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Rätsel und Spiele: Das Dreieck im Quadrat
Freigegeben von matroid am Mi. 29. Januar 2003 22:39:37
Verfasst von matroid -   10464 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Spiele+Rätsel

Das Dreieck im Quadrat

Gegeben sei das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a. Dem Quadrat wird ein gleichseitiges Dreieck BEF so einbeschrieben, daß eine Ecke mit Punkt B zusammenfällt und die beiden anderen Ecken sich auf den Seiten AD und CD befinden.

PIC

Abbildung 1: Skizze zur Aufgabenstellung



In der Ecke A befindet sich der Berüherungskreis k1 mit Radius r. Er tangiert die beiden Quadratseiten AB, AD sowie die Dreickseite BF.
Weiterhin befinde sich in der Ecke D der Berüherungskreis k2 mit dem Radius R. Er berühert die Quadratseiten AD, CD und die Dreieckseite EF.

Berechne die Radien r, R der Berüherungskreise in Abhängigkeit
von a!





eine Aufgabe von Peter G. Nischke, Berlin
gestellt von Ingmar Rubin
[matheraetsel.de]
28. Januar 2003


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Das Dreieck im Quadrat [von matroid]  
Gegeben sei das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge a. Dem Quadrat wird ein gleichseitiges Dreieck BEF so einbeschrieben, daß eine Ecke mit Punkt B zusammenfällt und die beiden anderen Ecken sich auf den Seiten AD und CD befinden.
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" Rätsel und Spiele: Das Dreieck im Quadrat" | 9 Kommentare
 
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Re: Das Dreieck im Quadrat
von bubeck am Do. 30. Januar 2003 06:24:37


Kreis1:

aus Symmetriegründen ist der Winkel ABF= 15°

Zeichne eine Linie von B nach M1 (Mittelpunkt Kreis 1). Winkel ABM1= 7,5° (die Hälfte von 15). In diesem rechtwinkligen Dreieck stellst Du jetzt auf:

tan7,5°= r/(a-r) jetzt noch ein wenig umformen:

r= a/(1/tan7,5°+1)

Kreis2:

AF = a*tan15°   Winkel DFE = 45° Linie einzeichnen von F nach M2 (Mittelpunkt Kreis 2). Winkel DFM2 = 22,5° .In diesem Rechtwinkligen Dreieck stellst Du jetzt auf:  

tan22,5°=R/(a-R-a*tan15°)

nach umstellen erhälst Du:

R=(a-a*tan15°)/(1/tan22,5°+1)



Take care!

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Re: Das Dreieck im Quadrat
von Eckard am Do. 30. Januar 2003 08:02:23


Warum immer gleich mit der Trigonometrie-Kanone schießen? Das kriegen auch schon Achtklässler mit elementarer Geometrie raus:



Aus Kongruenzsatz SSW folgt, dass das Dreieck BAF kongruent zum Dreieck BCE ist, und daraus, dass DEF gleichschenklig-rechtwinklig ist.



Sei BE=BF=x. Dann ist AF=CE=sqrt(x^2-a^2) und demzufolge DE=DF=a-sqrt(x^2-a^2). Nach Voraussetzung ist dann EF=x=sqrt(2)*DE. Das eingesetzt und aufgelöst, ergibt



x = a sqrt(8-sqrt(48)).



Den Radius eines Inkreises berechnen wir nach

r = A / s, wobei A der Flächeninhalt und s der halbe Umfang des Dreiecks ist, also



r = 2 [BAF] / (AF + a + x) = a*sqrt(8-sqrt(48))/(1+sqrt(8-sqrt(48))+sqrt(7-sqrt(48))



Ebenso erhalten wir R.



Das war nichts weiter als Pythagoras, die Flächeninhaltsformel eines Dreiecks und der Satz über gleich lange Tangentenabschnitte (versteckt in A = r s).



Gruß Eckard

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Re: Das Dreieck im Quadrat
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 30. Januar 2003 21:51:25


Frage: Sind die Kreise, im Bild, die sogen. Ankreise???



