Die Mathe-Redaktion - 22.08.2017 07:22 - Registrieren/Login
Auswahl
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Apr. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 180 Gäste und 6 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Mathematik: Regelmäßiges Neuneck: neue Näherungskonstruktion
Freigegeben von matroid am Sa. 12. August 2017 14:41:09
Verfasst von Yakob -   87 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Regelmäßiges  9 - Eck :

Näherungskonstruktion


Gerade hatte ich eine Näherungskonstruktion für das regelmäßige Siebeneck entworfen und hier eingebracht.
matheplanet.com/default3.html?article=1798
Anschließend fragte ich mich, ob ich mit denselben Mitteln (also mit dem einfachen Suchprogramm für gute Approximationswerte) auch z.B. eine analoge Konstruktion für andere Vielecke, zum Beispiel für das reguläre Neuneck, finden könne. Dazu änderte ich einfach das vorherige Suchprogramm etwas ab für die Suche nach einfachen Approximationen etwa für Werte wie <math>2*sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\, ,\ cos\left(\frac{2\,\pi}{9}\right)\, ,\ tan\left(\frac{\pi}{9}\right)</math>  usw.

Auch dies erwies sich als recht leicht. Zur Konstruktion wählte ich dann zwei mögliche Approximationen aus, nämlich:

1.)  <math>sin\left(\frac{\pi}{9}\right)\ \approx\ \frac{20}{3}\, - \, 2\,\sqrt{10}</math>

2.)  <math>tan\left(\frac{\pi}{9}\right)\ \approx\ 2.6\, - \, \sqrt{5}</math>

Die Konstruktion nach der zweiten Formel gefiel mir besser, weil sie genauer ist und insbesondere auch, weil ich sie fast analog zu meiner vorherigen Näherungskonstruktion für das Siebeneck anordnen konnte. Wieder wählte ich den Umkreisradius  r = 5 , um ohne Brüche als Ausgangswerte auszukommen. Die Konstruktion:





Man beginnt mit dem Umkreis mit dem Radius  r = 5  und dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung O.
Der obere Schnittpunkt des Umkreises mit der vertikalen Achse sei der Eckpunkt A des zu konstruierenden Neunecks.
Man markiert die Punkte  P(10|0)  und  Q(-3|0)  auf der x-Achse. Man kann diese Punkte natürlich auch nach allen Regeln der Kunst konstruieren.
Nun zeichnet man den Strahl  PA  sowie einen Kreisbogen um den Punkt P, der durch Q geht und diesen Strahl im Punkt S schneidet. Man kann nun (zuerst einmal rechnerisch) verifizieren, dass die Länge m der Strecke  <math> \overline{AS} </math>  fast exakt dem 5-fachen Tangenswert des Winkels  20° = <math>\pi /\,  9</math>  entspricht.
Die Konstruktion geht so weiter, dass man die Streckenlänge m von A aus auf der Tangente nach rechts bis zum Punkt T abträgt und dann den Kreis um T mit Radius m mit dem Umkreis schneidet. So kommt man zum Eckpunkt  I  des Neunecks. Anschließend kann man die Figur durch wiederholtes Abtragen der Seitenlänge  <math>|\overline{AI}|</math> entlang des Umkreises und z.B. durch Nutzung der Symmetrie bezüglich der y-Achse ergänzen.

Die Genauigkeit der Näherung übertrifft auch hier die übliche Zeichengenauigkeit für geometrische Konstruktionen. Die relative Abweichung der konstruierten Streckenlänge beträgt für diese Konstruktion ziemlich genau 0.1 Promille.

Link auf diesen Artikel Link auf diesen Artikel  Druckbare Version Druckerfreundliche Version  Einen Freund auf diesen Artikel aufmerksam machen Weitersagen Kommentare zeigen Kommentare  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist nicht im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
Verwandte Links
 
Besucherzähler 87


[Seitenanfang]

" Mathematik: Regelmäßiges Neuneck: neue Näherungskonstruktion" | 0 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2017 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]