Die Mathe-Redaktion - 20.02.2018 18:38 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
ListenpunktSchwätz / Top 15
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 474 Gäste und 24 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Mathematik: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
Freigegeben von matroid am So. 04. Februar 2018 20:34:57
Verfasst von Marbin -   700 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)

Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen



Im Folgenden beweisen wir, dass

$\begin{align}2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+9}\end{align}$

in Dezimaldarstellung für alle \(k\in\mathbb{N}_{0}\) mit der Führungsziffer 5 beginnt. Zur Entstehungsgeschichte von \((1)\) sei auf diesen langen aber teils sehr interessanten und (zumindest für mich) lehrreichen Thread verwiesen.



Wir betrachten zunächst die Ungleichung

$\begin{align}512\cdot 1024^{n}<6\cdot 10^{2+k}\cdot 1000^{n},\quad k,n\in \mathbb{N}_{0}.\end{align}$

Die Ungleichung \((2)\) ist genau dann erfüllt, wenn

$\begin{align}n<\frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}.\end{align}$

Wir zeigen zunächst, dass \(\frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}\) für kein \(k\) ganzzahlig sein kann. Sei \(p\in\mathbb{N}\), dann beginnen wir mit der Annahme, dass

$\begin{align}\frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}=p\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \ln(10^{k})=\ln\left ( \frac{64}{75}\cdot \left ( \frac{128}{125} \right )^{p} \right )\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow 10^{k}=\frac{2^{7\cdot p+6}}{3\cdot 5^{3\cdot p+2}}.\end{align}$

\((6)\) ist jedoch ein Widerspruch zu der Annahme, \(p\) sei ganzzahlig.
Da \(\frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}\) für kein \(k\) ganzzahlig ist, gilt auch

$\begin{align}\left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor<\frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}.\end{align}$

Substitution von \(n\) durch \(\left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor\) in \((2)\) führt zu

$\begin{align}512\cdot 1024^{\left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor}<6\cdot 10^{2+k}\cdot 1000^{\left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor}\end{align}$

und weiter vereinfacht zu

$\begin{align}\frac{2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+9}}{10^{3\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+k+2}}<6.\end{align}$

Um eine natürliche Zahl \(a>0\) zur Basis \(b\) darzustellen, werden \(1+\left \lfloor \log_{b} (a)\right \rfloor\) Stellen benötigt. Dementsprechend werden \(1+\left \lfloor \log_{10} (a)\right \rfloor=1+\left \lfloor \frac{\ln (a)}{\ln (10)}\right \rfloor\) Stellen benötigt, um \(a\) zur Basis \(10\) darzustellen. Wollen wir die führende Ziffer von \(a\) in Dezimaldarstellung berechnen, müssen wir also \(a\) durch \(10^{\left \lfloor \frac{\ln (a)}{\ln (10)}\right \rfloor}\) teilen und dann gegebenenfalls noch den Nachkommaanteil mittels Abrundfunktion entfernen, was für unser Vorhaben hier aber nicht nötig ist. Wir ersetzen  \(a\) durch \(2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+9}\) in \(10^{\left \lfloor \frac{\ln (a)}{\ln (10)}\right \rfloor}\) und erhalten

$\begin{align}10^{\left \lfloor \frac{\ln \left ( 2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+9} \right )}{\ln (10)}\right \rfloor}=10^{\left \lfloor \frac{\ln(1024)\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+\ln(512)}{\ln (10)}\right \rfloor}.\end{align}$

Wir vermuten, dass für alle \(k\)

$\begin{align}3\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+k+2=\left \lfloor \frac{\ln(1024)\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+\ln(512)}{\ln (10)}\right \rfloor\end{align}$

gilt. Ist die Vermutung wahr, beginnt \(2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+9}\) in Dezimaldarstellung für alle \(k\) mit einer Führungsziffer < 6. Um zu zeigen, dass die Vermutung wahr ist, benutzen wir die Eigenschaft \(\left \lfloor x \right \rfloor = m \Leftrightarrow m\leq x < m+1\) bzw. \(\left \lfloor x \right \rfloor=m \Leftrightarrow  x-1 < m\leq x\) für alle \(x \in \mathbb{R};~m \in \mathbb{Z}\), also

