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Mathematik: Zappa-Szép-Produkte - Teil 2
Freigegeben von matroid am So. 12. März 2017 14:46:21
Verfasst von Triceratops -   179 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Zappa-Szép-Produkte

Im 1. Teil haben wir uns mit dem Zappa-Szép-Produkt von Gruppen bzw. Monoiden befasst, einer naheliegenden Verallgemeinerung des semidirekten Produktes. Insbesondere haben wir gesehen, dass jedes Distributivgesetz zwischen zwei Monoiden ein Zappa-Szép-Produkt liefert, und umgekehrt. In diesem 2. Teil werden wir nun dasselbe für Monoidobjekte in monoidalen Kategorien beweisen. Es werden daher auch Grundkenntnisse der Kategorientheorie vorausgesetzt. An die Stelle von Rechnungen mit Elementen treten dann kommutative Diagramme. Der Vorteil dieser Allgemeinheit besteht unter anderem darin, dass man für jede konkrete Wahl der monoidalen Kategorie ein eigenes Zappa-Szép-Produkt bekommt. Für die monoidale Kategorie der Moduln bedeutet das etwa, dass man ein Zappa-Szép-Produkt für Algebren bekommt, das üblicherweise schiefes oder veschränktes Produkt genannt wird. Für die monoidale Kategorie der Endofunktoren einer Kategorie bekommt man ein Zappa-Szép-Produkt für Monaden, welches üblicherweise die Komposition von Monaden genannt wird. Wir beweisen zudem eine universelle Eigenschaft des Zappa-Szép-Produktes. Wir beenden den Artikel mit einer 2-kategoriellen Interpretation von Distributivgesetzen und Zappa-Szép-Produkten von Monaden.


Das Zappa-Szép-Produkt für Monoidobjekte

Monoidobjekte lassen sich in beliebigen monoidalen Kategorien <math>(\mathcal{C},\otimes,\mathds{1})</math> definieren: Es handelt sich um Tripel <math>\underline{A}=(A,\mu,\eta)</math>, bestehend aus einem Objekt <math>A</math> von <math>\mathcal{C}</math>, einem Morphismus <math>\mu : A \otimes A \to A</math> in <math>\mathcal{C}</math> und einem Morphismus <math>\eta : \mathds{1} \to A</math> in <math>\mathcal{C}</math> derart, dass die folgenden beiden Diagramme kommutieren:

<math>\begin{tikzcd}[row sep=30pt]
A \otimes A \otimes A \ar{r}{A \otimes \mu} \ar{d}[swap]{\mu \otimes A} & A \otimes A \ar{d}{\mu} \\ A \otimes A \ar{r}{\mu} & A
\end{tikzcd}</math>
 
<math>\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt},row sep=30pt, column sep=30pt]
A \ar{r}{\eta \otimes A} \ar{dr}[swap]{\id}\ar{r} & A \otimes A \ar{d}{\mu} & A \ar{l}[swap]{A \otimes \eta} \ar{dl}{\id} \\
 & A &
\end{tikzcd}</math>
 
Einige Beispiele hierfür sind: Monoidobjekte in <math>(\mathsf{Set},\times,\mathds{1})</math> sind herkömmliche Monoide, Monoidobjekte in <math>(\mathsf{Ab},\otimes,\mathds{Z})</math> sind Ringe, Monoidobjekte in <math>(\mathsf{Mod}_k,\otimes,k)</math> sind <math>k</math>-Algebren (wenn <math>k</math> ein kommutativer Ring ist), und Monoidobjekte in <math>(\mathsf{End}(\mathcal{C}),\circ,\id)</math> sind Monaden auf <math>\mathcal{C}</math> (wenn <math>\mathcal{C}</math> eine Kategorie ist). Die nachstehende Konstruktion von Zappa-Szép-Produkten funktioniert in jeder monoidalen Kategorie und lässt sich daher unter anderem auf die genannten Beispiele anwenden.
 
Es sei <math>(\mathcal{C},\otimes,\mathds{1})</math> eine monoidale Kategorie. Wir werden die Kohärenzisomorphismen wie etwa den Assoziator komplett von der Notation unterdrücken, was uns einiges an Schreibarbeit erspart und wegen des Kohärenzsatzes für monoidale Kategorien legitim ist. Es seien <math>\underline{A}=(A,\mu_A,\eta_A)</math> und <math>\underline{B}=(B,\mu_B,\eta_B)</math> zwei Monoidobjekte in <math>(\mathcal{C},\otimes,\mathds{1})</math>. Ein externes Zappa-Szép-Produkt dieser Monoidobjekte ist ein Monoidobjekt <math>(A \otimes B,\mu,\eta)</math>, also eines mit <math>A \otimes B</math> als zugrunde liegendem Objekt, mit den folgenden Eigenschaften:

• Es ist <math>A \otimes \eta_B : A \to A \otimes B</math> ein Homomorphismus <math>\underline{A} \to (A \otimes B,\mu,\eta)</math>.
• Es ist <math>\eta_A \otimes B : B \to A \otimes B</math> ein Homomorphismus <math>\underline{B} \to (A \otimes B,\mu,\eta)</math>.
• Das folgende Diagramm kommutiert:

<math>\begin{tikzcd}[row sep=25pt, column sep=5pt]
A \otimes B \ar{rr}{\id} \ar[swap]{dr}{A \otimes \eta_B \otimes \eta_A \otimes B} & & A \otimes B \\
 & A \otimes B \otimes A \otimes B \ar{ur}[swap]{\mu}
\end{tikzcd}</math>
 
Wir werden nun beweisen: Es gibt eine Bijektion zwischen Zappa-Szép-Produkten und Morphismen

