Die Mathe-Redaktion - 21.08.2017 21:28 - Registrieren/Login
Auswahl
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden oder den Newsletter bestellen.

Der Newsletter Apr. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 242 Gäste und 23 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
Mathematik: Beweis einfacher Rechengesetze
Freigegeben von matroid am Sa. 26. Oktober 2002 22:37:48
Verfasst von DaMenge -   58968 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik

Die Gesetze der Addition und Multiplikation
der natürlichen Zahlen

Es werden die Gesetze in folgender Reihenfolge bewiesen:
  1. Kommutativgesetz der Addition
  2. Assoziativgesetz der Addition
  3. Kommutativgesetz der Multiplikation
  4. Distributivgesetz
  5. Assoziativgesetz der Multiplikation
     



Voraussetzungen:

Natürliche Zahlen:

N:= { 0, 1, 2, ... , n, .. }

Peano-Axiome:

(i) N besitzt ein erstes Element, genannt 0.
(ii) zu jedem Element $nin         extbf{N}$ gibt es genau einen Nachfolger $n^{*}$.
(iii) 0 besitzt keinen Vorgänger.
(iv) zu jedem $nin         extbf{N} , n eq 0$ , gibt es einen Vorgänger $n_{0}$, so dass: $(n_{0})^{*}=n$
(v) Wenn $N_{0}subseteq         extbf{N}$ eine Teilmenge ist, für die gilt: $0 in N_{0}$ und: $forall n in N_{0} Rightarrow n^{*} in N_{0}$,
so ist $N_{0} = textbf{N}$.

Bezeichnungen:

$1:=0^{*};quad 2:=1^{*}$ usw.
Definition: Addition in N:
$n+0:=0qquad n+1:=n^{*}qquad n+k^{*}:=(n+k)^{*}$
Definition Multiplikation in N:
$ncdot 0=0cdot n=0qquad ncdot 1:=nquad$
egin{displaymath}forall kin         extbf{N}: quad ncdot k:=underbrace{n+n+...+n}_{k - mal}end{displaymath}
Schaukel-Lemma: $qquad n+k^{*}=n^{*}+kqquadqquad forall; n,kin        extbf{N}$
Beweis durch Induktion nach $k$.

Induktionsanfang: $P_{0}: n+0^{*}=n^{*}+0quadmbox{ ist wahr, weil }$
$qquadqquadqquadmbox{ nach Definition: } n+0^{*}=(n+0)^{*}=n^{*}quadmbox{ und }quad n^{*}+0=n^{*}$
Induktionsschluss von $P_{k}: n+k^{*}=n^{*}+kquadmbox{ zu }quad P_{k^{*}}: n+(k^{*})^{*}=n^{*}+k^{*}$
         egin{eqnarray*} n+(k^{*})^{*}&=&(n+k^{*})^{*}qquadhfill (mbox{wegen Def. vo... ...x{ ist wahr und }quad n+k^{*}=n^{*}+kquadmbox{ bewiesen !} end{eqnarray*}

Beweise:

Lemma 1:
egin{displaymath}n+0=0+nqquadqquad forall; nin         extbf{N}end{displaymath}
Beweis durch Induktion nach $n$:
Induktionsanfang: $P_{0}: 0+0=0+0qquadmbox{ ist wahr}$
Induktionsschluss von $P_{n}: n+0=0+nquadmbox{ zu }quad P_{n^{*}}: n^{*}+0=0+n^{*}$
egin{eqnarray*} n^{*}+0&=&n+0^{*}hfill (mbox{wegen grqq Schaukelgrqq Lemma... ...}}!mbox{ ist wahr und }quad n+0=0+nquadmbox{ bewiesen !} end{eqnarray*}
Korollar 1: Aus der Definition von '+' (,in der gesagt wird, dass $n+0:=n$,) und Lemma 1 folgt:
         $n+0=n=0+nquadforall; nin         extbf{N}$


