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Mathematik: Determinante: Was ist das?!
Freigegeben von matroid am Do. 20. März 2003 14:26:43
Verfasst von Siah -   297193 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Lineare Algebra


“Lineare

Kapitel 3: Determinante:
Was ist das?!


 

 

Hallo an Alle!

In diesem Kapitel geht es um die Determinantenfunktion, welche zum Beispiel für die Eigenwerttheorie und die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme eine grosse Bedeutung hat. Die vorliegende kurze Abhandlung soll vor allem auf die Frage „Wie berechnet man die Determinante einer Matrix?“ Antwort geben, und erst im Nachhinein wird die Theorie erörtert. Ich bitte natürlich um Fehlermeldungen jeglicher Art.

 

Inhalt

- Determinante: Was ist das?!
- Eigenschaften
- Praktische Berechnung von Determinanten
     - Fälle n=1 bis n=3, n>3
     - Weitere Eigenschaften
     - Entwicklungsformel
- Unpraktische Berechnung: Leibnizformel
     - Permutationen
- Theorie der Determinanten (Existenz und Eindeutigkeit)

Determinante: Was ist das?!

Jede quadratische Matrix hat eine Determinante. Aber bevor wir uns anschauen, wie man eine solche ausrechnet, müssen wir erstmal wissen, was das eigentlich ist:

Die Determinante ist eine Funktion, die jeder quadratischen Matrix A aus M(nxn, K) einen skalaren Wert aus dem Körper K zuordnet.
Definition: Determinantenfunktion
Die Abbildung det: M(nxn, K) -> K heisst die Determinante, die Zahl det A aus K heisst die Determinante von A.


Alleine dieser Definition nach gäbe es unendlich viele verschiedene Determinantenfunktionen, zum Beispiel könnte man einer Matrix einfach ihr linkes oberes Element zuordnen und wir hätten eine Abbildung. Das wäre aber sicherlich keine Funktion von grosser Gewichtigkeit und ihre Definition erschiene auch recht willkürlich. Stattdessen fordert man zusätzlich drei Eigenschaften:

Eigenschaften:

  1. det ist linear in jeder Zeile.
  2. Ist der (Zeilen-)Rang kleiner als n, so ist det A=0
  3. det E = 1, das heisst, die Determinante der Einheitsmatrix ist gleich dem Wert Eins.
Die zweite und die dritte Eigenschaft sind wohl leicht zu verstehen, aber was heisst „linear in jeder Zeile?“

Als Illustration stellen wir uns eine quadratische Matrix vor, in der eine Zeile noch frei ist. Füllt man diese „Lücke“ mit einer bestimmten Zeile x (so nennen wir die Zeile einfach), so bekommen wir eine vollständige quadratische Matrix Ax, von der man deswegen die Determinante det Ax berechnen kann. Das gleiche kann man natürlich auch mit einer anderen Zeile y machen. „Linear in den Zeilen“ bedeutet jetzt ganz einfach folgendes:

Additivität:

Füllt man die Matrix mit der Zeile x+y und berechnet det Ax,y , so kommt es auf das selbe raus, wie wenn man die Determinanten von Ax und Ay separat berechnet, und dann addiert.
Das heisst:
det$A_(x,y)=det$A_x + det$A_y

Homogenität:

Füllt man die Matrix mit der Zeile a*x auf und berechnet man davon die Determinante det Aax, so kommt es auf das selbe raus, wie wenn man die Determinante von Ax berechnet, und dann mit a multipliziert.
Das heisst:
det$A_(ax)=a*det$A_x
Anders ausgedrückt:

Diejenige Abbildung, die einer Zeile x die Determinante der damit aufgefüllten Matrix zu ordnet, ist linear.

Diese drei Eigenschaften schränken die unendliche Anzahl möglicher Determinantenfunktionen auf genau eine ein. Den Beweis dafür, dass es genau eine solche Abbildung gibt, schauen wir uns später an. Zunächst geht es um die tatsächliche Berechnung in der Praxis.

Praktische Berechnung von Determinanten

Damit man überhaupt eine Determinante berechnen kann, muss es sich bei der Matrix um eine nxn-Matrix über einem Körper K handeln. Wir behandeln nacheinander verschiedene Fälle:

Fall n=1:

In diesem Falle haben wir eine Matrix, die nur aus einem Element besteht, und da ist es schnell einzusehen, dass die Determinante dieser Matrix das Element selbst darstellt.

Sei A die Matrix mit dem Element a, so ist det A = a.

