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Physik: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung und Satz von Schwarz
Freigegeben von matroid am Sa. 25. November 2017 10:30:38
Verfasst von StefanVogel -   532 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Physik

\(\begingroup\)Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung und Satz von Schwarz

Über die Maxwell-Gleichungen ist an verschiedenen Stellen zu lesen, dass davon nur einige Gleichungen physikalische, experimentell bestätigte Annahmen sein müssen und die übrigen sind geometrische und mathematische Schlussfolgerungen. Auch bei der Auswahl der physikalischen Annahmen kann man anscheinend variieren, entweder man leitet aus den einen die anderen her oder umgekehrt. In diesem Artikel möchte ich so eine Herleitung versuchen, und zwar ausgehend

von der Lorenz-Eichung \( \vec \nabla \cdot \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} = 0 \)

und dem Satz von Schwarz \( {\dfrac {\partial }{\partial x}}\left({\dfrac {\partial }{\partial y}}f(x,y)\right)={\dfrac {\partial }{\partial y}}\left({\dfrac {\partial }{\partial x}}f(x,y)\right) \).





Gegeben seien vier Funktionen \( u_1, u_2, u_3, u_4, \) jede abhängig von vier Veränderlichen \( x_1, x_2, x_3, x_4 \), und alle zweimal stetig differenzierbar. Die zweiten partiellen Ableitungen \( {\dfrac {\partial }{\partial x_k}}\left({\dfrac {\partial }{\partial x_j}}u_i(x_1,x_2,x_3,x_4)\right) \) schreibe ich kurz als \( u_{ijk} \). Der erste Index \( i \) bezeichnet die verwendete Funktion \( u_i \) und die weiteren \( j,k \) den Index, nach welcher Variablen \( x_j, x_k \) der Reihe nach abgeleitet wird. Satz von Schwarz angewendet für \( i,j,k \) von 1 bis 4 ergibt (einschließlich der trivialen Fälle \( j=k \)) insgesamt 40 Möglichkeiten \( u_{ijk} = u_{ikj} \), die ich in folgender Tabelle aufliste, als Puzzle-Baukasten sozusagen.

\( u_{111}=u_{111} \) \( u_\color{orange}{112}=u_\color{orange}{121} \) \( u_\color{orange}{113}=u_\color{orange}{131} \) \( u_\color{orange}{114}=u_\color{orange}{141} \) \( u_{122}=u_{122} \)
\( u_{211}=u_{211} \) \( u_\color{green}{212}=u_\color{green}{221} \) \( u_\color{green}{213}=u_\color{green}{231} \) \( u_\color{green}{214}=u_\color{green}{241} \) \( u_{222}=u_{222} \)
\( u_{311}=u_{311} \) \( u_\color{blue}{312}=u_\color{blue}{321} \) \( u_\color{blue}{313}=u_\color{blue}{331} \) \( u_\color{blue}{314}=u_\color{blue}{341} \) \( u_{322}=u_{322} \)
\( u_{411}=u_{411} \) \( u_\color{brown}{412}=u_\color{brown}{421} \) \( u_\color{brown}{413}=u_\color{brown}{431} \) \( u_\color{brown}{414}=u_\color{brown}{441} \) \( u_{422}=u_{422} \)
\( u_\color{orange}{123}=u_\color{orange}{132} \) \( u_\color{orange}{124}=u_\color{orange}{142} \) \( u_{133}=u_{133} \) \( u_\color{orange}{134}=u_\color{orange}{143} \) \( u_\color{orange}{144}=u_\color{orange}{144} \)
\( u_\color{green}{223}=u_\color{green}{232} \) \( u_\color{green}{224}=u_\color{green}{242} \) \( u_{233}=u_{233} \) \( u_\color{green}{234}=u_\color{green}{243} \) \( u_\color{green}{244}=u_\color{green}{244} \)
\( u_\color{blue}{323}=u_\color{blue}{332} \) \( u_\color{blue}{324}=u_\color{blue}{342} \) \( u_{333}=u_{333} \) \( u_\color{blue}{334}=u_\color{blue}{343} \) \( u_\color{blue}{344}=u_\color{blue}{344} \)
\( u_\color{brown}{423}=u_\color{brown}{432} \) \( u_\color{brown}{424}=u_\color{brown}{442} \) \( u_{433}=u_{433} \) \( u_\color{brown}{434}=u_\color{brown}{443} \) \( u_\color{brown}{444}=u_\color{brown}{444} \)



Nun setze ich diese Gleichungen zu größeren Gleichungen zusammen. Die verschiedenfarbigen Indizes sollen die ursprünglichen Gleichungen besser kenntlich machen.