$\begin{align}\underbrace{{\left \lfloor \frac{\ln(1024)\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+\ln(512)}{\ln (10)}\right \rfloor}}_{\substack{\left \lfloor x \right \rfloor}}=\underbrace{{3\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+k+2}}_{\substack{m}}.\end{align}$

Wir beweisen zunächst \(m\leq x\):

$\begin{align}3\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+k+2\leq  \frac{\ln(1024)}{\ln(10)}\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+\frac{\ln(512)}{\ln(10)}\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow k+2-\frac{\ln(512)}{\ln(10)} \leq \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor\cdot \left ( \frac{\ln(1024)}{\ln(10)}-3 \right )\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \frac{k\cdot \ln(10)-\ln\left (\frac{128}{25} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \leq \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \frac{k\cdot \ln(10)-\ln\left (\frac{128}{25} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \leq \left \lfloor \frac{k\cdot \ln(10)-\ln\left (\frac{128}{25} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}+\frac{\ln(6)}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor.\end{align}$

Wegen \(\frac{\ln(6)}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}>1\) gilt die Ungleichung \((13)\) für alle \(k\), da ja \(x<\left \lfloor x+1 \right \rfloor \quad \forall x\).

Als nächstes beweisen wir \(x < m+1\), demnach

$\begin{align}\frac{\ln(1024)}{\ln(10)}\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+\frac{\ln(512)}{\ln(10)}<3\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+k+3\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10) + \ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor \cdot \left (\frac{\ln(1024)}{\ln(10)} -3 \right)< k + 3-\frac{\ln(512)}{\ln(10)}\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10) + \ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor < \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{125}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10) + \ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor < \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}+\frac{\ln\left (\frac{5}{3} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}.\end{align}$

Wir haben bereits bewiesen, dass \(\left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor<\frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}\) für alle \(k\) gilt, deshalb gilt auch Ungleichung \((17)\) für alle \(k\), und die Vermutung \((12)\) ist wahr für alle \(k\).

Um den kompletten Beweis abzuschließen, müssen wir nun noch zeigen, dass

$\begin{align}\frac{2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor +9}}{10^{3\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor +k+2}} > 5\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor \cdot \left ( \frac{\ln(1024)}{\ln(10)} -3\right ) > \frac{\ln(5)-\ln(512)}{\ln(10)}+k+2\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor > \frac{k\cdot \ln(10)-\ln(512)+2\cdot \ln(10)+\ln(5)}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor > \frac{k\cdot \ln(10)}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}-1\end{align}$

$\begin{align}\Leftrightarrow \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} +1\right \rfloor > \frac{k\cdot \ln(10)}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}.\end{align}$

Da \(\left \lfloor x+1 \right \rfloor > x \quad \forall x\) und \(\frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} > \frac{k\cdot \ln(10)}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )}\) für alle \(k\), ist auch dies gezeigt. \(\square\)

Ich bedanke mich recht herzlich bei Buri für's Korrekturlesen.

Schlussbemerkung:

Den obigen Beweis kann man übrigens fortführen und zeigen, dass sogar

$\begin{align}2^{10\cdot \left \lfloor \frac{\left \lfloor \frac{k}{7} \right \rfloor\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+10\cdot k-51-70\cdot \left \lfloor \frac{k}{7} \right \rfloor}\end{align}$

für alle \(k\) immer eine Zweierpotenz in Dezimaldarstellung mit der Führungsziffer 5 liefert.
\(\endgroup\)

Link auf diesen Artikel Link auf diesen Artikel  Druckbare Version Druckerfreundliche Version  Einen Freund auf diesen Artikel aufmerksam machen Weitersagen Kommentare zeigen Kommentare  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist nicht im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
Verwandte Links
 
Besucherzähler 700
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 47 externe Besuche zwischen 2018.02 und 2018.02 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://matheplanet.com3268.1%68.1 %
http://matheplanet.de1429.8%29.8 %
http://matheplanet.org12.1%2.1 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 1 Aufruf in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2018.02.18 16:28http://matheplanet.com/index.html

[Seitenanfang]

" Mathematik: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen" | 19 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von Slash am So. 04. Februar 2018 22:43:54

\(\begingroup\)
1) Für diese furchtbar sperrigen Terme solltest du besser, wie in Fachkreisen üblich, mit Substitutionen arbeiten. Der Bruch in (3) taucht immer wieder unverändert auf. Dann ist das Ganze nicht nur übersichtlicher und damit besser lesbar, sondern auch kürzer und schöner. Der Artikel würde sich dadurch auf ein 1/4 bis 1/6 verkürzen!