<math>\displaystyle \sigma : B \otimes A \to A \otimes B</math>

derart, dass die folgenden vier Diagramme kommutieren, welche wir für <math>\otimes=\times</math> bereits aus dem 1. Teil kennen:
 
<math>\text{\color{blue} (U1)} ~~
\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt},row sep=25pt,column sep=20pt]
 & A \ar{dl}[swap]{\eta_B \otimes A} \ar{dr}{A \otimes \eta_B} & \\
B \otimes A \ar{rr}{\sigma} && A \otimes B
\end{tikzcd}</math>
 
<math>\text{\color{blue} (U2)} ~~
\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt},row sep=25pt,column sep=20pt]
 & B \ar{dl}[swap]{B \otimes \eta_A} \ar{dr}{\eta_A \otimes B} & \\
B \otimes A \ar{rr}{\sigma} && A \otimes B
\end{tikzcd}</math>
 
<math>\text{\color{blue} (A1)} ~~
\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt},row sep=25pt,column sep=25pt]
B \otimes B \otimes A \ar[swap]{d}{\mu_B \otimes A} \ar{r}{B \otimes \sigma} & B \otimes A \otimes B \ar{r}{\sigma \otimes B} & A \otimes B \otimes B \ar{d}{A \otimes \mu_B} \\
B \otimes A \ar{rr}{\sigma} && A \otimes B
\end{tikzcd}</math>
 
<math>\text{\color{blue} (A2)} ~~
\begin{tikzcd}[nodes={inner sep=2pt},row sep=25pt,column sep=25pt]
B \otimes A \otimes A \ar[swap]{d}{B \otimes \mu_A} \ar{r}{\sigma \otimes A} & A \otimes B \otimes A \ar{r}{A \otimes \sigma} & A \otimes A \otimes B \ar{d}{\mu_A \otimes B} \\
B \otimes A \ar{rr}{\sigma} && A \otimes B
\end{tikzcd}</math>
 
Solche Morphismen werden wir wieder Distributivgesetze nennen. Für den Spezialfall der monoidalen Kategorie <math>(\mathsf{Set},\times,\mathds{1})</math> ist das genau das, was im 1. Teil bewiesen worden ist. In der allgemeinen Situation, wo <math>\otimes</math> kein kategorielles Produkt ist, hat <math>\sigma</math> allerdings keine Komponenten <math>\sigma_1,\sigma_2</math>. Es gibt auch eine interne Version des Zappa-Szép-Produktes, die aber mit der externen Version bis auf Isomorphie übereinstimmt, sodass wir sie nicht gesondert besprechen müssen.

Vom Zappa-Szép-Produkt zum Distributivgesetz

Es sei zunächst ein Zappa-Szép-Produkt <math>(A \otimes B,\eta,\mu)</math> gegeben. Wir definieren dann <math>\sigma</math> als die Komposition

<math>\displaystyle \sigma : B \otimes A \xrightarrow{~ \eta_A \otimes B \otimes A \otimes \eta_B ~ } A \otimes B \otimes A \otimes B \xrightarrow{ ~ \mu ~ } A \otimes B.</math>

Wir behaupten, dass <math>\mu</math> gegeben ist durch die Komposition

<math>\displaystyle A \otimes B \otimes A \otimes B \xrightarrow{ ~ A \otimes \sigma \otimes B ~ } A \otimes A \otimes B \otimes B \xrightarrow{ ~ \mu_A \otimes \mu_B ~ } A \otimes B.</math>

Das ergibt sich aus dem folgenden kommutativen Diagramm, welches eine kategorielle Fassung der Rechnung für <math>\text{\color{blue} (M)}</math> aus dem ersten Abschnitt (1. Teil) darstellt. Wir haben dabei der Kürze halber die <math>\otimes</math>-Symbole komplett weggelassen, was wir ab sofort öfters tun werden. Zum Beispiel steht also <math>A \eta_B \eta_A B</math> für <math>A \otimes \eta_B \otimes \eta_A \otimes B</math>. Für die einzelnen Teildiagramme wurden die drei vorausgesetzten Eigenschaften sowie die Monoidaxiome angewandt. Zum Beispiel wird in dem Viereck unten links verwendet, dass <math>A \eta_B : A \to AB</math> und <math>\eta_A B : B \to AB</math> multiplikativ sind.

<math>\begin{tikzcd}[column sep=55pt, row sep = 40pt]
ABAB \ar[bend left=15]{rrr}{\scriptstyle\id} \ar{rr}{A \eta_B \eta_A BA \eta_B \eta_A B} \ar{dd}[swap]{A \sigma B} \ar{dr}[swap,description]{A \eta_B BA \eta_A B} && ABABABAB \ar{r}{\mu\mu} \ar{dd}{AB \mu AB} & ABAB \ar{dddd}{\mu} \\
 & ABAAB \ar{ur}[description]{AB \eta_A BA \eta_B AB} \ar{dr}[swap,description]{AB\sigma BA} & \\
AABB \ar{rr}[description]{A \eta_B AB \eta_A B} \ar{dr}[description]{A \eta_B A \eta_B \eta_A B \eta_A B} \ar{dd}[swap]{\mu_A \mu_B}&& ABABAB \ar{dl}[description]{ABA \eta_B \eta_A BAB} \ar{d}{\id}\\
& ABABABAB \ar{d}{\mu \mu} \ar{r}[description]{A B \mu A B} & ABABAB \ar{dr}{\mu^{(2)}} & \\
AB \ar{r}{A \eta_B \eta_A B} \ar[swap, bend right=15]{rrr}{\scriptstyle\id} & ABAB \ar{rr}{\mu} && AB
\end{tikzcd}</math>
 
