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Stern Mathematik: Lineare Algebra für Dummies
Freigegeben von matroid am Do. 03. Oktober 2002 18:08:50
Verfasst von matroid -   204035 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Lineare Algebra

Schon mehrmals wurde hier oder anderswo nach einem Buch mit dem Titel "Lineare Algebra für Dummies" gefragt.

In der Linearen-Algebra-Vorlesung begegnen Erstsemester der strengen Mathematik gewöhnlich zum ersten Mal. Sie (die Mathematik) gibt sich unzugänglich, bedeutungslos und unanschaulich.

Frage: "Muß das so sein?"
Antwort: "Aber ja, irgendwann und für alles gibt es ein erstes Mal!"
Gegenfrage: "Aha, und wie kann sich jemand jemals daran gewöhnen?"

Zur [pdf-Fassung dieses Artikels]



Wie gewöhnt sich ein Kleinkind daran, daß es nachts durchschlafen muß? Nur durch die deutlich gezeigte und konsequent verfolgte Absicht derjenigen, die ihm die Anerkennung dieser Regel angewöhnen wollen, hier: der Eltern.
Bis es (das Kleinkind) sich in die neuen Regeln eingelebt hat, dauert es bei dem einen 3 Tage, bei einem anderen auch schon mal länger (möglicherweise durch gelegentliche Zeichen von Nachgiebigkeit bei den Eltern ermuntert).

Da es das nachgefragte Buch nicht gibt, sollte man es schreiben.
Was muß denn drinstehen? Was ist ein Dummie? Sind alle Dummies gleich?

Wohl wissend, daß es vermutlich aussichtslos ist, wage ich einen Beitrag und stelle ihn zur Diskussion.
Das tue ich nicht, weil ich eine neue, bessere Methode für möglich oder zielführender halte, sondern allein zur Motivation für Studenten, die sich - zu Beginn des Studiums - plötzlich mitten in einem unerwarteten Erziehungsprozeß wiederfinden, und getröstet und unterstützt werden wollen.

Immerhin ist der Mensch um die 20 eher als das Kleinkind dazu bereit, sein Handeln und Denken auf ein ferneres Ziel als die nächste Fütterung auszurichten, und auch schwierige Perioden ohne Geschrei zu bewältigen, wenn er sein Ziel kennt und erreichen will.

Das Ziel heißt:
Mathematiker werden.

[Evtl. auch: Physiker/Lehrer/Ingenieur/Informatiker werden].
Motivation der Orientierunglosen ist das Ziel meines Versuchs.
In der Vorlesung Lineare Algebra gibt es viele Orientierungslose.

Auf eine beliebte Brücke von der Schule zur Linearen Algebra an der Universität, nämlich die Vektorgeometrie, werde ich den Leser nicht führen, denn auf dem neuen Ufer findet man nur mit Mühe etwas vorstellbare Geometrie. Auch wenn es auf dem neuer Ufer ein kleines Dorf gibt, dessen Bewohner in Sprache und Umgangsformen denen auf dem anderen Ufer (dem Schulufer) ähnlich sind, dann ist das eine Ausnahme. (Wer nach Peking reist und dort bei McDonalds ißt, der macht nach meiner Auffassung etwas falsch.)
Die Lineare Algebra an der Hochschule ist in ihrer überwiegenden Mehrheit Teil einer andersartigen Gesellschaft, deren Regeln und Formen man sich einfach angewöhnen muß.
Es geht ja nicht um soziokulturelles Untersuchen ("woher kommt das"), sondern um kulturelle Integration ("wie werde ich ein Teil davon").
Wer sich bei der ersten Frage aufhält, und auf sie die Antwort sucht, steht außen.
Wer dagegen Assimilation will, der muß mitten hinein.

Erste Regel: Keine Sinnfragen stellen, bevor man sie nicht selbst beantworten kann!
Zweite Regel: Du willst doch Mathematiker werden, oder? Also!
Einwand: Du sollst mir Mut machen und mich nicht entmutigen!
Antwort: Es müßte dich mehr entmutigen, wenn alle sagen, wie leicht es ist, und nur du kannst das nicht finden.


Teil 1: Vektorräume und Lineare Abbildungen

Die Formel "Einleitung-Hauptteil-Schluß" für eine elementare Gliederung ist uns genauso vertraut und antrainiert wie das rechts-links-rechts als Fußgänger im Straßenverkehr.

In der Mathematik heißt das grundlegende Prinzip: Definition-Satz-Beweis. Wie wird das geübt? Selbstverständlich durch Anwendung.

Ähnlich wie jede Aufgabe im Deutschunterricht der Einübung einer Technik dient, und jeder verwendete Text im Rahmen dieser Übung eine Funktion übernimmt, hinter der sein vordergründiger bzw. erkennbarer Inhalt zurücktritt, so ist es auch in der Mathematik. Das meiste diente, meistens und den meisten nur als Vehikel, an dem man üben kann. Mehr zunächst nicht!
Später gewinnt einiges für manchen eine Bedeutung aus der Sache heraus, das halte ich aber für Zufall.

Definition: Sei K ein Körper. Ein K-Vektorraum ist ein Tripel (V,+,*) bestehend aus einer Menge V, einer Verknüpfung + (Addition) und einer Verknüpfung * (Skalarmultiplikation), für die gelten:

fed-Code einblenden

Nach dieser Definition folgen Übungen mit folgendem Lernziel:
  1. Lernen, wie man die in einer Definition genannten Eigenschaften mathematisch einwandfrei nachprüft bzw. widerlegt.
    Anhand von Beispielen.
  2. Beispiele für einen definierten Begriff finden.
    Etwa: Die Menge der reellen Polynome vom Grad höchstens n ist ein IR-Vektorraum.
  3. Beispiele finden, die eine Definition nicht erfüllen.
    Etwa: Die Vereinigung zweier K-Vektorräume ist i.a. kein K-Vektorraum.
  4. Diese Beispiele und die verwendeten Argumentationsweisen fest im Kopf verankern.
    Auf solche Beispiele und Argumentationen wird später zunehmend selbstverständlich zurückgegriffen.
Frage: Was sind das denn für Beispiele? Wie kommt man jetzt auf Polynome? Und was ist so aufschlußreich an der Vereinigung von Vektorräumen? Wo sind die Zahlen?

Antwort: Es sind Beispiele, an denen geübt wird, wie man mit einer Definition umzugehen hat - sogar, wie Mathematik betrieben wird, eine Art Fingerübungen - wie auf dem Klavier: sie haben keinen Komponisten und niemand will sie isoliert oder ständig hören, aber in späteren Spielstücken kommt es einem zugute, wenn man die Grundlagen kennt und es wird erwartet, daß man die einmal erlernten Prinzipien auf andere Fragen übertragen kann.

Jede Analogie ist angreifbar, und da die Vorlesung nun schon 5 Minuten gedauert hat, muß es weitergehen im Stoff.

Definition: Ein Untervektorraum U eines K-Vektorraums (V,+,*) ist eine Teilmenge U c V, für die gilt:
fed-Code einblenden

Mathematiker geben allen betrachteten Gegenständen Namen, den Vektorräumen, den Elementen von Körpern, sogar den Regeln selbst. Das dient der Klarheit und Bezugseindeutigkeit aller Aussagen. Die Namensgebung folgt bestimmten Gewohnheiten. Eine dieser Gewohnheiten ist die Verwendung griechischer Buchstaben.
Das griechische Alphabet


Es hat sein Gutes, daß der Körper K nicht etwa V heißt. Allerdings: fed-Code einblenden

Nun dauert es noch 2 Minuten, und es wird einfach nur von einem Vektorraum V gesprochen, Es gibt keine Vektorräume ohne Verknüpfungen + und *, und solange es entweder nicht darauf ankommt, welche konkrete Addition und Multiplikation gemeint sind, oder es aus dem Kontext hervorgeht, welche Addition + und Multiplikation * gemeint sind, schreibt man gern kürzer.