2) Auch vermisse ich, wie bei vielen deiner Artikel, erklärenden Text. Man bekommt direkt Terme und Gleichungen vor die Füße geschmissen und erst nach fast der Hälfte des Artikels erfährt man dann wofür das alles gut sein sollte. Den Inhalt eines langen Threads vorauszusetzen halte ich für eine Zumutung für den Leser.

3) Wofür das alles überhaupt gut sein soll, bleibt auch im Unklaren. Es wird bewiesen, dass der Term in (1) in Dezimaldarstellung für alle k mit einer 5 beginnt. Ja, toll!

4) Du solltest dir wirklich mehr Mühe mit deinen Artikeln geben, vor allem was Inhalt und Form betrifft.

5) Mein Fazit zu deinem Artikel: Absolut überflüssig. Man hätte es auch einfach bei dem Thread belassen können ohne ihn zu einem Artikel dieser Art zu verbraten.

6) Auch wenn es nicht üblich ist, möchte ich Matroid empfehlen weiterhin MontyPythagoras Artikel an erster Stelle zu lassen, da es das erste ist, was ein Besucher auf dem MP zu sehen bekommt. Und wir möchten ja einen guten und professionellen Eindruck machen.

7) Und damit hier kein humoristischer Interpretationsspielraum entsteht: Das meine ich alles absolut ernst.


- - - - - - - - - - - - - - -
EDIT 05.02.2018 22:15
- - - - - - - - - - - - - - -
Dies schreibe ich jetzt ohne mir die weiteren Kommentare und PMs, die ich dazu bekommen habe gelesen zu haben. Das ist mir wichtig, um neutral zu editieren. Ich lasse auch meinen ersten Kommentar unverändert stehen.

Revidieren möchte ich die Punkte 3) und 5). Natürlich ist eine gewonnene Erkenntnis nie überflüssig. Dieses Statemant war unfair und tut mir leid.

Zu den anderen Punkten stehe ich aber nach wie vor. Ich bin einfach der Meinung, dass ein Artikel auf dem MP etwas Besonderes sein und sich klar in Form und Inhalt von einem Thread abheben sollte. Viele Planetarier tun das. Namen brauche ich hier nicht zu nennen.

Marbin hat seinen Artikel, sowie auch einige andere, einfach so hingeschludert. Damit zeigt er mir, dass ihm seine Leser absolut am Arsch vorbeigehen. Das hat er sogar mit anderen Worten in den Kommentaren zu seinen früheren Artikeln (z.B. zum Collatz Problem) selbst geschrieben. Und wenn einem seine Leser egal sind, dann frage ich mich ernsthaft, wozu dann das Ganze überhaupt. Dann könnte er genausogut seinen Artikel zu Hause an den Kühlschrank pinnen. Wenn er sich nur eine Woche mehr Zeit genommen und sich mehr Mühe gegeben hätte, dann hätte sein Artikel durchaus ein richtiges Schmuckstück werden können. Aber das wollte er offensichtlich nicht. Und dies ist respektlos seinen Lesern gegenüber.

Und ein expliziter Dank an die ca. 3 anderen Mitglieder im Thread, die diesen Beweis überhaupt erst möglich gemacht haben, hätte auch nicht geschadet.

Gruß, Slash\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von Nuramon am Mo. 05. Februar 2018 00:52:46

\(\begingroup\)
Ich habe nicht alles im Detail nachgerechnet, finde den Artikel aber sehr interessant. Es wird bewiesen, dass es unendlich viele Zweierpotenzen gibt, deren Dezimaldarstellung mit 5 beginnt. Im Gegensatz zu Slash halte ich das für ein bemerkenswertes Resultat.

Gibt es analoge Resultate für andere Zahlen als 5 (Anfangsziffer) bzw. 2 (Basis der Potenz) bzw. 10 (Basis des Stellenwertsystems)?\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von cyrix am Mo. 05. Februar 2018 02:43:48

\(\begingroup\)
@Nuramon: Die Aussage, dass unendlich viele Zweierpotenzen mit einer Ziffer 5 anfangen, kann man deutlich sinnvoller und übersichtlicher zeigen.

