.

zu 2. Interessante Information. Hast Du mal ausprobiert, ob Du die Gompertz-Funktion aus der Bertalanffy-Gleichung gewinnen kannst?

zu 3. Danke, sehr gute Erklärung!

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Re: Vom Mendelsohn-Modell zum Gompertz-Wachstumsgesetz
von Marbin am Sa. 30. Juli 2016 11:19:22


Hi bokajowitsch,

es gibt übrigens noch eine dritte (mir bekannte) Reihenentwicklung:

<math>x^{^-k}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left ( k-1 \right )^{n}\cdot \left ( -\ln \left ( x \right ) \right )^{n}}{x\cdot n!}.</math>

Wir erhalten somit analog

<math>\frac{\mathrm{d} V(t)}{\mathrm{d} t}=V(t)\cdot a\cdot \sum_{n=0}^{i}\frac{\left ( k-1 \right )^{n}\cdot \left ( -\ln \left ( V(t) \right ) \right )^{n}}{V(t)\cdot n!}.</math>

Für <math>i=1</math> erhält man die Lösung

<math>C_{1}-a\cdot t=\frac{e^{\frac{1}{k-1}}\cdot \textup{Ei}\left ( \ln \left ( V(t) \right ) +\frac{1}{1-k}\right )}{k-1}.</math>

Evtl. könnte man die Integralexponentialfunktion <math>\textup{Ei}</math> approximieren, aber weiter habe ich mich damit noch nicht beschäftigt.

Die Gompertz-Funktion lässt sich wie folgt aus der Bertalanffy-Gleichung

<math>\frac{\mathrm{d} V(t)}{\mathrm{d} t}=\alpha \cdot V(t)^{\lambda }-\beta \cdot V(t)^{\mu }</math>

gewinnen: Sei <math>\mu=1</math>, und des Weiteren definieren wir <math>a=\alpha-\beta</math> und <math>b=\beta \cdot \left ( \mu -\lambda  \right )=\beta \cdot \left ( 1 -\lambda  \right )</math>, dann

<math>\frac{\mathrm{d} V(t)}{\mathrm{d} t}=a \cdot V(t)^{\lambda }-b \cdot V(t)^{\lambda  }\cdot \left ( \frac{V(t)^{1-\lambda }-1}{1-\lambda } \right ),</math>

<math>\lim_{\lambda \to 1} a \cdot V(t)^{\lambda }-b \cdot V(t)^{\lambda  }\cdot \left ( \frac{V(t)^{1-\lambda }-1}{1-\lambda } \right )=-b\cdot V(t)\cdot \ln \left ( \frac{V(t)}{e^{\frac{a}{b}}} \right ).</math>

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Re: Vom Mendelsohn-Modell zum Gompertz-Wachstumsgesetz
von Marbin am So. 31. Juli 2016 19:43:19


Habe nun eine pdf-Version des komplett überarbeiteten Artikels hochgeladen. Artikel selbst wird entsprechend angepasst.

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Re: Vom Mendelsohn-Modell zum Gompertz- und logistischen Wachstumsgesetz
von Marbin am Mi. 31. August 2016 18:49:02


PS: Habe den Artikel um zwei Beweise und Berechnungen erweitert und in LaTeX gesetzt.

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