\( u_\color{green}{212} - u_{122} - u_{133} + u_\color{blue}{313} = - u_\color{orange}{144} - u_\color{brown}{414} - u_{111} - u_{122} - u_{133} + u_\color{orange}{144} + u_{111} + u_\color{green}{221} + u_\color{blue}{331} + u_\color{brown}{441} \)
\( u_\color{blue}{323} - u_{233} - u_{211} + u_\color{orange}{121} = - u_\color{green}{244} - u_\color{brown}{424} - u_{211} - u_{222} - u_{233} + u_\color{green}{244} + u_\color{orange}{112} + u_{222} + u_\color{blue}{332} + u_\color{brown}{442} \)
\( u_\color{orange}{131} - u_{311} - u_{322} + u_\color{green}{232} = - u_\color{blue}{344} - u_\color{brown}{434} - u_{311} - u_{322} - u_{333} + u_\color{blue}{344} + u_\color{orange}{113} + u_\color{green}{223} + u_{333} + u_\color{brown}{443} \)
\( - u_\color{brown}{432} - u_\color{blue}{342} + u_\color{brown}{423} + u_\color{green}{243} = u_\color{green}{234} - u_\color{blue}{324} \)
\( - u_\color{brown}{413} - u_\color{orange}{143} + u_\color{brown}{431} + u_\color{blue}{341} = u_\color{blue}{314} - u_\color{orange}{134} \)
\( - u_\color{brown}{421} - u_\color{green}{241} + u_\color{brown}{412} + u_\color{orange}{142} = u_\color{orange}{124} - u_\color{green}{214} \)
\( - u_{411} - u_\color{orange}{141} - u_{422} - u_\color{green}{242} - u_{433} - u_\color{blue}{343} = - u_{411} - u_{422} - u_{433} + u_\color{brown}{444} - u_\color{orange}{114} - u_\color{green}{224} - u_\color{blue}{334} - u_\color{brown}{444} \)
\( u_\color{blue}{321} - u_\color{green}{231} + u_\color{orange}{132} - u_\color{blue}{312} + u_\color{green}{213} - u_\color{orange}{123} = 0 \)





Zurück nochmal, vor dem Zusammensetzen multipliziere ich einige der Ausgangsgleichungen mit Faktoren \( \varepsilon \) oder \( \frac{1}{ \mu } \).



\( \tfrac{1}{\mu} \left( u_\color{green}{212} - u_{122} - u_{133} + u_\color{blue}{313} \right) = \varepsilon \left( - u_\color{orange}{144} - u_\color{brown}{414} \right) + \frac{1}{\mu} \left( - u_{111} - u_{122} - u_{133} + \varepsilon \mu u_\color{orange}{144} \right) + \frac{1}{\mu} \left( u_{111} + u_\color{green}{221} + u_\color{blue}{331} + \varepsilon \mu u_\color{brown}{441} \right) \)
\( \frac{1}{\mu} \left( u_\color{blue}{323} - u_{233} - u_{211} + u_\color{orange}{121} \right) = \varepsilon \left( - u_\color{green}{244} - u_\color{brown}{424} \right) + \frac{1}{\mu} \left( - u_{211} - u_{222} - u_{233} + \varepsilon \mu u_\color{green}{244} \right) + \frac{1}{\mu} \left( u_\color{orange}{112} + u_{222} + u_\color{blue}{332} + \varepsilon \mu u_\color{brown}{442} \right) \)
\( \frac{1}{\mu} \left( u_\color{orange}{131} - u_{311} - u_{322} + u_\color{green}{232} \right) = \varepsilon \left( - u_\color{blue}{344} - u_\color{brown}{434} \right) + \frac{1}{\mu} \left( - u_{311} - u_{322} - u_{333} + \varepsilon \mu u_\color{blue}{344} \right) + \frac{1}{\mu} \left( u_\color{orange}{113} + u_\color{green}{223} + u_{333} + \varepsilon \mu u_\color{brown}{443} \right) \)
\( - u_\color{brown}{432} - u_\color{blue}{342} + u_\color{brown}{423} + u_\color{green}{243} = u_\color{green}{234} - u_\color{blue}{324} \)
\( - u_\color{brown}{413} - u_\color{orange}{143} + u_\color{brown}{431} + u_\color{blue}{341} = u_\color{blue}{314} - u_\color{orange}{134} \)
\( - u_\color{brown}{421} - u_\color{green}{241} + u_\color{brown}{412} + u_\color{orange}{142} = u_\color{orange}{124} - u_\color{green}{214} \)
\( \varepsilon \left( - u_{411} - u_\color{orange}{141} - u_{422} - u_\color{green}{242} - u_{433} - u_\color{blue}{343} \right) = \varepsilon \left( - u_{411} - u_{422} - u_{433} + \varepsilon \mu u_\color{brown}{444} \right) - \varepsilon \left( u_\color{orange}{114} + u_\color{green}{224} + u_\color{blue}{334} + \varepsilon \mu u_\color{brown}{444} \right) \)
\( u_\color{blue}{321} - u_\color{green}{231} + u_\color{orange}{132} - u_\color{blue}{312} + u_\color{green}{213} - u_\color{orange}{123} = 0 \)