Ich verweise nur auf den Thread und Benford's Law.

Damit lassen sich auch deine Zusatzfragen -- weder die Basis 10 noch die Ziffer 5 sind hier besonders -- auch direkt ohne ähnlich sinnloses Rumgerechne leicht beantworten.

Cyrix\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

@Slash
von Yakob am Mo. 05. Februar 2018 12:21:07

\(\begingroup\)
fed-Code einblenden

Hallo Slash,

obwohl mir einige Beiträge von MontyPythagoras auch sehr gut gefallen haben, fände ich es eine sehr schlechte Idee, grundsätzlich die Beiträge eines bestimmten Autors nach vorne zu stellen. Das widerspräche meinen Vorstellungen einer seriösen Redaktion in schmerzhafter Weise !
\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von weird am Mo. 05. Februar 2018 14:52:32

\(\begingroup\)
Ich denke, dass es für jeden, der den eingangs zitierten Thread jetzt auch nur überflogen hat, nicht überraschend kommt, wenn ich sage, dass ich ebenfalls sehr skeptisch bin, was die Sinnhaftigkeit dieses Artikels angeht. Offensichtlich geht es hier um eine überaus spezielle Folge, nämlich um alle natürliche Zahlen $m$, welche folgende 3 Eigenschaften haben:

(1) Die Einerziffer von $m$ ist 9.
(2) $2^m$ beginnt in Dezimaldarstellung mit $5$.
(3) $2^{m+10}$ beginnt in Dezimaldarstellung nicht mit $5$.

Wenn ich sie richtig verstanden habe, soll die eingangs zitierte Formel, nämlich

$m=10\cdot \left\lfloor\frac{k\ln 10+\ln(\frac{75}{64})}{\ln(\frac{128}{125})}\right\rfloor+9\quad (k\in \mathbb N)$

eine Charakterisierung dieser Exponenten $m$ sein. Nachdem Buri anscheinend den Beweis für richtig befunden hat und ich selbst bei einer numerischen Überprüfung bis in den Bereich von höchstens 5-stelligen Exponenten kein Gegenbeispiel gefunden habe, geh ich mal davon aus, dass dies auch stimmt. Die drängende Frage bleibt aber trotzdem: Was genau bringt das jetzt, außer dass Marbin mit dem Hantieren von diesen Formelungetümen - vielleicht auch bei deren Eingabe in LaTeX? - offenbar seinen großen Spaß hatte?  

Wie es scheint, bin ich mit meiner Skepsis hier keineswegs alleine, zumal wir auch in dem erwähnten Thread schon festgestellt hatten, dass sich diese Exponenten $m$ mit beliebiger(!) Endziffer, also unter Weglassung von (1), ganz einfach dadurch charakterisieren lassen, dass der Nachkommateil von $m\lg 2$ im Intervall $[\lg(\frac{375}{64}),\lg 6)$ liegen muss. Lässt man auch (3) weg, d.h., beschränkt man sich überhaupt nur auf die eigentlich "interessante" Bedingung (2), so muss dieser Nachkommateil dann einfach im Intervall $[\lg 6,\lg 6)$ liegen. Weitere interessante Verallgemeinerungen von Benford's law werden in besagtem Thread diskutiert, der aus meiner Sicht hier mehr als nur eine "Ergänzung" darstellt und wo ich für mich selbst auch durchaus einiges dazugelernt habe.  wink


\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von Marbin am Mo. 05. Februar 2018 16:02:00

\(\begingroup\)
Der eine schreibt über Apfelmännchens in Java, der andere über Divisormatrizen und ich eben über eine Vermutung, die ich in einem Thread geäußert habe, und die ich in diesem kleinen Artikel nun beweise. Mehr gibt es zur Sinnhaftigkeit nicht zu sagen, und ich werde mich auch nicht weiter dazu äußern.
Fragen zum Beweis, um den es in dem Artikel ja eigentlich geht, beantworte ich natürlich gerne.
Und ja, ich hatte beim Hantieren von diesen Formelungetümen und deren Eingabe in LaTeX einen Heidenspaß.  \(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von cis am Mo. 05. Februar 2018 19:30:15

\(\begingroup\)
Ich mag diese Rechnereien. smile



Und ja, ich hatte beim Hantieren von diesen Formelungetümen und deren Eingabe in LaTeX einen Heidenspaß.