Typische Aufgaben

Zur Systematik: Aufgaben sind je Kapitel numeriert. Die erste Aufgabe im Kapitel 1 hat die Nummer A1-1. Die Lösung zu dieser Aufgabe hat die Nummer L1-1.
Die Lösung Lx-y ist durchweg so knapp formuliert, wie es in der Vorlesung oder Übung normal ist. Kommentierungen zum Verständnis der Aufgabe und der Lösung gebe ich im Abschnitt Kx-y.

A1-1: Die Polynome vom Grad £ n bilden einen IR-Vektorraum.

L1-1 Sei Pn die Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten vom Grad £ n.
Für Elemente p und q aus Pn ist die Addition + definiert durch:
p = åi=0n aixi, q = åi=0n bixi

p + q := åi=0n (ai+bi)*xi


Die Multiplikation * eines Polynoms p mit einer reellen Zahl c ist definiert durch:
c*p := åi=0n (c*ai)*xi
Zu zeigen ist, daß (Pn,+,*) ein Vektorraum ist.
Mit den genannten Definitionen ist klar, daß p+q und c*p Elemente von Pn sind, denn durch beide Operationen erhöht sich der Grad des Polynoms nicht.
(Pn,+) ist eine abelsche Gruppe, weil die Addition für Polynome auf die Addition der reellen Koeffizienten in den Polynomen p und q zurückgeführt ist und für die reellen Zahlen die verlangte Gruppeneigenschaft bekannt ist.
Die übrigen Axiome rechnet man mit etwas Schreibaufwand, aber ohne Probleme nach. Beispiel:
1*p = 1* åi=0n aixi = åi=0n (1*ai)*xi = åi=0n ai*xi = p
Damit ist gezeigt, daß (Pn,+,*) ein Vektorraum ist.

K1-1: Am Anfang jedes Beweises steht eine Aufzählung der Voraussetzungen und es werden Namen für die im Beweis vorkommenden Dinge rekapituliert oder - wenn erforderlich - vergeben ("Sei Pn die Menge der Polynome ...").
Das hilft dem Leser und es hilft auch beim eigenen Denken. Diesen Anfang kann kann man schreiben, auch wenn man noch nicht weiß, wie es weitergehen wird. Mit dem richtigen Einstieg findet man dann oft den richtigen Weg.
Die gewählten Namen werden für den Rest des Beweises beibehalten. Namen werden nicht abgekürzt. Niemals P statt Pn schreiben, wenn Pn als Name festgelegt ist oder wurde.
Hängen Dinge von Parametern ab, wie hier von dem n, dann sollte der Name auch den Parameter enthalten.

Wesentliche Definitionen und Aussagen, werden im Beweis genannt oder referenziert (in dem Sinne, daß alle wichtigen Werkzeuge sichtbar auf dem Tisch liegen, bevor die Operation beginnt).
Die explizite Nennung der Definition für Addition und Multiplikation ist in dieser Aufgabe deshalb notwendig, weil ein Vektorraum ein Tripel bestehend aus einer Menge und zwei Operationen, genannt + und * ist. Man muß sagen, welches die Operationen sind, bzgl. derer Pn ein Vektorraum ist.

Zur genauen Unterscheidung einer definierten Gleichheit von der Gleichheit wird das Zeichen := statt des einfachen = verwendet. Zumindest am Anfang sollte man das immer auch im Schreiben genau unterscheiden.

Nach diesen Vorbereitungen folgt der Hauptteil des Beweises. Unter Verwendung der Definitionen für + und * werden die geforderten Eigenschaften nacheinander abgearbeitet. Auch wenn p+q bereits nach Definition ein Polynom mit reellen Koeffizienten vom Grad £ n ist, muß das im Beweis erwähnt werden (sonst denkt noch jemand, dieser Punkt sei vergessen worden).
Schreibarbeit gehört dazu (insofern ist der Beweis oben nicht vollständig. Neben 1*p = p müssen auch alle anderen Axiome nachgerechnet werden!).
Ein Beweis endet mit einer Formulierung, die das Ende des Beweises anzeigt.

Ein Beweis muß keine Beispiele enthalten und sollte es auch nicht. Beispiele hat man sich möglicherweise überlegt, um die Behauptung zu verstehen oder die Beweisidee zu finden. Im Beweis sieht man davon nichts.

Pn ist die Menge der reellen Polynome vom Grad £ n. Im allgemeinen haben zwei verschiedene Polynome aus Pn nicht den gleichen Grad. Diese Möglichkeit ist im Beweis eingeschlossen, denn als Koeffizienten ai kommt auch die 0 in Frage.

Warnung: Die Multiplikation * in einem K-Vektorraum ist eine sog. äußere Verknüpfung, d.h. Elemente von V werden mit Elementen einer anderen Menge (hier K) verknüpft. Eine innere Verknüpfung auf V ist dagegen eine Verknüpfung von zwei Elementen aus V. Die Additiion im Vektorraum ist eine innere Verknüpfung. Man überlege sich bitte, daß die Multiplikation zweier Polynome aus Pn i.a. nicht abgeschlossen ist, d.h. das Ergebnis ist nicht immer ein Element aus Pn.

A1-2: Wenn (V,+,*) ein K-Vektorraum ist, dann ist V nicht leer.

L1-2: Sei (V,+,*) ein K-Vektorraum. Nach [V3] ist (V,+) eine abelsche Gruppe. Nach den Gruppenaxiomen existiert in (V,+) das neutrale Element. Darum ist V nicht leer.

K1-2::Ok?



Definition: Ein Vektorraum, der nur das neutrale Element der Gruppe (V,+) enthält, heißt Nullvektorraum.
Das neutrale Element von (V,+) heißt als Element des Vektorraums angesehen: Nullvektor und wird mit 0 bezeichnet.



Diese 0 darf man nicht verwechseln mit der 0 aus K.

K ist ein Körper. Ein Beispiel für einen Körper ist IR, die Menge der rellen Zahlen.
Ein Körper ist eine Menge K mit Verknüpfungen + und *, für die (K,+) eine abelsche Gruppe und (K-{0},*) eine Gruppe ist. Jeder Körper hat mindestens zwei Elemente, nämlich das neutrale Element der Addition und das neutrale Element der Multiplikation. Diese werden mit 0 und 1 bezeichnet.

Es gibt einen Körper mit 2 Elementen, man nennt ihn IF2, sprich F2.

Verknüpfungstafeln für IF<sub>2</sub>

IF2 ist außergewöhnlich, weil in ihm 1+1=0 gilt. Körper mit dieser Eigenschaft nennt man "Körper der Charakteristik 2". IF2 begegnet man im Studium oft als Gegenbeispiel oder Ausnahme von der Regel. Immer wenn man etwas für Vektorräume beweisen soll, muß man sich überlegen, ob die Aussage auch für K = IF2 gilt. Falls nicht führt das zu Formulierungen wie "Sei V ein K-Vektorraum und K nicht von der Charakteristik 2, dann gilt ...".