zu I: $quadmbox{ Behauptung: } m+n=n+mqquadqquad forall; m,nin         extbf{N}$
Beweis durch Induktion nach m:
         $P_{0}quad:quad n+0=0+nqquadmbox{ ist wahr (Lemma 1)}$
Induktionsschluss:
         $P_{m}!Rightarrow! P_{m^{*}}quadmbox{ bzw. }quad n+m=m+nquadRightarrowquad n+m^{*}=m^{*}+n$
egin{eqnarray*} n+m^{*}&=&(n+m)^{*}=(m+n)^{*}=m+n^{*}hfill (mbox{wegen Def. ... ...}}!mbox{ ist wahr und }quad n+m=m+nquadmbox{ bewiesen !} end{eqnarray*}





zu II: $quadmbox{ Behauptung:} (l+m)+n=l+(m+n)qquadqquad forall; l,m,nin         extbf{N}$
Beweis durch Induktion nach m:
         $P_{0}quad:quad (l+0)+n=l+n=l+(0+n)qquadmbox{ ist wahr (Korollar 1)}$
Induktionsschluss:
         $(l+m)+n=l+(m+n)quadRightarrowquad (l+m^{*})+n=l+(m^{*}+n)$



egin{eqnarray*} (l+m^{*})+n&=&(l^{*}+m)+nquadhfill (mbox{wegen grqq Schauk... ...x{ ist wahr und }quad (l+m)+n=l+(m+n)quadmbox{ bewiesen !} end{eqnarray*}





Lemma 2:
         egin{displaymath}ncdot 1=1cdot nqquadqquad forall; nin        extbf{N}end{displaymath}




Beweis durch Induktion nach $n$:

         $P_{0}quad:quad 0cdot 1=1cdot 0qquad$ ist wahr (Def. von '$cdot$' )
Induktionsschluss:

         $P_{n}!Rightarrow! P_{n+1}quadmbox{ bzw. }quad ncdot 1=1cdot nquadRightarrowquad (n+1)cdot 1=1cdot (n+1)$



egin{eqnarray*} (n+1)cdot 1&=&n+1=ncdot 1 +1quadhfill (mbox{wegen Def. vo... ... ist wahr und }quad ncdot 1=1cdot nquadmbox{ bewiesen !} end{eqnarray*}
Korollar 2: Aus der Definition von '$cdot$' (,in der gesagt wird, dass $ncdot 1:=n$,) und Lemma 2 folgt:

         $ncdot 1=n=1cdot nquadforall; nin         extbf{N}$

zu III: $quadmbox{ Behauptung : } mcdot n=ncdot mqquadqquadforall; m,nin         extbf{N}$
Beweis durch Induktion nach m:

         $P_{1}quad:quad ncdot 1=1cdot nqquadmbox{ ist wahr (Lemma 2)}footnotemark $

         $P_{n}!Rightarrow! P_{n+1}quadmbox{ bzw. }quad ncdot m=mcdot nquadRightarrowquad ncdot (m+1)=(m+1)cdot n$
         egin{eqnarray*} ncdot (m+1)&=&underbrace{n+ldots +n}_{(m+1)mbox{ - mal}}q... ... ist wahr und }quad mcdot n=ncdot mquadmbox{ bewiesen !} end{eqnarray*}




zu IV: $mbox{ Beh.: } acdot (b+c)=acdot b+acdot cqquad forall; a,b,cin         extbf{N}$ (Induktion nach a)
         $P_{0}quad:quad underbrace{0cdot (b+c)}_{0}=underbrace{0cdot b}_{0}+underbrace{0cdot c}_{0}qquadmbox{ ist wahr (Def. von '$cdot$')}$

         $P_{a}!Rightarrow! P_{a+1}quadmbox{ bzw. }quad acdot (b+c)=acdot b+acdot cquadRightarrowquad (a+1)cdot (b+c)=(a+1)cdot b+(a+1)cdot c$



egin{eqnarray*} (a+1)cdot (b+c)&=&underbrace{(a+1)+ldots +(a+1)}_{(b+c)mbo... ... }quad acdot (b+c)=acdot b+acdot cquadmbox{ bewiesen !} end{eqnarray*}