(Nicht nur) bei euch Primzahl-Cossisten fällt mir oft auf, dass das alles BruteForce eingegeben wird.

Eine Grundidee von LaTeX ist, dass man nicht alles Word-artig runtertippt, sondern häufig Verwendetes in \def- oder \newcommand-Anweisungen abspeichert.
Das gilt für Formatierungen, aber auch für Inhalte.

Beispiel:
$\def\test{test+test}  \test$

$\def\test{test+test}  \test$

Speziell MathML erlaubt hier auf dem MP sogar die spätere Weiterverwendung in verschiedenen Tags, nach einmaliger Definition.

Beispiel:
$\newcommand\Test{Test^{Test}} \Test$

Später:

$\Test$


$\newcommand\Test{Test^{Test}} \Test$

Später:

$\Test$


So hättest Du Dir hier vermutlich einige Arbeit sparen können.
Genauso hilfreich im Hinblick auf Eingabefehler-Minimierung bzw. Korrektur-Erleichterung oder auch was spätere Formatierungsänderungen angeht.   wink

\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von Marbin am Mo. 05. Februar 2018 19:44:58

\(\begingroup\)
Ich wüsste zwar nicht, was ich mit Primzahl-Cossisten zu tun habe, aber deinen Tipp finde ich trotzdem sehr gut, cis. Werde das bei den nächsten Formelungetümen versuchen.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von cis am Mo. 05. Februar 2018 19:49:02

\(\begingroup\)
PS:
Noch ein ganz konketes Beispiel. Dein "Standardterm" hat hier scheints stets die selbe Gestalt. Dafür sollte man sich direkt eine \newcommand-Anweisung mit optionalen Argumenten anlegen:

$
\newcommand\Term[6]{\displaystyle
\left \lfloor
\frac{#1 \cdot \ln (#2)
+
\ln\left (\frac{#3}{#4} \right )}{\ln\left (\frac{#5}{#6} \right )}
\right \rfloor
}
\Term{a}{b}{c}{d}{e}{f}
$


$\newcommand\Term[6]{%
\displaystyle \left \lfloor
\frac{#1 \cdot \ln (#2)
+
\ln\left (\frac{#3}{#4} \right )}{\ln\left(\frac{#5}{#6} \right)}
\right \rfloor
}%

\Term{a}{b}{c}{d}{e}{f}$


PPS:
Für eventuelle Detailfragen gibt es hier ja auch das LaTeX-Forum.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von Marbin am Mo. 05. Februar 2018 21:16:35

\(\begingroup\)
"Nachdem Buri anscheinend den Beweis für richtig befunden hat und ich selbst bei einer numerischen Überprüfung bis in den Bereich von höchstens 5-stelligen Exponenten kein Gegenbeispiel gefunden habe, geh ich mal davon aus, dass dies auch stimmt."

Das ist schon bezeichnet. Man hat sich mit dem Beweis im Artikel also null beschäftigt. Stattdessen sinniert man über die Sinnhaftigkeit des Artikels oder bezeichnet es an anderer Stelle als sinnloses Rumgerechne. Wunderbar, ganz wunderbar. Ich bin dann da mal raus aus diesem Thema...



\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von cis am Mo. 05. Februar 2018 21:31:09

\(\begingroup\)
@ Marbin:

Lass dich doch nicht von einem oder wenigen Dislikes zum Teufel jagen - ich fand das auch etwas überzogen und unnötig!
Mir hat der Artikel gefallen. Bitte schreibe weiter sowas!

__________
Wenngleich ich zur Theorie wenig sagen kann, interessiert mich immer auch die Typographie, besonders eine so komplizierte.