A1-3: In einem K-Vektorraum (V,+,*) gilt 0*v = 0 für alle vÎV.

L1-3: Sei vÎV. Es ist nach [V4]: 0*v = (0+0)*v = 0*v + 0*v.
Außerdem ist 0*v = 0 + 0*v. Es folgt 0*v = 0.

K1-3: Ja, die 0 steht an verschiedenen Stellen für verschiedene Nullen.
Ich schreibe nun 0, wenn der Nullvektor gemeint ist und 0 für die 0 aus K.
Dann lautet der Beweis:
Sei vÎV. Es ist nach [V4]: 0*v = (0+0)*v = 0*v + 0*v.
Außerdem ist 0*v = 0 + 0*v, denn 0 ist das neutrale Element in der abelschen Gruppe (V,+). Es folgt 0*v = 0.
Diesen subtilen Beweis muß ich noch weiter erläutern. Der Trick ist, daß ein geeigneter Ausdruck auf zwei verschiedene, erlaubte Weisen dargestellt wird.
Die beiden Darstellungen müssen gleich sein ('müssen' als Zwang nicht als Forderung zu verstehen), also 0 + 0*v = 0*v + 0*v. Wäre 0 ungleich 0*v, dann könnte diese Gleichheit nicht gelten.



A1-4: Jeder Untervektorraum ist ein Vektorraum.

L1-4: Sei (V,+,*) ein K-Vektorraum und U ein Untervektorraum von V.
In U seien + und * die durch die Addition und Multiplikation in V induzierten Verknüpfungen von Elementen aus U.

Zeige, daß (U,+) eine abelsche Gruppe ist.
  1. Nach [UV2] ist U abgeschlossen bzgl. der Addition.
  2. Das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten für Elemente aus U, weil sie für Elemente ais V gelten und U Teilmenge von V ist.
  3. Nach [UV1] ist U nicht leer. Sei uÎU.
    Nach [UV3] ist 0 = 0*u Î U. 0 ist das neutrale Element in (V,+) und U enthält das neutrale Element.
  4. Das inverse Element zu uÎU liegt in U, denn nach [UV3] sind 1*u und (-1)*u in U. Nach [UV2] ist dann die Summe 1*u + (-1)*u aus U. u ist aus V, also gilt nach [V3], daß 1*u + (-1)*u = (1+(-1))*u = 0*u = 0. Damit ist gezeigt, daß (-1)*u das inverse Element zu u ist, und dieses auch in U liegt.
Damit ist (U,+) eine abelsche Gruppe.
Die Axiome [V2] gelten für Elemente aus U, weil sie für Elemente aus V gelten.
(U,+,*) erfüllt die Definition des Vektorraums.

Weitere Aufgaben:

A1-5: Der Nullvektorraum ist Untervektorraum jedes Vektorraums.

L1-5: Es sind die Bedingungen aus der Definition des Untervektorraums zu prüfen.

Der Nullvektorraum ist nicht leer, denn er enthält den Nullvektor. Damit ist [UV1] erfüllt, denn 0, der Nullvektor, ist in jedem Vektorraum V enthalten, weil (V,+) eine abelsche Gruppe ist.

Um [UV2] zu zeigen, seien u und v beliebig aus U. Weil U nur den Nullvektor enthält ist [UV2] erfüllt, wenn 0 + 0 = 0 gilt. Diese Eigenschaft ist aber erfüllt, weil 0 das neutrale Element aus der abelschen Gruppe (V,+) ist.

Sei cÎK und uÎU. Es ist u=0, denn andere Elemente enthält U nicht. Zeige c*0ÎU, d.h. c*0 = 0.
Für alle cÎK gilt: c*0 = c*(0+0) = c*0 + c*0. Außerdem (und andererseits) ist c*0 = 0 + c*0.
Es erfüllt also sowohl c*0 als auch 0 die Funktion des neutralen Elements in (V,+). Weil das neutrale Element in einer Gruppe eindeutig ist, gilt c*0 = 0.

K1-5: Frage: Ist die 0 wirklich in jedem Vektorraum enthalten? Handelt es sich denn immer um dieselbe 0?
Antwort: Ja, denn der Nullvektorraum ist hier ein Vektorraum ({0},+,*) und + und * sind die Verknüpfungen, die in V gelten.


A1-6: Der Durchschnitt von Untervektorräumen eines K-Vektorraums ist ein Untervektorraum.

L1-6: Sei V ein K-Vektorraum. Seien U1, ..., Un Untervektorräume von V. Der Nullvektorraum ist Untervektorraum jedes Vektorraums (A1-5). Jeder Untervektorraum ist ein Vektorraum (A1-4). Folglich enthalten alle Untervektorräume den Nullvektorraum, und der Nullvektorraum ist darum im Durchschnitt der Untervektorräume enthalten. Folglich ist der Durchschnitt von Untervektorräumen nicht leer und [UV1] ist erfüllt.

Seien u und v aus dem Schnittmenge der Ui, i=1,...,n.
Dann gilt für alle i=1,...,n, daß u,vÎUi.
Die Ui sind Untervektorräume, das bedeutet nach [UV2], daß u+vÎUi (für alle i=1,..,n).
Da u+v in allen Ui enthalten ist, ist es auch im Durchschnitt der Ui enthalten.
[UV2] ist damit erfüllt.
Mit analoger Argumentation zeigt man [UV3].

K1-6: Im Beweis wird die Definition des mengentheoretischen Durchschnitts verwendet.
Man scheue sich nicht, die kleinsten Gedankengänge ausführlich zu beschreiben. Nur so zeigt man in der Übung, daß man die Hintergründe wirklich verstanden hat.


A1-7: Die Vereinigung von Untervektorräumen eines K-Vektorraums ist i.a. kein Untervektorraum.

L1-7: Sei V = (IR²,+,*).
Sei U1 = {v=(x,y)ÎIR² | x+y = 0 }.
Sei U2 = {v=(x,y)ÎIR² | x-y = 0 }.
Zeige: W := U1ÈU2 ist kein Vektorraum, denn die additive Verknüpfung ist im allgemeinen nicht abgeschlossen in W.
Es ist u1 = (1,-1)ÎU1.
Es ist u2 = (1,1)ÎU2.
Die Summe u1+u2 = (1,-1) + (1,1) = (2,0) ist weder in U1 noch in U2. Nach der Definition der mengentheoretischen Vereinigung enthält also W das Element (2,0) nicht.
W ist kein Vektorraum.
Wenn W kein Vektorraum ist, dann ist es auch kein Untervektorraum.

K1-7: Zum Beweis von Nicht-Aussagen genügt schon ein Gegenbeispiel.
Es müßte noch gezeigt werden, daß U1 und U2 Untervektorräume sind.


Alle diese Aufgaben haben das Ziel, daß die definierten Strukturen verstanden werden und mit ihnen sicher umgegangen werden kann. Nicht zuletzt sind diese Aufgaben typisch für die Überlegungen, die man zu Beginn jeder Theorie mit neuen Begriffen anstellt.
Die Aufgaben enthalten keine Zahlen, und es wurde nichts ausgerechnet.

In einem Vortrag vor Schülern weist ein Professor auf die Unterschiede zwischen Schule und Studium hin:
"Nie wird man Ihnen eine derartige Formel vorlegen und Sie bitten Zahlen einzusetzen [...]; auch Beispiele werden nur ganz selten vorgerechnet - ich habe es vorhin gemacht, weil Sie das wohl von der Schule her gewöhnt sind [...]; von einem Mathematik-Studenten erwartet man, daß er sich selbst Beispiele überlegt, [...]."
Aus Eine Gleichung und viele Ungleichungen von C.M. Ringel, Bielefeld.