Mit den Symbolen \( \vec \nabla \) für den Nabla-Operator im dreidimensionalen Raum, \( \Delta \) für den Laplace-Operator in drei Dimensionen und für Anwendung auf Vektorfelder sowie neu definierten Bezeichnungen

\( t=x_4 \) , \( \vec A = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ \end{pmatrix}\) , \( \phi = u_4 \) , \( \vec E = - \vec \nabla \phi - \dfrac {\partial {\vec {A}}}{\partial t} \) , \( \vec D = \varepsilon \vec E \) , \( \vec B = \vec \nabla \times \vec A \) , \( \vec H = \dfrac{1}{\mu} \vec B , \)
\( c^2 = \dfrac{1}{ \varepsilon \mu } \) , \( \rho = \varepsilon \left( - \Delta \phi + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial^2 {\phi}}{{\partial t}^2} \right) \) , \( \vec j = \dfrac{1}{\mu} \left( - \Delta \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial^2 {\vec {A}}}{{\partial t}^2} \right) \)


schreibe ich das als

\( \vec \nabla \times \vec H = \dfrac {\partial {\vec {D}}}{\partial t} + \vec j + \dfrac{1}{\mu} \vec \nabla \left( \vec \nabla \cdot \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} \right) \),
\( \vec \nabla \times \vec E = - \dfrac {\partial {\vec {B}}}{\partial t} \),
\( \vec \nabla \cdot \vec D = \rho - \varepsilon \dfrac{\partial}{\partial t} \left( \vec \nabla \cdot \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} \right) \),
\( \vec \nabla \cdot \vec B = 0 \).



Diese Gleichungen gelten für beliebige zweimal stetig differenzierbare Funktionen \( u_1, u_2 , u_3 , u_4 \). Nach Lorenz-Eichung (beide Klammern 0) bleiben die Maxwell-Gleichungen aus Wikipedia Maxwell-Gleichungen#Zusammenfassung übrig.



Mir gefällt diese Herleitung deshalb so sehr, weil von den Ausgangsgleichungen jede genau einmal verwendet wird, wie bei einem richtigen Puzzle (Bild hier) :)



Das Ergebnis interpretiere ich so: Jede Lösung der Lorenz-Eichung ist eine Lösung der Maxwell-Gleichungen und der beschriebene Rechenweg ist eine Rechenprobe auf diese gefundene Lösung. Wenn man die Lorenz-Eichung als physikalische Annahme nicht kennt und erst noch finden muss, ja dann...



Am Ende des Artikels folgen noch drei konkrete Zitate zu den eingangs angesprochenen "verschiedenen Stellen". Den Rechenweg dort verstehe ich nur bruchstückhaft, doch das Prinzip sollte erkennbar sein, dass man sich Gedanken darüber macht, was gegeben sein muss und was geschlussfolgert werden kann, und das habe ich mit dieser Herleitung auch mal selber versucht.



