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Stern Mathematik: Über Darstellende Matrizen
Freigegeben von matroid am Di. 18. Februar 2003 22:25:50
Verfasst von Siah -   517680 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Lineare Algebra


Lineare Algebra für Dumme, Kap. 2
 
Kapitel 2: Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen zwischen endlich-dimensionalenVektorräumen bezüglich verschiedener Basen
 

Hallo zusammen,

ich möchte mich in diesem kleinen Abschnitt mit einem wohl oft zu unrecht als "kompliziert" verschrieenen Thema der linearen Algebra befassen. Wie schon aus der Überschrift zu erkennen, soll es um die verschiedenen Darstellungsformen linearer Abbildungen (Homomorphismen, strukturerhaltende Abbildungen) zwischen Vektorräumen gehen.

Da ich pädagogisch leider in keiner Weise geschult bin, bitte ich im Voraus um Entschuldigung für ungewollte, beziehungsweise didaktisch nicht wertvolle gedankliche Sprünge, Unzulänglichkeiten bei Erklärungen und Wortarmut (ich bin auch leider rhetorisch nicht geschult). Gleichzeitig bitte ich von allen Seiten um Verbesserungsvorschläge inhaltlicher, äußerer Art, und um Fehlerbeseitigung.

 

Inhalt

- Lineare Abbildungen
- Homomorphismen
- Bild und Kern
- Dimensionsformel
- Injektivität und Surjektivität
- Wo bleiben die Matrizen?
- Lineare Abbildung am Beispiel
- Darstellung linearer Abbildungen am Beispiel
- Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen bezüglich verschiedener Basen
- Abbilden mit einer Darstellenden Matrix
- Berechnung der Darstellenden Matrix am Beispiel
- 5-Schritt-Verfahren zum Rechnen mit Darstellungsmatrizen
- Zu komplizert?
- Basisänderung
- Rang einer linearen Abbildung
Trennlinie

Ich setze voraus, mit folgenden Begriffen umgehen zu können:

Vektorraum, Erzeugendensystem, Basis, Dimension, Abbildung, Matrix, Matrizenmultiplikation, Gauss-Algorithmus.


Lineare Abbildungen

Definition: Lineare Abbildung
Eine Abbildung f: V->W zwischen Vektorräumen heißt linear, wenn sie additiv und homogen ist. Axiomatisch ausgedrückt bedeutet das, dass sie den folgenden Gleichungen genügen muss:
Additivität: f(x+y) = f(x) + f(y)
Homogenität: f(a*x)= a* f(x)
Aus diesen Axiomen folgt, dass jede lineare Abbildung mindestens das Nullelement des Definitionsraums auf das Nullelement des Zielraums abbildet, denn:
f (0) = f (0+0) = f (0) + f (0)
also haben wir
f (0) = f (0) + f (0).
Subtrahieren wir auf jeder Seite f (0), kommen wir auf:
0 = f (0),
was zu zeigen war. qed. Eine solche lineare Abbildung heisst "strukturerhaltend=homomorph". Siehe den nächsten Abschnitt.

Bemerkung: Ich möchte gleich zu Anfang eine Warnung geben: Vorsicht, das hier ist die Definition der linearen Abbildung in der linearen Algebra! Sie ist nicht übertragbar, und erst recht nicht äquivalent zu der Definition der linearen Abbildung der Analysis! Dort heißen Abbildungen linear, wenn ihr Graph eine "Linie" ist. Das heißt, eine Analysis-lineare Abbildung ist nur dann auch LA-linear, wenn ihr Graph durch den Ursprung geht, sonst nicht! Ich persönlich bin mit dieser Diskrepanz in der Nomenklatur derart fundierter Begriffe recht unglücklich, aber wer bin ich, darüber zu urteilen?

Homomorphismen

So, jetzt könnte man denken: "Ja, jetzt haben wir ne super Definition, und wissen, dass die Null immer auf die Null abgebildet wird, wissen auch dass wir zwischen dem Begriff in der LA und der Analysis unterscheiden müssen, aber wieso heißt denn eine solche Abbildung "strukturerhaltend", und was bedeutet überhaupt das Wortungetüm "Homomorphismus"?

"Homo" heißt "gleichartig" und "morph" heißt "Struktur", also bedeutet es soviel wie "strukturerhaltend". Irgendwie muss man ja einen Namen finden!

Aber wieso "strukturerhaltend"?
Das ist eine gute Frage, aber auch recht leicht zu beantworten, denn schauen wir uns einmal die Addition im Definitionsraum an: Durch die Addition zweier Elemente aus V (Vektoren) x,y wird diesen ein anderes Element dieser Menge eindeutig zugeordnet, d.h. (x,y) --> x+y.

Jetzt kommt die Abbildung von V nach W ins Spiel. Die Frage ist, ob es egal ist, ob ich zwei Objekte aus V erst addiere und dann ihre Summe auf ein Objekt aus W abbilde (f(x+y)), oder ob ich erst die Objekte auf ihre Bilder aus W abbilde, und dann die Bilder addiere (f(x)+f(y)).

Bei linearen Abbildungen ist das axiomatisch gefordert, und das bedeutet, dass die Struktur von V bezüglich der Addition in V durch die Abbildung nach W dorthin übertragen wird. Anders ausgedrückt: Die Struktur von V bleibt bei Abbildung nach W erhalten.
Das gleiche gilt nun auch für die Struktur bezüglich der Skalar-Multiplikation.