Definition: Eine geordnete Kollektion von Vektoren (v1,v2,...vk) eines K-Vektorraums V heißt Familie von Elementen aus V.

Ein vÎV heißt Linearkombination einer Familie von Vektoren, wenn es Zahlen ci aus K gibt, die nicht alle gleich 0 sind, so daß
v = c1*v1 + c2*v2 + ... + ck*vk
Definition: Eine Familie von Elementen eines K-Vektorraums V heißt linear unabhängig, wenn der Nullvektor keine Linearkombination dieser Familie ist.
Ist eine Familie von Elementen aus V nicht linear unabhängig, dann nennt man sie linear abhängig.


A1-8: Finde Beispiele für Familien von Vektoren des Vektorraums (P2,+,*) die:
  1. linear unabhängig
  2. linear abhängig
sind.


L1-8: Die Vektoren (1,x,x²) sind linear unabhängig, denn aus c1*1 + c2*x + c3*x² = 0 folgt c1 = c2 = c3 = 0.
c1*1 + c2*x + c3*x² = 0 bedeutet: das Polynom auf der linken Seite der Gleichung ist gleich dem Nullpolynom. Das Nullpolynom ist überall 0, also für alle x. Ein Polynom ist nur dann überall gleich 0, wenn alle seine Koeffizienten gleich 0 sind.

Die Vektoren (1,x,2+3x) sind linear abhängig, denn es ist c1*1 + c2*x + c3*(2+3x) = 0 erfüllt mit
c1 = 2, c2 = 3, c3 = -1.

K1-8: Pn ist schon aus Aufgabe A1-1 bekannt.
Hier geht es nicht darum Nullstellen für Polynome zu finden. Die geforderte Gleichheit soll für alle x aus IR gelten, nicht nur für einige wenige.


Obwohl die Mathematiker so genau sein wollen, verwenden sie doch ständig gleiche Symbole für verschiedene Dinge. Sie schreiben 0 und meinen mal die 0 aus K, mal den Nullvektor. Auch das + und das * haben nicht notwendig die Bedeutung, die man von den reellen Zahlen kennt. Die folgende Aufgabe soll das verdeutlichen:

A1-9: Sei V = P(n) die Potenzmenge einer n-elementigen Menge. Sei K = IF2 der Körper mit 2 Elementen {0,1}, in dem 1+1=0 und 1*1=1 gilt.
Definiere für Elemente v aus V eine Multiplikation durch:
1*v = v und 0*v = {}.
Ist (P(n),+,*) mit folgenden Additionen ein Vektorraum?
  1. u+v := uÈv
  2. u+v := uÇv
  3. u+v := uÈv - uÇv
Falls nein, sage warum?
Falls ja, bestimme alle linear unabhängigen Familien von (P(n),+,*) für n=3.


Solche Aufgaben sind wohl besonders verhaßt, muß man sich hier nicht nur mit den erwarteten neuen Begriffen herumschlagen, sondern bekommt gleich noch einige dazu (IF2). Manchmal sind die Übungen eben eine Erweiterung der Vorlesung. Andererseits: Wer garantiert im späteren Beruf, daß alle Begriffe, auf die man stößt, schon bekannt sind?

Versuch's mal, viel Zeit und ein wenig Suchen gehört dazu.

Fortsetzung folgt vielleicht

Dies ist bestenfalls ein Probekapitel.

Weitere Beiträge:
  1. Im Kapitel 1 (Vektorräume): Begriffe Basis, Dimension, Direkte Summen.
  2. Kapitel 2 (Lineare Abbildungen): Begriffe: Lineare Abbildung, Kern, Bild, Verbindung zwischen Linearen Abbildungen und Matrizen, Rang einer Matrix, Isomorphismen, Matrizenumformung.
  3. Kapitel 3: Determinanten.
  4. Kapitel 4 (Lineare Gleichungssysteme): Begriffe: homogen, inhomogen, Gauß-Algorithmus affine Unterräume,.
  5. Kapitel 5 (Eigenwerte): Begriffe: Endomorphismus, Eigenraum, Diagonalisierung, charakteristisches Polynom.
Mit diesen Themen ist im ersten Semester Lineare Algebra zu rechnen. Eine Mammut-Aufgabe.
Die Gliederung orientiert sich an G. Fischer, Lineare Algebra.


Beiträge und Meinungen dazu und Antworten auf die Frage: "Was wollen Dummies über Lineare Algebra wissen?" sind sehr erwünscht.

Matroid 2002

 
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" Stern Mathematik: Lineare Algebra für Dummies" | 51 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Lineare Algebra für Dummies
von Siah am Do. 03. Oktober 2002 19:18:43


Hi Matroid! Ich applaudiere!! Sehr fein! Mich trifft es nämlich im nächsten Sommersemester, und die obigen Ausführungen sind wirklich klasse und sollten deswegen weitergeführt werden.



Gruss Siah

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Friedel am Do. 03. Oktober 2002 22:40:11


Sorry. Ich kann damit nichts anfangen. Der Sinn des Textes bleibt mir völlig unklar. Nach dem ersten Drittel hab ich aufgehört zu lesen weil mir nicht klar wurde um was es überhaupt geht. Nicht die Tatsache, daß ich die mathematischen Zusammenhänge bei einzelnen Sätzen nicht verstehe war der grund dafür, ich sehe aber keinen Zusammenhang zuwischen den Sätzen. Mir ist völlig unklar, was der Text vermitteln will. Wozu wurde er geschrieben, bzw. wozu soll man ihn lesen?

Auch die Dialoge dazwischen tragen zur Verwirrung bei. Wer stellt die Fragen? Wer antwortet. Ich nehme mal den ersten Dialog als Beispiel:



Frage: "Muß das so sein?"

Antwort: "Aber ja, irgendwann und für alles gibt es ein erstes Mal!"

Gegenfrage: "Aha, und wie kann sich jemand jemals daran gewöhnen?"



Wer stellt die Frage wem und warum? Aus was bezieht sich das Wort "das"? Gibt es einen Bezug zwischen Frage und Antwort? Die Antwort ist doch nicht die Antwort auf diese Frage??? Und an was soll man sich gewöhnen? Daß es Mathematik gibt? Daß man in einer Vorlesung sitzt? Daß Erstsemester in der Linearen-Algebra-Vorlesung  der strengen Mathematik gewöhnlich zum ersten Mal begegnen?



Offensichtlich hab ich den Grundgedanken des Textes nicht erfasst.



Ich hoffe das enttäuscht dich nicht zu sehr. Ich weiß aus Erfahrung, daß es frustrierend ist, wenn man als Autor eines Textes feststellt, daß ein Leser die müham formulierten Gedanken nicht nachvollziehen kann.