Korollar 3: Aus dem Kommutativgesetz der Multiplikation und dem Distributivgesetz folgt:

         $acdot (b+c)=(b+c)cdot a=acdot b+acdot cquadforall; a,b,cin         extbf{N}$

zu V: $mbox{ Behauptung: } (acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)qquad forall; a,b,cin         extbf{N}$ (Induktion nach b)
         $P_{0}quad:quad underbrace{(acdot 0)}_{0}cdot c=acdotunderbrace{(0cdot c)}_{0}qquadmbox{ ist wahr (Def. von '$cdot$')}$
         $P_{b}!Rightarrow! P_{b+1}quadmbox{ bzw. }quad (acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)quadRightarrowquad (acdot (b+1))cdot c=acdot ((b+1)cdot c)$

         egin{eqnarray*} (acdot (b+1))cdot c&=&(acdot b + acdot 1)cdot cquadhfil... ...ad (acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)quadmbox{ bewiesen !} end{eqnarray*}


DaMenge 2002



Link auf diesen Artikel Link auf diesen Artikel  Druckbare Version Druckerfreundliche Version  Einen Freund auf diesen Artikel aufmerksam machen Weitersagen Kommentare zeigen Kommentare  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Interessierte Studenten :: Reine Mathematik :: Architektur der Mathematik :: Mathematik :
Beweis einfacher Rechengesetze [von DaMenge]  
Beweis der Rechengesetze der natürlichen Zahlen anhand der Peano-Axiome.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
Verwandte Links
 
Besucherzähler 58968
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 11964 externe Besuche zwischen 2017.08 und 2017.08 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
http://matheplanet.com630.5%0.5 %
http://google.de695358.1%58.1 %
http://google.ru8777.3%7.3 %
http://google.fr152212.7%12.7 %
http://google.nl5975%5 %
http://google.se6475.4%5.4 %
http://google.it3743.1%3.1 %
http://google.sk1801.5%1.5 %
http://google.lu1791.5%1.5 %
http://google.es1070.9%0.9 %
http://matheraum.de470.4%0.4 %
http://google.lv290.2%0.2 %
http://www.cosmiq.de250.2%0.2 %
http://vorhilfe.de190.2%0.2 %
http://r.duckduckgo.com180.2%0.2 %
http://de.answers.yahoo.com150.1%0.1 %
http://www.bing.com1751.5%1.5 %
http://www.ecosia.org200.2%0.2 %
http://images.google.de30%0 %
http://172.16.20.1:191030%0 %
http://suche.t-online.de90.1%0.1 %
http://adguard.com20%0 %
http://search.conduit.com170.1%0.1 %
http://www2.delta-search.com20%0 %
http://forum.alltopic.de20%0 %
http://start.facemoods.com20%0 %
http://search.snapdo.com30%0 %
http://de.yhs4.search.yahoo.com50%0 %
http://go.findrsearch.com10%0 %
http://localhost:888810%0 %
http://suche.web.de90.1%0.1 %
http://192.168.25.252:191010%0 %
http://www.benefind.de10%0 %
http://start.mysearchdial.com40%0 %
http://de.images.search.yahoo.com10%0 %
http://de.search.yahoo.com120.1%0.1 %
http://avira-int.ask.com20%0 %
http://duckduckgo.com10%0 %
http://search.searchcompletion.com30%0 %
http://www.searchmobileonline.com20%0 %
http://ecosia.org60.1%0.1 %
http://www.enhanced-search.com10%0 %
http://metager.de10%0 %
http://de.ask.com10%0 %
http://search.babylon.com20%0 %
http://isearch.avg.com10%0 %
http://www.delta-search.com10%0 %
http://isearch.babylon.com20%0 %
http://suche.gmx.net10%0 %
http://search.sweetim.com20%0 %
http://search.incredibar.com20%0 %
http://173.194.70.9410%0 %
http://74.125.39.9910%0 %
http://de.search-results.com10%0 %
http://start.iminent.com20%0 %
http://avira.search.ask.com10%0 %
http://int.search.myway.com20%0 %
http://www.blackle.com10%0 %
http://at.search.yahoo.com10%0 %
http://search.foxtab.com10%0 %

Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
Insgesamt 56 Aufrufe in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2017.08.01-2017.08.21 (51x)https://www.google.de/
2017.08.04-2017.08.17 (5x)https://www.google.at/

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 11602 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2012.10 (877x)http://google.ru/url?sa=t&rct=j&q=distributiv beweis
201401-10 (763x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=
2012.11 (759x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=beweis assoziativgesetz in h
2013.10 (673x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=rechengesetzte mit beweisen
2014-2015 (597x)http://google.nl/url?sa=t&rct=j&q=
2015-2017 (572x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2013.11 (513x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vollständige induktion beweis kommutativge...
2012.04 (448x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CC4QFjAB
2012.05 (417x)http://google.se/url?sa=t&rct=j&q=russische multiplikation vollständige indu...
2012.02 (378x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&sqi=2&ved=0CCIQFjAA
2012.01 (374x)http://google.it/url?sa=t&rct=j&q=beweis der multiplikation
2013.04 (328x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeige multiplikation ist assoziativ
2012.12 (320x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=regeln matrizentransposition beweis
2013.01 (308x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wie kann ich assoziativgesetz beweisen
2012.06 (297x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CGEQFjAA
2012.09 (230x)http://google.se/search?q=mathematischer beweis von 2+2=4
2012.07 (198x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=verträglichkeit mit der addition beweis
2015.04 (184x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=5&ved=0CDQQFjAE
2013.12 (183x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=kommutativgesetz der multiplikation beweis
2015.01 (180x)http://google.sk/url?sa=t&rct=j&q=
2012.03 (179x)http://google.lu/url?sa=t&rct=j&q=multiplikation von idealen ist assoziativ
2014.04 (172x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CCoQFjAA
2014.05 (169x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CDUQFjAC
2015.11 (154x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=7&rct=j&q=multiplikation axiom beweis
2012.08 (152x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=rechengesetze brücke terme
2014.12 (138x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=8&ved=0CC8QFjAH
2014.06 (125x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CCYQFjAB
2013.05 (121x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=rechengesetze mit größtem element
2013.03 (117x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=tricks mit kommutativgesetz
2013.02 (114x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=vollständige induktion assoziativgesetz mu...
2013.06 (107x)http://google.es/search?q=beweis distributivgesetz natürliche zahlen
2015.05 (105x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CCYQFjAD
2015.10 (101x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&rct=j&q=beweis assoziativgesetz
2014.09 (101x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CCAQFjAA
2014.03 (90x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=peano axiome beweise
2015.06 (90x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CBwQFjAAahUKEwix_q-g8YfGAhUrAX...
2013.07 (89x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=natürliche zahlen kommutativ beweis
2014.02 (87x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=Beweis Kommutativgesetz
2014.07 (85x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CCQQFjAC
2013.08 (74x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CBUQFjAB
2013.09 (70x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=multiplikation mit null als gesetz
2015.07 (55x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CCQQFjAB
2015.12 (54x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&rct=j&q=beweis distributivgesetz
2014.08 (52x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CBwQFjAA
2017.01 (48x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=kommutativgesetz multiplikation beweis
2016.01 (47x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=7&rct=j&q=distributivgesetz mathemati...
2012-2015 (46x)http://matheraum.de/forum/Beweis_vollstaendige_Induktion/t344905
2016.05 (32x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&rct=j&q=assoziativgesetz der multip...
2017.04 (29x)http://google.lv/
2016.04 (26x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=7&rct=j&q=natürliche zahlen peano ax...
2015.09 (25x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&rct=j&q=kommutativgesetz beweis
2012-2017 (25x)http://www.cosmiq.de/qa/show/2813836/wie-beweist-man-in-der-Mathematik/
2016.06 (25x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=5&rct=j&q=beweis des distributivgeset...
2016.02 (22x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&rct=j&q=beweis kommutativgesetz mul...
2012-2014 (19x)http://vorhilfe.de/forum/Beweise_von_Axiomen/t194528
2013-2015 (15x)http://r.duckduckgo.com/l/?kh=-1
2014.01 (12x)http://de.answers.yahoo.com/question/index?qid=20140107083233AAXMFmV
2016.03 (8x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&rct=j&q=multiplikation mit 0 beweis
2012-2013 (7x)http://www.bing.com/search?q=beweis distributivgesetz&form=MOZSBR&pc=MOZI
2013.10 (6x)http://www.bing.com/search?q=beweis assoziativ gesetz multiplikation&form=OPR...
2013-2015 (6x)http://www.bing.com/search?q=Vollständige Induktion Kommutativgesetz der Mul...
2013.10 (4x)http://www.ecosia.org/search?q=Beweis Kommutativgesetz mulitplikation