Bild und Kern


Jetzt kommen wir zu ein paar weiteren Eigenschaften linearer Abbildungen:

Wir nennen diejenige Teilmenge von W, die von der Abbildung f erfasst wird, Bild(f). Das heißt, Bild(f) ist der Bereich des "Zielraumes", auf den alle Vektoren des Definitionsraums unter f abgebildet werden. Ist Bild(f) der ganze Vektorraum W, so ist f surjektiv. Bild(f) ist ein Untervektorraum des Zielvektorraums, was man mit dem Unterraumkriterium leicht beweisen kann.

fed-Code einblenden

Es gibt eine weitere wichtige Teilmenge, und zwar diesmal nicht vom Zielraum W, sondern vom Definitionsraum V. Er wird Kern(f) genannt, und besteht aus der Menge derjenigen Vektoren von V, die unter f auf den Nullvektor von W abgebildet werden. Wird nur der Nullvektor von V auf den Nullvektor von W abgebildet, so ist der Kern(f)={0}, und daraus folgt, dass die Abbildung f injektiv ist (Beweis?). Der Kern einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum des Definitionsraums, was man wieder leicht mit dem Unterraumkriterium nachweisen kann. Das führt uns auf folgende

fed-Code einblenden

Dimensionsformel


Jetzt kommen wir zu einer sehr hilfreichen Formel, und zwar der Dimensionsformel für lineare Abbildungen:

fed-Code einblenden

Beweis: Es gibt verschiedene Möglichkeiten, zum einen eine kurze, elegante, für welche das Handwerkszeug jedoch nicht vorausgesetzt war (Quotientenvektorräume), und eine etwas längere, welche über den Basisergänzungssatz läuft. Falls wider Erwarten daran Interesse besteht, kann man einen Beweis ja nachliefern.

Bemerkung: Der in der Dimensionsformel ausgedrückte Zusammenhang gibt einen Hinweis darauf, dass man weitere interessante Zusammenhänge derart finden kann; zum Beispiel einen höchst bemerkenswerten: Der Vektorraum Bild(f) ist vollständig in V enthalten( in V! in W ja sowieso!), das soll heißen, dass der Faktorraum (Quotientenraum) V/Kern(f) isomorph zu Bild(f) ist! Das aber nur am Rande.

Injektivität und Surjektivität


Noch eine wichtige Eigenschaft von linearen Abbildungen ist die "Äquivalenz" von Injektivität und Surjektivität unter bestimmten Umständen.

fed-Code einblenden
Beweis:
Wir wissen: wenn f injektiv ist, genau dann ist Kern(f) = {0}.
Wir wissen auch: wenn f surjektiv ist, genau dann ist dim Bild(f)= dim W.
Nach der Dimensionsformel gilt: Kern(f)={0} <=> dim Bild(f) = dim V, da die Dimension des Kerns ja Null ist, wenn er nur aus der Null besteht.
Das heißt:
    f injektiv <=> Kern(f)={0} <=> dim Bild(f)= dim V (=dim W)
    <=> f surjektiv.  
qed

Wo bleiben die Matrizen?


So, ich höre schon: "JETZT REICHTS! Was hat das denn mit Matrizen zu tun!?"

Es tut mir auch Leid, dass man dafür soviel Vorbereitung braucht, aber das ist vielleicht der Grund dafür, dass einem das Thema kompliziert erscheint, wenn man es eben ohne diese Vorbereitung betrachtet.

Also, wir wissen jetzt, was lineare Abbildungen sind, und ein paar Eigenschaften kennen wir auch schon, aber wir haben noch keine einzige gesehen!

Das soll sich ändern!


Lineare Abbildung am Beispiel

Wählen wir mal einfach "irgendeine" Abbildungsvorschrift explizit, also zB:

Sei f: K3-> K3, mit
f(x_1;x_2;x_3) = (x_1+x_2;x_2;x_3)
Ist diese Abbildung überhaupt linear? Nun ja, nachprüfen!

An der Null kann es schon mal nicht liegen, denn der Nullvektor wird offensichtlich auf den Nullvektor abgebildet. Das ist zwar kein offiziell nachzuprüfendes Axiom, doch kann man in manchen Fällen schnell die Nicht-Linearität verifizieren, falls die Null nicht auf die Null abgebildet wird!

Okay, nun zur Additivität: Es muss gelten: f(x+y) = f(x) + f(y).
Wir fangen hinten an:
f(x)+f(y) = (x_1+x_2;x_2;x_3)+(y_1+y_2;y_2;y_3) = (x_1+y_1+x_2+y_2;x_2+y_2;x_3+y_3) = f(x+y)
und das stimmt.

Nun zur Homogenität. Es muss gelten: f (a*x) = a*f (x).
f(a*x) = f(a*x_1;a*x_2;a*x_3) = (a*x_1+a*x_2;a*x_2;a*x_3) = a*(x_1+x_2;x_2;x_3)= a*f(x)
das stimmt auch! Also ist unsere Abbildung linear!


Jetzt haben wir eine lineare Abbildung f, in der uns sowieso schon bekannten expliziten Darstellungsform. Diese ist auch für manche Überlegungen vorteilhaft, zum Beispiel, wenn man am Kern(f) interessiert ist. Den bekommt man nämlich, indem man folgendes homogenes lineares Gleichungssystem löst:
f (x) = 0.
Das hieße in unserem konkreten Fall:
 (x_1+x_2;x_2;x_3) = (0;0;0)
was uns genau genommen auf folgende drei Gleichungen führt:
  1. 1*x1+1*x2+0*x3 = 0
  2. 0*x1+1*x2+0*x3 = 0
  3. 0*x1+0*x2+1*x3 = 0
Die Lösungsmenge eines homogenen LGS ist bekanntlich ein Untervektorraum, in unserem Fall also Kern(f) und somit schließt sich der Kreis.

Darstellung linearer Abbildungen am Beispiel

Für folgende Überlegung ist die explizite Darstellungsform schon nicht mehr so vorteilhaft, und wir wollen uns Überlegen, ob man lineare Abbildungen vielleicht noch anders "Darstellen" kann.