Wir zeigen nun, dass das Dreieck <math>\text{\color{blue} (U1)}</math> kommutiert. Weil <math>A \eta_B : A \to AB</math> unital sein soll, ist <math>\eta = (A \eta_B) \eta_A = \eta_A \eta_B : \mathds{1} \to AB</math>. Weil nun <math>\eta</math> linksneutral für <math>\mu</math> ist, kommutiert das Diagramm

<math>\begin{tikzcd}[row sep=25pt, column sep=50pt]
AB \ar{r}{\eta_A \eta_B AB} \ar{dr}[swap]{\id} & ABAB \ar{d}{\mu} \\ & AB.
\end{tikzcd}</math>
 
Schalten wir <math>A \eta_B : A \to AB</math> vor, und füllen das Diagramm weiter aus:
 
<math>\begin{tikzcd}[row sep=25pt, column sep=30pt]
A \ar{rr}{\eta_A \eta_B A \eta_B} \ar[bend right=30]{ddr}[swap]{A \eta_B} \ar{dr}[swap,description]{\eta_B A} && ABAB \ar[bend left=30]{ddl}{\mu} \\
 & BA \ar{ur}[description]{\eta_A B A \eta_B} \ar{d}[swap]{\sigma} & \\
& AB &
\end{tikzcd}</math>
 
Das obere Dreieck kommutiert trivialerweise, und das rechte Dreieck kommutiert wegen der Definition von <math>\sigma</math>. Also kommutiert ebenfalls das linke Dreieck, was aber mit dem Dreieck <math>\text{\color{blue} (U1)}</math> übereinstimmt. Der Nachweis der Kommutativität des Dreiecks <math>\text{\color{blue} (U2)}</math> verläuft analog.

Wir zeigen schließlich die Kommutativität des Diagramms <math>\text{\color{blue} (A2)}</math>; die von <math>\text{\color{blue} (A1)}</math> wird sich analog ergeben. Dazu betrachte man das folgende Diagramm:

<math>\begin{tikzcd}[column sep=50pt, row sep = 40pt]
BAA \ar{rrrr}{B \mu_A} \ar{dr}[description]{\eta_A BA \eta_B A \eta_B} \ar{dddd}[swap]{\sigma A} \ar[bend left=8]{drr}[description]{\eta_A BAA \eta_B \eta_B} &&&& BA \ar{dl}[description]{\eta_A BA \eta_B} \ar{dddd}{\sigma}\\
& ABABAB \ar{d}{A \sigma BAB} \ar{r}[swap]{AB A \sigma B} & ABAABB \ar{r}[swap]{AB \mu_A \mu_B} & ABAB \ar{d}[swap]{A \sigma B} & \\
& AABBAB \ar{d}{\mu_A \mu_B AB} && AABB \ar{d}[swap]{\mu_A \mu_B} & \\
& ABAB \ar{r}{A \sigma B} & AABB \ar{r}{\mu_A \mu_B} & AB & \\
ABA \ar[bend left=20]{uur}[description]{\eta_A AB \eta_B A \eta_B} \ar{ur}[description]{AB A \eta_B} \ar{rr}[swap]{A \sigma } && AAB \ar{u}{AAB\eta_B} \ar{rr}[swap]{\mu_A B} && AB \ar{ul}[description]{\id} \ar[bend right=20]{uul}[description]{\eta_A AB \eta_B}
\end{tikzcd}</math>
 
Das innere Rechteck ist gerade die Assoziativität von <math>\mu = (\mu_A \mu_B) \circ (A\sigma B)</math>. Die anderen Teildiagramme kommutieren entweder aus trivialen Gründen oder aufgrund der Unitalität von <math>\eta_A</math> (bzw. <math>\eta_B</math>) bezüglich <math>\mu_A</math> (bzw. <math>\mu_B</math>).
 

Vom Distributivgesetz zum Zappa-Szép-Produkt

Es sei umgekehrt ein Distributivgesetz <math>\sigma : B \otimes A \to A \otimes B</math> gegeben. Wir definieren <math>\eta := \eta_A \otimes \eta_B : \mathds{1} \to A \otimes B</math> und <math>\mu := (\mu_A \otimes \mu_B) \circ (A \otimes \sigma \otimes B) : A \otimes B \otimes A \otimes B \to A \otimes B</math>.
 
Das folgende Diagramm zeigt, dass <math>\eta</math> rechtsneutral bezüglich <math>\mu</math> ist:

<math>\begin{tikzcd}[row sep=30pt, column sep=40pt]
ABAB \ar{rr}{A \sigma B} && AABB \ar{dd}{\mu_A \mu_B} \\
 & ABB \ar{ul}[description]{AB \eta_A B} \ar{ur}[description]{A \eta_A BB} \ar{dr}[description]{A \mu_B} & \\
AB \ar{uu}{AB \eta_A \eta_B} \ar{ur}[description]{AB \eta_B} \ar{rr}[swap]{\id} && AB
\end{tikzcd}</math>
 
Dabei kommutiert das Dreieck oben wegen <math>\text{\color{blue} (U2)}</math>. Der Nachweis der Linksneutralität verläuft analog. Insbesondere sind also die beiden Morphismen <math>A \otimes \eta_B : A \to A \otimes B</math> und <math>\eta_A \otimes B : B \to A \otimes B</math> unital. Sie sind auch multiplikativ: Für <math>A \eta_B</math> etwa wird das durch das folgende Diagramm bestätigt, wobei oben rechts <math>\text{\color{blue} (U1)}</math> verwendet wird.