Hier bin ich auch erstmal -an den hässlichen Lücken- gescheitert:
$10^{\left \lfloor \frac{\ln \left ( 2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+9} \right )}{\ln (10)}\right \rfloor}$

Stefan_K (weltbekannter TeXer) wies mich aber darauf hin, dass man es kompliziert mit \vcenter eingeben muss; etwa so:

$
\def\Term{%
\left\lfloor
\tfrac{k\cdot \ln(10)+\ln\left(\frac{75}{64}\right)}{\ln\left(\frac{128}{125} \right)}
\right\rfloor
}
 
 
\def\Z{\ln\left(\vcenter{2^{10\cdot\Term + 9}}\right)}
\def\N{\ln(10)}
 
\def\Exponent{\left\lfloor\vcenter{\frac{\Z}{\N}}\right\rfloor}
10^\Exponent
$


$
\def\Term{%
\left\lfloor
\tfrac{k\cdot \ln (10)+\ln\left(\frac{75}{64}\right)}{\ln\left (\frac{128}{125} \right)}
\right\rfloor
}
 
 
\def\Z{\ln\left(\vcenter{2^{10\cdot\Term + 9}}\right)}
\def\N{\ln(10)}
 
\def\Exponent{\left\lfloor\vcenter{\frac{\Z}{\N}}\right\rfloor}

10^\Exponent
$



\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von cis am Mo. 05. Februar 2018 21:37:22

\(\begingroup\)
PS: Manchmal ist es ganz gut, ein Ergebnis eines Threads als Artikel zu veröffentlichen.
Denn Threads können sehr verworrenen, unübersichtlichen Charakter annehmen. Und kein Uneingeweihter hat keine Lust sich da durchzugraben.
Habe ich auch einmal gemacht, weil ich es für angebracht hielt.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von Slash am Mo. 05. Februar 2018 21:56:45

\(\begingroup\)
Ich habe meinen ersten Kommentar editiert bzw. teilweise revidiert. Und zwar ohne die weiteren Kommentare und PMs, die ich dazu bekommen habe gelesen zu haben. Das mache ich erst jetzt. Das ist mir wichtig, um neutral zu editieren. Ich lasse auch meinen ersten Kommentar unverändert stehen bis auf die nachträglich eingefügte Nummerierung.

Gruß, Slash\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von Regmorus am Di. 06. Februar 2018 00:59:02

\(\begingroup\)

@Marbin, vielen Dank für den Artikel!;

Ich finde es gerade schön, dass der Artikel so komprimiert mathematisch geschrieben ist. Dessen Gegenstand ist ja der Beweis und nicht etwa eine
heuristische Abhandlung des Themas. Im Thread liest man öftermal Aussagen, die im Gegenteil pure Heuristik sind bzw. in die experimentelle Mathematik reingehören oder gar Meinungsverschiedenheiten im Außermathematischen gelten; dass im Endeffekt zum. für eine seiner Richtungen eine rein mathematische Quintessenz entstanden ist, ist aus meiner Sicht genau das Richtige.

Was den Nutzen angeht, zu wissen, dass es unendlich viele gibt und eine explizite Formel für die Berechnung betreffender anzugeben sind verschiedene Dinge. Wer weiß, vielleicht bringt die Formel jemanden auf Ideen, wie man sie verallgemeinert oder Ähnliches mit ihr anstellt und dadurch (ein bisschen Wunschdenken-Phantasieren) ein bisher ungelöstes mathematisches Problem löst.


Gruß
Reg Morus
     \(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von cyrix am Di. 06. Februar 2018 01:37:50

\(\begingroup\)
@Reg Morbus: Der Artikel zeigt nichts, was man nicht viel besser anders beweist (und auch schon vorher anders bewiesen hat). Man lernt hier *nichts*. Nagut, außer, dass ein rtikel unleserlich wird, wenn man mit zu vielem Formelwust um sich wirft. Aber ob der Autor uns *das* hier zeigen wollte?!...

Wenn hier der Eindruck entsteht, dies sei Mathematik, dann hat der Artikel vielleicht das getan, was er der Autor beabsichtigt hat. Allerdings halte ich dieses Vortäuschen falscher Tatsachen - es ist eben nur blindes Rumgerechne ohne irgendeinen Erkenntnisgewinn - nicht für sinnvoll.

Wie dem auch sei. Es ist dem geneigten Leser selbst überlassen, womit er seine Zeit verschwendet. (Ich beschließe, dass ich mich hiermit nun mehr als genug auseinandergesetzt habe.)

