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Mathematik: Relativitätstheorie: Rückstoßgetriebene Raumschiffe reisen relativ ruinös
Freigegeben von matroid am Mi. 18. Januar 2017 18:01:36
Verfasst von MontyPythagoras -   657 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Physik

\(\begingroup\)

Relativitätstheorie: Rückstoßgetriebene Raumschiffe reisen relativ ruinös


In meiner Artikelreihe "Physikalisches Wissen, das keiner braucht" beschäftige ich mich diesmal mit der speziellen Relativitätstheorie. Zu diesem Thema gibt es ohne Zweifel schon unzählige Artikel, Aufsätze, Threads und Internetseiten, von Wissenschaftlern wie auch von Laien, die sämtliche Aspekte schon von allen Seiten gründlich beleuchtet haben. Na also, kommt es auf einen Artikel mehr oder weniger auch nicht an...
In der Mehrzahl dieser Werke geht es darum, die Massenzunahme, die Längenkontraktion und die Zeitdilatation herzuleiten, manchmal noch die berühmte Masse-Energie-Äquivalenz E=mc². Auch ein sehr beliebtes Thema sind Zeitreisen, Zwillingsparadoxon und so weiter, sprich: alles, was das Herz des Science-Fiction-Fans höher schlagen lässt. Oft liest man dann Sätze wie "Nehmen wir an, der Astronaut reist mit seinem Raumschiff mit 90% der Lichtgeschwindigkeit...". Ich habe mir mal Gedanken darüber gemacht, was an Aufwand notwendig ist, um die Tachonadel auf 0,9c zu bekommen und - genauso wichtig - wieder anzuhalten, denn welcher Astronaut möchte schon mit 90% der Lichtgeschwindigkeit am Ankunftsort aufschlagen. Gut, man würde der Redewendung "einen bleibenden Eindruck hinterlassen" eine ganz neue Bedeutung geben, aber man wäre ziemlich tot und könnte sich über seine vielen neuen Follower auf Spacebook nicht mehr richtig freuen.
Betrachten wir also die bekannte Raketengrundgleichung von Ziolkowski mal relativistisch und überlegen uns die Konsequenzen. Wir untersuchen dabei den Beschleunigungsvorgang, den Bremsvorgang, den Kurven"flug", und überlegen anschließend, wie ein energiesparendes Flugmanöver aussehen muss. Zum Abschluss berechnen wir den Energiebedarf für eine Runde auf einem intergalaktischen Ovalkurs.

Rechnerische Voraussetzungen

Alle bislang gebauten, real existierenden Raumschiffe und Raketen basieren auf die eine oder andere Art auf dem Rückstoßprinzip: hauste hinten was raus, wirste vorne schneller. Das ist letztlich nur die Anwendung des Impulserhaltungssatzes. In diesem Fall ist natürlich die Masse des Raumschiffs veränderlich, denn es ist beim Start vollgetankt und schießt während der Beschleunigung den Brennstoff raus. Ich denke, das muss ich nicht näher erklären. Jedenfalls führt die Anwendung des Impulserhaltungssatzes zu der Raketengrundgleichung

<math>\displaystyle v(m)=v_g\ln\frac{m_s}m</math>

Darin ist <math>v_g</math> die Austrittsgeschwindigkeit des verbrannten Treibstoffs aus dem Triebwerk, <math>m_s</math> ist die Gesamtmasse der Rakete (inkl. Treibstoff) beim Start und <math>m</math> die momentane Masse mit halbvollem Tank. Je niedriger die momentane Masse, desto mehr Treibstoff wurde verbrannt, desto schneller ist die Rakete.
Diese Gleichung ist für die relativistische Betrachtung aber nicht weiter relevant. Wichtig ist hier nur die Erkenntnis, dass die Geschwindigkeit der Rakete (neben dem Verhältnis aus Start- und Momentanmasse) proportional ist zu der Ausstoßgeschwindigkeit des Brennstoffs. Wenn wir mit unserem Raumschiff in die Nähe der Lichtgeschwindigkeit kommen wollen, sollte unser Brennstoff auch mit möglichst hoher Geschwindigkeit nach hinten ausgestoßen werden. Warum nicht gleich mit Lichtgeschwindigkeit? Betrachten wir daher ein Raumschiff, welches seinen Treibstoff in Photonen umsetzt, die uns freiwillig den Gefallen tun, uns mit Lichtgeschwindigkeit zu verlassen und uns damit bezogen auf ihre dynamische Masse den maximal möglichen Impuls mitgeben. Schließlich unterliegen auch die Photonen der Energie- und der Impulserhaltung und schieben das Raumschiff in die entgegengesetzte Richtung an. Ein solcher Antrieb ist nicht undenkbar, aber mit Atomenergie wäre das nicht zu machen, da am Ende des radioaktiven Zerfalls immer noch ziemlich schwere, stabile Isotope übrigbleiben, die dem Raumschiff wie Blei im Magen liegen. Aber wenn man den Tank zur Hälfte mit beliebiger Materie und die andere Tankhälfte mit Antimaterie füllen würde, könnte die bei der Annihilation im Triebwerk freigesetzte Strahlung eventuell in die gewünschte Richtung gelenkt werden. Ob Photonen oder andere Elementarteilchen mit Lichtgeschwindigkeit ausgestoßen werden, ist für diese Berechnung letztlich egal. Betrachten wir die Probleme der Herstellung und Lagerung des brisanten Treibstoffs einfach als erledigt und nehmen wir den Wirkungsgrad des Antriebs mal als 100% an. Die nachfolgenden Berechnungen sind also das Optimum für Raumschiffe, die auf dem Rückstoßprinzip beruhen.
Folgende Gesetzmäßigkeiten sind außerdem noch wichtig zu wissen:

1. Relativistische Massenzunahme
Ein Körper mit der Ruhemasse <math>m_0</math>, der sich gegenüber dem Ruhesystem mit der Geschwindigkeit <math>v</math> bewegt, weist im Ruhesystem eine Masse <math>m</math> auf von:

<math>\displaystyle m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math>

2. Energie und Impuls von Photonen
Photonen haben eine Energie von

<math>\displaystyle E_{ph}=h\nu</math>

und da sie sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, haben sie einen Impuls von

<math>\displaystyle p_{ph}=\frac{E_{ph}}{c^2}c=\frac{h\nu}c</math>

Angenommen, unser Raumschiff hat eine Antriebsleistung <math>P</math>, die eben darin besteht, eine gigantische Strahlung am Heck in das All zu ballern, dann gilt:

<math>\displaystyle P=KE_{ph}=Kh\nu</math>

Die Größe <math>K</math> ist im Grunde die Anzahl Photonen pro Zeit, die das Raumschiff ausstößt.
Damit können wir nun loslegen, die Bewegungsgesetze des Raumschiffs zu berechnen. Wir betrachten dabei immer alles vom Ruhesystem aus. Wie sich also der Gang der Uhren auf der Erde und im Raumschiff unterscheidet, soll hier nicht näher betrachtet werden.

Bewegungsgleichungen des Raumschiffs

1. Geradliniges Beschleunigen
Folgende Bedingungen sollen für unser Raumschiff gelten:
1. Es startet mit der Geschwindigkeit "So-gut-wie-null" irgendwo im All aus einer Umlaufbahn der Erde. Angesichts der Strahlung aus seinem Heck sollte es selbiges allerdings besser nicht der Erde zuwenden.
2. Es fliegt geradlinig zum anvisierten Zielpunkt, das All dazwischen ist schön sauber und leergefegt und außerdem euklidisch flach. Es gibt auch keine Tankstellen unterwegs.
3. Der Zielplanet befindet sich bezogen auf die Erde auch weitestgehend in Ruhe. Das heißt, das Raumschiff muss nicht nur beschleunigen, sondern auch wieder abbremsen.

Das Raumschiff liegt also vollgetankt und startbereit im Weltraumhangar. Es hat die Start-Ruhemasse <math>m_s</math> und damit die Startenergie <math>E_s=m_sc^2</math>. Was so trivial klingt, müssen wir uns noch einmal verdeutlichen: diese Masse beinhaltet sowohl das nackte Raumschiff (sozusagen das Leergewicht) als auch sämtliche Energie, die es in seinem Photonenantrieb zu verfeuern gedenkt. Es kann den Brennstoff ja nicht unterwegs herbeizaubern, sondern muss ihn von zuhause mitnehmen. Während es also Vollgas gibt, verliert es kontinuierlich über die Masse-Energie-Äquivalenz auch Ruhemasse, nämlich genau so viel, wie es an Strahlungsenergie unterwegs abgegeben hat. Das ist der klassischen Raketengleichung nicht unähnlich, auch dort ändert sich die Masse der Rakete ja mit der Zeit, weil sie den Brennstoff ganz unrelativistisch los wird und irgendwann leer ist. Die Ruhemasse des Raumschiffs <math>m_0</math> ist hier also eine zeitlich veränderliche Größe, für die gilt:

<math>\displaystyle m_0=m_0(t)</math>

<math>\displaystyle m_0(t=0)=m_s</math>

Sobald das Raumschiff unterwegs ist, hängt die momentane Masse <math>m</math> über die relativistische Massenzunahme (siehe oben) von der aktuellen Geschwindigkeit und von der Zeit ab:

<math>\displaystyle m(v,t)=\frac{m_0(t)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math>

wobei <math>v</math> ja beim Beschleunigen auch noch eine Funktion der Zeit ist. (Im weiteren Verlauf der Rechnungen schleppe ich die Funktionsargumente nicht mit und unterstelle, dass der Leser sich merken kann, dass sowohl die momentane relative Masse als auch die momentane Ruhemasse des Raumschiffs zeitlich veränderlich sind.)
Laut Energieerhaltungssatz im unbeschleunigten Ruhesystem ist nun die Gesamtenergie des Raumschiffs und der abgestrahlten Photonen konstant, und damit die zeitliche Ableitung gleich null:

<math>\displaystyle \frac{\text d}{\text dt}\left(mc^2\right)+P_r=0</math>

<math>P_r</math> ist die auf das Ruhesystem umgerechnete Antriebsleistung des Raumschiffs. Wie genau man das umrechnet, spielt keine Rolle - wichtig ist nur, dass aufgrund der Invarianz der Lichtgeschwindigkeit auch im Ruhesystem die Beziehung zwischen Impuls und Energie <math>p_{ph}=\frac{E_{ph}}{c}</math> gilt. Das Raumschiff erhält somit einen Impuls von jedem abgestrahlten Photon, die zeitliche Änderung des Impulses des Raumschiffs ist also gleich der Summe der Photonenimpulse pro Zeiteinheit:

<math>\displaystyle \frac{\text d}{\text dt}\left(mv\right)=\frac{P_r}c</math>

Setzen wir diese Gleichung in die letzte ein, erhalten wir:

<math>\displaystyle \frac{\text d}{\text dt}\left(mc^2\right)+c\frac{\text d}{\text dt}\left(mv\right)=0</math>

<math>c</math> ist eine Konstante, die wir ausklammern. Den Rest fassen wir zusammen:

<math>\displaystyle c\frac{\text d}{\text dt}\left(m\left(c+v\right)\right)=0</math>