<math>\begin{tikzcd}[row sep=30pt, column sep=50pt]
AA \ar{r}{A \eta_B A \eta_B} \ar{dr}[description]{AA \eta_B} \ar{dd}[swap]{\mu_A} & ABAB \ar{r}{A \sigma B} & AABB \ar{dd}{\mu_A \mu_B} \\
 & AAB \ar{u}[description]{A \eta_B AB} \ar{ur}[description]{AA \eta_B B} \ar{dr}[description]{\mu_A B} & \\
A \ar{rr}[swap]{A \eta_B} && AB
\end{tikzcd}</math>
 
Es gilt die geforderte Zerlegung von <math>\id_{A \otimes B}</math> als <math>\mu \circ (A \otimes \eta_B \otimes \eta_A \otimes B)</math>, wie das folgende Diagramm zeigt, bei dem <math>\text{\color{blue} (U2)}</math> verwendet wird.

<math>\begin{tikzcd}[row sep=40pt, column sep=55pt]
 AAB \ar{r}{A \eta_B AB} \ar{dr}[description]{AA \eta_B B} & ABAB \ar{d}[description]{A \sigma B} \ar{dr}{\mu} & \\
AB \ar{u}{A\eta_A B} \ar{r}[swap]{A \eta_A \eta_B B} \ar[swap, bend right=30]{rr}{\scriptstyle\id} & AABB \ar{r}[swap]{\mu_A \mu_B} & AB
\end{tikzcd}</math>
 
Es bleibt nur noch zu zeigen, dass <math>\mu</math> assoziativ ist. Dafür betrachte man das folgende Diagramm:

<math>\begin{tikzcd}[row sep=40pt, column sep=55pt]
ABABAB \ar{dd}[swap]{A \sigma BAB} \ar{rr}{ABA\sigma B} && ABAABB \ar{d}[description]{A \sigma ABB} \ar{r}{AB\mu_A \mu_B } & ABAB \ar{dd}{A \sigma B} \\
&& AABABB \ar{d}[description]{AA \sigma BB} & \\
AABBAB \ar{r}[swap]{AAB\sigma B} \ar{d}[swap]{\mu_A \mu_B AB} & AABABB \ar{ur}{\id} \ar{r}[swap]{AA\sigma BB} & AAABBB \ar{r}{A \mu_A B \mu_B} \ar{d}[description]{\mu_A A \mu_B B} & AABB \ar{d}{\mu_A \mu_B} \\
ABAB \ar{rr}[swap]{A \sigma B} && AABB \ar{r}[swap]{\mu_A \mu_B} & AB
\end{tikzcd}</math>
 
Das Fünfeck und das Dreieck kommutieren aus trivialen Gründen. Das Rechteck unten links kommutiert wegen <math>\text{\color{blue} (A1)}</math>. Das Rechteck oben rechts kommutiert wegen <math>\text{\color{blue} (A2)}</math>. Das Recheck unten rechts kommutiert wegen der Assoziativität von <math>\mu_A</math> und <math>\mu_B</math>.

Damit ist gezeigt, dass <math>(A \otimes B,\mu,\eta)</math> ein Monoid ist, welches ein Zappa-Szép-Produkt der beiden gegebenen Monoide ist. Wir schreiben es als <math>\underline{A} \bowtie_{\sigma} \underline{B}</math>.

Die beiden Konstruktionen, also von einem Zappa-Szép-Produkt zu einem Distributivgesetz und zurück, sind zueinander invers: Starten wir mit einem Zappa-Szép-Produkt <math>(A \otimes B,\mu,\eta)</math> und bilden das Distributivgesetz <math>\sigma : B \otimes A \to A \otimes B</math>, so ist die aus <math>\sigma</math> resultierende Multiplikation auf <math>A \otimes B</math> per Definition <math>(\mu_A \otimes \mu_B) \circ (A \otimes \sigma \otimes B)</math>, wovon wir schon wissen, das dies gleich <math>\mu</math> ist. Starten wir umgekehrt mit einem Distributivgesetz <math>\sigma : B \otimes A \to A \otimes B</math> und bilden das Zappa-Szép-Produkt wie oben, so ist das zugehörige Distributivgesetz gleich (wir verwenden dieselbe Kurzschreibweise wie in Diagrammen)

<math>\displaystyle \mu \circ (\eta_A BA \eta_B) = (\mu_A \mu_B) \circ (A \sigma B) \circ (\eta_A BA \eta_B) = (\mu_A \mu_B) (\eta_A AB \eta_B) \sigma = \sigma.</math>

Universelle Eigenschaft

Das Zappa-Szép-Produkt <math>\underline{A} \bowtie_{\sigma} \underline{B}</math> bezüglich eines Distributivgesetzes <math>\sigma : B \otimes A \to A \otimes B</math> hat die folgende universelle Eigenschaft: Es ist <math>\iota_A := A \otimes \eta_B : A \to A \otimes B</math> ein Homomorphismus <math>\underline{A} \to \underline{A} \bowtie_{\sigma} \underline{B}</math>, es ist <math>\iota_B : \eta_A \otimes B : B \to A \otimes B</math> ein Homomorphismus <math>\underline{B} \to \underline{A} \bowtie_{\sigma} \underline{B}</math>, und das folgende Diagramm kommutiert:
 
<math>\begin{tikzcd}[column sep=45pt]
B \otimes A \ar{r}{\iota_B \otimes \iota_A} \ar{dd}[swap]{\sigma} & A \otimes B \otimes A \otimes B \ar{dr}{\mu} &\\
&& A \otimes B \\
A \otimes B \ar{r}[swap]{\iota_A \otimes \iota_B} \ar[bend left=10] {urr}{\id} & A \otimes B \otimes A \otimes B \ar[swap]{ur}{\mu} &
\end{tikzcd}</math>
 
Es sei nun umgekehrt <math>\underline{M}=(M,\mu_M,\eta_M)</math> ein Monoid zusammen mit zwei Homomorphismen von Monoiden
 
