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Mathematik: Mathematik ist Kunst
Freigegeben von matroid am Di. 27. Februar 2018 11:15:24
Verfasst von Evariste1 -   426 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Bildung

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Der mathematische Beweis als Kunstobjekt

Cédric Villani trägt an seinem Jacket im Dandy-Stil eine große Brosche, welche den Körper einer Spinne nachbildet. Dabei ist er nicht auf einem Kostüm-Ball eingeladen. Es handelt sich um seine Alltagskleidung. Wenn man nicht wüsste, dass es sich bei Villani um einen Mathematiker handelt, dann könnte man aufgrund der exaltierten Kleidung vermuten, es mit einem Künstler zu tun zu haben. Oder ist Villani vielleicht Kraft seiner Tätigkeit als Mathematiker ein Künstler? Immerhin kreieren Mathematiker sinnlich wahrnehmbare Werke (Beweise), welche vom Publikum zuweilen als innovativ und schön bezeichnet werden. Im Rahmen dieses Textes soll die Frage beantwortet werden, ob mathematische Beweise Kunst sind. Wir beginnen unsere Überlegungen mit einer Charakterisierung von Kunst. Wir werden prüfen, ob ein mathematischer Beweis die Charakteristika erfüllt, die Kunst erfüllen muss. Die mathematische Tätigkeit beschränken wir auf das Verfassen von Beweisen. Dabei werden wir zeigen, dass ein Mathematiker frei über die Bestandteile verfügt, die seinen Beweis auszeichnen. Wir werden zeigen, dass ästhetische Erfahrungen mit Beweisen möglich sind. Wir kommen zu dem Ergebnis, dass mathematische Beweise existieren, welche Kunst sind.

Charakterisierung von Kunst

Kunst wird vom Künstler aus Bestandteilen geschaffen und ist sinnlich wahrnehmbar. Der Künstler wählt die Bestandteile seines Werks frei aus. Unter den Bestandteilen eines Werks wollen wir den Inhalt und die Regeln, gemäß denen der Inhalt formalisiert wird, verstehen. Unter dem Inhalt verstehen wir die materiellen Komponenten eines Werks. (Zu den materiellen Komponenten eines literarischen Kunstwerks gehören z.B. die im Rahmen des Werks verwendeten Worte.) Würde der Künstler die Bestandteile nicht selbst bestimmen, so läge eine Fremdbestimmung vor und der Moment des Schaffens würde sich nicht mehr auf den Künstler beschränken. Außerdem ist die Existenz einer ästhetischen Erfahrung im Hinblick auf das Werk sicherzustellen, um von einem Kunstwerk sprechen zu können. Eine ästhetische Erfahrung tätigt der Rezipient eines Kunstwerks. Der Rezipient ist eine Person, die ein vom Menschen geschaffenes Werk sinnlich wahrnimmt und sich Gedanken über das sinnlich Wahrgenommene macht.
Eine ästhetische Erfahrung eines Rezipienten bezeichne die Erfahrung eines Übergangs, von der sinnlichen Wahrnehmung von etwas Gewöhnlichem, hin zu der sinnlichen Wahrnehmung von etwas Besonderem. Bei einer ästhetischen Erfahrung handelt es sich also um das Bewusstwerden von Besonderem. Wer würde schon annehmen, dass Kunstwerke existieren, die sich durch Gewöhnlichkeit auszeichnen? Schönheit sei ein hinreichendes Kriterium für einen solchen Übergang. Wenn etwas schön ist, dann erfährt ein Betrachter die sinnliche Wahrnehmung von etwas Besonderem. Ein Werk wäre also beispielsweise Kunst, wenn es vom Menschen geschaffen wird, schön ist und die Bestandteile des Werks vom Künstler frei bestimmt werden? Ist ein Schneider, der schöne Anzüge macht und die Bestandteile des Anzugs selbst wählt, nun ein Künstler?  Ich sage er ist ein Künstler, wenn er die formalen oder materiellen Bestandteile des Anzugs auch zumindest teilweise selbst erfunden hat. Dies rundet unsere Charakterisierung von Kunst ab. Kunst muss selbstbestimmt sein, ästhetische Erfahrungen gewährleisten und eine Innovation im Hinblick auf die Form oder den Inhalt bereit halten.

