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Mathematik: Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren
Freigegeben von matroid am Mi. 11. April 2018 09:55:02
Verfasst von Triceratops -   204 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

\(\begingroup\)
Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren

Dieser Artikel hat sich aus der Frage motiviert, welche Rechenregeln das arithmetische Mittel $$\overline{m}(a,b) = \frac{a+b}{2}$$reeller Zahlen erfüllt. Man erkennt relativ schnell $\overline{m}(a,a)=a$ und $\overline{m}(a,b)=\overline{m}(b,a)$. Klar ist auch $\overline{m}(\overline{m}(a,b),\overline{m}(a',b'))= \overline{m}(\overline{m}(a,a'),\overline{m}(b,b'))$, weil beide Seiten $(a+b+a'+b')/4$ sind. Zwar erfüllt $\overline{m}$ auch weitere Relationen wie z.B. $\overline{m}(\lambda \cdot a,\lambda \cdot b) = \lambda  \cdot \overline{m}(a,b)$, aber hierbei wird die Skalarmultiplikation $\cdot$ genutzt, welche also eigentlich eine weitere Operation darstellt. Wir möchten uns aber auf die Operation $\overline{m}$ beschränken. Tatsächlich kann man zeigen, dass $\overline{m}$ keine weiteren Relationen erfüllt; natürlich abgesehen von denen, die aus den genannten Relationen folgen, wie etwa $\overline{m}(a,\overline{m}(b,c)) = \overline{m}(\overline{m}(a,b),\overline{m}(a,c))$. Mit dem Begriff der Mittelpunkt-Algebra und insbesondere der Struktur von freien Mittelpunkt-Algebren lässt sich diese Aussage genauer fassen und auch beweisen. Für das allgemeine arithmetische Mittel $\overline{m}(a_1,\dotsc,a_q) = (a_1+\cdots+a_q)/q$ kann man dann genauso vorgehen.


Mittelpunkt-Algebren

Definition. Eine Mittelpunkt-Algebra besteht aus einer Menge $X$ und einer binären Verknüpfung $m : X \times X \to X$, welche die folgenden Eigenschaften besitzt:
– $m$ ist idempotent: $m(x,x)=x$
– $m$ ist kommutativ: $m(x,y)=m(y,x)$
– $m$ ist medial: $m(m(x,y),m(x',y'))= m(m(x,x'),m(y,y'))$
 
Wir nennen $m(x,y)$ den Mittelpunkt von $x$ und $y$. Ein Homomorphismus zwischen Mittelpunkt-Algebren ist natürlich eine Abbildung der Trägermengen, welche mit den Mittelpunkten verträglich ist.

Beispiel. Das Vorzeigebeispiel einer Mittelpunkt-Algebra ist $(\IR,\overline{m})$ mit
\[\overline{m}(x,y) := \frac{x+y}{2}.\] Genauso kann man jeden $\IR$-Vektorraum nehmen. Hier ist eine Veranschaulichung der Medialität für $(\IR^2,\overline{m})$:

<math>\begin{tikzpicture}[nodes={inner sep=-0.2ex}]
\draw node (A) at (0.3,0) {\textbullet};
\draw node (B) at (0,2) {\textbullet};
\draw node (C) at (2,0) {\textbullet};
\draw node (D) at (3,3) {\textbullet};
\draw node (AB) at ($(A)!0.5!(B)$) {\textbullet};
\draw node (CD) at ($(C)!0.5!(D)$) {\textbullet};
\draw node (AC) at ($(A)!0.5!(C)$) {\textbullet};
\draw node (BD) at ($(B)!0.5!(D)$) {\textbullet};
\draw node (ABCD) at ($(AB)!0.5!(CD)$) {\textbullet};
\draw (A) -- (B);
\draw (C) -- (D);
\draw (A) -- (C);
\draw (B) -- (D);
\draw (AB) -- (CD);
\draw (AC) -- (BD);
\end{tikzpicture}</math>

Jede Teilmenge, die unter Mittelpunkten abgeschlossen ist, liefert dann ebenfalls ein Beispiel. Ein wichtiges Beispiel ist das "dyadische Einheitsintervall"
\[\IZ[\tfrac{1}{2}] \cap [0,1] = \Bigl\{\frac{k}{2^n} : k,n \in \IN,\, k \leq 2^n\Bigr\},\] welches durch sukzessive Mittelpunktbildung aus $0$ und $1$ entsteht:

<math>\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\draw (0,0) -- (16,0);
\draw (0,0) -- (0,5);
\draw (16,0) -- (16,5);
\draw (8,0) -- (8,4);
\draw (4,0) -- (4,3);
\draw (12,0) -- (12,3);
\draw (2,0) -- (2,2);
\draw (6,0) -- (6,2);
\draw (10,0) -- (10,2);
\draw (14,0) -- (14,2);
\draw (1,0) -- (1,1);
\draw (3,0) -- (3,1);
\draw (5,0) -- (5,1);
\draw (7,0) -- (7,1);
\draw (9,0) -- (9,1);
\draw (11,0) -- (11,1);
\draw (13,0) -- (13,1);
\draw (15,0) -- (15,1);
\draw node at (0,-0.5) {0};
\draw node at (16,-0.5) {1};
\end{tikzpicture}</math>

Anhand dieses Beispiels sieht man, dass $m$ nicht assoziativ sein muss.

Beispiel. Wenn eine binäre Verknüpfung $m : X \times X \to X$ assoziativ, idempotent und kommutativ ist, nennt man $(X,m)$ einen Halbverband. Die Medialität folgt dann automatisch. Jeder Halbverband ist also eine Mittelpunkt-Algebra.

Definition. Es sei $(X,m)$ eine Mittelpunkt-Algebra. Für jedes $n \in \IN$ definieren wir eine $2^n$-stellige Verknüpfung $m^{[n]} : X^{2^n} \to X$ wie folgt: Es sei $m^{[0]} := \mathrm{id}_X$. Ist $m^{[n]}$ bereits definiert, so definieren wir $m^{[n+1]}$ durch
\[m^{[n+1]}(x_1,x_2,x_3,x_4,\dotsc) := m^{[n]}(m(x_1,x_2),m(x_3,x_4),\dotsc).\] Zum Beispiel ist $m^{[1]} = m$ und $m^{[2]}(x_1,x_2,x_3,x_4) = m(m(x_1,x_2),m(x_3,x_4))$.

In unserem Vorzeigebeispiel ist
\[m^{[n]}(x_1,x_2,\dotsc) = \frac{x_1 + x_2 + \cdots}{2^n}.\] Natürlich ist jeder Homomorphismus von Mittelpunkt-Algebren mit $m^{[n]}$ verträglich.

Lemma 1. Es sei $(X,m)$ eine Mittelpunkt-Algebra und $n \in \IN$.
1. Es gilt $m^{[n]}(x,x,\dotsc)=x$.
2. Es gilt $m(m^{[n]}(x_1,x_2,\dotsc),m^{[n]}(y_1,y_2,\dotsc)) = m^{[n+1]}(x_1,x_2,\dotsc,y_1,y_2,\dotsc)$.
3. Es ist $m^{[n]}$ ist kommutativ, d.h. für jede Permutation $\sigma$ von $\{1,\dotsc,2^n\}$ gilt $m^{[n]}(x_1,\dotsc,x_{2^n}) = m^{[n]}(x_{\sigma(1)},\dotsc,m_{\sigma(2^n)})$.

Beweis. 1. Dies folgt aus der Idempotenz von $m$ per Induktion nach $n$.

2. Für $n=0$ ist die Aussage klar. Für $n>0$ argumentiert man mit Induktion:
\[\begin{align*}
& \phantom{~~~~~} m(m^{[n]}(x_1,x_2,\dotsc),m^{[n]}(y_1,y_2,\dotsc)) \\
& = m(m^{[n-1]}(m(x_1,x_2),\dotsc),m^{[n-1]}(m(y_1,y_2),\dotsc))\\
& = m^{[n]}(m(x_1,x_2),\dotsc,m(y_1,y_2),\dotsc) \\
& = m^{[n+1]}(x_1,x_2,\dotsc,y_1,y_2,\dotsc)
\end{align*}\] 3. Es reicht dies für Nachbartranspositionen, etwa $(i ~ i{+}1)$ zu zeigen. Für $n=0$ ist nichts zu zeigen. Für $n=1$ folgt die Behauptung aus der Kommutativität von $m$. Sei also $n>1$. Wenn sich die Permutation auf die ersten $2^{n-1}$ Einträge bezieht oder auf die letzten $2^{n-1}$ Einträge, sind wir nach Induktion fertig wegen 2. Wir dürfen daher annehmen, dass sich die Permutation auf der "Schwelle" befindet, also $i=2^{n-1}$ gilt. Für $n=2$ ist die Behauptung dann gerade die Medialität von $m$.