[Seitenanfang]

" Mathematik: Beweis einfacher Rechengesetze" | 28 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von CyCeVa am So. 27. Oktober 2002 14:14:17


Ich hab glaube ich einen Tippo gefunden.



Ganz am Anfang steht:



n + 0 := 0



Sollte es nicht



n + 0 := n heißen?



Gruß CyCeVa

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von matroid am So. 27. Oktober 2002 14:35:25


Besten Dank an DaMenge für die Ausarbeitung dieser Beweise.



Den Tippfehler habe ich berichtigt.



Viele Grüße

Matroid

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von CyCeVa am So. 27. Oktober 2002 15:50:25


Muss auch mal großen Lob an den Autor geben. Schön kompakt und verständlich :D



Danke Gruß CyCeVa

(gleich mal gebookmarket)

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von DaMenge am Mo. 28. Oktober 2002 13:33:29


Uups , der Tippo sollte natürlich nicht so sein!

Das passiert, wenn man beim Schreiben bzw. TeXen "The very Best of Beach Boys" hört!

Da kann man sich nicht 100%ig konzentrieren !

thx for correction.

DaMenge

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 01. November 2002 10:08:37


Hallo !

Grossen Dank zuerst mal an DaMenge für die ausführlichen und klar verfassten Beweise !



Bei der Definition der Multiplikation hab ich ein seltsames Gefühl. Wird da nicht indirekt die Assoziativität der Addition vorausgesetzt, wenn man mehr als 2 Terme addiert ohne Klammern?

Könnte man die Multiplikation nicht anders definieren, z.B.:

n.0=0.n:=0

n.1:=n

n.k*:=(n.k)+n


 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von DaMenge am Fr. 01. November 2002 16:07:44


Hallo Anonymer,



Erstens muss ich sagen, dass mein Prof die Multiplikation so eingeführt hat, ich das aber eher begrüße, denn die obige Definition ist ja gerade die einleuchtende, die wir seit Kinder-Tagen haben : wenn ich 3 Äpfel habe, dann sind das so viel wie 3 mal einen Apfel (wenn man von idealen Äpfeln ausgeht).



Und zum Thema Assoziativgesetz : Versuch es doch mal mit den obigen Definitionen zu beweisen, ohne Distributivgesetze etc. zu verwenden - ich meine damit, dass gerade das Assoziativgesetz schwierig aus den Definitionen folgt, weil man alles Andere vorher noch beweisen musste !



Ich werde mir mal Gedanken zu "deiner" Definition der Multiplikation machen..