Viele Grüße,
   Stefan





"Anzumerken ist, dass das Gesetz von Gauß rein aus der Geometrie des Problems folgt, also letztlich keine physikalische Bedeutung hat: Der einzige physikalische Input ist die Existenz elektrischer Ladungen bzw. die Kontinuitätsgleichung, welche im Maxwell-Ampère-Gesetz mündet. Die inhomogenen Gleichungen sind also Folge der Ladungserhaltung."



"Wieder geht lediglich ein Postulat ein, das Induktionsgesetz; die Quellfreiheit ist dann eine rein mathematische Konsequenz."



"Punkt 1 & 2" (Gleichungen für \( \vec \nabla \cdot \vec B \) und \( \vec \nabla \times \vec E \)) "sind experimenteller Fakt und als physikalisches Axiom hinzunehmen, 3 & 4 sind rein mathematischer Natur."


\(\endgroup\)
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" Physik: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung und Satz von Schwarz" | 8 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung (Rechenprobe)
von dromedar am Sa. 25. November 2017 13:18:19

\(\begingroup\)
Kleidet Deine Rechnung nicht im Wesentlichen die folgende Tatsache in ein neues, etwas unübersichtlicheres Gewand?

1. Wenn man die elektromagnetischen Felder auf Basis der Potentiale definiert, erfüllen sie automatisch die homogenen Maxwell-Gleichungen.
2. Wenn man dann die Inhomogenitäten einfach als Ladungs- und Stromdichte definiert, hat man die vollständigen Maxwell-Gleichungen "abgeleitet".

Dass Du auch noch eine Eichbedingung verwenden musst (wenn so etwas passiert, sollten schon die Alarmglocken schrillen), liegt nur daran, dass zwar Deine Formel für die Ladungsdichte die allgemeine ist, Deine Formel für die Stromdichte aber nur für den Spezialfall der Lorenz-Eichung gilt.

Grüße,
dromedar\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung (Rechenprobe)
von StefanVogel am So. 26. November 2017 03:22:14

\(\begingroup\)
Wenn das etwas unübersichtlich erscheint, ich will das nochmal aus der Sicht einer möglichen Anwendung schildern. Ich schreibe eine immer richtige Gleichung hin, zum Beispiel \(u-v+w-u=(w-x)-(v-x)\). Bei irgendeiner Aufgabe lese ich auf der zugehörigen Web-Seite, dass ich dazu \(u-v+w-u=(w-z)\) plus Randbedingungen lösen muss. Aha, da muss ich in meiner Gleichung nur \(x\) in \(z\) umbenennen und dann \(v-z=0\) plus Randbedingungen lösen. Normalerweise wird man natürlich \(u-v+w-u=(w-z)\) gleich in \(v-z=0\) umformen. Bei den Maxwell-Gleichungen ist das aber nicht so offensichtlich (und auch nicht vollkommen äquivalent).

Beispielaufgabe: Löse die Maxwell-Gleichungen für das Vakuum.
Teillösung: Aus den Randbedingungen \(\rho=0, \vec{j}=0\) und den Definitionen von \(\rho, \vec{j}\) erhalte ich unter anderem die Lösungen \(\phi=0\) und \(A=A_0 e^{i(k x - \omega t)} \). Zu den Maxwell-Gleichungen im Vakuum weiß ich, dass die Lorenz-Eichung verwendbar ist. Also lege ich die Maxwell-Gleichungen zur Seite und löse statt dessen Lorenz-Eichung+Randbedingungen mit dem Ergebnis \(A_0\) orthogonal zu \(k\).

Verstehst du wie ich das meine? Bei dieser Aufgabe werden sonst immer die Maxwell-Gleichungen vereinfacht und dann getrennt gelöst. Letztendlich sind das alles gleiche und ähnliche Umformungen, nur die Herangehensweise ist anders. Überzeugender wäre schon eine etwas kompliziertere Aufgabe, auch für mich. Im Zusammenhang mit dieser Frage LinkLage der Hauptebene/des Hauptschnitts in optisch uniaxialen Kristallen habe ich gelesen, dass \(\mu\) und \(\varepsilon\) auch Matrizen sein können. Das wäre vielleicht eine geeignete Aufgabe und rein interessehalber habe ich schon folgenden Lösungsweg versucht: \(c^2\) ist dann auch eine Matrix und Kehrwertbildung die inverse Matrix. In der Lorenz-Eichung \( \vec \nabla \cdot \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} = 0 \) kann man aber \(\phi\) nicht mit einer Matrix multiplizieren, deshalb forme ich sie um zu \( \vec \nabla \cdot c^2 \vec A + \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} = 0 \). Nach etlichen Versuchen konnte ich auch die Maxwell-Gleichungen so abändern, dass zusammen mit der geänderten Lorenz-Eichung wieder so eine immer richtige Gleichung herauskommt. Dann will ich aber nicht geänderte Maxwell-Gleichungen plus Randbedingungen zum Lösen nehmen, sondern geänderte Lorenz-Eichung plus Randbedingungen.