Fall n=2:

Hier haben wir eine Matrix der Form
A=(a,b;c,d)
vorliegen.

Hier ist die Determinante schnell über folgende Formel zu berechnen:
det A= ad-bc.


Beispiel: A=(1,2;3,4)

det A= 1*4-2*3 = 4-6 = -2

Fall n=3:

In diesem Falle haben wir eine Matrix der Form
A=(a_11,a_12,a_13;a_21,a_22,a_23;a_31,a_32,a_33)
vorliegen. Für solche Matrizen haben wir auch eine Formel, die so genannte „Regel von Sarrus“. Erweitert man die Matrix auf folgende Form:
A=(a_11,a_12,a_13,a_11,a_12;a_21,a_22,a_23,a_21,a_22;a_31,a_32,a_33,a_31,a_32)
Das heisst, man legt rechts neben die ursprüngliche Matrix noch mal die ersten beiden Spalten der Matrix an..
Nun betrachten wir die Hauptdiagonale der ursprünglichen Matrix und bilden das Produkt der Elemente dieser Diagonalen:
d_1=a_11*a_22*a_33
Jetzt verschieben wir diese Diagonale in der erweiterten Matrix um eine Spalte nach rechts, und dort bilden wir wieder das Produkt der Elemente:
d_2=a_12*a_23*a_31
Das gleiche noch mal, also erstmal verschieben, dann Produkt bilden:
Jetzt betrachten wir die Nebendiagonale der ursprünglichen Matrix und bilden das Produkt der darauf liegenden Elemente:
d_4=a_13*a_22*a_31
Auch diese verschieben wir jetzt in der erweiterten Matrix und erhalten:
d_5=a_11*a_23*a_32
Nocheinmal liefert:
d_6=a_12*a_21*a_33


Nun haben wir alle Werte die wir brauchen, um die Determinante zu berechnen:
det$A=d_1+d_2+d_3-d_4-d_5-d_6


Beispiel:

Sei A die Matrix
Dann rechnen wir die Summanden einzeln aus:
d_1=1*5*9=45 d_2=2*6*7=84 d_3=3*4*8=96 d_4=3*5*7=105 d_5=1*6*8=48 d_6=2*4*9=72
Und berechnen die Determinante:
det$A=d_1+d_2+d_3-d_4-d_5-d_6=45+84+96–105-48-72=0
Hier ist die Determinante also Null. Das bedeutet, der Rang der Matrix A ist kleiner als 3.

Fall n³4:

Um die Determinante einer Matrix mit n³4 zu berechnen gibt es verschiedene Möglichkeiten. Zum einen kann man die Determinante „nach einer Zeile oder Spalte entwickeln“, dies ist ein rekursiver Weg, das bedeutet, wenn man bei einer 4x4-Matrix nach einer Spalte entwickelt, so muss man dafür dann die Summe der Determinanten von 3x3-Matrizen berechnen. Diese kann man dann über die Regel von Sarrus berechnen, oder auch wieder jeweils dort nach einer Spalte entwickeln.
Zum anderen kann man die Matrix auf Dreiecksform bringen (via elementaren Umformungen) und dann das Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen berechnen. Dabei muss man jedoch „Buch führen“ über die benötigten Umformungen, und beachten wie sich der Wert der Determinante aufgrund von elementaren Umformungen ändert. Diese Eigenschaften wollen wir uns erstmal anschauen:

Weitere Eigenschaften:

  1. Multipliziert man eine Zeile mit einem Skalar, so muss man die Determinante auch damit multiplizieren. Das folgt direkt aus der Linearität in den Zeilen.
  2. Vertauscht man zwei Zeilen, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante.
  3. Addiert man ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen hinzu, so ändert sich der Wert der Determinante nicht.
Überführt man eine Matrix mit diesen Umformungen in eine Dreiecksmatrix, und notiert sich die Änderungen, dann kann man die Determinante der ursprünglichen Matrix dadurch bestimmen, dass man das Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen der Dreiecksmatrix bildet, und dann die entsprechenden Änderungen nachträglich noch durchführt. Das machen wir mal an folgendem Beispiel:

Beispiel: Sei A die Matrix
A=(1,-1,2,-3;4,0,3,1;2,-5,1,0;3,-1,-1,2)
Die bringen wir jetzt schrittweise auf Dreiecksgestalt:

Als erstes addieren wir das (-4)-Fache der ersten Zeile zur zweiten, das (-2)-Fache der ersten zur dritten und das (-3)-Fache der ersten Zeile zur vierten Zeile, und dabei ändert sich die Determinante nicht. Wir bekommen dann:
A=(1,-1,2,-3;0,4,-5,13;0,-3,-3,6;0,2,-7,11)
Jetzt multiplizieren wir die zweite Zeile mit 3, die dritte Zeile mit 4 und die letzte Zeile mit (-6). Diese drei Schritte müssen wir uns notieren. Wir bekommen:
A=(1,-1,2,-3;0,12,-15,39;0,-12,-12,24;0,-12,42,-66)
Nun addieren wir die zweite Zeile zur dritten und zur letzten, wobei sich wieder die Determinante nicht ändert:
A=(1,-1,2,-3;0,12,-15,39;0,0,-27,63;0,0,27,-27)
Als letzten Schritt addieren wir die dritte zur letzten Zeile und erhalten eine Dreiecksmatrix A’:
A=(1,-1,2,-3;0,12,-15,39;0,0,-27,63;0,0,0,36)
Die Determinante der Matrix A’ , also det A’, ist nun det A mit sämtlichen Umformungen:
3*4*(-6)*det A = det A’ <=> -72*det A= det A’.
Da die Determinante einer Dreiecksmatrix das Produkt aller Hauptdiagonalenelemente ist, ist
det A’ = 1*12*(-27)*36 = -11664.
Jetzt kann man nach det A umstellen:
-72*det A= det A’ <=> det A = 162.

Entwicklungsformel:

Kommen wir aber noch mal zur Entwicklung nach einer Spalte. Dazu brauchen wir eine Matrix und eine Formel. Wir müssen zuerst aber ein paar Bezeichnungen einführen:

Definition: Ist A eine Matrix aus M(nxn, K), so bezeichne Aij diejenige (n-1)x(n-1)-Matrix, die aus A entsteht, wenn man die i-te Zeile und die j-te Spalte weglässt. „aij“ bezeichne das Element der Matrix in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte.
Die Determinante berechnet man dann folgendermaßen:
det$A=sum((-1)^(i+j)*a_ij*det$A_ij,i=1,n)
Diese Berechnungsformel nennt man die Entwicklung nach der j-ten Spalte, da der Index i ja durchlaufen wird (und i steht für die Zeilen). Man kann auch nach einer Zeile entwickeln, dafür muss man den Index i fest halten, und j durchlaufen.

Beispiel: Wir berechnen jetzt die Determinante einer 4x4-Matrix durch Entwicklung nach der ersten Spalte.

Sei A die Matrix
A=(1,-1,2,-3;4,0,3,1;2,-5,1,0;3,-1,-1,2)
Dann fangen wir mal an:

fed-Code einblenden

Die Determinanten der 3x3-Matrizen kann man am Besten mit der Regel von Sarrus berechnen, oder man entwickelt sie ebenfalls nach eine Spalte oder Zeile.



Es gibt noch eine weitere Möglichkeit die Determinante einer quadratischen Matrix zu berechnen, welche sich jedoch wegen ihrem erheblich grösseren Rechenaufwand nicht sonderlich gut zur praktischen Anwendung eignet.

“Trennlinie“

Zur Fortsetzung von Thorstens Arbeit (Leibnizsche Formel)


Trennlinie

Weitere Beiträge in der Reihe Lineare Algebra für Dummies:
  1. Einleitung: Vektorräume
  2. Kapitel 1 (Vektorräume): Begriffe Basis, Dimension, Direkte Summen.
  3. Kapitel 2 (Lineare Abbildungen): Begriffe: Lineare Abbildung, Kern, Bild, Verbindung zwischen Linearen Abbildungen und Matrizen, Rang einer Matrix, Isomorphismen, Matrizenumformung.
  4. Kapitel 3: Determinanten.
  5. Kapitel 4 (Lineare Gleichungssysteme): Begriffe: homogen, inhomogen, Gauß-Algorithmus affine Unterräume,.
  6. Kapitel 5 (Eigenwerte): Begriffe: Endomorphismus, Eigenraum, Diagonalisierung, charakteristisches Polynom.


 
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" Mathematik: Determinante: Was ist das?!" | 37 Kommentare
 
Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

Re: Determinante: Was ist das?!
von TR am Do. 20. März 2003 16:49:42


Wow!

Dein zweites Meisterwerk in dieser Reihe.

Respekt!

