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Physik: Verschwindendes Feld im Inneren einer Hohlkugel: Elementarer Beweis
Freigegeben von matroid am Sa. 11. Februar 2017 17:29:53
Verfasst von Yakob -   213 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Physik

Der Satz ist möglicherweise vielen bekannt, insbesondere allen, die auch einmal Physik studiert haben:

Das elektrische Feld einer Sphäre, deren Oberfläche eine homogen verteilte Ladung trägt, ist in jedem inneren Punkt der Kugel gleich Null. Ebenso verschwindet auch die Gravitation, die von einer homogen mit Masse belegten Hohlkugel auf eine kleine, irgendwo im Inneren  dieser Kugelschale befindliche Probemasse ausgeübt wird.



Bewiesen wird diese interessante Eigenschaft normalerweise mittels (nicht ganz einfacher) Doppelintegrale oder mittels der Integralsätze (insbesondere Satz von Gauß).

Man kann zu dem gleichen Ergebnis aber auch durch eine relativ einfache, fast schon elementargeometrische Überlegung kommen. Eine Grundidee aus der Analysis, nämlich Betrachtungen an Differentialen, spielt aber trotzdem herein.

Dass man hier eine Betrachtung anstellen kann, die gleichermaßen für elektrisches Feld und Gravitationsfeld gültig ist, liegt an der mathematischen Analogie der entsprechenden Kraftgesetze, insbesondere an der Proportionalität der Kraft zum reziproken Wert des  Abstands-Quadrates.

Betrachten wir also ein Testpartikel P irgendwo im Inneren der Kugel. Die von der geladenen Sphäre auf P wirkenden Kräfte wirken von allen Seiten her ein. Nun betrachten wir eine beliebige durch P gelegte Gerade, welche die Sphäre in den beiden Punkten A und B durchstoßen möge. In der Zeichnung wird ein ebener Schnitt durch die Punkte A und B und M, den Kugelmittelpunkt, betrachtet. Der Punkt P unterteilt die Kugelsehne AB in die zwei Abschnitte PA und PB der Längen u und v.



Nun betrachten wir einen schmalen Doppelkegel um die Achse AB mit Spitze in P. Dieser Doppelkegel soll beliebig "schlank" werden in der Weise, dass sein Raumwinkel  dW (und auch sein maximaler "Elongationswinkel" <math>\varepsilon</math>  von der Achse)  beliebig klein gemacht werden kann. Die Form der Querschnittsfläche des Kegels darf im Übrigen beliebig sein.
Der beschriebene Doppelkegel schneidet die Kugeloberfläche in zwei kleinen Flächenstücken der Inhalte  dS(A)  (um den Punkt A herum) und  dS(B)  (um B herum).
Das kleine Flächenstück dS(A) trägt die Ladung  dQ = dS(A) * <math>\rho</math>  , wobei   <math>\rho</math> = Flächen-Ladungsdichte .

Nun betrachten wir die Coulomb-Kraft  dF , welche vom Kugelsegment dS(A) auf die Probemasse q in P ausgeübt wird. Nach dem Coulomb-Gesetz gilt:

<math>
{\qquad \qquad \displaystyle dF\ =\ {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q * dQ}{u^{2}}}},</math>

Nun gilt noch:     <math>u^2\ *\ dW\ \approx \ dS(A)\ * \ sin\,(\alpha)</math>

wobei  <math>\alpha</math>  der in der Zeichnung ersichtliche Winkel zwischen AP und der angedeuteten Tangentialebene TA  ist. Letztere Approximation gilt umso präziser, je kleiner dW wird und gilt im Limes für  <math>\varepsilon \to 0 </math>  (und damit  <math>dW \to 0</math> )  exakt.

Die Kombination der bisherigen Gleichungen liefert dann:

<math> \displaystyle dF\ =\ \frac{q\ *\ \rho}{4\,\pi\ \varepsilon_0\ *\ sin(\alpha)}\ *\ dW</math>

Diese Größe dF steht nun also für die (differentielle) Kraft, welche von dem Ausschnitt dS(A) der geladenen Oberfläche auf das im Punkt P befindliche Probepartikel der Ladung  q  ausgeübt wird.  Blicken wir nun von P aus auf die entgegengesetzte Seite, so haben wir dort ganz analog das Flächenstücklein  dS(B)  mit demselben Raumwinkel  dW  im Abstand  v von  P . Alle Berechnungen gehen ganz analog wie vorher, sogar der Winkel  <math>\alpha</math>  ist aus Symmetriegründen derselbe.
Da sich aus der Berechnung die Distanzen u  bzw. v  herauskürzen, ergibt sich, dass die  von dS(B)  auf q ausgeübte Kraft gleich groß ist wie die von dS(A) ausgehende. Im Grenzwert für dW <math>\to</math> 0  stimmt die Gleichheit exakt.
Da diese beiden Kräfte aber offensichtlich in genau entgegengesetzte Richtungen zeigen, heben sie sich gegenseitig auf. Da diese Betrachtung für jeden beliebigen Punkt P im Kugelinneren und für jede von da ausgehende Raumrichtung gilt, folgt, dass das von der homogen geladenen Sphäre erzeugte Feld im Inneren der Sphäre insgesamt verschwindet.  

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