Charakterisierung des mathematischen Beweises

Ein mathematischer Beweis soll das Publikum von einer mathematischen Behauptung überzeugen. Dabei gilt es eine zu zeigende Behauptung aus gegebenen Voraussetzungen abzuleiten. Die Bestandteile eines Beweises lauten: Thema, logische Regeln, Axiome, Beweisprinzipien, Konsequenzen aus Axiomen und bereits bewiesene Sätze.


T1 Mathematiker wählt die Bestandteile des Beweises selbst.

Man könnte sagen, dass der Mathematiker im Gegensatz zu einem Künstler in der Auswahl seiner Themen, welche wir als inhaltlichen Bestandteil des Werks bezeichnen wollen, eingeschränkt ist. Immerhin kann ein Künstler sich für gewöhnlich mit jedem beliebigen Thema beschäftigen. Doch ein Mathematiker ist bei der Wahl seiner Thematik (zu beweisende Behauptung) in den Grenzen der Mathematik befindlich. Der Mathematiker bewegt sich allerdings freiwillig in diesen Grenzen. Ein Beweis besteht zudem aus einer Beweismethode. Es existieren verschiedene Beweismethoden (vollständige Induktion, Widerspruchsbeweis, Beweis durch Kontraposition). Dem Mathematiker ist die Möglichkeit zur Auswahl gegeben. Auch die Logik, welche der Beweis enthält, kann vom Mathematiker gewählt werden. So kann der Mathematiker frei entscheiden, ob er mit Hilfe von klassischer Logik oder mit der Hilfe von intuitionistischer Logik einen Beweis tätigen möchte. Unter Axiomen versteht man Grundwahrheiten, von denen der Mathematiker Gebrauch macht, ohne dass er sie beweisen kann. Auch hier besteht ein Auswahlspielraum. So existieren Aussagen wie, welche der eine Mathematiker als Axiom ansieht, während sie ein anderer Mathematiker als Satz (bewiesene insbesondere beweisbare Behauptung) ansieht. Es ist zu beachten, dass Dinge existieren, welche der Mathematiker nicht als Beweismittel nutzen darf. So darf eine logisch ungültige Schlussfolgerung nicht zum formalen Bestandteil eines Beweises werden. Eine solche Einschränkung (Verzicht auf logisch ungültige Schlüsse) ist Künsten nicht zwingend zu eigen. Außerdem liegt eine eingeschränkte Wahl auf vier Kategorien an Bestandteilen vor. Man könnte vielleicht sagen, dass die Bestandteile im Rahmen einer Einschränkung auf vier Kategorien, frei gewählt werden können. Dabei liegt jeder Wahl eines materiellen Bestandteils (z.B. einer Konsequenz aus Axiomen) der formale Bestandteil der Logik zu Grunde. Anders formuliert: die Konsequenzen aus Axiomen dürfen nicht beliebig bestimmt werden, sie müssen im Zusammenspiel mit den Axiomen logisch gültig sein. Doch auch ein Dichter, der sich entschieden hat ein Sonette zu schreiben, kann nicht einfach ein japanisches Kurzgedicht verfassen und behaupten, es sei ein Sonette. Der Sonette-Schreibende obliegt per Defintionem formalen Regeln, dazu gehört auch, dass er gewisse Wörter nicht wählen darf, wenn sie die Form behindern. Doch würde man solchen Dichtern, die sich auf das Verfassen von Gedichten in Sonette-Form beschränken, sofort vorwerfen, kein Künstler sein zu können? Wir halten fest: bevor der Mathematiker den Regeln der Logik obliegt, hat er die Möglichkeit ein logisches Kalkül zu wählen, an welches er sich im Rahmen der Beweisführung hält. Aus den seit tausenden von Jahren gesammelten Sätzen (bewiesenen Behauptungen) kann der Mathematiker unter Einhaltung der logischen Gültigkeit frei wählen.


T2 Mathematische Beweise können ästhetische Erfahrungen auslösen.