Aber es ist schön zu hören, dass dieser Artikel geholfen hat

MFG

DaMenge

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 23. Oktober 2003 13:17:42


Ich finden die Beweise gut und einleuchtend. Jedoch konnte ich damit nicht so viel anfangen, da ich die Beweise im Hinblick auf die reelen Zahlen suche!

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von FlorianM am So. 07. August 2005 20:18:39


Diesen Artikel habe ich beim Durchstöbern gefunden und muss sagen, dass er sehr ausführlich und gut verständlich geschrieben ist.

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Ex_Mitglied_40174 am So. 19. März 2006 19:57:11


weiß jemand den mathematischen beweis von 2+2=4?

 [Bearbeiten]

2+2=4
von fru am So. 19. März 2006 20:32:31


fed-Code einblenden

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Martin_Infinite am So. 19. März 2006 20:44:23


@Franz: Ich erkläre es gerade im Chat ...
Nachtrag: Er scheint es verstanden zu haben wink

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 17. Mai 2006 22:12:49


Guten Abend DaMenge,

ich habe Schwierigkeiten mit dem Peano-Axiom (iv).
Setze (0)*=((0)*)*=...=1.

Wo liegt der Denkfehler?

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von matroid am Mi. 17. Mai 2006 22:30:07



Axiom (iv) besagt: es gibt nur ein Element, das nicht der Nachfolger eines anderen ist, und das ist (bzw. nennt man) 0.

(0)* ist der Nachfolger der 0.
((0)*)* ist einerseits der Nachfolger des Nachfolgers der 0 und andererseits der Nachfolger von (0)*.

Evtl. mußt Du die Frage genauer stellen?

Gruß
Matroid

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 17. Mai 2006 22:47:13


Genauere Formulierung

Wie hindert mich Axiom (iv) daran alle Nachfolger der Null
gleichzusetzen.
So dass letztlich die Menge N nur die Elemente {0,(0)*}
enthält?

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von matroid am Mi. 17. Mai 2006 23:05:38



Stimmt, das scheint nicht ausgeschlossen zu sein. Müßte man also in (iv) ergänzen: 'gibt es genau ein'?

Ich frage mal in die Runde!

Gruß
Matroid

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 17. Mai 2006 23:12:16


Vielen Dank.

Bin gespannt auf die Antwort.

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Martin_Infinite am Do. 18. Mai 2006 01:23:31


Ja. Bei einer Peano-Stuktur fordert man die Injektivität der Nachfolgerfunktion. Ansonsten erhält man, wie du schon gesehen hast, den pathologischen Fall {0,0*}, und die Isomorphie der Peano-Strukturen ist auch nicht mehr gegeben.

 [Bearbeiten]

Kann die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen gleich 2 sein ?
von fru am Do. 18. Mai 2006 01:30:22


fed-Code einblenden

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 18. Mai 2006 10:33:58


Danke für euer Interesse !

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 20. April 2007 13:45:39


cool  cool cool, dass sie so eine Seite eingerichtet haben!!!

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Ex_Mitglied_40174 am So. 01. Juli 2012 06:56:31


Mir kommt es so vor, als würde für den Induktionsschluss zum Beweis von
       <math>n + 0 = 0 + n</math>

unter anderem Folgendes als wahr angenommen:
       <math>(n + 0)* = (0 + n)*</math>

Aber dann bräuchte man doch keine Induktion für den Beweis?
Das folgt doch direkt aus den Axiomen.

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von fru am So. 01. Juli 2012 08:31:02


Hallo Anonymer!

(n+0)*=(0+n)* ist an dieser Stelle nur eine einfache Folgerung aus der Induktionsannahme n+0=0+n.

Diese Folgerung gründet sich darauf, daß die Nachfolgerfunktion eine Funktion ist (sodaß also durch sie jeder natürlichen Zahl genau eine natürliche Zahl zugeordnet wird:
Aus a=b folgt dann a*=b*.