Im allgemeinen Fall argumentieren wir mit Induktion: Wegen $4 \mid 2^n$ können wir $x$ in vier Gruppen $a,b,c,d$ (jeweils der Länge $2^{n-2}$) einteilen und berechnen mit Aussage 2, der Kommutativität und der Medialität:
\[\begin{align*}
m^{[n]}(a,b,c,d) & = m(m^{[n-1]}(a,b),m^{[n-1]}(c,d)) \\
&= m(m(m^{[n-2]}(a),m^{[n-2]}(b)),m(m^{[n-2]}(c),m^{[n-2]}(d))) \\
&= m(m(m^{[n-2]}(a),m^{[n-2]}(b)),m(m^{[n-2]}(d),m^{[n-2]}(c))) \\
&= m(m(m^{[n-2]}(a),m^{[n-2]}(d)),m(m^{[n-2]}(b),m^{[n-2]}(c))) \\
&= m(m(m^{[n-2]}(a),m^{[n-2]}(d)),m^{[n-1]}(b,c))
\end{align*}\] Wenn wir nun $x_i=b_{2^{n-2}}$ mit $x_{i+1}=c_1$ vertauschen möchten, können wir dies, weil $m^{[n-1]}$ nach Induktionsannahme kommutativ ist. $\checkmark$

Wir werden diese Rechenregeln ständig verwenden.


Freie Mittelpunkt-Algebren

Wir möchten nun Erzeugnisse in Mittelpunkt-Algebren $(X,m)$ beschreiben. Wir haben die trivialen Beispiele $\langle \emptyset \rangle = \emptyset$ und $\langle \{x\} \rangle = \{x\}$ für $x \in X$. Interessant wird es ab zwei Erzeugern. Es ist allerdings sinnvoll, sich gleich allgemein den Fall von $d$ Erzeugern $x_1,\dotsc,x_d \in X$ anzuschauen, wobei $d \in \IN$. Ein typisches Beispiel für ein Element in $\langle x_1,\dotsc,x_d\rangle$ ist
\[m^{[n]}(x_1^{k_1},\dotsc,x_d^{k_d}) := m^{[n]}(\underbrace{x_1,\dotsc,x_1}_{k_1\text{-mal}},\dotsc,\underbrace{x_d,\dotsc,x_d}_{k_d\text{-mal}})\] für $k_1 + \cdots + k_d = 2^n$. Tatsächlich gibt es keine weiteren, wie wir gleich sehen.
 
Lemma 2. Für $k_1 + \cdots + k_d = 2^n$ gilt
\[m^{[n+1]}(x_1^{2k_1},\dotsc,x_d^{2k_d}) = m^{[n]}(x_1^{k_1},\dotsc,x_d^{k_d}).\] Beweis. Es gilt
\[\begin{align*}
m^{[n+1]}(x_1^{2k_1},\dotsc,x_d^{2k_d}) &= m^{[n]}(m(x_1,x_1)^{k_1},\dotsc,m(x_d,x_d)^{k_d}) \\
&= m^{[n]}(x_1^{k_1},\dotsc,x_d^{k_d}). ~~~ \checkmark
\end{align*}\]
Lemma 3. Es sei $(X,m)$ eine Mittelpunkt-Algebra und $x_1,\dotsc,x_d \in X$. Dann gilt
\[\langle x_1,\dotsc,x_d \rangle = \{m^{[n]}(x_1^{k_1},\dotsc,x_d^{k_d}) : n \in \IN,\, k \in \IN^d, \, k_1 + \cdots + k_d = 2^n\}.\] Beweis. Für $n=0$ ist nur $k=e_i$ für $i=1,\dotsc,d$ möglich, und es folgt
\[m^{[n]}(x_1^{k_1},\dotsc,x_d^{k_d}) = m^{[0]}(x_i) = x_i.\] Die rechte Seite enthält also alle $x_i$, und sie ist sicherlich in $\langle x_1,\dotsc,x_n\rangle$ enthalten. Es muss also nur gezeigt werden, dass sie eine Unteralgebra ist. Wegen Lemma 2 haben je zwei Elemente in der Menge die Form
\[u = m^{[n]}(x_1^{k_1},\dotsc,x_d^{k_d}), \quad v = m^{[n]}(x_1^{k'_1},\dotsc,x_d^{k'_d}),\] also mit demselben $n$. Es folgt:
\[m(u,v) = m^{[n+1]}(x_1^{k_1},\dotsc,x_d^{k_d},x_1^{k'_1},\dotsc,x_d^{k'_d}) = m^{[n+1]}(x_1^{k_1+k'_1},\dotsc,x_d^{k_d+k'_d}). ~~~ \checkmark\]
Satz 4. Das "dyadische Standard-$(d{-}1)$-Simplex"
\[D_d = \{(a_1,\dotsc,a_n) \in \IZ[\tfrac{1}{2}]^d : a_i \geq 0,\, a_1 + \cdots + a_d = 1\}\] mit der arithmetischen Mittelung $\overline{m}$ ist die freie Mittelpunkt-Algebra auf den Erzeugern $e_1,\dotsc,e_d$.