Wir haben Schönheit als hinreichendes Kriterium für eine ästhetische Erfahrung postuliert. Der Begriff der Schönheit findet auch im Hinblick auf die Mathematik seine Verwendung. So gilt z.B. ein mathematischer Beweis als schön, wenn es dem Beweisenden gelingt, ein Problem auf überraschend einfache Art zu lösen. Da vielen Beweisen eine solche Schönheit zu eigen ist, können wir nun sagen, dass Mathematik zu einer ästhetischen Erfahrung gereicht? Man könnte bedenken, dass mathematische Schönheit nicht unbedingt das bezeichnen muss, was man normalerweise unter Schönheit versteht. Ob der Rezipient eine ästhetische Erfahrung sammelt, hängt nichtnur von den Bestandteilen des Werks ab, sondern auch von den geistigen Kenntnissen des Rezipienten. So wie Säuglinge keine ästhetischen Erfahrungen mit literarischen Werken machen können, existieren Menschen, die nicht in der Lage sind, mathematische Beweise als besonders zu erfahren. In beiden Fällen kann eine Ausbildung im Lesen bzw. im Beweisen unter Umständen eine Änderung herbeiführen.


T3 Mathematische Beweise enthalten im Hinblick auf ihre Bestandteile (auf formaler- oder inhaltlicher Ebene) Innovationen.

Erreicht ein Mathematiker durch das Finden eines mathematischen Satzes einen Fortschritt in der Wissenschaft, so liegt offensichtlich eine Innovation vor. Doch auch eine Behauptung die bereits bewiesen wurde, kann auf eine neue Weise bewiesen werden. So ist es z.B. möglich mit (selbst-entdeckten) Hilfssätzen einen bereits bewiesenen Satz neu zu beweisen.

Somit lässt sich sagen, dass Beweise, die eine Innovation vermitteln und die Möglichkeit zu einer ästhetischen Erfahrung bereithalten, als Kunst bezeichnet werden können. Mathematik ist Kunst, die im Rahmen von Einschränkungen frei ist. Dabei handelt es sich um kein allgemeingültiges Ergebnis. Denn gewiss sind Charakterisierungen von Kunst möglich, denen der mathematische Beweis nicht gerecht werden kann. Der Grund dafür, warum mathematische Beweise für gewöhnlich nicht als Kunstwerke angesehen werden, könnte darin liegen, dass der mathematische Beweis nicht den vorherrschenden Charakterisierungen von Kunst entspricht. Vielleicht verstehen aber auch zu wenige Menschen mathematische Beweise oder fassen sie, wenn sie sie verstehen, aus einem mangelnden Kunstverständnis heraus, nur als Wissenschaft und nicht auch als Kunst auf.

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" Mathematik: Mathematik ist Kunst" | 3 Kommentare
 
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Re: Mathematik ist Kunst
von Yakob am Mi. 28. Februar 2018 06:12:11

\(\begingroup\)
Besten Dank für diesen Artikel, der hoffentlich auch von Leuten gelesen wird, die sich eher im Bereich der Kunst als in dem der Mathematik bewegen.
Mathematik (bzw. mathematisches Denken) auf den Bereich von mathematischen "Beweisen" einzuschränken, ist meines Erachtens eine ziemlich einschneidende Einschränkung, welche vieles ausschließt, was ebenfalls zu einem "ganzen" Mathematiker gehört. Wenn also schon (gewisse) mathematische Beweise das Attribut des künstlerischen Werks verdienen, ist dies erst einer von verschiedenen Aspekten, unter denen man mathematisches Denken und Schaffen als künstlerische Tätigkeit sehen kann.

Leider muss ich aber in diesem Zusammenhang auch erwähnen, dass ich bei vielen Werken der sogenannten "Kunstwelt" große Schwierigkeiten habe, sie wirklich als solche anzuerkennen. Oft funktioniert das in jenem Bereich heute so, dass eine tonangebende "Elite" gewisse "Werke" als hohe Kunst erklärt. Sobald solches Zeug dann ausgestellt, vielseitig erörtert und teuer bezahlt wird, muss sich jeder "normale" Mensch, der in dem angeblichen Kunstwerk nichts Künstlerisches, sondern z.B. nur einen zweckentfremdeten Alltagsgegenstand oder eine wüste Schmiererei sieht, vorkommen wie die Menschen in der Geschichte von des Kaisers neuen Kleidern - vor dem erlösenden und ernüchternden  Ende.