Angenommen wir wären am Vektorraum Bild(f) interessiert, und wir haben eine lineare Abbildung explizit gegeben. Dann kommen wir mit dieser Darstellungsart nicht gut weiter, und überlegen uns folgendes:
f(x_1;x_2;x_3) =(x_1+x_2;x_2;x_3)= (1*x_1+1*x_2+0*x_3;0*x_1+1*x_2+0*x_3;0*x_1+0*x_2+1*x_3) = (1,1,0;0,1,0;0,0,1)*(x_1;x_2;x_3)
Hier haben wir nur die Matrizenmultiplikation verwendet (rückwärts), und schon haben wir die explizite Darstellung der Abbildung in die Form eines Produktes einer Matrix A und eines Vektors x gebracht. Damit erklärt sich die Schreibweise einer Abbildung
f (x) = Ax.
Das heißt, man erhält das Bild eines beliebigen Vektors des Definitionsraums, indem man ihn einfach mit der Matrix A multipliziert (von links).

Wir sind aber immer noch auf der Suche nach Bild(f). Dazu betrachten wir noch mal die Form
 f(x_1;x_2;x_3) =(1*x_1+1*x_2+0*x_3;0*x_1+1*x_2+0*x_3;0*x_1+0*x_2+1*x_3)
Aufpassen! Das ist ein Spaltenvektor, keine 3x3-Matrix!
Wir "zerlegen" diesen Spaltenvektor in drei Summanden:
 (1*x_1+1*x_2+0*x_3;0*x_1+1*x_2+0*x_3;0*x_1+0*x_2+1*x_3) = (1*x_1;0*x_1;0*x_1)+(1*x_2;1*x_2;0*x_2)+(0*x_3;0*x_3;1*x_3)
was ja aufgrund der komponentenweise erklärten Addition von Vektoren möglich ist. Jetzt wenden wir noch die Skalarmultiplikation (auch rückwärts) an:
 (1*x_1;0*x_1;0*x_1)+(1*x_2;1*x_2;0*x_2)+(0*x_3;0*x_3;1*x_3) = x_1*(1;0;0) + x_2*(1;1;0) + x_3*(0;0;1)
und erhalten eine Linearkombination der Spaltenvektoren der Matrix A. Der Unterraum Bild(f) wird von genau diesen Spaltenvektoren erzeugt, womit wir hier ein Erzeugendensystem von Bild(f) haben. Um auf eine Basis zu kommen, muss man natürlich eine maximale Anzahl an linear unabhängigen Vektoren aus dem Erzeugendensystem heraussuchen.


Das heißt im Klartext:

Sei f: V->W, f(x)=Ax, eine lineare Abbildung.
Dann wird Bild(f) von den Spalten der Matrix A erzeugt (dazu muss man die Matrix A als "Ansammlung" von Spaltenvektoren ansehen).
Kern(f) hingegen ist der Lösungsraum des homogenen LGS Ax=0.



Darstellungsmatrizen linearer Abbildungen bezüglich verschiedener Basen

"Soweit so gut, ABER was heißt dann Darstellungsmatrix bezüglich irgendwelcher Basen?!" Ganz einfach: Man kann jede lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen bezüglich zweier zugehörigen Basen durch eine Matrix darstellen.

Sei f: V->W eine lineare Abbildung explizit angegeben.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit nehmen wir dimV=dimW=3 an. BV={v1, v2, v3} und BW={w1, w2, w3} seien zwei beliebige zugehörige Basen von V und W.
Die Darstellungsmatrix M von f bezüglich der Basen BV und BW wird mit
_BV M_BW(f)
bezeichnet.


"Ja gut, aber wie sieht die denn aus?"
Nun erstmal ein vorübergehender Schock: Die Spalten der Darstellungsmatrix von f sind die Bilder der Basisvektoren aus BV, jedoch als Linearkombination der Basisvektoren aus BW geschrieben.

Das klingt etwas kompliziert, ist aber im Grunde ganz einfach:

Um die erste Spalte unserer Matrix _BV M_BW(f) zu bekommen, müssen wir zuerst den ersten Vektor der Basis BV, also v1, abbilden. Das Bild ist f(v1), und das ist ein Vektor aus W.
Man kann jeden Vektor aus W bekanntlich eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren aus BW darstellen. Das sähe dann so aus:
f (v1) = a1*w1 + a2*w2 + a3*w3

mit (eindeutig) bestimmten Zahlen a1, a2, a3.
Damit hätten wir doch schon unsere erste Spalte:
(a_1;a_2;a_3)
Das gleiche machen wir auch für die beiden restlichen Vektoren, und bekommen für f (v2)=b1*w1+b2*w2+b3*w3, und für f (v3)=c1*w1+c2*w2+c3*w3.
Damit haben wir nun die restlichen Spalten:
(b_1;b_2;b_3), (c_1;c_2;c_3)
und setzen daraus unsere Darstellungsmatrix zusammen:
_BV M_BW(f) = (a_1,b_1,c_1;a_2,b_2,c_2;a_3,b_3,c_3)
Eigentlich gar nicht schwierig, oder?

Abbilden mit einer darstellenden Matrix

"Aber wie bilde ich denn jetzt einen beliebigen Vektor aus V ab, wenn ich die Abbildung durch diese Matrix da gegeben hab? Einfach wie oben den abzubildenden Vektor mit der Matrix multiplizieren?"

NEIN!!! GANZ Vorsichtig!
Vorhin hatten wir zwar auch eine Matrix, es war auch eine Darstellungsmatrix, ABER es war ein Sonderfall, und der ist nicht auf den allgemeinen Fall übertragbar! Wir kommen noch auf diesen Sonderfall, und wann man einfach einen Vektor mit der Matrix multiplizieren darf, um ihn abzubilden, und wann nicht.

Berechnung der Darstellenden Matrix am Beispiel

Aber vorerst behandeln wir ein Beispiel:
Nehmen wir einfach das Beispiel von oben:
f(x_1;x_2;x_3) =(x_1+x_2;x_2;x_3)
hier ist V=IR3 und W=IR3, und wir brauchen dazu noch eine beliebige Basis von V und eine von W.

Für BV nehmen wir
BV := ((2;1;0),(3;0;2),(0;5;6))
und für BW nehmen wir
BW := ((5;0;1),(0;3;1),(0;1;1))
Wie sieht die Darstellungsmatrix M von f bezüglich BV und BW jetzt aus?