P.S. Mit dem von dir zitierten "vertraut(en) und antrainiert(en) ... rechts-links-rechts als Fußgänger im Straßenverkehr" hab ich meine Probleme. Aber da dürfte ich eher die Ausnahme sein weil ich häufig zwischen Namibia (Linksverkehr) und Deutschland (Rechtsverkehr) pendle. Ihr als Deutsche solltet aber aus Gesundheitsgründen beim links-rechts-links bleiben. smile

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von DaMenge am Fr. 04. Oktober 2002 13:59:03


Genau !!
Mich dürfte das demnächst auch erwarten, also : DANKE!!!!!
Ich werde dann wahrscheinlich öfter Fragen im Forum stellen / beantworten.
C´ Ya
DaMenge

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von MutenRoshi am Fr. 04. Oktober 2002 15:37:01


Zu diesem Thema kann ich "Lineare Algebra" von Klaus Jänich wärmstens empfehlen. Dieses Buch ist eine Einführung in die Lineare Algebra und leicht zu verstehen. Also auch für "Dummies" zu verstehen.

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 23. Oktober 2002 11:04:47


Ist eigentlich gut verständlich.

bin 13er Mathe-Lk und da haben wir ebenfalls vektorräume mit beweisen gemacht. Hier wird das nur etwas ausführlicher gemacht.

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von sunshine82 am Fr. 01. November 2002 18:24:42


Ich finde eure Seite ist das Beste, was einem beim Mathestudium begegnen kann. So was hätte mir

das Leben vor gut 25 Jahren erheblich erleichtert.

(sunshine82 ist meine Tochter).Damals habe ich manchmal (oder eigentlich ständig) an meinem Verstand gezweifelt und war der Meinung,nur ich blicke nicht durch.Hilfe bei den Übungen hatten wir keine. Ich habe die LA - Vorlesung bei Gerd Fischer (siehe Buch) gehört, und eigenlich nur Bahnhof verstanden,  bis es irgenwann Klick gemacht hat und alles sonnenklar war.Ich kann euch alle nur ermutigen: haltet durch, irgendwann

habt auch ihr den Dreh raus, wie "echte" Mathematiker denken und dann könnt vielleicht ihr den Anfängern im Forum helfen.

Dickes Lob an die Profis unter euch. Ihr scheint Tag und Nacht am Computer zu verbringen, damit keiner mit seinem Problem alleine bleibt. Echt spitze. Macht ihr auch gut, dass ihr nicht gleich die komplette Lösung gebt, sondern einen Tipp, der weiterhilft.




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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_367 am So. 03. November 2002 15:05:19


Allein schon, weil ich ein "Fan" der Dummies-Bücher bin (man kann sie ohne große Konzentration lesen und verstehen, finde ich), würde ich mit einem LA für Dummies Band liebäugeln.

Allerdings habe ich die LA schon hinter mir und daher ein paar real existierend Bücher benutzen müssen, die die gedankliche Hürde zwischen Schul- und universitärer Mathematik nehmen sollte.

Dabei kann ich Howard Antons "Lineare Algebra" (Spektrum) und das "Gelbe Rechenbuch" (Binomi) empfehlen - zusätzlich zum Vorlesungsskript natürlich.

Ich bin mir nicht sicher, ob man Antons Werk noch bekommen kann. Ich selber fand es auf Ebay und die einfache Darstellung mit vielen Beispielen ist sicher für "Einsteiger" praktisch.

Allerdings sollte man, zumindest als Mathematiker, nicht ZU sehr an diesen Beispielen kleben und die Abstraktion erlernen. Das ging bei mir persönlich am besten mit dem sehr ausführlichem Skript.

Ebenfalls gut dafür ist Michael Artins "Algebra" (Birkhäuser).



Doch trotz all dieser Alternativen möchte ich ganz sicher nicht das "Projekt" erliegen sehen. Dafür sieht es zu interessant aus.

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von buenapersona am Sa. 09. November 2002 17:04:28


Hi! :-)



"Da es das nachgefragte Buch nicht gibt, sollte man es schreiben. Was muß den drinstehen?" (c)



Beispiele, Beispiele und noch mal Beispiele!!! smile Beispiele "aus Leben". Student muss sehen und verstehen, wozu er das studiert und wie er das anwenden kann. In diesem Buch muss man ständig  zwieschen "abstrakt" und "konkret" wechseln. Z.B. frag Studenten von 1-Semester, was eine lineare Gleichungssysteme ist! Du bekommst viele ausführliche richtige Antworten. Und jetzt frag, wie kann man das anwenden, welche (konkrete!) Probleme kann man damit lösen! Oder frag, ob jemand ein reelle Beispiel für Körper, Untervektorräumen usw. geben kann! Wieviel Antworten bekommst du? ...



Dasgleiche gilt für Vorlesungen in der Uni. Professoren machen eine Zusammenfassung vom Fischer's Buch und das war's. Wenn ich stelle eine Frage z.B. über Menge, dann bekomme ich Antwort : M sei eine Menge ... bla, bla, bla ... x c X ... bla, bla, bla ... y aus Vereinigung ....



Das sieht genauso aus, als ob ich Chinesisch lerne und frage, was "dieses" Zeichen bedeutet. Der Lehre beginnt mir das auf chinesisch zu erklären. :-))). Wenn ich diese Sprache beherrsche, dann werde ich ihn (Lehrer) verstehen. Und wenn ich ein Anfänger bin?! :-0



... Sonst dein Buch wird ein von vielen Büchern ...



MfG

buena persona



P.S. Sorry, mein Deutsch ist nicht perfekt. smile

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Martin_Infinite am Fr. 10. Januar 2003 20:27:39


Ich bin mehr für Analysis

und verstehe die unenlichste Wurzel pi von linearer Algebra.

Es ist verdammt zum kot...

Aber naja, irgendwann werde ich mich da, wie es

ausseiht, doch ransetzen müssen...

:[

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Fabi am So. 12. Januar 2003 12:20:28


@martin: Wenn du die unendlichste Wurzel pi von LA verstehst, verstehst du ja immerhin schonmal eins *g*. Das ist schon eine gute Vorraussetzung.

Gruß

Fabi


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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am So. 12. Januar 2003 18:16:49


Den Text finde ich Klasse!!! Gar keine Frage, endlich mal ein Text über Mathematik, der mit einem spricht! Da werden keine abgehobenen Formeln oder Schreibweisen hingemalt, wo man davor steht und nicht mal weiß, wie man das Zeug "lesen" soll, geschweige denn verstehen. Also, ich würde sofort ein Buch kaufen!!! Ich habe noch vierzig Tage bis zur Klausur, wir stecken mitten drin in der LA und fangen gerade mit den Determinanten an (keine Ahung, was das nun wieder ist...) aber dieser Text hier hat mir wieder Hoffnung gemacht! Danke, danke, danke!!!!

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 13. Januar 2003 21:57:04


Gibt es denn gar kein Buch indem alles von klein auf und gut verdstaändlich erklärt wird?

Es sollte schon bei der Erklärung jedem einzelnen Zeichen beginnen und wirklich auf jede Frage eine Antwort haben. So blöd sie auch sein mögen.

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Martin_Infinite am Sa. 15. Februar 2003 09:37:47


Ich verstehe keine Aufgabe von da oben, aber

ich kann mittlerweile ein bisschen mit

Vektoren und analyt. geometrischen Problemen

umgehen. Es kostet einfach Überwindung.

Es ist aber auch schwer...

Mein letzter Post gehört der Vergangenheit an.