<math>\displaystyle \underline{A} \xrightarrow{ ~ f ~ } \underline{M} \xleftarrow{ ~ g ~ } \underline{B}</math>
 
derart, dass das Diagramm
 
<math>\begin{tikzcd}[column sep=45pt]
B \otimes A \ar{r}{g \otimes f} \ar{dd}[swap]{\sigma} & M \otimes M \ar{dr}{\mu_M} &\\
&& M \\
A \otimes B \ar{r}[swap]{f \otimes g} & M \otimes M \ar[swap]{ur}{\mu_M} &
\end{tikzcd}</math>

kommutiert. Dann gibt es genau einen Homomorphismus von Monoiden

<math>\displaystyle h : \underline{A} \bowtie_{\sigma} \underline{B} \to \underline{M}</math>

mit <math>h \circ \iota_A = f</math> und <math>h \circ \iota_B = g</math>. Man definiert nämlich <math>h</math> als die Komposition
 
<math>\displaystyle A \otimes B \xrightarrow{~ f \otimes g ~ } M \otimes M \xrightarrow{ ~ \mu_M ~ } M.</math>
 
Die Details kann man sich hierbei leicht überlegen.
 
Die genannte universelle Eigenschaft beinhaltet unter anderem eine universelle Eigenschaft von semidirekten Produkten von Monoiden und speziell Gruppen: Wenn <math>\varphi : B \times A \to A</math> eine Linkswirkung von <math>\underline{B}=(B,\cdot,1)</math> auf <math>\underline{A}=(A,\cdot,1)</math> ist, so ist das semidirekte Produkt <math>\underline{A} \rtimes_{\varphi} \underline{B}</math> ein initiales Objekt in der Kategorie der Spans von Monoiden

<math>\displaystyle \underline{A} \xrightarrow{ ~ f ~ } \underline{M} \xleftarrow{ ~ g ~ } \underline{B}</math>
 
derart, dass
 
<math>\displaystyle g(b) \cdot f(a) = f(\varphi(b,a)) \cdot g(b)</math>
 
für alle <math>a \in A</math>, <math>b \in B</math> gilt. Im Falle von Gruppen schreibt man das üblicherweise als
 
<math>\displaystyle g(b) \cdot f(a) \cdot g(b)^{-1} = f(\varphi(b,a)).</math>
 
Diese universelle Eigenschaft liefert eine Präsentation (eine Beschreibung durch Erzeuger und Relationen) des semidirekten Produktes, sofern Präsentationen von <math>\underline{A}</math> und <math>\underline{B}</math> bekannt sind. So gilt zum Beispiel für die Diedergruppe <math>D_n</math>, die das semidirekte Produkt von <math>\langle \tau \rangle \cong C_2</math> auf <math>\langle \rho \rangle \cong C_n</math> bezüglich der Wirkung <math>\tau \rho \tau^{-1} = \rho^{-1}</math> ist, die Präsentation <math>D_n = \langle x,y : x^2=1,\, y^n=1,\, x y x^{-1}=y^{-1} \rangle</math>.

Beispiele

In diesem Abschnitt werden keine konkreten Beispiele, sondern eher Klassen von Beispielen vorgestellt. Wir haben bereits erwähnt, dass Zappa-Szép-Produkte semidirekte Produkte verallgemeinern, und für semidirekte Produkte gibt es sehr viele Beispiele.

Für zwei Monoidobjekte einer symmetrisch monoidalen Kategorie ist die Symmetrie <math>S_{B,A} : B \otimes A \to A \otimes B</math> stets ein Distributivgesetz. Das liefert dann die übliche Monoidstruktur auf <math>A \otimes B</math>. Für die symmetrisch monoidale Kategorie <math>(\mathsf{Set},\times,\mathds{1})</math> ist es das übliche kartesische Produkt von Monoiden. Für die symmetrisch monoidale Kategorie <math>(\mathsf{Mod}_k,\otimes_k,k)</math> ist es das übliche Tensorprodukt von <math>k</math>-Algebren. Die universelle Eigenschaft besagt hier, dass es sich um das "Koprodukt mit kommutierenden Faktoren" handelt.

Einen weiteren Spezialfall stellen verschränkte Produkte dar (hier in einer rein algebraischen Version): Sei <math>\underline{M}=(M,\cdot,1)</math> ein Monoid (oder sogar eine Gruppe) und <math>\underline{A}=(A,\cdot,1)</math> eine <math>k</math>-Algebra. Sei ferner <math>\varphi : M \to \mathrm{End}_{\mathsf{Alg}_k}(\underline{A})</math> eine Wirkung des Monoids auf der <math>k</math>-Algebra. Dann gibt es ein Distributivgesetz <math>\sigma : k[M] \otimes_k A \to A \otimes_k k[M]</math> mit <math>\sigma(m \otimes a) = \varphi(m)(a) \otimes m</math>, wobei hier <math>k[\underline{M}]=(k[M],\cdot,1)</math> die Monoidalgebra ist. Wir erhalten damit eine <math>k</math>-Algebrastruktur auf <math>A \otimes_k k[M] = A[M]</math>, die gerade so gemacht ist, dass hier (auf universelle Weise) <math>m \cdot a = \varphi(m)(a) \cdot m</math> gilt. Für das Monoid <math>\underline{M}=(\mathds{N},+,0)</math> erhalten wir daraus einen verschränkten Polynomring.