Also, die erste Spalte ist das Bild des ersten Basisvektors aus BV, als Linearkombination der Vektoren aus BW dargestellt. Das heißt, wir müssen als erstes den Vektor
(2;1;0)
abbilden:
f(2;1;0)= (2+1;1;0) = (3;1;0)
Den Vektor
(3;1;0)
müssen wir als Linearkombination der Vektoren
(5;0;1),(0;3;1),(0;1;1)
darstellen.
Wenn das (so wie hier) nicht auf Anhieb ersichtlich ist, dann macht man das mit Hilfe des Gauss-Algorithmus, und kommt auf
(3;1;0) = 3/5*(5;0;1)+4/5*(0;3;1)-7/5*(0;1;1)
also ist die erste Spalte unserer Darstellungsmatrix M:
(3/5;4/5;-7/5) .


Das machen wir jetzt auch mit den anderen beiden Basisvektoren, und erhalten für
f(3;0;2) = (3;0;2) = 3/5*(5;0;1)-7/10*(0;3;1)+21/10*(0;1;1)
die zweite Spalte:
(3/5;-7/10;21/10)
und analog die dritte Spalte

fed-Code einblenden
Damit haben wir unsere Darstellungsmatrix:

fed-Code einblenden
Okay, ich gebe zu, keine sehr schönen Zahlen, wahrscheinlich ist auch noch ein Rechenfehler drin, jedoch ich hoffe, dass das Prinzip klar wurde.

5-Schritt-Verfahren zum Rechnen mit Darstellungsmatrizen

Zurück zum allgemeinen Fall. Wie wird ein beliebiger Vektor von V abgebildet, wenn man ihn nicht einfach mit der Darstellungsmatrix multiplizieren darf?

Nun, ich glaube es ist sinnvoll, das anhand einer festen Schrittfolge zu verdeutlichen:
  1. Den abzubildenden Vektor v muss man als Linearkombination der Basis BV schreiben.
  2. Die Koeffizienten dieser Linearkombination fasst man selbst als Vektor auf.
  3. Diesen "transformierten" Vektor multipliziert man nun mit der Darstellungsmatrix.
  4. Das Bild des transformierten Vektors fasst man als Koeffizientenvektor auf (wie in Schritt 2. nur rückwärts) und bildet mit den Einträgen dieses Vektors eine Linearkombination aus den Basisvektoren von BW.
  5. Jetzt muss man das alles nur noch zusammenfassen, und man hat das gesuchte Bild f(v).

Zu kompliziert?

Es erscheint schon relativ aufwendig, mit Darstellungsmatrizen zu rechnen, der hier allgemein behandelte Fall ist aber auch der theoretisch "schlimmste" Fall, der eintreten kann, denn es gibt bestimmte Situationen, bei denen das nicht so aufwendig ist. Diese wollen wir uns jetzt ansehen:

Hat man eine Darstellungsmatrix M bezüglich der Standardbasen, so tritt der einfachste Fall (siehe oben) ein: Man kann die Abbildung f dann als f(x)=Mx schreiben, was nichts anderes Bedeutet, als dass man aus dieser Matrix die explizite Darstellung direkt ablesen kann, beziehungsweise umgekehrt (vgl oben).

Hat man eine Darstellungsmatrix M gegeben, wobei BV die Standardbasis ist, und BW eine beliebige Basis, dann kann man direkt bei Schritt 3. anfangen, denn man muss den abzubildenden Vektor ja nicht erst transformieren.

Hat man eine Darstellungsmatrix M gegeben, wobei BV eine beliebige Basis ist, und BW die Standardbasis, dann muss man den abzubildenden Vektor zwar transformieren, jedoch kann man sich den Schritt 4. sparen.


Basisänderung

"Was ist, wenn ich nur eine Darstellungsmatrix und die zugehörigen Basen angegeben habe und ich möchte die explizite Darstellung haben, oder eine Darstellungsmatrix bezüglich anderer Basen?"

Wenn man diese Frage genau betrachtet, fällt auf, dass es sich um die gleiche Fragestellung handelt, jedoch im ersten Fall ist eine Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasen gefragt, und im zweiten Fall ist eine Darstellungsmatrix bezüglich beliebigen anderen Basen gefragt. Allgemein gesagt heißt das, dass wenn wir aus dem gegebenen eine Darstellungsmatrix bezüglich zwei beliebigen anderen Basen ermitteln können, können wir auch die Matrix bezüglich der Standardbasen ermitteln, woraus die explizite Darstellung direkt abzulesen ist.

Wir brauchen also noch zwei weitere Basen, für V nehmen wir völlig beliebig
BV2 := ((13;7;9),(0;1;0),(-9;3;3))
und für W nehmen wir
BW2 := ((1;-2;3),(2;0;1),(-1;1;0))



Unser Ziel ist es die Matrix bezüglich dieser Basen aufzustellen, welche die Abbildung von oben repräsentiert. Dabei haben wir die obige Abbildung aber nur als Matrix bezüglich anderer Basen gegeben. Was nun?

Wir erinnern uns, was die Spalten einer Darstellungsmatrix noch mal bedeuten:
"Die Spalten der Darstellungsmatrix von f sind die Bilder der Basisvektoren aus BV, jedoch als Linearkombination der Basisvektoren aus BW geschrieben."