Daraus folgt, dass

<math>\displaystyle m\left(c+v\right)=\text{konstant}</math>

Da dieser Term konstant ist, können wir die Startbedingungen einsetzen, also <math>v=0</math> und <math>m=m_0(0)=m_s</math>:

<math>\displaystyle m\left(c+v\right)=m_sc</math>

<math>\displaystyle m=m_s\frac c{c+v}</math>

Wir könnten nun einfach nach <math>v</math> auflösen und hätten, wie bei der klassischen Raketengleichung oben, die Geschwindigkeit als Funktion der Masse. Das ist aber nicht sinnvoll, denn die Masse unterliegt hier ja der relativistischen Massenzunahme. Daher ist es notwendig, die momentane Ruhemasse <math>m_0</math> zu bestimmen, weil diese sozusagen die Tanknadel darstellt, denn in der Rest-Ruhemasse steckt ja noch die Energie, die für Flugmanöver jedweder Art zur Verfügung steht! Setzen wir daher noch den Term der relativistischen Massenzunahme ein, so erhalten wir letztlich:

<math>\displaystyle \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=m_s\frac c{c+v}</math>

<math>\displaystyle m_0=m_s\frac{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{c+v}</math>

<math>\displaystyle m_0=m_s\frac{\sqrt{c^2-v^2}}{c+v}</math>

<math>\displaystyle m_0=m_s\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}</math>
Raketengleichung
Diese Gleichung können wir nun nach <math>v</math> auflösen, was einfach ist und deshalb hier nicht ausführlich gezeigt wird, und wir erhalten sozusagen die relativistische Raketengleichung:

<math>\displaystyle v=c\frac{m_s^2-m_0^2}{m_s^2+m_0^2}</math>

Oder mit dem Quotienten <math>q=\frac{m_0}{m_s}</math> aus Momentan-Ruhemasse und Start-Ruhemasse:

<math>\displaystyle v=c\frac{1-q^2}{1+q^2}</math>

Vergleichen wir das mal mit der klassischen Raketengleichung, aber unter der Annahme, dass es diese Rakete schafft, den Treibstoff mit Lichtgeschwindigkeit auszustoßen:

<math>\displaystyle v=-c\ln q</math>

In dem nebenstehendem Diagramm sind die relativistische und die klassische Raketengleichung gegenübergestellt. Das Raumschiff startet in dem Diagramm auf der Abszisse bei <math>q=1</math> und Geschwindigkeit null. Da stimmen die beiden Formeln noch gut überein, aber mit zunehmender Geschwindigkeit wird erwartungsgemäß der Unterschied größer. Die relativistische Raketengleichung endet dann logischerweise bei <math>v=c</math> und führt damit zu der wenig überraschenden Erkenntnis, dass die Lichtgeschwindigkeit für das Raumschiff nicht erreichbar ist, denn dazu müsste es seine komplette Masse in Form von Strahlung verfeuern. Es bliebe also nichts übrig, was man noch Raumschiff oder Astronaut nennen könnte. Im Umkehrschluss müsste ein Raumschiff mit von null verschiedener Rest-Ruhemasse eine unendliche Energie mitnehmen - und damit hätte es eine unendliche Start-Ruhemasse und es käme nicht vom Fleck. Wenig aussichtsreiche Perspektive!
Und wenn der Astronaut im Geschwindigkeitsrausch beschließt, den Großteil seines Tankinhalts zu verfeuern, um zumindest einen neuen Geschwindigkeitsrekord aufzustellen, hätte er danach nicht mehr genug Energie, um wieder auf null (bezogen auf sein altes Ruhesystem) abzubremsen. Der nicht lebensmüde Astronaut wird sich daher ab einem bestimmten Punkt treiben lassen. Sobald das Raumschiff seine Reiseflughöhe und -geschwindigheit erreicht hat, erlöschen die Anschnallsymbole und er kann bei konstanter Geschwindigkeit seinem Ziel entgegenschweben. In den halbwegs realistischen Filmen würde er sich jetzt wohl in eine Kryo-Schlafkabine begeben und auf den Zeitpunkt warten, wo das Bremsmanöver begonnen werden muss.
Daher berechnen wir als nächstes, wieviel Energie zum Bremsen notwendig ist.

2. Geradliniges Bremsen
Die Formel der Energieerhaltung bleibt komplett identisch wie beim Beschleunigen, denn für die Energieerhaltung ist es egal, in welche Richtung die Strahlung abgegeben wird. In der Gleichung der Impulserhaltung muss jedoch das Vorzeichen des Impulses umgedreht werden, denn der Astronaut geht ja sozusagen auf Umkehrschub. Das Space Shuttle bremst übrigens tatsächlich, indem es in der Umlaufbahn das Heck in Flugrichtung dreht, dann Gas gibt, um langsamer zu werden, und dann kurz vor Eintritt in die Atmosphäre sich wieder mit der Nase in Flugrichtung zurückdreht.
Somit haben wir für den Bremsvorgang:

<math>\displaystyle \frac{\text d}{\text dt}\left(mc^2\right)+P_r=0</math>

und

<math>\displaystyle \frac{\text d}{\text dt}\left(mv\right)=-\frac{P_r}c</math>

Mit der gleichen Vorgehensweise wie oben erhalten wir diesmal

<math>\displaystyle m\left(c-v\right)=\text{konstant}</math>

Auch hier setzen wir wieder die Start- und Endbedingungen ein. Die Startbedingung ist hier, dass sich das Raumschiff mit der aktuellen Ruhemasse <math>m_0</math> mit der Geschwindigkeit <math>v</math> bewegt, und es bremst runter auf die Geschwindigkeit null. Bei Erreichen des Stillstands habe es die Masse <math>m_e</math>:

<math>\displaystyle m_ec=m\left(c-v\right)=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\left(c-v\right)</math>

<math>\displaystyle m_e=\frac{m_0\left(c-v\right)}{\sqrt{c^2-v^2}}</math>

<math>\displaystyle m_e=m_0\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}</math>

Das ist im Grunde dieselbe Gleichung wie beim Beschleunigen. Das Herunterbremsen aus der Geschwindigkeit <math>v</math> auf null reduziert die Ruhemasse des Raumschiffs zum Start des Manövers um den gleichen Faktor, wie das Beschleunigen von null auf <math>v</math>. Das ist nicht überraschend, denn aus Sicht des Astronauten findet ja beide Male eine Beschleunigung von null auf <math>v</math> statt.
Kleines Beispiel: der Astronaut möchte die halbe Lichtgeschwindigkeit erreichen. Dann ist die Ruhemasse während der Höchstgeschwindigkeit

<math>\displaystyle m_0=m_s\sqrt{\frac{\frac12}{\frac32}}=m_s\cdot\frac13\sqrt{3}</math>

Genauso gilt für den Bremsvorgang

<math>\displaystyle m_e=m_0\cdot\frac13\sqrt{3}=\frac13m_s</math>

Die Endmasse sei gleichzeitig das Leergewicht des Raumschiffs und sie beträgt in diesem Beispiel nur ein Drittel des Startgewichts. Mit anderen Worten: Zwei Drittel des Startgewichts waren Treibstoff. Das Raumschiff muss für dieses kleine, knapp kalkulierte Manöver "Halbe Lichtgeschwindigkeit und stop" doppelt so viel "Treibstoff" verballern wie es selber leer wiegt! Und da ist keine Reserve für andere lustige Flugmanöver wie Elchtest oder ähnliches.
Allgemein gilt, wenn man einen kompletten, geradlinigen "Flug" inklusive Beschleunigen und Bremsen von der Erde zu einem weit entfernten Ziel durchführen möchte:

<math>\displaystyle m_e=m_0\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}=m_s\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}\cdot\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}=m_s\frac{c-v}{c+v}</math>

Nennen wir die Differenz aus Start- und Endgewicht den Tankinhalt <math>m_t</math>, dann ist

<math>\displaystyle m_t=m_s-m_e</math>

Das Verhältnis von Tankinhalt (genauer: Treibstoffmasse) zu Leergewicht des Raumschiffs ist dann

<math>\displaystyle \frac{m_t}{m_e}=\frac{1-\frac{c-v}{c+v}}{\frac{c-v}{c+v}}</math>

<math>\displaystyle \frac{m_t}{m_e}=\frac{2v}{c-v}</math>

Noch ein Zahlenbeispiel: wollen wir statt mit halber Lichtgeschwindigkeit mit 0,9c reisen, weil wir es eilig haben, müssen wir statt dem Doppelten schon das 18-fache des eigenen Leergewichts an Treibstoff mitnehmen. Es ist wie heute auch: wer auf's Gas tritt, zahlt für den Spaß an der Tankstelle! (Und auf den ersten Blick würde ich sagen: in Zukunft noch viel mehr als heute.)
Doch es wird noch schlimmer. Gehen wir mal davon aus, der Astronaut sei ein Pionier und er reise zu einem Planeten, von dem er annehmen muss, dass er unbewohnt ist. Dann gibt es dort garantiert auch keine Antimaterie-Tankstelle. Und wenn doch, sind der außerirdische Tankstutzen und seine Tanköffnung wahrscheinlich nicht kompatibel. Sicherheitshalber muss er also genug Energie (bzw. Masse) mitnehmen, um auch wieder zurück nach Hause reisen zu können. Er muss somit zweimal beschleunigen und zweimal bremsen, und deshalb müsste der Faktor oben quadriert werden:

<math>\displaystyle m_e=m_s\left(\frac{c-v}{c+v}\right)^2</math>

Das Roundtrip-Ticket schlägt dann bei 0,5c mit der 8-fachen Leermasse und bei 0,9c mit der 360-fachen Leermasse zu Buche! Zum Vergleich: die gigantische Saturn V Rakete, die im Zuge des Apollo-Programms die vergleichsweise winzige Mondlandefähre in die Erdumlaufbahn brachte, hatte ein Verhältnis von Treibstoff zu Nutzlast von "nur" etwa 63, und die Triebwerke hatten, je nach Stufe, einen Wirkungsgrad zwischen 6 und 12%.

3. Richtungsänderung (Kurvenflug) bei konstanter Geschwindigkeit
Warum eigentlich konstante Geschwindigkeit, hat das irgendeinen Vorteil? Nein, außer dass es schön leicht zu rechnen ist, nicht. Man neigt nur zu dieser Annahme, weil es der eigenen Erfahrung entspricht, dass ein Vehikel, das schwimmt, rollt oder fliegt, seine kinetische Energie und somit seine Geschwindigkeit beibehalten möchte. Bei einem Schiff oder einem Flugzeug wird eben das Ruder geklappt, und schon sorgt das anströmende Medium für die Richtungsänderung. Beim Auto übernehmen das die Reifen, die die Seitenführungskräfte übertragen und dadurch die Richtungsänderung herbeiführen. In allen Fällen wird durch den Lenkvorgang eine seitliche Kraft auf das Vehikel ausgeübt, die senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt und dadurch (so gut wie) keine mechanische Arbeit erfordert. Der Gegenimpuls dazu wird vom Medium oder der Straße aufgenommen.
Im All ist das natürlich anders, das Raumschiff muss aus eigenem Antrieb für diese seitlich wirkende Schubkraft sorgen, indem es seine Antriebsdüsen (oder sich selbst) nach rechts oder links dreht.
Bisher hat sich unser Raumschiff nur geradlinig bewegt, doch bei diesem Manöver müssen wir beim Impulserhaltungssatz in die vektorielle Darstellung wechseln. Die Gleichung für die Energieerhaltung ist unverändert:

<math>\displaystyle \frac{\text d}{\text dt}\left(mc^2\right)+P_r=0</math>

Für die Impulserhaltung gilt:

<math>\displaystyle \frac{\text d}{\text dt}\left(m\vec v\right)=\frac{P_r}c\vec e</math>

<math>\displaystyle \dot{m}\vec v+m\frac{\text d\vec v}{\text dt}=\frac{P_r}c\vec e</math>

Dabei ist der Vektor <math>\vec e</math> ein Einheitsvektor, der die momentane Richtung der Impulsänderung angibt. Außerdem ist die Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit gleich der Zentripetalbeschleunigung <math>a_z</math>:

<math>\displaystyle \frac{\text d\vec v}{\text dt}=\vec a_z</math>

<math>\displaystyle \dot{m}\vec v+m\vec a_z=\frac{P_r}c\vec e</math>

Die Zentripetalbeschleunigung ist letztlich die beabsichtigte Beschleunigung des Raumschiffs in Richtung Kreismitte und somit senkrecht zu <math>\vec v</math>:

<math>\displaystyle \vec a_z\perp\vec v</math> bzw. <math>\displaystyle \vec a_z\cdot\vec v=0</math>

Am einfachsten überführen wir die vektorielle Gleichung in eine skalare Form, indem wir sie quadrieren:

<math>\displaystyle \left(\dot{m}\vec v+m\vec a_z\right)^2=\frac{P_r^2}{c^2}</math>

<math>\displaystyle \dot m^2v^2+2\dot mm\vec v\vec a_z+m^2a_z^2=\frac{P_r^2}{c^2}</math>

<math>\displaystyle \dot m^2v^2+m^2a_z^2=\frac{P_r^2}{c^2}</math>

Die Energiegleichung können wir aufgrund der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit darstellen als

<math>\displaystyle \dot mc^2=-P_r</math>

Setzen wir das ein, führt das zu

<math>\displaystyle \dot m^2v^2+m^2a_z^2=\dot m^2c^2</math>

<math>\displaystyle \dot m^2\left(c^2-v^2\right)-m^2a_z^2=0</math>

<math>\displaystyle \left(\dot m\sqrt{c^2-v^2}-ma_z\right)\left(\dot m\sqrt{c^2-v^2}+ma_z\right)=0</math>

Die Gleichung ist erfüllt, wenn eine der beiden Klammern null wird. Da aber <math>\dot m<0</math> gilt, kann die linke Klammer nicht null werden. Wir setzen also die rechte Klammer null:

<math>\displaystyle \dot m\sqrt{c^2-v^2}+ma_z=0</math>

Das ist eine lineare homogene DGL für <math>m</math> mit der Lösung:

<math>\displaystyle m=m(0)e^{-\frac {a_z}{\sqrt{c^2-v^2}}t}</math>

Bei der gleichförmigen Kreisbewegung gelten außerdem folgende Zusammenhänge:

<math>\displaystyle a_z=\frac{v^2}r</math>

und

<math>\displaystyle \varphi=\omega t=\frac vrt</math>

<math>\displaystyle t=\frac rv\varphi</math>

Fügt man das zusammen, erhält man:

<math>\displaystyle a_zt=\frac{v^2}r\cdot\frac rv\varphi=v\varphi</math>

<math>\displaystyle m=m(0)e^{-\frac v{\sqrt{c^2-v^2}}\varphi}</math>

Die Masse ist in dieser Gleichung auf beiden Seiten noch der relativistischen Massenzunahme unterworfen. Um wieder auf die Ruhemassen zurück zu rechnen, müsste man auf beiden Seiten noch durch <math>\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}</math> teilen. Da wir aber mit konstanter Bahngeschwindigkeit gerechnet haben, ist dieser Faktor auf beiden Seiten gleich, und die obige Beziehung gilt in gleicher Weise für die Ruhemassen. Damit können wir allgemein formulieren:

<math>\displaystyle m_2=m_1e^{-\frac v{\sqrt{c^2-v^2}}\varphi}</math>
Raketengleichung
Dabei sind <math>m_2</math> und <math>m_1</math> die Ruhemassen des Raumschiffs zu Beginn und zum Ende des Flugmanövers. Es sei bemerkt, dass weder der Radius der Kreisbahn eine Rolle spielt, noch die Zeitdauer, in der die Richtungsänderung vollzogen wird.
Wenn man "gemischte" Manöver aus Bremsen, Kreisbahn und Beschleunigen außer Acht lässt, gibt es zwei mögliche Manöver, eine Richtungsänderung herbeizuführen:
1. Vollbremsung, Drehung auf der Stelle und Beschleunigung auf die alte Geschwindigkeit
2. die gerade beschriebene Kreisbahn
Das günstigere Manöver bei dieser Betrachtung wäre dasjenige, das die geringere Massenabnahme zur Folge hätte. Setzt man den jeweiligen Massenverlust gleich, erhält man als Grenzkurve:

<math>\displaystyle \frac{c-v}{c+v}=e^{-\frac{v}{\sqrt{c^2-v^2}}\varphi}</math>

<math>\displaystyle \varphi=\frac{\sqrt{c^2-v^2}}{v}\ln\frac{c+v}{c-v}</math>

Oberhalb von diesem Grenzwinkel, der in nebenstehendem Diagramm dargestellt ist in Abhängigkeit von <math>v/c</math>, ist es vorteilhaft, die Vollbremsung zu machen, während unterhalb davon die Kreisbahn vorteilhaft ist. Wie man sieht, wird bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit dieser Grenzwinkel klein. Bei einer Geschwindigkeit von zum Beispiel 0,99c ist schon über einem Winkel von nur 43,2° die Vollbremsung energetisch günstiger. Wie uncool ist das denn? Kann sich jemand vorstellen, dass Captain Kirk bei Fast-Lichtgeschwindigkeit eine Vollbremsung hinlegt, ein bisschen mit den Steuerdüsen pustet, um das Ding zu drehen, und dann wieder Vollgas gibt? Da würde er von den Klingonen ja als "Öko-Weichei" ausgelacht...

4. Allgemeine optimale Flugmanöver
Allen Manövern ist gemein, dass sie die Ruhemasse des Raumschiffs zu Beginn des Manövers bis zum Ende des Manövers um einen bestimmten Faktor reduzieren. Dieser Faktor kann im allgemeinen Fall von der Startgeschwindigkeit, der Endgeschwindigkeit und dem Winkel zwischen den beiden Flugrichtungen abhängen. Für die Summe aller Flugmanöver ergibt sich somit ein Faktor als Produkt aller Einzelfaktoren. Damit kann rückwärts ausgerechnet werden, mit wieviel Energie ein Raumschiff starten muss, um alle Flugmanöver auszuführen. Seien <math>m_e</math> wieder das Leergewicht des Raumschiffs und <math>m_s</math> das Startgewicht, dann ist:

<math>\displaystyle \frac{m_e}{m_s}=\prod_k\frac{m_{1,k}}{m_{2,k}}=\prod_kf_k\left(\vec v_{1,k},\vec v_{2,k}\right)</math>

Dabei deutet der Index 1 auf die Verhältnisse zum Start des Manövers hin und die 2 auf das Ende des Manövers.
Man kann anhand der obigen Ausführungen ahnen, dass für Manöver, die eine Richtungsänderung und/oder Geschwindigkeitsänderung herbeiführen sollen, die Kreisbahn und die Vollbremsung energetisch betrachtet suboptimal sind. Wie sieht also ein energetisch optimales Flugmanöver aus? Die Frage ist relativ leicht zu beantworten, ohne dass man die Variationsrechnung etc. bemühen müsste. Man muss lediglich auf die Relativistischen Additionstheoreme für Geschwindigkeiten zurückgreifen.
Angenommen, das Raumschiff bewegt sich im Ruhesystem mit der Geschwindigkeit <math>v</math> entlang der willkürlich festgelegten x-Achse. Es soll nun ein Flugmanöver eingeleitet werden, so dass es sich am Ende gegenüber dem Ruhesystem mit einer beliebigen Geschwindigkeit <math>\vec u</math> bewegt, also:

<math>\displaystyle \vec v=\left(\begin{array}{c}v\\ 0\\0\end{array}\right)</math>  und  <math>\displaystyle \vec u=\left(\begin{array}{c}u_x\\u_y\\u_z\end{array}\right)</math>

Das Raumschiff befindet sich in seinem eigenen Inertialsystem subjektiv in Ruhe, und es soll nun eine neue Geschwindigkeit <math>\vec u'</math> annehmen, die man mittels der Additionstheoreme bestimmen kann. Der energetisch günstigste Weg dahin ist natürlich die geradlinige Beschleunigung in genau diese Richtung. Wir bestimmen also den Betrag der Geschwindigkeit <math>u'</math> und setzen ihn in die oben gefundene Formel für die geradlinige Beschleunigung ein.
Im oben verlinkten Wikipedia-Artikel muss man also die Gleichungen jeweils nach <math>u_{x,y,z}'</math> auflösen. Aufgrund der Tatsache, dass beide Inertialsysteme gleichberechtigt sind, vertauscht man dazu einfach <math>\vec u</math> gegen <math>\vec u'</math> und setzt außerdem <math>v</math> zu <math>-v</math>. Man erhält:

<math>\displaystyle u_x' = \frac{u_x - v}{1 -\frac{u_x  v}{c^2}}</math>

<math>\displaystyle u_{y,z}' = \frac{u_{y,z} \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1 -\frac{u_x \, v}{c^2}}</math>

Wir benötigen für die Berechnung des Treibstoffverbrauchs nur den Betrag der Geschwindigkeit:

<math>\displaystyle u'=\sqrt{u_x'^2+u_y'^2+u_z'^2}=\frac{\sqrt{\left(u_x - v\right)^2+\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\left(u_y^2+u_z^2\right)}}{1 -\frac{u_x  v}{c^2}}</math>

<math>\displaystyle u'=\frac{\sqrt{u_x^2-2u_xv+v^2+u_y^2+u_z^2-\frac{v^2}{c^2}\left(u_y^2+u_z^2\right)}}{1 -\frac{u_x  v}{c^2}}</math>

Mit <math>u^2=u_x^2+u_y^2+u_z^2</math> und <math>u_xv=\vec u\vec v</math> können wir die Formel verkürzen und außerdem in eine allgemeingültige, koordinatenunabhängige Form überführen:

<math>\displaystyle u'=\frac{\sqrt{u^2-2\vec u\vec v+v^2-\frac{u^2v^2}{c^2}+\frac{\left(\vec u\vec v\right)^2}{c^2}}}{1 -\frac{\vec u\vec v}{c^2}}</math>