Gerade habe ich zu meinem letzten Punkt noch den exakt passenden Link gefunden:

www.perseus.ch/wp-content/uploads/2012/02/Des-Kaisers-neue-Kleider-oder-die-FKK-Kunst.pdf\(\endgroup\)

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Re: Mathematik ist Kunst
von Evariste1 am Mi. 28. Februar 2018 16:26:11

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Danke für dein Interesse. Der Text richtet sich in erster Linie an Nicht-Mathematiker. Mathematiker wissen natürlich bereits was ein Beweis ist und sind sich seiner kulturellen Bedeutung bewusst (sollten sie zumindest). Dennoch schadet es sicher nicht, auch als Mathematiker über das Thema nachzudenken. Gerade in Zeiten in denen sich oft fragwürdige Kunst durchsetzt, würde es mich freuen, wenn die Kunst der Mathematik als solche erkannt wird. Leider sehen  Menschen, die kein Gefühl für Mathematik haben, den Satz "Mathe ist Kunst" als sophistische, wahrheitsverzerrende Spielerei an. Ich habe die Hoffnung, dass sich diese verblendete Ansicht, welche gesellschaftlich weit verbreitet ist, irgendwann ändert.

Der von dir verlinkte Artikel sieht sehr interessant aus, freue mich schon darauf ihn heute Abend zu lesen.\(\endgroup\)

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Re: Mathematik ist Kunst
von Kitaktus am Mi. 28. Februar 2018 18:41:45

\(\begingroup\)
Ich finde das eigentliche Thema spannend und würde mich gerne diesem widmen. Den Beitrag von Yakob möchte ich aber nicht unkommentiert lassen.
Stellen wir uns vor, man würde bei der Beurteilung mathematischer Beweise so argumentieren:
"Also irgendwelche Experten halten das für einen Beweis, aber ich kann (so wie die (meisten) anderen "normalen" Menschen) darin keinen Beweis erkennen, sondern nur eine wüste Aneinanderreihung mathematischer Symbole."
Würden wir dieses Argument gelten lassen, als Beleg dafür, dass der vorgelegte Text _kein_ Beweis ist? Wohl kaum.

Yakob argumentiert natürlich etwas weniger plump. Die Wortgruppe "jeder 'normale' Mensch" ist sprachlich so geschickt eingerahmt, dass es so klingt, als wäre das jeder, wobei letztlich doch nur genau diejenigen gemeint sind, die Yakobs Auffassung teilen.
Auch ist nicht von Experten die Rede sondern von "Eliten". Bei einer "Elite" kann man natürlich viel einfacher eine sachfremde Motivation bei der Beurteilung von Kunst vermuten als bei "Experten". Fälle in denen bspw. ein Galerist die Bedeutung eines eher banalen Werkes hochjubelt, um bei potentiellen Käufern bessere Preise erzielen zu können, wird es sicher geben. Es wird nicht so recht klar, ob _das_ die Fälle sind, an die Yakob in seinem Beitrag denkt.
Ich weiß es nicht und möchte nicht spekulieren.
Folgt man dem angegebenen Link, so stellt man allerdings fest, dass das _nicht_ die Fälle sind, an die der Autor des verlinkten Artikels (Johannes Greiner) denkt. Der bezieht sich nämlich explizit (und nahezu ausschließlich) auf Joseph Beuys. Beuys ist einer der bedeutendsten Künstler des 20. Jahrhunderts und sicher keine Fall von "hochgejubelt, um damit Geld zu machen".
Die Argumentation von Johannes Greiner klingt besonders schräg, wenn man den Vergleich von Mathematik und Kunst im Hinterkopf hat. Greiner erkennt nämlich einen Mangel an Schöpferkraft, wenn man bereits vorhandene 'Substanzen' nicht 'verwandelt', sondern "nur" in einen anderen / neuen Zusammenhang bringt. Sind mathematische Beweise 'unkreativ', da sie doch nichts weiter tun, als hinlänglich bekannte Tatsachen lediglich neu anzuordnen?
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