Also müssen wir jetzt erstmal die drei Vektoren aus BV2 unter f abbilden, und dazu gehen wir nach obiger Schrittfolge vor:

Wir können den ersten Vektor
(13;7;9)
folgendermaßen als Linearkombination der Basis BV darstellen:
(13;7;9) = 121/38 *(2;1;0) +42/19*(3;0;2) +29/38*(0;5;6)
also müssen wir den Vektor
(121/38;42/19;29/38)
mit der obigen Darstellungsmatrix multiplizieren:
(3/5,3/5,1;4/5,-7/10,0;-7/5,21/10,5)*(121/38;42/19;29/38) = (4;1;4)
und mit den Einträgen dieses Vektors jetzt eine Linearkombination mit den Vektoren aus BW bilden:
f(13;7;9) = 4*(5;0;1)+1*(0;3;1) + 4*(0;1;1) = (20;7;9)
Somit haben wir das Bild des ersten Basisvektors aus BV2, und dieses müssen wir jetzt als Linearkombination der Basis BW2 darstellen (wie üblich werden die Koeffizienten mit dem Gauss-Algorithmus ermittelt):
(20;7;9) = -9/7*(1;-2;3)+90/7*(2;0;1) + 31/7*(-1;1;0)
und damit haben wir die erste Spalte unserer "neuen" Darstellungsmatrix:
(-9/7;90/7;31/7)
Die anderen zwei Spalten erhält man analog, sie lauten:
(-2/7;6/7;3/7), und, (9/7;-6/7;39/7)
Damit ergibt sich die Darstellungsmatrix
_BV2 M_BW2 = (-9/7,-2/7,9/7;90/7,6/7,-6/7;31/7,3/7,39/7)
bezüglich der Basen
BV2 := ((13;7;9),(0;1;0),(-9;3;3)) und BW2 := ((1;-2;3),(2;0;1),(-1;1;0))
Man sieht, dass wir zwei völlig verschieden wirkenden Matrizen haben, die tatsächlich dieselbe lineare Abbildung repräsentieren. Da es in IR3 unendlich viele Basen gibt, gibt es auch unendlich viele Darstellungsmatrizen einer solchen Abbildung.

Dass hier wirklich ein und dieselbe Abbildung repräsentiert wird, davon kann man sich leicht selbst überzeugen: Wenn wir einen bestimmten Vektor per Darstellungsmatrix abbilden, muss natürlich das gleiche Bild rauskommen, wie wenn man den Vektor mit einer anderen Darstellungsmatrix der selben Abbildung abbildet. Das Abbilden per Einsetzen in die explizite Darstellung kommt dem Abbilden per Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasen gleich. Oben haben wir den Vektor
(13;7;9)
über die erste Matrix abgebildet und bekamen als Bild
(20;7;9)
. Dass das stimmt, sehen wir, wenn wir den Vektor mal in die explizite Form einsetzen:
f(13;7;9) = (13+7;7;9) = (20;7;9)




Generell ist zu bemerken, dass man jede mxn-Matrix über einem Körper K als eine lineare Abbildung von Kn nach Km auffassen kann.
In diesem Zusammenhang Definieren wir noch den Rang einer linearen Abbildung :

Rang einer linearen Abbildungen

Definition: Rang einer linearen Abbildung bzw einer Matrix.
Sei f eine lineare Abbildung von V nach W, und A eine darstellende Matrix der linearen Abbildung.
Dann bezeichnet man die Dimension von Bild(f) mit Rang(f) bzw rg(f).


Es zeigt sich, daß Rang(f) gleich dem Rang einer darstellenden Matrix A ist. Man kann das eine oder das andere ermitteln, indem man die Anzahl linear unabhängiger Spalten von A bestimmt.
Ich hoffe es konnte etwas helfen

Thorsten

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Weitere Beiträge in der Reihe Lineare Algebra für Dummies: Vektorräume Determinanten
Ein Zwischenkapitel auf dem Weg zur Diagonalisierbarkeit Transformationsmatrizen
Kapitel 5: Eigenwerte, Eigenraum, Diagonalisierung, charakteristisches Polynom.

Eine Besprechung mehrerer Lineare-Algebra-Bücher.

 
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2012-2017 (71x)http://matheraum.de/wissen/Darstellungsmatrix
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2016.03 (13x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&rct=j&q=durch darstellende matrizen...
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2014-2017 (11x)http://www.matheraum.de/wissen/Darstellungsmatrix
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" Stern Mathematik: Über Darstellende Matrizen" | 57 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Über Darstellende Matrizen
von DasGehirn am Di. 18. Februar 2003 22:43:06


*Standing Ovations*....



Pünktlich zur Klausur noch einmal die Basics im "Dummie-Format"... Vor lauter Begeisterung bin ich nahezu sprachlos...



Das gibt nen Exklusiv-Vortrag über Lernen und Gedächtnis beim MP-Treffen extra für dich, Siah ;-)



Toll, dein Beitrag und genau zur richtigen Zeit



Liebe Grüße

Antje

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Re: Über Darstellende Matrizen
von scorp am Mi. 19. Februar 2003 10:40:55


Hi!   Bild

Sehr schöner Artikel. Besonders die DAU-Fragen sind gut (und verständlich!) abgehandelt smile
Interessant zu lesen und nebenbei auch informativ.


Viele Grüße,

/Alex

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Na toll
von Pappfigur am Mi. 19. Februar 2003 14:29:55


...auch wenn ich diese Sachen mittlerweile auch schon verstehe....

dieser Artikel kommt zu spät :)

letzte Woche war Klausur..und gelinde gesagt VERDAMMT ÄTZEND...



na ja...ich hoffe das bis zur Nachholklausur(ergebniss kenn ich noch nicht, bin mir aber sicher da hin zu müssen)ein artikel über metrische Räume kommt...sprich Skalarprodukt..Gram Matrix..Sylvester-Matrix...Orthogonalisierungsverfahren... etc.

mfg



die Pappfigur

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Eckard am Mi. 19. Februar 2003 16:22:23


"Es gibt nichts Gutes, außer man tut es." Siah hat es getan, prima! Wie lange hast du denn daran gesessen? War bestimmt ein Haufen Arbeit.



Weiter so!



Gruss Eckard

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Re: Über Darstellende Matrizen
von DaMenge am Mi. 19. Februar 2003 16:38:32


Ein Hoch auf Siah !!!!



Mal ehrlich : DAS ROCKT !!