<math>\displaystyle u'=c\frac{\sqrt{\left(c^2-\vec u\vec v\right)^2-\left(c^2-u^2\right)\left(c^2-v^2\right)}}{c^2 -\vec u\vec v}</math>

Das setzen wir in die Gleichung für die geradlinige Beschleunigung ein. Es ist

<math>\displaystyle \frac{m_2}{m_1}=\sqrt{\frac{c-u'}{c+u'}}</math>

und nach etlichen Umformungen erhalten wir

<math>\displaystyle \frac{m_2}{m_1}=\frac{c^2 -\vec u\vec v-\sqrt{\left(c^2-\vec u\vec v\right)^2-\left(c^2-u^2\right)\left(c^2-v^2\right)}}{\sqrt{\left(c^2-u^2\right)\left(c^2-v^2\right)}}</math>
Optimales Manöver
Hier zeigt sich, dass die logarithmische Betrachtung sinnvoll ist, die zu einer Vereinfachung der Formel führt:

<math>\displaystyle \ln\frac{m_2}{m_1}=-\text{arcosh}\frac{c^2-\vec u\vec v}{\sqrt{(c^2-u^2)(c^2-v^2)}}</math>

Die Formel ist in Bezug auf die Geschwindigkeiten <math>\vec u</math> und <math>\vec v</math> symmetrisch. Wir setzen daher zur Verallgemeinerung die Geschwindigkeiten <math>\vec v_1</math> und <math>\vec v_2</math> ein, und haben somit für das energetisch optimale Manöver:

<math>\displaystyle \ln f(\vec v_1,\vec v_2)=-\text{arcosh}\frac{c^2-\vec v_1\vec v_2}{\sqrt{(c^2-v_1^2)(c^2-v_2^2)}}</math>

Die oben hergeleiteten Formeln für Beschleunigen und Bremsen sind in dieser Formel als Spezialfälle enthalten.
Betrachten wir noch einmal den Spezialfall, dass die Geschwindigkeiten <math>v_1</math> und <math>v_2</math> betragsmäßig gleich sein sollen, also nur eine Richtungsänderung um den Winkel <math>\varphi</math> stattfinden soll. Dann ist <math>|\vec v_1|=|\vec v_2|=v</math> und <math>\vec v_1\vec v_2=v^2\cos\varphi</math> und es gilt:

<math>\displaystyle \ln f(v,\varphi)=-\text{arcosh}\left(\frac{c^2-v^2\cos\varphi}{c^2-v^2}\right)</math>

In der nebenstehenden, logarithmischen Darstellung erkennt man (beispielhaft für v=0,9c), dass bei geringfügigen Richtungsänderungen die Kreisbahn nahe am Optimum ist, bei einer nahezu vollständigen Wende, also großen Winkeln nahe 180° ist dagegen die Vollbremsung energetisch vorteilhaft. An dem Punkt, wo die beiden Manöver gleichermaßen energieraubend sind, ist dagegen das optimale Manöver schon erheblich ressourcenschonender.

5. Eine Runde auf dem Intergalactic Speedway
Die Runde auf dem Ovalkurs soll wie folgt aussehen:
1. Vom Start weg Beschleunigen auf Geschwindigkeit <math>v</math>
2. Eine schöne 180°-Kurve mit konstanter Geschwindigkeit
3. Zurücktreiben über die Gegengerade
4. Noch eine 180°-Kurve
5. Vollbremsung punktgenau auf die Ziellinie.
Wir haben damit einen Vollkreis und einmal Beschleunigen/Bremsen, was wir oben schon berechnet haben. Damit erhalten wir als Gesamtfaktor:

<math>\displaystyle \frac{m_e}{m_s}=\frac{c-v}{c+v}\cdot e^{\left(\frac{-2\pi v}{\sqrt{c^2-v^2}}\right)}</math>

Bei v=0,5c sieht das noch überschaubar aus, wir haben einen Gesamtfaktor von 0,00886 und damit wiegt der Tankinhalt bei Rundenstart etwa das 112-fache des Raumschiff-Leergewichts. Bei v=0,9c ist der Faktor aber schon 1,222E-7. Das Raumschiff müsste für eine schnelle Runde mehr als das Achtmillionenfache seines Leergewichts an Treibstoff, und somit mehr als das Viermillionenfache allein an Antimaterie mitnehmen.
Nehmen wir mal an, unser Raumschiff wiegt leer 1000 Tonnen. Das wäre sogar ein ziemliches Leichtgewicht, denn eine primitive Boeing 747 wiegt ja schon etwa 300to und unser Raumschiff muss noch die Technik mitschleppen, die notwendig ist, eine gigantische Menge an Antimaterie in Schach zu halten. Idealerweise würde es den Treibstoff sogar so hoch verdichten, dass er nur verhältnismäßig wenig Platz wegnimmt, weil das Raumschiff sonst aussähe wie eine vollgesogene Zecke und nicht wie so eine schön schlanke USS Enterprise. Dass wir eine solche Technik auch noch nicht haben, spielt ja praktisch schon keine Rolle mehr.
Wenn es dann nur ein kleines Leck am Antimaterietank gibt, kommt es zu einer Annihilation der gesamten mitgeführten Antimaterie, die nur Sekundenbruchteile dauert. Die Explosion des Raumschiffs setzt in einem kurzen Strahlungsblitz eine Energie frei, die unsere Sonne in mehr als einer halben Stunde abgibt, und die Suche nach Überlebenden könnte man sich getrost schenken. Für diese Energiemenge müssten alle Kernkraftwerke der Welt (Stand 2015) gemeinsam über 61 Milliarden Jahre lang arbeiten. Und das alles nur für eine einzige schnelle Ehrenrunde auf dem Intergalactic Speedway! Ich denke, dieses Zahlenbeispiel vermittelt einen Eindruck davon, was für Aufgaben die intergalaktische Raumfahrt für die Menschheit bereithält.