Ist <math>\underline{A}</math> eine <math>k</math>-Algebra, <math>\varphi : \underline{A} \to \underline{A}</math> ein Homomorphismus von Algebren und <math>\delta : A \to A</math> eine <math>k</math>-lineare Abbildung mit <math>d(a \cdot b)=d(a) \cdot b + \varphi(a) \cdot d(b)</math>, auch <math>\varphi</math>-Derivation genannt, so gibt es genau ein Distributivgesetz <math>\sigma : k[X] \otimes A \to A \otimes k[X]</math> mit <math>\sigma(X \otimes a)=\varphi(a) \otimes X + d(a) \otimes 1</math>. Allgemeiner setzt man, und nur so kann <math>\text{\color{blue}(A1)}</math> kommutieren,
 
<math>\displaystyle \sigma(X^n \otimes a) = \sum_{T \subseteq \{1,\dotsc,n\}} \prod_{i=1}^{n} \left\{\begin{array}{ll} \varphi & i \in T \\ d & i \notin T \end{array}\right. (a) \otimes X^{\# T}.</math>
 
Dann sind <math>\text{\color{blue}(U1)}</math>, <math>\text{\color{blue}(U2)}</math> und <math>\text{\color{blue}(A1)}</math> leicht zu prüfen, und <math>\text{\color{blue}(A2)}</math> ist bei <math>X \otimes a \otimes b</math> ausgewertet äquivalent zu den Gleichungen <math>\varphi(a \cdot b)=\varphi(a) \cdot \varphi(b)</math> und <math>d(a \cdot b)=d(a) \cdot b + \varphi(a) \cdot d(b)</math>. Dass die Auswertung bei <math>X^n \otimes a \otimes b</math> ebenfalls passt, kann man nun entweder direkt nachrechnen, oder aus dem Satz im Anhang folgern. Das Zappa-Szép-Produkt <math>A[X;\varphi,d] := k[X] \bowtie_{\sigma} A</math> heißt auch Ore-Erweiterung von <math>A</math> bezüglich <math>\varphi</math> und <math>d</math>. Für <math>d=0</math> erhält man einen verschränkten Polynomring über <math>A</math>, in dem <math>Xa = \varphi(a) X</math> gilt. Für <math>\varphi=\id</math> erhält man einen differentiellen Polynomring, in dem <math>Xa-aX = d(a)</math> gilt.

An dieser Stelle können wir kurz anmerken, dass es Zappa-Szép-Produkte (oftmals unter anderen Namen) unter anderem ebenfalls für Liealgebren, Bialgebren und Hopfalgebren gibt.

Wenn <math>\mathcal{C}</math> eine Kategorie ist, so werden die Monoide in <math>(\mathsf{End}(\mathcal{C}),\circ,\mathrm{id}_{\mathcal{C}})</math> auch Monaden auf <math>\mathcal{C}</math> genannt. Dies sind Endofunktoren <math>A : \mathcal{C} \to \mathcal{C}</math> zusammen mit zwei natürlichen Transformationen <math>\mu_A : A^2 \to A</math> und <math>\eta_A : \id_{\mathcal{C}} \to A</math>, sodass zwei Diagramme kommmutieren. Das Zappa-Szép-Produkt von zwei Monaden <math>\underline{A}=(A,\mu_A,\eta_A)</math>, <math>\underline{B}=(B,\mu_B,\eta_B)</math> wird bezüglich einer natürlichen Transformation <math>\sigma : BA \to AB</math> gebildet, welche vier Diagramme zum Kommutieren bringt. Der zugrunde liegende Funktor ist <math>AB</math>, die Eins ist <math>\eta_A \eta_B : \id_{\mathcal{C}} \to AB</math>, und die Multiplikation ist <math>ABAB \xrightarrow{A \sigma B} AABB \xrightarrow{\mu_A \mu_B} AB</math>.
 

Monaden über Monaden

Wir wollen hier einen abstrakteren Zugang zu Distributivgesetzen skizzieren. Dazu benötigen wir <math>2</math>-Kategorien. Hier sind <math>2</math>-Kategorien explizit nicht als strikt vorausgesetzt; wir werden aber wieder die Kohärenzisomorphismen von der Notation unterdrücken.

Wir bemerken zunächst, dass es einen engen Zusammenhang zwischen monoidalen Kategorien und <math>2</math>-Kategorien gibt: Wenn <math>X</math> ein Objekt einer <math>2</math>-Kategorie ist, so ist <math>\mathrm{Hom}(X,X)</math> eine monoidale Kategorie. Und umgekehrt ist eine monoidale Kategorie dasselbe wie eine <math>2</math>-Kategorie mit genau einem Objekt. Man kann sich eine <math>2</math>-Kategorie demnach als eine "mehrere Objekte"-Version einer monoidalen Kategorie vorstellen. Übrigens wird hieran noch einmal deutlich, warum es gar nicht so exotisch ist, in einer monoidalen Kategorie <math>A \otimes B</math> mit <math>AB</math> abzukürzen, weil man sich daran bei <math>1</math>-Morphismen in anderen Beispielen von <math>2</math>-Kategorien bereits gewöhnt hat.
 
Starten wir nun mit einer <math>2</math>-Kategorie <math>\mathcal{C}</math>. Eine Monade in <math>\mathcal{C}</math> ist per Definition ein Objekt <math>X</math> zusammen mit einem Monoidobjekt in <math>\mathrm{Hom}(X,X)</math>, also einem Morphismus <math>A:X \to X</math> und zwei <math>2</math>-Morphismen <math>\mu : A^2 \to A</math>, <math>\eta : \id_X \to A</math>, sodass zwei Diagramme von <math>2</math>-Morphismen kommutieren. Für die <math>2</math>-Kategorie der Kategorien, Funktoren und natürlichen Transformationen erkennt man den üblichen Begriff einer Monade. Und für eine monoidale Kategorie ist eine Monade in der zugehörigen <math>2</math>-Kategorie mit genau einem Objekt dasselbe wie ein Monoidobjekt. Es lassen sich also Monaden und Monoide gegenseitig definieren. In diesem Abschnitt nehmen wir den Standpunkt ein, dass Monaden die fundamentaleren Objekte sind.