Diesen letzten Schritt habe ich noch nicht geschafft und weiß auch noch nicht, ob das geht. Dass ich das Vorhandene mal zusammengefasst und gerade jetzt den Artikel angefertigt habe, das sollte ein Dankeschön an matroid sein für die neue Schrift. Ich will jetzt auch richtig Latex lernen.
\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung (Rechenprobe)
von traveller am So. 26. November 2017 14:18:39

\(\begingroup\)
Wieso folgt aus dieser Rechnung automatisch die Divergenzfreiheit des magnetischen Felds? Es gibt doch bisher lediglich noch keine experimentellen Hinweise auf magnetische Monopole, in einer derart allgemeinen Herleitung müssten diese doch auftauchen.

Ausserdem: Aus den Maxwell-Gleichungen und Einsteins erstem Postulat (Relativitätsprinzip) folgt auch das zweite Postulat über die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, und damit auch die Lorentz-Transformation. Wenn man nun nach dieser Herleitung alles auf wenige, rein mathematische Grundannahmen stützen kann, folgt dann also die SRT zwingend ohne jegliche experimentelle Zusatzannahme?
Oder macht man diese in der Fixierung der Lorenz-Eichung? Ich weiss zwar, dass diese Eichung aus relativistischer Sicht besonders einleuchtend ist, aber eigentlich müsste es doch trotzdem mit jeder Eichung funktionieren.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung (Rechenprobe)
von StefanVogel am So. 26. November 2017 20:37:24

\(\begingroup\)
Jetzt wo du es sagst, sehe ich es auch. Die Divergenz des Vektors \(\vec{E}\) ist

\(- u_{411} - u_\color{orange}{141} - u_{422} - u_\color{green}{242} - u_{433} - u_\color{blue}{343}  \)

und enthält von mehreren Gleichungen \( u_\color{green}{ijk} = u_\color{green}{ikj} \) jeweils nur eine Seite. Insgesamt kann das ungleich Null werden. Die Divergenz des Vektors \(\vec{B}\) ist

\( u_\color{blue}{321} - u_\color{green}{231} + u_\color{orange}{132} - u_\color{blue}{312} + u_\color{green}{213} - u_\color{orange}{123} \)

und darin sind immer beide Seiten der Gleichungen \( u_\color{green}{ijk} = u_\color{green}{ikj} \) enthalten, mit entgegengesetzten Vorzeichen. Das ist insgesamt Null. Wenn magnetische Monopole verschieden von Null sein sollen, sehe ich nur die Möglichkeiten, die Definition des Vektors \(\vec{B}\) abändern, so dass nur eine Seite einer Gleichung \( u_\color{blue}{ijk} = u_\color{blue}{ikj} \) enthalten ist, oder es findet sich eine Situation, in der der Satz von Schwarz \( u_\color{green}{ijk} = u_\color{green}{ikj} \) nicht gilt.

Ursprünglich wollte ich darauf antworten, dass man an jeder beliebigen Stelle, auch bei der einen 0, soviele \( u_\color{green}{ijk} \) einfügen kann wie man will, es muss nur das zugehörige \( u_\color{green}{ikj} \) mit eingefügt werden, entweder mit gleichem Vorzeichen auf der anderen Seite der betreffenden Maxwell-Gleichung oder mit gewechselten Vorzeichen auf der gleichen Seite der betreffenden Maxwell-Gleichung. Das gilt auch für die Lorenz-Eichung, also da kann man variieren. Ich hatte die eine Variante genommen, mit der ich die ausgewählten Maxwell-Gleichungen aus dem Link erreiche.