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 28. April 2003 20:59:10


Auch ich habe extreme Schwierigkeiten mit der Linearen Algebra an den hiesigen Unis. Ich habe erst einmal von ganz unten angefangen. 1) Howard Anton : Lineare Algebra. 2)Beutelspacher L.A.(seine CD-ROM ist sehr zu empfehlen ). Ansonsten  "Perfer et obdura" (Halte durch und sei stark)

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 02. Mai 2003 20:30:27


Ich bin sehr dankbar für diesen Artikel. Auch wenn er SEHR KURZ ist !!! Gerade bei Basis Rang gehts doch erst los !!! Ich kann nicht verstehen warum soviel negative kritik geübt wurde. Gerade wegen der Versuche das Thema etwas "in die Realität" zurück zu holen. Sowas würde jeder Mathe Vorlesung gut tun !!! Was bringt es denn, wenn der Mathe Prof ums verrecken keine eifachen beispiele anführt, nur weil er sich dafür zu schade ist ? Ich kann es sagen : Studenten die monatelang vergebens nach einem simplen Beispiel fragen und am Ende gar den mut verlieren...

Weiter so !

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 28. Mai 2003 08:21:57


Hab auch eine Buchempfehlung:
  Lineare Algebra - Ein geometrischer Zugang
  von Farin/Hansford
Gabs bei uns neu in der Uni-Bibliothek und erklärt halt anschaulicher, weniger mit Formelanhäufungen und ist leicht zu verstehen (auf den Aha-Effekt hab ich bei manch anderen Büchern ewig gewartet.

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Re: Lineare Algebra für Dummies als pdf
von matroid am Di. 08. Juli 2003 22:00:34


Schon eine ganze Weile hat euklid an einer Latex-Fassung dieses Artikels gearbeitet.

Nun ist er fertig und man kann ihn hier im pdf-Format laden (136KB).



Vielen herzlichen Dank für diese Arbeit an Jan.(euklid)



Matroid

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von KingKong42 am Mi. 09. Juli 2003 01:37:19


Wunderbare Arbeit und @Euklid: schön geTaXed !!
Obwohl ich nicht mehr direkt darauf angewiesen bin, ist eine so elementare Klärung grundlegender Begriffe immer hilfreich. Ich denke, das ist ein Projekt mit Zukunft. Macht weiter so und unzählige Studenten werden Euch zu Füßen liegen.
Ich finde auch sehr gut, daß hinreichend auf die "überfachlichen" Dimensionen von Schreibweisen ect. hingewiesen wird, daran hat doch wohl jeder Ersti zu knabbern.
Ich habe aber auch was anzumerken: Ich bin jetzt schon seit Ende letzten Jahres auf dem Planeten und habe erst jetzt von diesem grandiosen und sehr ehrgeizigen Projekt erfahren. Dabei ist doch schon recht viel zustande gekommen. Könnte man nicht etwas penetranter darauf hinweisen, vielleicht auf der home-seite oder so ??? Würde sicher sowohl Fragestellern als auch Anwortern helfen durch eine leicht zugängliche Referenz.

Ansonsten nur weiter so !!!

Gruß KingKong

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von MastaGee am Fr. 08. August 2003 22:14:31


Habe von Dingen wie Vektorräumen und alldem, was man mit ihnen machen kann (man glaubes es mir oder nicht) zum ALLERERSTEN Male überhaupt gehört, als ich in meiner ersten Mathevorlesung saß. (hierbei besten Dank an meine Abimathelehrer)
Mit der festen Absicht, irgendwann mal Ingenieur zu werden, rannte ich mit meinen desolaten Mathekentnissen gegen eine flache Wand.

Bitte, mach weiter so!!!

*ZU FÜSSEN LIEG*

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Martin_Infinite am Fr. 15. August 2003 19:46:40


Mittlerweile ist mir klar geworden, wie einfach
die Theorie der linearen Algebra ist. Man muss
nur die Axiome parat haben und wissen, welche
erfüllt sein müssen. Und ein Zitat wollte ich
eigentlich nur loswerden, wie J.Dieudonné in
"Grundzüge der Analyis, Band 1" schrieb:

Es gibt kaum eine Theorie, die elementarer
ist, trotz der Tatsache, dass Generationen von
Professoren und Lehrbuchautoren die Einfachheit
dieser Theorie durch höchst unangebrachte
Rechnungen mit Matrizen verdunkelt haben.

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 12. September 2003 10:30:08


Die HTML-Version des Textes ist völlig unverständlich da all die mathematischen Zeichen verstümmelt sind.

Die PDF-Variante sieht aber sehr gut aus.
Wenn das für Dummies sein soll, müsste aber noch
erklärt werden wie die mathematischen Formeln zu
lesen sind, was all die komischen Zeichen der
Mengenlehre und so bedeuten.

Rolf

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Siah am Mi. 24. September 2003 23:57:32


Hi Rolf,

dass die Zeichen verstümmelt sind, liegt wahrscheinlich an deiner Softwäre, bzw an deinem Browser.

Gruss
Siah

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 13. Oktober 2003 18:03:16


öhm....ich suche Lineare Algebra für Vollidioten kann mir damit einer weiterhelfen? smile

Argh ich krieg zu viel Mathe ist nicht meine Welt.

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Anitram am Do. 04. Dezember 2003 08:13:39


Hallo, erstmal großes Lob an den Autor dieses Artikels. smile Frage: Ist es vielleicht möglich, die anderen Kapitel auch im pdf-Format zum download anzubieten? Habe nämlich sonst Probleme dies alles auszudrucken!

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 08. Dezember 2003 19:12:05


Hallo,

hat vielelicht einer eine Lösung für die letzte Aufgabe, A1-9?

Gruss

Til

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 08. Dezember 2003 19:17:23


Hallo,

an der Lösung zu Aufgabe A1-9 hätte ich auch Interesse.

Mfg

Sven

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 09. Dezember 2003 22:00:14


Hallo!

Weiter oben kam mal der Wunsch nach einem richtig guten Mathebuch auf, das viele Beispiele enthält und ständig zwischen "konkret" und "allgemein" wechselt. Ich weiß nicht, ob jemand das Buch "Lineare Algebra" von Seymour Lipschutz kennt. Dieses Buch ist in meinen Augen mit Abstand das beste Buch für die Grundlagen der LA, vielleicht sogar eins der besten Mathebücher überhaupt (zumindest aus Sicht eines Studenten).
Zu jedem Satz/Def. folgt direkt ein konkretes Beispiel, oft auch mit Zahlen. Trotzdem bleibt die Allgemeingültigkeit voll erhalten (bzw. sie wird durch die konkreten Beispiele erst richtig verständlich).In meinen Augen unterscheidet sich das Buch damit auch deutlich von den Klassikern wie Fischer, Beutelspacher etc.. Es hat halt einfach einen ganz eigenen, mir sehr angenehmen Stil.Also sehr zu empfehlen!Das Buch ist leider schon etwas älter und wird nicht mehr gedruckt. Wenn man Glück hat findet man schon mal eins bei Ebay oder bei Amazon gebraucht.Der Verlag heißt: Schaum.

Chriss

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von heron am Do. 14. Oktober 2004 22:51:05


WOW... ich hab das erste sem zwar schon hinter mir aber hut ab! hätte ich das nur damals gelesen wink grad von deiner gliederung könnten sich imho einige skripte/bücher was abschneiden...

gerade einemal herauszustellen, das es darum geht mathematiker zu werden (bzw. wie einer zu denken) find ich einen guten ansatz...  

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Neutrino am Mi. 23. November 2005 03:15:06


Danke!!!
Warum habe ich diesen Artikel nicht schon früher gefunden und gelesen???
smile
Neutrino

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von fortunate am Mi. 28. Dezember 2005 22:46:42


Genau das was ich gesucht habe... Genial erklärt...Es ist wirklich extrem motivierend etwas über LA zu lesen, dass man sogar versteht. Ich wollte nochmal großen Respekt aussprechen und mich bedanken für die große Hilfe. Weiter so.