Wir beobachten nun: Die Monaden in <math>\mathcal{C}</math> bilden die Objekte einer eigenen <math>2</math>-Kategorie. Dabei sei ein Morphismus von einer Monade <math>(X,A,\mu_A,\eta_A)</math> zu einer anderen Monade <math>(Y,B,\mu_B,\eta_B)</math> ein Morphismus <math>f : X \to Y</math> zusammen mit einem <math>2</math>-Morphismus <math>\sigma : Bf \to fA</math>, welcher im naheliegenden Sinne mit der Eins und der Multiplikation kompatibel ist. Sind nun <math>(f,\sigma)</math>, <math>(f',\sigma')</math> zwei solche Morphismen zwischen denselben Monaden, so sei ein <math>2</math>-Morphismus zwischen ihnen ein <math>2</math>-Morphismus <math>\alpha : f \to f'</math>, der im naheliegenden Sinne mit <math>\sigma</math> bzw. <math>\sigma'</math> kompatibel ist. Es ist klar, wie die Kompositionen und die Kohärenzisomorphismen zu definieren sind.

Da wir nun aber jeder <math>2</math>-Kategorie eine neue <math>2</math>-Kategorie zugeordnet haben, lässt sich diese Konstruktion iterieren. Es stellt sich daher die Frage: Was sind die Monaden in der <math>2</math>-Kategorie der Monaden in <math>\mathcal{C}</math>?
 
Um das herauszufinden, muss man sich lediglich intensiv mit den Definitionen auseinandersetzen und kommt zum folgenden Ergebnis: Es sind genau die Paare von Monaden <math>(X,A,\mu_A,\eta_A)</math>, <math>(X,B,\mu_B,\eta_B)</math> auf demselben Objekt <math>X</math> zusammen mit einem Distributivgesetz <math>\sigma : BA \to AB</math>. Zugleich sehen wir, dass Distributivgesetze selbst wieder eine <math>2</math>-Kategorie bilden. Das Zappa-Szép-Produkt, welches wir von der monoidalen Kategorie <math>\mathrm{Hom}(X,X)</math> kennen, ist die Monade <math>(AB,(\mu_A \mu_B) \circ (A\sigma B),\eta_A \eta_B)</math> auf <math>X</math>.

Den Zusammenhang sieht man vielleicht besser, wenn man zunächst einmal mit einer monoidalen Kategorie startet, die man als eine <math>2</math>-Kategorie mit genau einem Objekt auffasst. Die Objekte der wie oben zugeordneten <math>2</math>-Kategorie sind hier die Monoidobjekte der monoidalen Kategorie, und die Morphismen von <math>\underline{A}=(A,\mu_A,\eta_A)</math> nach <math>\underline{B}=(B,\mu_B,\eta_B)</math> sind Objekte <math>X</math> der monoidalen Kategorie zusammen mit einem Morphismus <math> \sigma : B \otimes X \to X \otimes A</math>, sodass zwei Kompatibilitäten gelten. Die <math>2</math>-Morphismen sind klar. Die monoidale Kategorie der Endomorphismen von <math>\underline{B}</math> in dieser <math>2</math>-Kategorie besteht also aus Objekten <math>X</math> zusammen mit einem Morphismus <math> \sigma : B \otimes X \to X \otimes B</math>, sodass zwei Kompatibilitäten gelten. Die monoidale Struktur sieht kurz gesagt so aus, dass die Eins durch <math>B \otimes \mathds{1} \cong B \cong \mathds{1} \otimes B</math> gegeben ist, und das Tensorprodukt von <math>B \otimes X \to X \otimes B</math> mit <math>B \otimes Y \to Y \otimes B</math> die Komposition

<math>\displaystyle B \otimes X \otimes Y \to X \otimes B \otimes Y \to X \otimes Y \otimes B</math>

ist. Die Monoidobjekte in dieser monoidalen Kategorie sind offenbar genau die Monoidobjekte <math>\underline{A}=(A,\mu_A,\eta_A)</math> in der ursprünglichen monoidalen Kategorie zusammen mit einem Distributivgesetz <math>\sigma : B \otimes A \to A \otimes B</math>.

Man kann die <math>2</math>-kategorielle Konstruktion beliebig oft iterieren. Durch eine weitere Iteration erhält man zum Beispiel drei Monaden <math>(X,A,\dotsc)</math>, <math>(X,B,\dotsc)</math>, <math>(X,C,\dotsc)</math> auf demselben Objekt zusammen mit Distributivgesetzen <math>BA \to AB</math>, <math>CB \to BC</math> und <math>CA \to AC</math>, sodass das Diagramm

<math>\begin{tikzcd}
CBA \ar{r} \ar{d} & CAB \ar{r} & ACB \ar{d} \\
CAB \ar{r} & ACB \ar{r} & ABC
\end{tikzcd}</math>

kommutiert. Man erhält dann eine Monadenstruktur auf <math>ABC</math> mit der Multiplikation

<math>\displaystyle ABCABC \to ABACBC \to AABBCC \to ABC.</math>

Bezeichnen wir die <math>2</math>-Kategorie der Monaden in <math>\mathcal{C}</math> mit <math>\mathsf{Monad}(\mathcal{C})</math>, so haben wir mit dem Zappa-Szép-Produkt einen <math>2</math>-Funktor

<math>\displaystyle \mathrm{ZS} : \mathsf{Monad}^2(\mathcal{C}) \to \mathsf{Monad}(\mathcal{C})</math>

gefunden. Dieser ist obendrein assoziativ und besitzt den <math>2</math>-Funktor <math>\mathcal{C} \to \mathsf{Monad}(\mathcal{C})</math>, <math>X \mapsto (X,\id_X,\dotsc)</math> als neutrales Element. Zudem induziert jeder starke <math>2</math>-Funktor zwischen <math>2</math>-Kategorien <math>\mathcal{C} \to \mathcal{D}</math> einen starken <math>2</math>-Funktor <math>\mathsf{Monad}(\mathcal{C}) \to \mathsf{Monad}(\mathcal{D})</math>. Ähnliche Aussagen gelten für pseudonatürliche Transformationen und Modifikationen. Das Zappa-Szép-Produkt, und so kann man diesen ganzen Artikel zusammenfassen, versieht also <math>\mathsf{Monad}</math> mit der Struktur einer <math>3</math>-kategoriellen Monade auf der <math>3</math>-Kategorie der <math>2</math>-Kategorien.
 