 [Bearbeiten]

Re: Determinante: Was ist das?!
von matroid am Do. 20. März 2003 16:52:38


Die Schwierigkeit ist diesmal, daß schon beim letzten Mal nicht an Formulierungen des Lobes gespart worden ist und es darum schwer fällt, noch ein größeres Lob auszusprechen.

Generationen von verstörten Erstsemestern werden sich für alle Zeit an Dich erinnern!



Gruß

Matroid

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Re: Determinante: Was ist das?!
von agchaos am Do. 20. März 2003 19:02:31


Das stimmt, was Matroid sagt. Das ist wirklich eine erstklassige Zusammenfassung und Erklärung. Mehr Worte finde ich nicht dazu.

Hochachtung!

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Re: Determinante: Was ist das?!
von DaMenge am Do. 20. März 2003 21:28:26


Auf der einen Seite muss ich Matroid zu stimmen, aber bin gleichzeitig der Auffassung, dass man es versuchen sollte :

(Nein ich werde jetzt nicht riesig-fett schreiben)



Da ich gestehen muss, dass ich bei Matrizen-Rechnungen (am Ende des Semesters) überhaupt nicht mehr mitgearbeitet habe, darf ich ohne Zweifel sagen : Diese Darstellung lädt nicht nur dazu ein, sich damit zu beschäftigen, sondern ist tatsächlich verständlich und logisch erklärt, das seines Gleichen sucht.

Ehrlich : Ich habe schon einige Bücher dazu überblättert, aber nirgends ist es auch nur ansatzweise so gut dargestellt, wie bei dir !

Somit : Vor Ehrfurcht und Entzückung verneige ich mich (virtuell) vor dir in der Hoffnung noch weitere "Ergüsse" lesen zu dürfen!



Greatest-Respect-Ever-Given !!



Grüsse

Andreas

aka DAMEnge


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Re: Determinante: Was ist das?!
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 20. März 2003 23:03:26


Das allgemeine Lob wird von mir geteilt, Thorsten - ich warte auf Dein erstes Lehrbuch!



Was ich allerdings vermisse: Die Dinge, die so toll an den Determinanten sind. Du hast die Funktion definiert und gezeigt, wie man's ausrechnet. Aber was ich damit alles wundervolles anfangen kann, was die Determinante für den Wald- und Wiesenmathematiker für ein wundervolles Werkzeug darstellt, das könnte dem Thema noch angeschlossen werden.



Fabian.


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Re: Determinante: Was ist das?!
von matroid am Do. 20. März 2003 23:11:49


Hi Fabian,



das ist immer ein besonders anspruchsvoller Teil, der mit den sinnvollen Anwendungen. Das auch noch zu zeigen lag nicht in Thorstens Absicht und erforderte sicher nochmal 1 bis 2 Artikel (Thorstens Artikel mußte ich schon zweiteilen). Ich würde mich freuen, wenn sich jemand findet, der sein Wissen / seine Erfahrung bei den Anwendungen aufschreibt. Wie wäre es mit Dir?



Viele Grüße

Matroid

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Re: Determinante: Was ist das?!
von Siah am Fr. 21. März 2003 00:24:14


Also ein paar Anwendungen kommen in den nächsten Kapiteln: Kapitel4: Lineare Gleichungssysteme, Kapitelx: Eigenwerttheorie.

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Re: Determinante: Was ist das?!
von elsa am Fr. 21. März 2003 18:18:57


hallo,

da mich dieses Thema zur Zeit recht interessiert,

kommt es wie gerufen!

Aber ich habe meine liebe Not mit dem Ausdrucken:

es wird dabei rechts abgeschnitten.

Wie mache ich es, damit ich den ganzen Text auf A4-Seiten bekomme, kann mir da jemand von Euch helfen?

lieben Gruß

elsa

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Re: Determinante: Was ist das?!
von matroid am Fr. 21. März 2003 20:14:03


Hm, vielleicht im Querformat?



Das nächste Mal müssen wir darauf achten, die Breitenbeschränkung einzuhalten.



Gruß

Matroid

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Re: Determinante: Was ist das?!
von DaMenge am Sa. 22. März 2003 11:09:32


@elsa

Eine Frage zur Frage :

Du hast den Artikel gespeichert und möchtest den jetzt ausdrucken, oder nur anzeigen(Bildschirmgröße)?



@matroid : Oder eine Pdf-Version zum downloaden ;-)



MFG

DaMenge

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Re: Determinante: Wie Drucken
von matroid am Sa. 22. März 2003 11:13:22


@DaMenge: Kein pdf-Format. Die Druckversion erreicht man mit dem kleinen Druckersymbol unter dem Artikel.