Bis zur SRT überschaue ich die Herleitung nicht. Meine Aussage lautet, dass ich mit Lorenz-Eichung als alleinige physikalische Annahme die Maxwell-Gleichungen aus dem Link herleiten und nachrechnen kann.
\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung (Rechenprobe)
von dromedar am Mo. 27. November 2017 00:34:35

\(\begingroup\)
Da Du immer noch davon sprichst, dass die Lorenz-Eichung bei Deiner Rechnung eine wesentliche Rolle spielt, möchte ich nochmal auf den Hinweis aus meinem ersten Kommentar zurückkommen: Führe Deine Rechnung einmal mit der richtigen (sprich: eichinvarianten) Formel für die Stromdichte durch. Du wirst sehen, dass Du dann ohne Lorenz-Eichung auf das gleiche Ergebnis kommst.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung (Rechenprobe)
von StefanVogel am Mo. 27. November 2017 03:50:34

\(\begingroup\)
Mit Punkt 1 in deinem ersten Kommentar bin ich einverstanden. Das sind die Rechenregeln, wonach die Rotation eines Gradientenfeldes und die Divergenz eines Rotationsfeldes Null sind. Im Artikel hatte ich das als Probe komponentenweise ausgeschrieben mit farbigen Indizes, damit man sich auch dann von der Richtigkeit überzeugen kann, wenn man diese Rechenregeln nicht kennt.

Beim Punkt 2 bin ich an der Stelle hängengeblieben, welche Definition der Ladungsdichte ich da verwenden soll. Wenn ich nämlich die (von dir nicht beanstandete) Ladungsdichte aus dem Artikel nehme, dann ist die zur Ladung gehörende Maxwell-Gleichung falsch, kann also mathematisch nicht hergeleitet werden. Falsch deshalb, weil ich da als Gegenbeispiel nur eine Funktion einsetzen brauche, die die Lorenz-Eichung nicht erfüllt.

Einem entsprechenden Protest von mir bist du mit deinem Kommentar nun zuvorgekommen. Da ich eine eichinvariante Dichte nicht kenne, habe ich danach gegoogelt und bin bei der Wahrscheinlichkeitsstromdichte gelandet. Das ist viel Neuland und muss ich erst lesen und feststellen, ob ich damit zurechtkomme. Die Bezeichnung eichinvariant klingt schon vielversprechend.

Als Notbehelf, um bei Punkt 2 weiterzukommen, hatte ich mir folgende Definitionen überlegt:

\(\vec j_{eichinvariant} = \dfrac{1}{\mu} \left( - \Delta \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial^2 {\vec {A}}}{{\partial t}^2} \right) + \dfrac{1}{\mu} \vec \nabla \left( \vec \nabla \cdot \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} \right) \),
\(\rho_{eichinvariant} = \varepsilon \left( - \Delta \phi + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial^2 {\phi}}{{\partial t}^2} \right) - \varepsilon \dfrac{\partial}{\partial t} \left( \vec \nabla \cdot \vec A + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial {\phi}}{\partial t} \right) \),

also den Gradient und die Zeitableitung der linke Seite der Lorenz-Eichung packe ich einfach mit in die Strom- und Ladungsdichte. Damit stimmten die Maxwell-Gleichungen aus dem Link auch immer und ich komme sogar ganz ohne physikalische Annahmen aus.

nochmal die Beispielaufgabe: Löse die Maxwell-Gleichungen für das Vakuum.
Teillösung: Vom Vakuum nehme ich an, dass die Lorenz-Eichung gilt. Aus den Randbedingungen \(\rho_{eichinvariant}=0, \vec{j}_{eichinvariant}=0\) und den Definitionen von \(\rho_{eichinvariant}, \vec{j}_{eichinvariant} \) erhalte ich unter anderem die Lösungen \( \phi=0 \) und \( A=A_0e^{i(kx−ωt)} \). Nochmal die Lorenz-Eichung angewendet liefert das Ergebnis \( A_0 \) orthogonal zu \( k \).\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung (Rechenprobe)
von dromedar am Mo. 27. November 2017 22:38:43

\(\begingroup\)
In Deinem Link zur Wahrscheinlichkeitsstromdichte geht es um Quantenmechanik, die eichinvarianten Formeln für die Ladungs- und Stromdichte findest Du z.B. in diesem Wikipedia-Artikel.