Cyrix\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von Regmorus am Di. 06. Februar 2018 15:18:56

\(\begingroup\)
@Cyrix, dies ist auch Mathematik. Eine Formel zur Berechnung von Primzahlen z.B. wäre auch "bloß eine Berechnungsvorschrift". Dass die aktuellen Erkenntnisse so viel Wert darauf legen lassen, eine zu haben, liegt lediglich daran, dass die Mathematik sich einfach auf diese Weise entwickelt hat. Dass das Feld aus dem der Beweis im Artikel stammt ein auf andere Weise ergründetes darstellt und deswegen der Wert des Artikels nach Meinung einiger vermindert wird, liegt an reinem Zufall, an dem man sich fetshalten oder die Realität der Eventualität der Realität berücksichtigen kann, Ersteres scheint mir nicht wirklich objektiv, wenn auch bequem.
Zudem ist es für mich persönlich, der noch nicht mit von dir beschriebenen Bereichen vertraut ist und nicht etwas chaotischerweise aufschnappen möchte, was er nicht gründlich versteht, vielleicht hilfreich eine Methode kennenzulernen, die ohne auwändigere Mittel auskommt, möglicherweise geht es nicht nur mir so.

P.S. Zu nahe möchte ich niemandem treten, aber solch abwertende Audrucksweise und feindseliges Verhalten wie letztens vorgekomen kann man doch kaum tolerieren und drüber hinwegsehen, man möchte irgendwie antworten, wenn sich heute auch des öfteren "das geht dich/mich nichts an" durchsetzt.  

Gruß
Reg Morus\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von weird am Mi. 07. Februar 2018 10:56:01

\(\begingroup\)
@Reg Morus

Ich muss gestehen, über weite Strecken verstehe ich deine Aussagen schlicht und einfach nicht! Wenn du z.B. schreibst

"[..] liegt an reinem Zufall, an dem man sich festhalten oder die Realität der Eventualität der Realität berücksichtigen kann, Ersteres scheint mir nicht wirklich objektiv, wenn auch bequem."

so gibt es wahrscheinlich nur wenige Menschen auf diesem Erdenball, welche dir da noch folgen können und zu denen ich leider nicht gehöre.

Was ich aber dann doch verstehe, indem es tatsächlich so etwas wie ein "Grundbedürfnis" der meisten hier ist, ist deine Aussage

"Zudem ist es für mich persönlich [..] vielleicht hilfreich eine Methode kennenzulernen, die ohne aufwändigere Mittel auskommt, möglicherweise geht es nicht nur mir so."

Eigentlich müsste ja dann für dich eine einfache und klare Aussage wie Benfords's Gesetz mit seinem ganz kurzen Beweis (s. hier) sehr befriedigend sein und ich verstehe daher gerade nicht, warum du Marbin's Ausführungen in dem Artikel, welche gewissermaßen das genaue Gegenteil davon darstellen, so vehement verteidigst. Und ja, ich rede nicht von manchen polemischen Äußerungen, welche in diesem Zusammenhang - auch von mir selbst - gemacht wurden, sondern einfach nur vom mathematischen Gehalt des Artikels und auch der Art der Präsentation, wie dies ja u.a. auch schon von Slash zu Recht hier kritisiert wurde.

Ganz allgemein gesprochen würde man von einem Artikel wie diesem erwarten, dass er eine Art "Zielsetzung" vorausschickt, ev. auch einige Bemerkungen, welche seine Ursprünge aus dem Thread, aus dem entstanden ist, herausarbeitet. Auch die 3 Punkte, die ich weiter oben erwähnt habe, welche seine Folge offenbar charakterisieren - was ja dann schon sowas wie ein "handfestes" Resultat wäre, auch wenn man über dessen Relevanz streiten kann - werden in dem Artikel mit keinem Wort erwähnt, d.h., man muss sich das als Leser selber irgendwie "zusammenreimen". Marbin erwähnt selber nur, dass sein Resultat beweist, dass es unendlich viele Zweierpotenzen gäbe, welche mit einer 5 beginnen, was aber als Folge aus Benford's Gesetz vollkommen trivial ist.