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Konfuzius am So. 15. Januar 2006 11:25:55


Einfach ein toller Artikel. Ich lese ihn immer wieder gerne.

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Helixx am Do. 02. Februar 2006 23:46:03


hallo,

für jemanden wie mich, der ein absoluter Neuling in der Linearen Algebra ist und somit sicherlich zu den "Dummköpfen" gezählt werden darf, muss ich ehrlich sagen, dass ich am Anfang nicht sehr viel vom Artikel verstanden habe.

Inzwischen weiss ich worans vorallem gelegen hat:

Für Dummköpfe müssen unbedingt, bevor man mit Vektorräumen beginnt die grundlegensten algebraischen Grundstrukturen erklärt werden.

Z.B. steht bei der aller ersten Definiton im Artikel: "K ist ein Körper."

Als Dummkopf weiss ich vielleicht gerade was eine Menge ist. Aber was ist ein Körper? (Inzwischen weiss ich es wink

Daher sollte man vorher folgende Grundstrukturen erläutern bzw. kurz beschreiben

- Halbgruppen
- Monoide
- Gruppen
- kommutative/abelsche Gruppen
- Ringe
- Körper

Nicht nur, dass man jetzt was mit den Begriffen anfangen kann, sondern nun hat man auch schon ein wenig Eindruck mit dem Umgang der Linearen Algebra bekommen.


Gruß
Helixx

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Martin_Infinite am Fr. 03. Februar 2006 03:40:20


Hi Helixx,
 
nun, bei diesem Artikel wird vorausgesetzt, dass man weiß, was ein Körper ist (die Definition wird lediglich vor der Verknüpfungstafel für F2 wiederholt). Die von dir genannten algebraischen Strukturen stehen nicht im Mittelpunkt der LA, sondern es sind die Vektorräume, und die wurden hier untersucht. Und für diese muss man zunächst einmal nicht wissen, was ein Monoid, eine Gruppe und ein Ring ist, ja es könnte sogar den anfangs(!) bereits hohen Abstraktionsgrad noch weiter erhöhen.

 Gruß
Martin
 
PS @ Konfuzius: Das hat für sich, immer wieder denselben Artikel zu lesen ... ;-))

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 17. Februar 2006 14:17:55


Hi!!  Wer will mir bitte helfen?? Ich hab, U=(1,1,0,2),V=(0,1,1,1)
T=(1,-1,-2,0),S=(1,0,-1,1),P=(1,1,0,1)

C=lin{U;V;T) und D=lin{S;P}

Es ist zwar klar, dass U lineare kombination von V;T ist. Wieso ist den jetzt die lösung von CnD=lin{S}?? Wie soll ich auch C+D rechnen??

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 21. März 2006 11:48:49


klasse artikel
wann ist das buch denn fertig?
gruß

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 26. April 2006 00:07:11


Finde ich alles toll.


A1-3
0*v ist nach Streichregeln (+ DistributivG.) = 0 € V.


A1-8
> > ... vorherige Def. ...
> Das Nullpolynom ist überall 0, also für alle x.
*hust* - Was bedeutet "für alle x" ? - Einsetzen war doch garnicht angesagt... Sollte man nicht mehr machen, als definiert?
"Überall" ist bis dato "komponenten-weise".

Tatsächlich ist es IMHO in den (n+1) Koeffizienten =0, das muß per Vgl. reichen, damit ist p=q (wie oben) komponentenweise erklärt.

> Ein Polynom ist nur dann überall gleich 0, wenn
> alle seine Koeffizienten gleich 0 sind.

Yup. - p=q :<=> p(x) = q(x) für alle x;
erleidet Schiffbruch in IF_2 (werteweise) ... x^2 = x f.a.

cu *irritiert*

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Martin_Infinite am Mi. 26. April 2006 06:20:01


@Anonymus: Das ist die typische Verwechslung von Polynom und Polynomfunktion ... x^2 ist als Polynomfunktion über F2 mit x identisch, aber natürlich nicht als Polynom. Polynome sind fast schon per definitionem genau dann gleich, wenn ihre Koeffizienten übereinstimmen. Deine anderen Anliegen kann ich nicht entziffern wink

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 05. Mai 2006 10:11:01


vielen Dank

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 14. August 2006 11:20:54


wenn es dieses buch gibt wird es sich sicher gut verkaufen

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 15. August 2006 20:40:51


wow ich kann es kaum erwarten bis dieses buch herauskommt

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 02. Januar 2007 17:17:46


"[...]Da es das nachgefragte Buch nicht gibt, sollte man es schreiben.[...]"


Inzwischen hat das wohl tatsächlich jemand getan, denn ein Buch Lineare Algebra für Dummies existiert tatsächlich:



Lineare Algebra für Dummies

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von matroid am Di. 02. Januar 2007 18:49:55


Das war einmal zu erwarten.
Es ist aber jedem klar, daß das Buch mit der hiesigen Artikelreihe nichts gemein hat und vice versa.

Gruß
Matroid

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 01. Oktober 2007 22:52:52


Super Artikel. Ich kann die Meinung von Friedel nicht nachvollziehen, denn ich kenne genug Leute, die durch das Mathematikstudium im Lehramt einfach durchmarschieren, das auch mit guten Noten, aber die Meinung haben, dass man das alles gar nicht für die Schule braucht. Sie werden anscheinend nicht genug auf die Kerngedanken der Mathematik getrimmt, sowas wie eine Dreiecksungleichung taucht aber in der Tat in der 7. Klasse in anschaulicher Form auf. LGS braucht man in der Elektrotechnik bei der Netzwerkanalyse... usw....
Verbesserungsvorschläge:
Die Wichtigkeit der Algebra geht nicht ganz hervor. Das war am Anfang meines Studiums mein größtest Problem, ich habe das alles unterschätzt. Vielleicht sollte man in dem Artikel (wie Vorredner sagten) auf die Grundstrukturen, wie Ringe eingehen, denn aus den Strukturen resultieren gewissermaßen auch Rechenregeln. Ein Beispiel dafür sei ein Polynom zweiten Grades aus dem Z_8 (Restklassering modulo 8). Wenn man sich über die Struktur nicht im KLaren ist führt eine Linearfaktorzerlegung durch und stellt evtl. fest, dass das Polynom zwei Nullstellen hat, durch nachrechnen bekommt man aber 4. Wie kann das? Z_8 ist kein Integritätsring und daher kann man aus a*b=0 nicht folgern a=0 oder b=0.
Sowas wäre noch ganz gut. Erst durch sowas habe ich die Algebra richtig verstanden. Vielleicht noch etwas über Prozesse und Modellierung mit Graphen und Matrizen - das wäre mehr als anschaulich. So kann man auch die Matrixmultiplikation motivieren bzw einführen.

Für alle, die ein paar (reelle) Beispiele zur Mathematik brauchen:
Die Mathematikbücher aus der Lambacher-Schweizer-Serie von Klett für den Leistungskurs sind sehr gut für Studenten der ersten Semester geeignet. Dort findet man vieles aus der Realität, z.T. Sätze und Beweise aus den VL, etc.
Und für alle, die darüber hinaus sind: Schaum-Bücher. Die sind teuer, aber oftmals in den Uni-Bibliotheken vorhanden!