Das dyadische $2$-Simplex sieht etwa so aus:

<math>\newcommand\xdim{2}
\newcommand\ydim{1.66}
\newcommand\depth{4}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\pgfmathsetmacro{\d}{2^\depth}
\foreach \l in {0,...,\d}{
 \pgfmathsetmacro{\ll}{\d - \l}
 \foreach \k in {0,...,\ll} {
   \draw node at (1/2 * 1/\d * \xdim * \l + 1/\d * \k * \xdim,1/\d * \ydim*\l) {\tiny\textbullet};
  }
}
\end{tikzpicture}</math>


Beweis. Es sei $\langle x_1,\dotsc,x_d \rangle$ die freie Mittelpunkt-Algebra in den Variablen $x_1,\dotsc,x_d$; diese existiert aus allgemeinen Gründen. Es gibt einen Homomorphismus
\[\chi : \langle x_1,\dotsc,x_d \rangle \to D_d,\, \chi(x_i)=e_i.\] Es folgt
\[\chi(m^{[n]}(x_1^{k_1},\dotsc,x_d^{k_d})) = \overline{m}^{[n]}(e_1^{k_1},\dotsc,e_d^{k_d}) = (\tfrac{k_1}{2^n},\dotsc,\tfrac{k_d}{2^n}).\] Hieran sieht man, dass $\chi$ surjektiv ist. Zur Injektivität: Wegen Lemmata 2 und 3 haben je zwei Elemente in $\langle x_1,\dotsc,x_d \rangle$ die Form
\[u = m^{[n]}(x_1^{k_1},\dotsc,x_d^{k_d}), \quad v = m^{[n]}(x_1^{k'_1},\dotsc,x_d^{k'_d}),\] also mit demselben $n$. Wenn sie dasselbe Bild in $D_d$ haben, gilt $\frac{k_i}{2^n} = \frac{k'_i}{2^n}$ für alle $i$, also $k_i=k'_i$ und damit $u=v$. $\checkmark$

Beweisalternative. Wir zeigen direkt die universelle Eigenschaft von $D_d$. Sei dazu $(X,m)$ eine beliebige Mittelpunkt-Algebra mit Elementen $x_1,\dotsc,x_d \in X$. Wir definieren die Abbildung
\[\chi : D_d \to X,\, (\tfrac{k_1}{2^n},\dotsc,\tfrac{k_d}{2^n}) \mapsto m^{[n]}(x_1^{k_1},\dotsc,x_d^{k_d}).\] Es gilt dann $\chi(e_i) = x_i$, und wir müssen nur die Homomorphie-Eigenschaft von $\chi$ zeigen; die Eindeutigkeit folgt aus $(\tfrac{k_1}{2^n},\dotsc,\tfrac{k_d}{2^n}) = \overline{m}^{[n]}(e_1^{k_1},\dotsc,e_d^{k_d})$. Seien $u,v \in D_d$. Dann können wir $u,v$ schreiben als
\[u = m^{[n]}(e_1^{k_1},\dotsc,e_d^{k_d}), \quad v = m^{[n]}(e_1^{k'_1},\dotsc,e_d^{k'_d}).\] Es folgt (wie im Beweis von Lemma 3 gesehen):
\[\begin{align*}
\chi(\overline{m}(u,v)) & = \chi(m^{[n+1]}(e_1^{k_1+k'_1},\dotsc,e_d^{k_d+k'_d})) \\
& = m^{[n+1]}(x_1^{k_1+k'_1},\dotsc,x_d^{k_d+k'_d}) \\
& = m(m^{[n]}(x_1^{k_1},\dotsc,x_d^{k_d}),m^{[n]}(x_1^{k'_1},\dotsc,x_d^{k'_d})) \\
& = m(\chi(u),\chi(v)). ~~~ \checkmark
\end{align*}\]
Korollar 5. Das "dyadische Einheitsintervall" $\IZ[\tfrac{1}{2}] \cap [0,1]$ ist die freie Mittelpunkt-Algebra auf den Erzeugern $0$ und $1$.