Anhang

Es seien <math>\underline{A}=(A,\mu_A)</math> und <math>\underline{B}=(B,\mu_B)</math> zwei Magmaobjekte in einer monoidalen Kategorie (d.h. der Morphismus <math>\mu_A : A \otimes A \to A</math> muss keinerlei Axiome erfüllen) und <math>\sigma : B \otimes A \to A \otimes B</math> ein Morphismus derart, dass <math>\text{\color{blue}(A1)}</math> kommutiert, also (wir lassen wieder das <math>\otimes</math> weg)
 
<math>\text{\color{blue}(A1)~~} \sigma \circ \mu_B A = A \mu_B \circ \sigma B \circ B\sigma.</math>
 
Dann muss <math>\text{\color{blue}(A2)}</math> nur auf einem Erzeugendensystem von <math>B</math> geprüft werden. Damit ist genauer gemeint: Angenommen, <math>x : S \to B</math> ist ein Morphismus mit
 
<math>\text{\color{blue}(A2x)~~} \sigma \circ B\mu_A \circ xAA = \mu_A B \circ A\sigma \circ \sigma A \circ xAA</math>
 
Analoges gelte für einen Morphismus <math>y : T \to B</math>:
 
<math>\text{\color{blue}(A2y)~~} \sigma \circ B\mu_A \circ yAA = \mu_A B \circ A\sigma \circ \sigma A \circ yAA.</math>
 
Dann gilt dies auch für den Morphismus <math>\mu_B \circ xy : ST \to B</math>, also das Produkt aus <math>x</math> und <math>y</math>. Das lässt sich so nachrechnen (oder durch ein entsprechendes kommutatives Diagramm belegen):
 
<math>~~~~~~~ \mu_A B \circ A\sigma \circ \sigma A \circ \mu_B AA \circ xyAA \\
 \stackrel{\text{\color{blue}(A1)~\,}}{=}  \mu_A B \circ A \sigma \circ A \mu_B A \circ \sigma B A \circ B \sigma A \circ xyAA \\
  \stackrel{\text{\color{blue}(A1)~\,}}{=}   \mu_A \circ AA \mu_B \circ A \sigma B \circ A B \sigma \circ \sigma B A \circ B \sigma A \circ xy AA \\
 \stackrel{\text{Nat.}~\,}{=}  A \mu_B \circ \mu_A BB \circ A \sigma B \circ \sigma AB \circ BA \sigma \circ B \sigma A \circ xyAA \\
 \stackrel{\text{Nat.}~\,}{=}  A \mu_B \circ \mu_A BB \circ A \sigma B \circ \sigma AB \circ xAAB \circ SA \sigma \circ S \sigma A \circ SyAA \\
 \stackrel{\text{\color{blue}(A2x)}}{=}  A \mu_B \circ \sigma B \circ B \mu_A B \circ xAAB \circ SA \sigma \circ S \sigma A \circ SyAA \\
 \stackrel{\text{Nat.}~\,}{=}  A \mu_B \circ \sigma B \circ xA B \circ S \mu_A B \circ SA \sigma \circ S \sigma A \circ SyAA \\
 \stackrel{\text{\color{blue}(A2y)}}{=}  A \mu_B \circ \sigma B \circ xA B \circ S \sigma \circ SB \mu_A \circ SyAA \\
 \stackrel{\text{Nat.}~\,}{=}  A \mu_B \circ \sigma B \circ B \sigma \circ  x BA \circ SB \mu_A \circ SyAA \\
 \stackrel{\text{\color{blue}(A1)}~\,}{=}  \sigma \circ \mu_B A \circ  x BA \circ SB \mu_A \circ SyAA \\
 \stackrel{\text{Nat.}~\,}{=}  \sigma \circ B \mu_A \circ \mu_B AA \circ xyAA</math>

Quellen

Hier eine Sammlung von Quellen, die ich teilweise benutzt habe, teilweise aber auch lediglich zum Weiterlesen hier aufführe.

• Wikipedia, Semidirect product, Link
• Wikipedia, Zappa-Szép product, Link
• Wikipedia, Distributive law between monads, Link
• Wikipedia, Ore extension, Link
• A. L. Agore, A. Chirvasitu, B. Ion, G. Militaru, Bicrossed products for finite groups, Link
• A. L. Agore, G. Militaru, Schreier type theorems for bicrossed products, Link
• A. L. Agore, G. Militaru, Classifying complements for groups. Applications, Link
• R. Wisbauer, Algebras versus coalgebras, Link
• S. Caenepeel, B. Ion, G. Militaru, S. Zhu, The factorization problem and the smash biproduct of algebras and coalgebras, Link
• Z. Jiao, R. Wisbauer, The braided structures for T-smash product Hopf algebras, Link
• nlab, Distributive law, Link
• Jon Beck, Distributive laws, Link (S. 95-112)
• Ross Street, The formal theory of monads, Link
• Stephen Lack, Ross Street, The formal theory of monads II, Link



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