Bei meiner Aussage, dass nur Deine Stromdichte nicht eichinvariant ist, habe ich übrigens nicht genau genug hingesehen. Die eichinvariante Ladungsdichte

    $\begin{equation*}
\rho=\varepsilon \left( - \Delta \phi - \dfrac{\partial}{\partial t} \,\vec \nabla \cdot \vec A\right)
\end{equation*}$

(diese Formel erhältst Du auch, wenn Du das $\rho_{\rm eichinvariant}$ in Deinem letzten Kommentar etwas vereinfachst) unterscheidet sich im zweiten Summanden von Deiner ursprünglichen Formel

    $\begin{equation*}
\rho=\varepsilon \left( - \Delta \phi + \dfrac{1}{c^2} \dfrac {\partial^2 {\phi}}{{\partial t}^2} \right)
\end{equation*}$  .
\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Maxwell-Gleichungen herleiten aus Lorenz-Eichung (Rechenprobe)
von StefanVogel am Sa. 02. Dezember 2017 04:00:58

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Damit kann ich den Punkt 2 zu Ende rechnen. Die Definition von \( j_{\small \text{eichinvariant}} \) lässt sich mit der Rechenregel \( \scriptstyle \nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right) = - \Delta \vec{A} + \nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right) \) umformen zu \( j_{\small \text{eichinvariant}} = \vec \nabla \times \vec H - \dfrac {\partial {\vec {D}}}{\partial t} \) und die Definition von \( \rho_{\small \text{eichinvariant}} \) lässt sich mit der Rechenregel \( \scriptstyle \Delta \phi = \nabla \cdot \left( \nabla \phi \right) \) umformen zu \( \rho_{\small \text{eichinvariant}} = \nabla \vec D \). Das sind die inhomogenen Gleichungen.

Weil du den ersten Kommentar als Frage formuliert hast: Ja, das ist eine treffende Zusammenfassung des Artikels. Ich habe etwas Zeit gebraucht für die Antwort. Beim Durchrechnen wollte ich genau darauf achten, was man als Voraussetzungen verwendet und was mathematische Schlussfolgerungen sind. Wie schnell nimmt man sich beim Herleiten vor, eine bestimmte Voraussetzung nicht zu verwenden, und dann ist sie doch irgendwo versteckt dabei. Ich möchte den ersten Kommentar gern als Zusammenfassung mit eigenen Worten aufschreiben und, als Kompromissvorschlag, ohne Festlegung auf eine bestimmte Eichung. Wir müssen uns doch nicht zwischen Lorenz-Eichung oder den eichfreien Definitionen entscheiden.

Zusammenfassung:

In diesem Artikel werden die folgenden bekannten Tatsachen allein mit dem Satz von Schwarz hergeleitet:

1. Wenn man die elektromagnetischen Felder auf Basis der Potentiale definiert, erhält man nach Anwendung der Rechenregeln \( \scriptstyle \nabla \times \left( \nabla \phi \right) = 0 \) und \( \scriptstyle \nabla \cdot \left( \nabla \times \vec{A} \right) = 0 \) automatisch die homogenen Gleichungen.

2. Wenn man die Ladungs- und Stromdichte passend zu einer bestimmten Eichbedingung definiert, erhält man nach Anwendung der Rechenregeln \( \scriptstyle \nabla \times \left( \nabla \times \vec{A} \right) = - \Delta \vec{A} + \nabla \left( \nabla \cdot \vec{A} \right) \) und \( \scriptstyle \Delta \phi = \nabla \cdot \left( \nabla \phi \right) \) und Einsetzen der Eichbedingung automatisch die inhomogenen Gleichungen.

Im Artikel ist das speziell für die Lorenz-Eichung aufgeschrieben, kann aber ohne weiteres auf andere Eichbedingungen oder eichinvariant umgeschrieben werden.

Ende der Zusammenfassung.

Passend dazu ergänze ich den Satz von Schwarz im Titel, so dass dort schon ein Hinweis dabei ist, wie die Herleitung erfolgt. Ohne die Zusammenfassung konnte ich das überhaupt nicht einordnen und hatte Rechenprobe hingeschrieben. Danke für deine und eure Kommentare.

Im Artikel wird die Lorenz-Eichung erst ganz am Ende verwendet. Doch die Definitionen von \( \vec{j} \) und \( \rho \) davor sind schon speziell darauf ausgerichtet. Bereits an der Stelle muss man andere Definitionen einsetzen, wenn eine andere Eichung verwendet werden soll.
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