Bemerkung (zur Literatur). In der Arbeit "Cancellative medial means are arithmetic" von Sigmon werden sämtliche topologische Mittelpunkt-Strukturen auf $\IR^n$ bestimmt. Mehr zu topologischen Mittelpunkt-Algebren (die nicht notwendigerweise medial sind) erfährt man in der Dissertation "Topological means" von Sigmon. In der Arbeit "A universal characterization of the closed Euclidean interval" von Escardo-Simpson werden spezielle, unendlich-stellige Mittelpunkt-Algebren benutzt, um abstrakte konvexe Körper zu studieren und, wie der Titel schon sagt, eine universelle Eigenschaft des (kompletten) Einheitsintervalls zu geben. Es gibt viele Arbeiten, die sich mit Klassifikationen im unendlich-stelligen Fall beschäftigen, darunter "On mean values" von Aczel, "Sur la notion de la moyenne" von Kolmogoroff, "Über eine Klasse der Mittelwerte" von Nagumo, sowie "Abstract mean values" von Evans. Satz 4 habe ich nirgendwo in der Literatur gefunden, aber der Spezialfall Korollar 5 ist immerhin eine Bemerkung im Vortrag "Categorical axioms for functional real-number computation" von Escardo-Simpson und wird ebenfalls in ihrer Arbeit "A universal characterization of the closed Euclidean interval" als Folklore-Resultat ohne Beweis verwendet. Lemma 1 habe ich (nachträglich) in "The category $Cv_{D_0,N}$-Cmod and MP" von Röhrl gefunden.


Relationen des arithmetischen Mittels

Als Anwendung zeigen wir, dass das arithmetische Mittel reeller Zahlen wirklich nur die Axiome einer Mittelpunkt-Algebra erfüllt, sich also alle weiteren Relationen daraus ableiten lassen.

Satz 6. Es seien $T_1(X_1,\dotsc,X_d)$ und $T_2(X_1,\dotsc,X_d)$ zwei $d$-stellige Terme der Signatur $\{m\}$ mit $\mathrm{ar}(m)=2$. Angenommen, für alle $a \in \IR^d$ gilt
\[T_1^{(\IR,\overline{m})}(a_1,\dotsc,a_d) = T_2^{(\IR,\overline{m})}(a_1,\dotsc,a_d).\] Dann gilt dies bereits in jeder Mittelpunkt-Algebra. Insbesondere gilt es in der freien Mittelpunkt-Algebra $\langle x_1,\dotsc,x_d \rangle$, sodass also die Terme $T_1,T_2$ mit den Axiomen einer Mittelpunkt-Algebra ineinander überführt werden können.

Beweis. Es sei $A = \langle x_1,\dotsc,x_d\rangle$ die freie Mittelpunkt-Algebra mit $d$ Erzeugern. Wegen Lemmata 2 und 3 gibt es Darstellungen
\[\begin{align*}
T_1^A(x_1,\dotsc,x_d) &= m^{[n]}(x_1^{k_1},\dotsc,x_d^{k_d}),\\
T_2^A(x_1,\dotsc,x_d) &= m^{[n]}(x_1^{k'_1},\dotsc,x_d^{k'_d}),
\end{align*}\] wobei $k_1 + \cdots + k_d = k'_1 + \cdots + k'_d = 2^n$. Für $a \in \IR^d$ gibt es nach der universellen Eigenschaft von $A$ einen Homomorphismus $A \to (\IR,\overline{m})$ mit $x_i \mapsto a_i$, und es folgt zusammen mit der Annahme
\[m^{[n]}(a_1^{k_1},\dotsc,a_d^{k_d}) = m^{[n]}(a_1^{k'_1},\dotsc,a_d^{k'_d})\] bzw.
\[k_1 a_1 + \cdots + k_d a_d = k'_1 a_1 + \cdots + k'_d a_d.\] Setzt man hier $a = e_i$ ein, folgt $k_i = k'_i$. Dies zeigt also
\[T_1^A(x_1,\dotsc,x_d) = T_2^A(x_1,\dotsc,x_d).\] Durch Anwendung der universellen Eigenschaft von $A$ folgt dies bereits in jeder Mittelpunkt-Algebra. $\checkmark$

Anstelle von $\IR$ kann man hier ebenfalls $\IQ$, oder einfach $\IZ[\tfrac{1}{2}] \cap [0,1]$ nehmen.