Grüßle

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Re: Das Dreieck im Quadrat
von Eckard am Fr. 31. Januar 2003 07:44:49


Nein, das sind echte Inkreise. Ankreise liegen von "außen" am Dreieck an, d.h. sie berühren die Verlängerungen der Dreieckseiten, so wie im folgenden Bild dargestellt:





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Re: Das Dreieck im Quadrat
von psychiater am Di. 04. Februar 2003 22:48:11


Ich hatte gedacht, dass sich hier mehr melden, hier mal meine Lösungen:



R=(sqrt(3)-1)(2-sqrt(2))a/2

r=(sqrt(12-sqrt(3))-sqrt(6)+sqrt(2))a/2



der psychiater

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Re: Das Dreieck im Quadrat
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 18. Februar 2003 09:23:34


Die Radien sind ja nun schon berechnet

aber Frage:

warum verhält sich der Abschnitt CE zu CD so dass

(CD-2*CE)/CE=Wurzel(3) ???

bzw.

(1-2*tan(15°)/tan(15°)=Wurzel(3) ???

Die Spiegelung des Dreiecks um die Senkrechte teilt die Strecke CD in diese Abschnitte.

Kann das leider nicht zeigen.



Schön ist auch dass die Winkel FED=45°,FEB=60°,BEC=75°

sich verhalten wie 3:4:5 Pytagoräisches Tripel






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Re: Das Dreieck im Quadrat
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 18. Februar 2003 09:29:25


Übrigens scheint es für ein gleichseitiges Dreieck nur eine Lage zu geben, so dass alle drei Ecken das Quadrat berühren.

Gilt das auch für alle anderen derartigen Schachtelungen, von 4-Eck in 5-Eck, 5-Eck in 6-Eck usw. und warum?


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Re: Das Dreieck im Quadrat
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 18. Februar 2003 09:50:20


Für 4-Eck in 5-Eck scheint es keine Lage zu geben, so dass alle 4 Ecken das 5-Eck berühren.



---------------------------------------------------------------------------------




Sollte es schon geben:



- das 5-Eck so drehen, das eine Seite parallel zur Grundlinie ausgerichtet ist

- diese Seite sei begrenzt durch die Punkte A und B

- die Senkrechten in A schneidet das 5-Eck in D, die Senkrechte in B ebenso in C

- für das resultierende Rechteck gilt: Strecke AB < Strecke BC

- eine Parallel zu AB schneidet das 5-Eck in A' und B'

- die Senkrechten durch A' und B' schneiden das 5-Eck in D' und C'

- nun gilt: A'B' > AB und B'C' < BC

- je weiter weg die Parallele zu AB ist um so grösser ist A'B' und um so kleiner B'C'

- und es gibt dann auch eine Abstand, bei dem dann A'B' gleich B'C' ist



(dlchnr)




---------------------------------------------------------------------------------




Jetzt hab ich noch 'nen Link gefunden:

Figuren+im+Fünfeck;


Und wenn ich mir die Zeichnung anschaue - "x?"  - wer wohl ganz interessant, mal
"x" zu berechnen!




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Re: Das Dreieck im Quadrat
von Michelson am Do. 03. April 2003 19:21:03


Hier noch eine Lösung für R, die aber nicht sehr elegant ist:

Dazu werden Trigonometrie und der Satz des Phytagoras verwendet.

R ist gleich der Diagonalen von dem Quadrat a^2 minus der Diagonalen von dem Quadrat R^2 minus der Höhe des Dreiecks FBE.

Diagonale von a^2 => sqrt(2)*a
Diagonale von R^2 => sqrt(2)*R
x => a/cos(15°)
h(x) => sqrt(3/4)*x

R = sqrt(2)*a - sqrt(2)*R - sqrt(3/4)*a/cos(15°)
auf R aufgelöst:
R = (sqrt(2)*a - sqrt(3/4)*a/cos(15°)) / (sqrt(2) + 1)

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