Ich meine, für all die Ersti's , die in den letzten Monaten ganau solche Fragen hatten, die oben geklärt werden, wird dieser Artikel zu spät kommen, aber dennoch eine Hilfe im Vordiplom sein und ein einfacher Link für zukünftige Ersti-Fragen ! Und obwohl ich meine Klausur bestanden habe werde ich das Gefühl nicht los, dass ich mir eines Tages den Artikel nochmals gründlich durchlesen werde... (und hunderte zukünftiger Ersti's auch)

In diesem Sinne : GREAT WORK !!! RESPECT!



MfG

DaMenge

P.S.: (@matroid) ich hab ja jetzt Semesterferien - vielleicht schreib ich mal den Prelude (Mengen&Abbildungen - du weißt noch ?)

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Re: Über Darstellende Matrizen
von matroid am Mi. 19. Februar 2003 17:01:39


Weiß ich alles noch wink

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Siah am Mi. 19. Februar 2003 17:36:24


Freut mich, dass es so gut angenommen wird ;)

Ich hatte vor als "ein" nächstes Kapitel der Reihe eine kurze Abhandlung über Determinanten zu schreiben, bei der das Praktische erstmal ausführlich erläutert wird, und anschließend die Theorie. Denn die "übliche" Frage in bezug auf Determinanten ist wohl "Wie berechne ich die und die Determinante?" und danach folgt meistens erst die Frage nach der Thoerie.

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Pappfigur am Mi. 19. Februar 2003 18:54:49


ne ne...nix determinante... Skalaprodukt... das is doch ein weites Thema....



=D

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Re: Über Darstellende Matrizen
von helmut am Fr. 21. März 2003 12:21:20


Toll !



Gruss

Helmut

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am So. 08. Juni 2003 00:13:25


der artiker ist ja wohl mal sehr geil

ich will meeeeehr

cu
p80

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 17. Juni 2003 17:01:51


Wow! Sogar die Deutschen können Lineare Algebra
wink
Ein Schweizer

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 18. Juni 2003 01:05:14


Dieser Artikel ist ja ganz gut, aber wie Berechne ich eine 5X5 Matritze bzw. ihre det()

Michal aus Essen

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Re: 5x5 Matrizen (Frage von Michael)
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 23. Juni 2003 17:15:40


@ Michael:

Du kannst generell jede Matrix mit der Streichungsmethode berechen:



      |a11 a12 a13 a14 a15|

      |a21 a22 a23 a24 a25|

det|a31 a32 a33 a34 a35|

      |a41 a42 a43 a44 a45|

      |a51 a52 a53 a54 a55|



=



Auflösen nach der 1. Spalte:

d.h.: Alle Elemente der ersten Spalte müssen mit dem Rest der Determinante der Matrix multipliziert werden. Dabei fällt die erste Spalte weg und auch immer die Zeile, in der sich das jeweilige Element befindet.


       
                   |a22 a23 a24 a25|

a11*det|a32 a33 a34 a35|

                   |a42 a43 a44 a45|

                   |a52 a53 a54 a55|



+



                   |a12 a13 a14 a15|  

a21*det|a32 a33 a34 a35|

                   |a42 a43 a44 a45|

                  |a52 a53 a54 a55|



+ a31 *det |....| + a41*det|....|



Danach einfach dasselbe für jede neu-enstandene 4x4-Matrix machen. Dann sind nur noch 3x3 Matrizen übrig und die können leicht nach der Methode von Sarrus berchnet werden.



Ich hoffe, das ist hilfreich.



So far!

Bye Bye, Andreas.

(Ein angehender Informatiker:-))



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Re: 5x5 Matrizen (Frage von Michael)
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 23. Juni 2003 17:21:53


Da hab ich noch was vergessen:

Bei "+ a31 *det |....| + a41*det|....| " fehlt noch der Summand " a51*det|....| ".Also siehts dann so aus:

+ a31 *det |....| + a41*det|....| + a51 *det |....|


Tut mir leid...jetzt stimmt es wieder.

Als denn, Andreas.



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Re: Über Darstellende Matrizen
von Fabi am Mo. 23. Juni 2003 17:26:16


@Anonymer: Da erhebe ich Einspruch gegen:
Man muss die neu entstandene Unterdeterminanten mit ihren Vorfaktoren nicht addieren, sondern mit alternierenden Vorzeichen versehen (also + - + - ...), wenn man nach de rersten Zeile entwickelt.

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 24. Juni 2003 19:21:39


upsi
hast recht...

Andreas

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 25. Juli 2003 13:50:00


Bin Erstsemester u schreibe in 4 Tagen Klausur! Wie kann ich dir danken?

 [Bearbeiten]

Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 31. Juli 2003 10:16:00


Wieso benutzt ihr zur berechnung von Determinanten nicht einfach den Gaussalgorithmus, bildet eine obere- oder untere Dreiecksmatrik und betrachtet danach einfach nur noch die Hauptdiagonale, dessen Produkt evtl. mit Vorzeichenänderung dann die Determinante ist...

MfG MaxPower

 [Bearbeiten]

Re: Über Darstellende Matrizen
von Siah am Mi. 20. August 2003 20:09:55


Hi Maxpower,

ich verstehe die Motivation der Frage nicht ganz, denn im Kapitel über Determinanten wird diese Möglichkeit doch beschrieben.

beste Grüsse

Siah

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 21. August 2003 21:52:06


Quote:

"Sei f eine lineare Abbildung von V nach W,"

Übrigens heißt es korrekter "eine lineare Abbildung von V IN W,"  
Den selben Fehler hab ich auch gemacht damit habe ich meine Prüferin im Vordiplom zur Weißglut gebracht.    :>

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Re: Über Darstellende Matrizen
von onkelheiner am Do. 25. September 2003 23:06:10


Fehler?
5-Schritt-Verfahren zum Rechnen mit Darstellungsmatrizen

1. ... als Linearkombination von BV? oder BW?

Ansonsten: Dickstes Lob! Hier versteht man mal was und kann so auch mit schwierigerer Literatur umgehen.