Verallgemeinerung

Als Nächstes stellt sich die Frage, wie man allgemeiner das arithmetische Mittel
\[\overline{m}(a_1,\dotsc,a_q) = \frac{a_1+\cdots+a_q}{q}\] axiomatisieren könnte, wobei $q \in \IN^+$ fest sei. Das geht ziemlich genauso wie im Fall $q=2$, sodass wir keine Beweise mehr geben.

Definition. Eine $q$-stellige Mittelpunkt-Algebra $(X,m)$ besteht aus einer Menge $X$ und einer $q$-stelligen Verknüpfung $m : X^q \to X$, sodass gilt
– $m$ ist idempotent: $m(x,\dotsc,x)=x$.
– $m$ ist kommutativ: Für jede Permutation $\sigma \in \Sigma_q$ gilt $m(x_1,\dotsc,x_q) = m(x_{\sigma(1)},\dotsc,x_{\sigma(q)})$.
– $m$ ist medial: Für jede $q \times q$-Matrix $(x_{ij})_{1 \leq i,j \leq q}$ in $X$ gilt
\[m(m(x_{11},\dotsc,x_{1q}),\dotsc,m(x_{q1},\dotsc,x_{qq})) = m(m(x_{11},\dotsc,x_{q1}),\dotsc,m(x_{1q},\dotsc,x_{qq})).\] Es macht also keinen Unterschied, ob wir eine Matrix erst zeilen- und dann spaltenweise oder erst spalten- und dann zeilenweise abarbeiten.

Definition. Es sei $(X,m)$ eine $q$-stellige Mittelpunkt-Algebra. Für $n \geq 0$ definieren wir $m^{[n]} : X^{q^n} \to X$ rekursiv durch $m^{[0]} := \mathrm{id}_X$ und
\[m^{[n+1]}(x) := m^{[n]}(m(x_1,\dotsc,x_q),m(x_{q+1},\dotsc,x_{2q}),\dotsc).\] Lemma 7. Es sei $(X,m)$ eine $q$-stellige Mittelpunkt-Algebra und $n \in \IN$.
1. Es ist $m^{[n]}$ idempotent.
2. Es gilt
\[m(m^{[n]}(x_{1,1},x_{1,2},\dotsc),\dotsc,m^{[n]}(x_{q,1},x_{q,2},\dotsc)) = m^{[n+1]}(x_{1,1},x_{1,2},\dotsc,x_{q,1},x_{q,2},\dotsc).\] 3. Es ist $m^{[n]}$ ist kommutativ.

Lemma 8. Es sei $(X,m)$ eine $q$-stellige Mittelpunkt-Algebra und $x_1,\dotsc,x_d \in X$. Dann gilt
\[\langle x_1,\dotsc,x_d \rangle = \{m^{[n]}(x_1^{k_1},\dotsc,x_d^{k_d}) : n \in \IN,\, k \in \IN^d, \, k_1 + \cdots + k_d = q^n\}.\]
Satz 9. Das "$q$-adische Standard-$(d{-}1)$-Simplex"
\[D_d^q = \{(a_1,\dotsc,a_n) \in \IZ[\tfrac{1}{q}]^d : a_i \geq 0,\, a_1 + \cdots + a_d = 1\}\] mit der arithmetischen Mittelung $\overline{m}$ ist die freie $q$-stellige Mittelpunkt-Algebra auf den Erzeugern $e_1,\dotsc,e_d$.

Satz 10. Es seien $T_1(X_1,\dotsc,X_d)$ und $T_2(X_1,\dotsc,X_d)$ zwei $d$-stellige Terme der Signatur $\{m\}$ mit $\mathrm{ar}(m)=q$. Angenommen, für alle $a \in \IR^d$ gilt
\[T_1^{(\IR,\overline{m})}(a_1,\dotsc,a_d) = T_2^{(\IR,\overline{m})}(a_1,\dotsc,a_d).\] Dann gilt dies bereits in jeder $q$-stelligen Mittelpunkt-Algebra. Insbesondere gilt es in der freien $q$-stelligen Mittelpunkt-Algebra $\langle x_1,\dotsc,x_d \rangle$, sodass also die Terme $T_1,T_2$ mit den Axiomen einer $q$-stelligen Mittelpunkt-Algebra ineinander überführt werden können.

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