Fazit und Ausblick

Insbesondere das letzte Zahlenbeispiel zeigt eindrucksvoll, welche gigantischen Mengen an Energie notwendig sein werden, um mit einem Raumschiff auf nennenswerte Geschwindigkeiten zu kommen. Selbst wenn man es im Durchschnitt (!) auf halbe Lichtgeschwindigkeit schaffte, bräuchte ein Raumschiff von der Erde zum nächstgelegenen Stern Proxima Centauri und zurück ja schon ungefähr 17 Jahre. Der relativistische Effekt ist dabei immer noch so gering, dass der Astronaut nur im niedrigen Prozentbereich weniger altert als die zurückgebliebenen Menschen auf der Erde. Selbst bei 0,9c wird die Flugdauer aus Sicht des Astronauten gerade mal ungefähr halbiert. Dabei sind die läppischen 4,2 Lichtjahre, die Proxima Centauri entfernt ist, nur ein winziger Katzensprung innerhalb unserer Milchstraße. Von den Distanzen zur nächsten Galaxis ganz zu schweigen.
Doch das ist noch nicht alles, das Thema Beschleunigung haben wir noch gar nicht betrachtet. Will man dem Astronauten nur maximal 1g Dauerbeschleunigung zumuten, dauert jedes der oben angesprochenen Manöver Monate oder sogar Jahre. Von der Technik, die notwendig sein wird, um Materie und Antimaterie so hoch zu verdichten, dass sie nur wenig Platz im Raumschiff einnimmt, fehlt auch noch jede Spur.
Wenn man dann bedenkt, dass die Science-Fiction-Filme wie Star Trek etc. oft nur einige wenige Generationen in der Zukunft liegen, waren die Drehbuchschreiber vielleicht doch etwas zu optimistisch - oder die heutigen Wissenschaftler hängen weit hinter den Erwartungen der Autoren und Fans zurück...

Relativ pessimistische Grüße,

Thomas

 (MontyPythagoras)
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" Mathematik: Relativitätstheorie: Rückstoßgetriebene Raumschiffe reisen relativ ruinös" | 4 Kommentare
 
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Re: Relativitätstheorie: Rückstoßgetriebene Raumschiffe reisen relativ ruinös
von Yakob am Mo. 23. Januar 2017 20:00:21

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Hallo Thomas !

Herzlichen Dank für diesen sehr schönen und lehrreichen Beitrag. Ich bin ja nicht unbedingt ein grundsätzlicher Gegner von Science Fiction  -  aber manche Produkte aus dieser Ecke haben vermutlich allzu viele unbedarfte Leser zu MEGA-leichtfertigen Zukunftsspekulationen angeregt !

Da tun gut erklärte Fakten wirklich gut.\(\endgroup\)

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Re: Relativitätstheorie: Rückstoßgetriebene Raumschiffe reisen relativ ruinös
von Bernhard am Do. 26. Januar 2017 22:28:14

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Hallo Thomas!

Wie alle Artikel aus Deiner Reihe ist auch dieser wiedermal sehr interessant und humorvoll gelungen!
Vielen Dank!
Ich sehe den Vergleich mit den Science Fiction allerdings etwas anders. Weder, daß unsere heutigen Wissenschaftler Stümper wären (obwohl Buh ja an seinen Montagsreporten auch so manche besorgniserregende Sachen aufdeckt…). Aber auch nicht, daß diese Visionen "unrealistisch" wären, denn sie kommen nicht mit einem Anspruch auf Verwirklichung. Sie wurden geschaffen, damit wir etwas zu lesen oder zu sehen haben, in dem wissenschaftliche Erkenntnisse von heute extrapoliert und mit einer gewissen Mystik umgeben werden. Eben - frei übersetzt - ein Forschungsmärchen.
Es wäre schade darum, wenn diese Geschichten in ein paar Jahren nur noch Makulatur wären!

Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)

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Re: Relativitätstheorie: Rückstoßgetriebene Raumschiffe reisen relativ ruinös
von MontyPythagoras am Sa. 28. Januar 2017 21:33:28

\(\begingroup\)
Hallo Yakob und Bernhard,
ich möchte niemandem den Spaß an Science Fiction verderben, noch denke ich ernsthaft, dass die heutigen Wissenschaftler Stümper wären. Was nicht geht, geht eben nicht.
Menschen lieben Geschichten oder "Märchen", wie Du, Bernhard, es so treffend formuliert hast, und daher sehe ich für die Zunft der Science-Fiction-Schreiber keine Gefahr. Hin und wieder ein wenig Realismus ist aber sicher auch nicht verkehrt. Ich möchte einfach nur unterhalten und dabei ein wenig Wissen vermitteln, das man nicht so einfach ergoogeln kann.

Ciao,

Thomas\(\endgroup\)

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Re: Relativitätstheorie: Rückstoßgetriebene Raumschiffe reisen relativ ruinös
von Bernhard am Mi. 01. Februar 2017 23:57:35

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Hallo Thomas!

Ich habe das schon verstanden und überhaupt nicht übel genommen.
Du analysierst Sachen ganz exakt mit den mathematischen und physikalischen Methoden. Das zwingt einen erstmal, sie in diesem Sinne ernst zu nehmen.
Gerade das ist ja das amüsante an Deinen Ausführungen in dieser so treffend benannten Artikelserie.

Viele Grüße, Bernhard\(\endgroup\)

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