Danke schön.

Stefan

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Siah am Do. 25. September 2003 23:32:45


Hi Stefan,

Danke für die konstruktive Kritik (immer erwünscht!), in diesem Falle ists aber richtig, so wie es da steht.

beste Grüsse
Siah

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 03. November 2003 21:47:15


Wirklich sehr stark das ganze hier!!
Nützlich wäre sicher die geplante Erweiterung über Eigenwerte (das versteh ich nämlich überhaupt nicht) und vielleicht eine Erklärung des Sinn vom Kern.

Denn was ich mit dem Kern anfangen kann (abgesehen davon, daß seine Dimension manchmal wichtig sein kann) habe ich nicht verstanden.

Ansonsten: Toller Artikel!!

Tom

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 06. November 2003 13:35:38


Check it out!

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 01. Dezember 2003 21:01:25


*RESPEKT* @ Siah!! wirklich richtig gute erläuterung der linearen algebra! jetzt hab auch ich es endlich verstanden!

Schreib morgen meine letzte mathe-klausur vor dem abi und hoffe, dass ich das hier alles gebrauchen kann! nur ich glaub nen fehler unter "Berechnung der Darstellenden Matrix am Beispiel" gefunden zu haben. Dein Ergebnis stimmt in der dritten Spalte nicht. Anscheinend bin ich der erste, der mitgerechnet hat, oder der dumme, der sich selbst verrechnet hat ;)) also mein ergebnis is für die dritte spalte: 1; -0,2; 5,6 oder in brüchen 1; -1/5; 28/5; ... naja... wünscht mir erfolg für die klausur morgen!! smile

><>
michi

ps: is denn sonst noch n schüler hier ?!

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Anitram am Fr. 05. Dezember 2003 17:54:20


Schöner Artikel! Aber wann gibt es dieses Kapitel auch im pdf-Format?

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 30. Januar 2004 02:51:12


www.easysw.com/htmldoc/pdf-o-matic.php

hf

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Re: Über Darstellende Matrizen
von mehrdennje am Di. 03. Februar 2004 12:41:42


Der Artikel ist suuuuuuuuuuuuuuuuuuuuupi
Endlich verstehe ich den Kram.

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Frage
von Student_Florian am Mi. 11. Februar 2004 19:38:04


Hallo!
Ich habe eine Frage zu:
"Es zeigt sich, daß Rang(f) gleich dem Rang einer darstellenden Matrix A ist. "

Rang (f) = dim[Bild(f)]

und f(x) = Ax = Bild(f)

Wie läßt sich das mit deiner Aussage vereinbaren?
Gilt: Rang(f) = dim[Bild(f)] = dim[Ax] = Rang(A) ?

das verstehe ich noch nicht ganz..

Ansonsten finde ich deine Erklärung wunderbar, mir sind einige Lichtlein aufgegangen! Du solltest Bücher schreiben..

Danke & Gruß,
Florian

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Siah am Fr. 13. Februar 2004 23:01:18


Frage per PM geklärt

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Re: Über Darstellende Matrizen
von blacksb am Di. 19. Oktober 2004 11:50:03


Hallo!

Gibts die Kapitel 2-5 (von "Lineare Algebra für Dummköpfe") auch als pdf-File?

Danke!

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Siah am Di. 19. Oktober 2004 16:04:45


Hi,

Nein, das gibts bis jetzt leider noch nicht.

Beste Grüße
Siah

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Wuff am Mo. 15. November 2004 16:27:54


Super. Ich höre gerade die LA I Vorlesung und bin schon halb am verzweifeln. Diese Serie von Artikeln hat mir auf jeden Fall einen sehr guten Anhaltspunkt gegeben. Weiter so und hoffentlich folgen noch weitere Artikel von dir, egal zu welchem Thema.

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 11. August 2005 16:45:10


Ist denn geplant die Kapitel mal als pdf zu veröffentlichen? Wäre um einiges praktischer als die html Files... zumal ich das mit dem html-to-pdf Umwandler nicht so ganz hinbekomme. :-/

Aber ansonsten: Super Seite smile

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 15. August 2005 18:35:39


absolut gut, dass du die beispiele für die darstellungsmatrizen und den basiswechsel explizit berechnet hast. ich hatte das lineare algebra buch schon durchgearbeitet, aber konnte das theoretische wissen noch lange nicht in die praxis umsetzen. beispiele habe ich auch in keinem buch gefunden. dank dir kann ich dies nun. ganz lieben dank. claudia

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Permutationsgruppen!
von Ex_Mitglied_40174 am So. 20. November 2005 18:24:48


Hey erstmal ein ganz dickes Lob,... ist echt toll diese Seite!
ich weiß nicht so recht wie ich diese Aufgabe lösen soll! kannst du mir helfen, auch wenn diese Augabe nicht ganz so sehr hier rein passt?

Also:
 Zeigen Sie, dass die Permutationsgruppe Sn aus n! Elemnten besteht!
sowie:
 Zeigen Sie, dass Sn für n>3 nich abelsch ist!

Würde mich sehr über deine Hilfe freuen!
LG!

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Gockel am So. 20. November 2005 18:37:27


Hi.

Melde dich doch auf dem Matheplaneten an, dann kannst du deine Frage im (Strukturen- und Algebra)Forum stellen, wo sie hingehört.

mfg Gockel.

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Re
von Ex_Mitglied_40174 am So. 20. November 2005 19:01:37


Hallo,
ich würd mich ja sofort anmelden,... doch die anmeldung geht nur von mo bis sa..., und heute ist leider so und ich brauche die antwort morgen!
naja, aber danke!
LG!

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Gockel am So. 20. November 2005 19:08:12


Tja dann hilft nur noch selber denken biggrin

mfg Gockel.

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Martin_Infinite am So. 20. November 2005 19:09:21


Hi,
 
1) Hier kannst du nach n induzieren. Oder du gehst der Reihe nach durch, welche Möglichkeiten es gibt, so eine Permutation festzulegen. Für das Bild der 1 gibt es n Möglichkeiten. Für das der 2 dann nur noch (n-1), etc.