Liebe Grüße, Franz

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Hans-Juergen am So. 01. Juli 2012 14:59:46


Hi DaMenge,

ich bin kein großer Freund von solchen ausgedehnten Beweisen (bin auch kein Mathematiker); doch wenn einer wie dieser hier präsentiert wird, seien folgende Fragen erlaubt:

Was bedeutet in (i) "ein erstes Element"?
N ist nach der Notation eine Menge, und bei dieser kommt es nicht auf die Reihenfolge ihrer Elemente an. Man könnte also z. B. auch {5,10,2,1,3, ...} schreiben, ganz abgesehen davon, daß die anschließende Verwendung der drei Punkte, die wohl andeuten sollen, daß es sinngemäß "immer so weiter geht", in anderen Bereichen der Mathematik nicht gern gesehen ist.

Wenn (i) gilt: warum ist dann noch (iii) nötig?

Und was heißt überhaupt "Vorgänger" und "Nachfolger": wo werden diese Begriffe definiert/erklärt?

Ich bitte, mir das Vorstehende und mein Unverständnis nicht übelzunehmen.

Viele Grüße,
Hans-Jürgen


 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Gockel am So. 01. Juli 2012 16:03:07


@Hans-Jürgen:

@i "erstes" ist hier dekorativ. 0 ist zwar das kleinste Element von IN (und daher tatsächlich das erste in der natürlichen Ordnung), aber das ist nicht Teil der Definition.
@iii "Nachfolger" wird in ii definiert. Die Funktion, die dort mit * bezeichnet wird, ist die Nachfolgerfunktion. n ist umgekehrt der Vorgänger von m, wenn m*=n ist.

mfg Gockel.

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Bernhard am Mo. 02. Juli 2012 01:50:41


Hallo Gockel!

Ich bin auch erst jetzt auf diesen Artikel gestoßen und will noch eine Frage zu Deiner Antwort auf Hans-Jürgen anschließen.

Könnte man nicht die Definitionen i) und iii) zusammenzufassen und nach der Erklärung der Nachfolgefunktion in ii) zu schreiben:

fed-Code einblenden

Das müßte doch genügen, oder?

Viele Grüße, Bernhard

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Gockel am Mo. 02. Juli 2012 15:24:48


Nein, das wäre ja noch schwächer. iii fordert wenigstens, dass genau ein Element ohne Vorgänger existiert, deine Formulierung lässt beliebig viele solcher Elemente zu.

mfg Gockel.

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 03. Juli 2012 13:36:14


Hallo Gockel!

Wieso?
Vorher steht doch:
fed-Code einblenden
fed-Code einblenden
Ist hiermit dasselbe gemeint wie:
fed-Code einblenden

So hatte ich es jedenfalls verstanden.
Damit wäre die - ununterbrochene - Kette der Elemente definiert und daraus ergibt sich, daß es nur ein Element geben kann, das nicht selbst Nachfolger ist.

Viele Grüße, Bernhard

 [Bearbeiten]

Re: Beweis einfacher Rechengesetze
von Gockel am Di. 03. Juli 2012 14:08:59


Dann hast du es falsch verstanden. Der Punkt ii meint genau das, was da steht und nichts anderes. Dass es genau einen Nachfolger für jedes Element gibt, heißt  nichts anderes als dass die Nachfolgerfunktion eben wirklich eine Funktion ist. Wie diese Funktion aussieht, wird (noch) nicht gesagt.
iii fordert z.B., dass 0 nicht im Bild ist. iv fordert, dass ihr Bild genau <math>\mathbb{N}\setminus\lbrace 0\rbrace</math> ist.

Mit dem Induktionsaxiom kann man beweisen, dass das Bild der Nachfolgerfunktion <math>\mathbb{N}</math> oder eben <math>\mathbb{N}\setminus\lbrace 0\rbrace</math> ist. (Insbesondere ist Axiom iv überflüssig, wenn man das Induktionsaxiom hat)

mfg Gockel.

 [Bearbeiten]

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2017 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]