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Pana am Do. 13. November 2008 12:52:36


Hey matroid,
Dein Script ist Super und hilft mir sehr. Danke.
Aber wo bleiben die Basis, Dimension und Direkte Summe (kapitel 1).
Ich finde die nicht. Hast du etwas darueber geschrieben?

Gruss,
Pana

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von matroid am Do. 13. November 2008 15:32:50


Hi Pana,

Du hast Recht, dieser Teil ist nie geschrieben worden. Na so was, das wundert mich jetzt selbst. Jetzt will ich aber nichts versprechen ...

Gruß
Matroid

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Re: Lineare Algebra für Dummies - Fehler
von GrafAlge am Fr. 22. Januar 2010 17:20:14


Die hier gegebene Definition von "Linearkombination" ist irreführend.
Tatsächlich wird die "nichttriviale Linearkombination" definiert - aber leider nicht so genannt. Daraus resultieren (beispielsweise) Probleme, wenn man zu den Begriffen Erzeugendensystem oder Basis kommt.
Normalerweise sollte ja jeder Vektor eines Vektorraums als Linearkombination einer Basis darstellbar sein - das geht für den Nullvektor aber nur mit trivialer LK.
Auch der gern bewiesene Satz: "Vektoren sind linear abhängig gdw. einer von ihnen als Linearkombinationen der anderen darstellbar ist." gilt mit Ihrer Definition nicht mehr (zB. für die drei Vektoren (1,0), (0,1) und (0,0)).

Der Fehler ist auch im Buch enthalten!!!

Ich finde die Gestaltung der Webseite unübersichtlich - hab einige Zeit gebraucht um den Artikel und die Kommentarfunktion zu finden.

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von kostja am Fr. 22. Januar 2010 19:48:16


Hallo GrafAlge und fühle Dich herzlich willkommen auf dem Matheplaneten.

Der Matheplanet bietet einerseits für den erfahrenen Benutzer viele Möglichkeiten, ist aber andererseits (leider) für viele Neuankömmlinge zu unübersichtlich und scheinbar kompliziert.

In diesem Artikel wird definiert:
Ein vÎV heißt Linearkombination einer Familie von Vektoren, wenn es Zahlen ci aus K gibt, die nicht alle gleich 0 sind, so daß

    v = c1*v1 + c2*v2 + ... + ck*vk

Definition: Eine Familie von Elementen eines K-Vektorraums V heißt linear unabhängig, wenn der Nullvektor keine Linearkombination dieser Familie ist.
Ist eine Familie von Elementen aus V nicht linear unabhängig, dann nennt man sie linear abhängig.


Damit ist aber auch Null eine Linearkombination, denn sei v aus V beliebig, so ist 0 = v - v.

Den vielfach gern bewiesenen Satz konnte ich in diesem Artikel nicht finden.

Das Buch hat mit diesem Artikel nichts zu tun!

Gruß
Konstantin

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Nochmal Linearkombinationen
von GrafAlge am So. 24. Januar 2010 23:14:40


Sorry Konstantin,
aber Deine Antwort ist ziemlich falsch.
Wie lange hast Du über meinen Text nachgedacht? Manchmal sind auch Neulinge qualifiziert - man kann sie auch ernst nehmen. Also:

1.
> Das Buch hat mit diesem Artikel nichts zu tun!
Doch - der Artikel ist ein Kapitel im Buch "Mathematisch für Anfänger" - dort habe ich den Fehler gefunden und deshalb mühsam diese Webseite gesucht - das schrieb ich ja schon. Dass hier automatisch ein irreführender Titel des Kommentars erzeugt wird, ist nicht meine Schuld - kommt wohl aus der URL der Webseite.

2.
> Damit ist aber auch Null eine Linearkombination, denn
> sei v aus V beliebig, so ist 0 = v - v.
Das ist Unsinn. Natürlich darf man bei Linearkombinationen jeden Vektor nur einmal benutzen - sonst wäre jede Vektormenge auf diese Weise linear abhängig.
Das ist genau das, was ich bemängelt habe: Eine Basis wäre dann gleichzeitig abhängig und unabhängig.

3.
> Den vielfach gern bewiesenen Satz konnte ich in diesem Artikel
> nicht finden.
Ja eben. Beim Versuch ihn zu beweisen, wäre der Fehler dem Autor sicher aufgefallen. Der Satz findet sich in (fast) jedem Buch zur Linearen Algebra - gleich nach der Definition der linearen Abhängigkeit.

Kannste glauben.



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Re: Lineare Algebra für Dummies
von William_Wallace am Mi. 05. Mai 2010 23:38:09


Jetzt doch schon 8 Jahre alt der Artikel. Alle Achtung. Gibt es das Buch jetzt eigentlich schon? Laut Rezensionen von Amazon nicht direkt. Was in dem Buch drinkommen sollte ist einfach.
Klar müssen Studenten die Sprache der Mathematik lernen. Mein Englischlehrer meinte immer, ich solle nicht immer übersetzen, sonst würde ich nie lernen, englisch zu denken. Deswegen fand ich die Einleitung mit der Erziehung ziemlich passend. Lineare Algebra ist abstrakt. In solch einem Buch, sollte nicht irgendetwas übersetzt drinstehen (mathematisch in vorstellbar), weil man eben nicht übersetzen kann. Vielmehr sollte drinstehn, wie man damit umgeht, wie man auf Beweise kommt. In einem normalen LinAlg-Buch geht man davon aus, dass studenten wissen, dass man mathematik nur durch übung und erfahrung lernen kann. "Dummies" sind meines Erachtens Menschen, die sich schwer tun, zwischen den Zeilen zu lesen. Also sollte in solch einem Buch keine Anleitung sein, die beschreibt was zu tun ist, sondern eher sehr genaue Umschreibungen der einzelnen Fachbegriffe, und das ganze auf mathematisch. So entsteht aus einer Aufgabe (auf mathematisch) eine Aufgabe (ebenfalls auf mathematisch), die vllt 10mal so lang ist, aber dafür, kann der student im Gehirn, mehr Assoziationen bilden, und kommt eher drauf worum es geht. Und vorallem
sollte klipp und klar erwähnt werden, dass man davon kommen muss, sich irgendetwas vorzustellen. Es muss dem Zögling(Student)klar sein, dass es kein Gebot(Vektorraum) zum Anfassen gibt, sondern dass es darauf ankommt, dass das Gebot Informationen(Eigenschaften) erzeugt, mit denen man versuchen kann, zu lernen damit umzugehen und in ethische Probleme (Aufgaben) einzubauen, um eine Lösung zu finden.
So lernt man vllt schnell, dass eine völlig neue Welt kommt. Eine Welt mit Regeln, die man erstmal lernen muss, um dann damit spielerisch Probleme lösen bzw. Lösungen konstruieren zu können.
Philosophen nützen ihre Gedanken dafür, den Sinn der Spielsteine zu hinterfragen. Mathemaiker nehmen den die Spielsteine so wie sie sind, und versuchen, aus den gegebenen Informationen eine Lösung zu finden. Wie ein Puzzle smile

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Slash am Do. 07. April 2016 21:11:33


Seit 2012 bei Amazon erhältlich: Lineare Algebra für Dummies

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Re: Lineare Algebra für Dummies
von Martin_Infinite am Do. 07. April 2016 23:01:42


@Slash: Das Buch gibt es seit 2006 (siehe Kommentare oben).

@matroid: Die Formeln im Artikel müssten überarbeitet werden. Sie werden nicht richtig angezeigt.

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