@Marbin

Ich finde es irgendwie schade, das du mit deiner letzten Wortmeldung zum Ausdruck bringst, dass du gegenüber konstruktiver Kritik dann doch nicht in der Weise aufgeschlossen bist, wie ich dies bis dahin angenommen hatte. Ja, es stimmt, ich habe deinen Artikel nicht zur Gänze gelesen, wenngleich dann doch wesentliche Teile daraus, um zu begreifen, was seine Grundidee ist und was letztlich bewiesen wird. Andererseits habe ich in dem Thread, auf den der Artikel basiert, doch viele deiner Behaupungen in dem ganzen "Umfeld" entweder numerisch bestätigt oder auch falsifiziert, auch wenn du dann darauf in deinem Artikel mit keinem Wort mehr eingegangen bist.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von Marbin am Mi. 07. Februar 2018 15:20:59

\(\begingroup\)
@weird

Mir ging es in dem Artikel darum zu zeigen, dass mindestens eine geschlossene Darstellung existiert, die für jedes \(k\) eine Zweiterpotenz mit der Führungsziffer 5 "ausspuckt". Dass es unendlich viele solche Zweierpotenzen gibt, geht daraus natürlich sofort als Nebenprodukt hervor, war aber nicht meine Intention. Deswegen beginnt der Artikel auch mit...

"Im Folgenden beweisen wir, dass

$\begin{align}2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+9}\end{align}$

in Dezimaldarstellung für alle \(k\in\mathbb{N}_{0}\) mit der Führungsziffer 5 beginnt"

und nicht mit

"Im Folgenden beweisen wir, dass es unendlich viele Zweierpotenzen gibt, die in Dezimaldarstellung mit der Führungsziffer 5 beginnen."

Das ist ein kleiner aber feiner Unterschied.

Da es sich bei dem Artikel um einen Beweis handelt, habe ich jegliche unnötige Prosa weggelassen.

Weil darunter auch jegliche Danksagungen (außer demjenigen, der den Artikel korrekturgelesen hat) fallen, möchte ich das an dieser Stelle nachholen und dir noch einmal dafür danken, dass du nicht müde geworden bist, meine Vermutungen numerisch oder auf anderen Wegen zu verifizieren/falsifizieren.\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

Re: Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen
von Regmorus am Mi. 07. Februar 2018 21:20:42

\(\begingroup\)
@weird,

Zitat: "nicht etwas chaotischerweise aufschnappen möchte, was er nicht gründlich versteht" - dies ist eigentlich schon die Antwort, warum mich ein Korollar aus dem Benfordschen Gesetz keinesfalls zufriedenstellen kann.

Mir gehts auf KEINEN FALL um Kochrezepte oder Aussagen, die ich einfach so anwenden kann. Ich habe mir Wikipedia-Artikel zum Benfordeschen Gesetz ungefähr zu Zeiten Anfang des Threads angesehen und merkte, dass dahinter eine große Theorie steckt, in die man, damit es überhaupt sinnvoll ist, erstmal gründlich eintauchen sollte, bevor man überhaupt sich aus ihren Aussagen einen Reim zu machen versucht. Ich kann oberflächliches Wissen nicht dulden, wenn es um mein Wissen geht und da jetzt Grundlagen auf dem Plan stehen, musste ich Beschäftigung mit dieser großen Theorie leider wie so oft auf später verschieben, bis ich zum. eine Vorlesung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Satistik besuche bzw. mich selbst "offiziell" anfange mit dem Thema zu beschäftigen. Mag sein, das das mathematische Konzept hinter dem Gesetz simpel ist, jedoch wurde das Gesetz für die Praxis gemacht und deswegen halte ich es für unerlässlich zu verstehen warum und wozu, also das Gesetz im Kontext seiner Anwendung zu verstehen, intuitiv begreifen dass es gelten muss etc. etc., ehe ich es verwende. Dagegen ist der Beweis von Marbin etwas, was ich jetzt schon greifen kann, ohne dass ich über etwas hinwegsehen und etwas einfach so hinnehmen muss. Sein Wert ist für mich, dass ich ihn jetzt mit den Mitteln, die mir zur Verfügung stehen, nachempfinden und einordnen kann, es ermöglicht dem Wesen der betrachteten Gesetzmäßigkeiten tatsächlich näher zu kommen und ist keine Vortäuschung, dass man dem näher gekommen ist, welche für mich jetzt das Benfordsche Gesetz wäre. Weil... Warum ist für die betreffende Menge das B. Gesetz erfüllt? Wie beweist man, dass es erfüllt ist? (EDIT:Nur Beispielfragen.)etc.

Gruß
Reg Morus\(\endgroup\)

 [Bearbeiten]

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2018 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]