Es geht aber auch eleganter mit der Bahnformel, die aber evtl. noch unbekannt ist.
 
2) Für n > 2 haben wir 3 verschiedene Elemente a,b,c. Jetzt zeige, dass die Zykel (b c) und (a b c) nicht kommutieren.
 
 Gruß
Martin

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am So. 19. Februar 2006 13:46:10


Da ist n Fehler drin, unter:
"Nun zur Homogenität. Es muss gelten: f (a*x) = a*f (x). "
Der obere Wert muss so lauten: a(x1+x2) und nicht a*x1

Gruß Juscho

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Siah am So. 19. Februar 2006 13:51:07


Hi Juscho,

Ich glaube du hast das "f" überlesen, was genau davor steht, oder meinst du was anderes?

Beste Grüße
Siah

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am So. 26. Februar 2006 03:07:42


Zuersteinmal allergrößtes Lob, ich lerne gerade begeistert die Nacht durch mit deinen tollen Zusammenfassungen...

Allerdings ist mir ein kleiner Fehler aufgefallen:

Nach der Erklärung zur Darstellenden Matrix fasst du alles nochmal zusammen:

"Nun, ich glaube es ist sinnvoll, das anhand einer festen Schrittfolge zu verdeutlichen:

   1. Den abzubildenden Vektor v muss man als Linearkombination der Basis BV schreiben."

Muss es sich hierbei nicht um eine Linearkombination der Basis BW handeln?

Ansonsten nochmal danke!!!

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Martin_Infinite am So. 26. Februar 2006 14:04:20


Hi Anonymus,

BV ist schon richtig. Das ist die gegebene Basis von V, und v ist ein Vektor aus V.
 
 Gruß
Martin

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Goldberg am Di. 04. April 2006 23:50:50


Der Artikel ist wirklich super. Ich verstehe nicht, warum man uns das in der Uni nicht auch von Anfang an so erklären kann. Naja, der Autor sollte ein Skript für ein Buch schreiben, auch wenn der Markt schon gut gefüllt mit diesen Werken ist. Ich würde dein Buch kaufen, und ich kenne  einen ganzen Hörsaal mit weiteren Interessenten. Danke für den Artikel!

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 05. Mai 2006 00:03:55


Sau Stark, wenn ich das so sagen darf wink

Bin bei der Suche nach der Lösung zu "Zeige dass der Raum der Matrizen ein Vektorraum ist !!" hierher gekommen !

Nun hab ich doch schon einiges mehr verstanden (viieeel mehr) , aber den  gesuchten Beweis hab ich noch nicht gefunden. Vielleicht kann ja hier jemand helfen. Das wäre echt klasse !

Danke euch (und v.a. Siah) smile

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Juuro am Fr. 14. Juli 2006 18:06:49


Was bedeutet denn im Abschnitt "Injektivität und Surjektivität" das Yen-Zeichen?

Viele Grüße, Juuro

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Gockel am Fr. 14. Juli 2006 18:59:03


Das ist bei der richtigen Schrifteinstellung ein unendlich-Zeichen. Der Artikel stammt noch aus der Prä-Fed-Ära, da musste man sich so behelfen smile

mfg Gockel.

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Juuro am So. 16. Juli 2006 20:10:07


Oh okay, danke! Hab mich schon gewundert! wink

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 12. Januar 2007 13:49:57


super wonderful

endlich kappiert
danke thorsten

lg j.a.b.c.

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Re: Über Darstellende Matrizen
von M4rc3l am Mi. 31. Januar 2007 18:38:04


Hmmm... ewig lang überlegt, was das mit den ganzen Darstellungsmatrizen auf sich hat, und nun endlich alles klar!
Danke für den Artikel!!!

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 06. Juni 2007 14:28:46


Wahnsinn.
Habe mir es gestern mal durchgelesen. Festig auf jedenfall mein Wissen in diesem Bereich.

Tolle Arbeit, gute Übersicht.

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ernie am Mi. 06. Juni 2007 14:53:06


Wie immer ein gelungender Artikel, der die letzten Dunklen Stellen erhellt.

Danke, keep on doing good artikels^^

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 20. Juni 2007 22:09:46


Um es kurz zu machen: Großartiger Artikel.

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 27. Juli 2007 12:19:54


moin. hab glaub ich en kleinen fehler gefunden. bei der darstellungsmatrix bezüglich BV2,BW2 muss das element (1,3) 9/7 lauten (statt 5/2). ansonsten genialer artikel. weiter so! mfg  

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 30. Januar 2008 18:24:17


Hallo Thorsten,

vielen Dank schon mal erst einmal für den tollen und vor allem verständlichen Artikel,ich war schon ein wenig verzweifelt in meiner Vorlesung...  confused
Ich hätte allerdings eine Frage zum Abschnitt "5-Schritt-Verfahren zum Rechnen mit Darstellungmatrizen": Was genau meinst du in Schritt 5 mit "alles zusammenfassen" ? Ich meine, erhält man f(v), also das Bild eines beliebigen Vektors v, indem man die Koeffizienten der Linearkombination aus den Basisvektoren von BW (die ja den Koeffizientenvektor aus 4. darstellt) als Spaltenvektor schreibt???
Ich wäre sehr sehr dankbar über eine Antwort.  smile
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Grüße
Ines

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Re: Über Darstellende Matrizen
von Siah am Mi. 30. Januar 2008 19:35:59


Hi,

Danke für das Lob! Also mit "Zusammenfassen" ist da eigentlich nichts besonderes gemeint, das Bild f(v) eines Vektors v erhält man nach Schritt 4. Die so erhaltene Linearkombination von Basisvektoren aus BW ist eben grade das gewünschte Bild f(v). In manchen Situationen kann man das eben  noch rechnerisch schöner darstellen bzw zusammenfassen, also reine Kosmetik!

Gruß Siah


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