Gruß

Matroid

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Re: Determinante: Was ist das?!
von FriedrichLaher am Sa. 22. März 2003 11:55:20


Fabian spricht das an, was auch mir das Herz bedrückt.



Die Darstellung entspricht wohl dem üblichem Vorgehen im Unterricht und dem Betrieb an Unis - bei

dem keine Motivation, wozu das ganze gut sein soll, gezeigt wird.



Ich bezweifle aber, daß, historisch, da die Henne

vor dem Ei da war.

Sprich:

das ganze wird sich doch aus Lösungsverfahren

für

Lineare Gleichungssysteme entwickelt haben

-

aber dieser Zusammenhang darf dann,

nachdem

der Lernde die ganze, wie's scheint, aus Jux und Tollerei entwickelte Theorie mehr oder weniger intus hat,

von

ihm mühsam bewiesen werden,

wenn

es der Lehrer nicht gleich selbst vorexerziert.

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Re: Determinante: Was ist das?!
von Siah am Sa. 22. März 2003 12:45:34


Ja, da hast du schon recht, aber stell dir mal eine sinnvolle Gliederung eines vollständigen Kapitels über Lineare Gleichungssysteme vor, wenn man noch kein Wort von Determinanten oder linearen Abbildungen gesagt hat. DAS wäre entmoralisierend für den Leser, aber so kann er, wenn es beliebt das Kapitel über Determinanten dann selbstständig durchschauen und (hoffentlich) eigene Fragen beantworten. Erst dann kann man die Theorie der LGS verstehen.

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Re: Determinante: Was ist das?!
von Siah am Sa. 22. März 2003 12:51:03


Was ich damit sagen wollte ist, dass die "Determinante" alleine für nichts gut ist, sie ist aber ein wichtiges Hilfsmittel in vielen anderen Bereichen (LGS, Eigenwerte), und die Reihenfolge kommt daher, dass ich es nicht für didaktisch wertvoll halte mit einem Kapitel LGS anzufangen, und dort dann mit Begriffen umzugehen, die man noch überhaupt nicht behandelt hat.

Das Thema LGS (oder Eigenwerte) kann man natürlich vollstopfen mit Motivationen, hab da ich auch schon einige, denn das sind die Hauptbereiche, in denen zB die Determinante "nur" ein Hilfsmittel ist.

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Re: Determinante: Was ist das?!
von DaMenge am Sa. 22. März 2003 13:10:03


Kleiner Tipp-Fehler:

oben beim Fall n=3, bei der Sarrus-Gescichte ist die dritte Diagonale (von links-oben nach rechts-unten) mit der zweiten identisch.

MfG

DaMenge

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Re: Determinante: Was ist das?!
von DaMenge am Sa. 22. März 2003 13:18:13


Also um Verwirrung zu vermeiden :

oben beim Fall n=3

steht *über* dem Beispiel zweimal d_2 = ...

der untere Teil müsste d_3 = ... heißen



Außerdem ist die Matrix beim Beispiel der 3x3 Matrix eine falsche.



Hoffe, dass ich mich jetzt klarer ausgedrückt habe ;-)


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Re: Determinante: Was ist das?!
von Siah am Sa. 22. März 2003 14:01:17


ups! Die 3x3-Matrix soll (1,2,3;4,5,6;7,8,9) sein.

*ruf* Matro!*g*

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Re: Determinante: Drucken
von elsa am So. 23. März 2003 09:49:16


Das Problem mit dem Ausdrucken habe ich öfter!

Ich habe folgendes versucht:

Text markieren und im Drucken-Fenster auf Markierung gehen und ausdrucken

und

Text kopieren und in ein Word-Dokument einfügen,

beide Male wird aber die rechte Seite abgeschnitten.



Gibt es noch eine ander Möglichkeit,

außer Querformat zu verwenden?



liebe Grüße von Elsa

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Re: Determinante: Was ist das?!
von matroid am So. 23. März 2003 12:45:23


Hast Du schon das Druckersymbol unter dem Artikel angeklickt?



Gruß

Matroid

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Re: Determinante: Was ist das?!
von Ende am So. 23. März 2003 13:01:32


Bei mir ist das Druckersymbol rechts oben in dem Fenster, in dem auch ein Knopf fuer 'Kommentar schreiben' drin ist.



Gruss, E. wink

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Re: Determinante: Was ist das?!
von matroid am So. 23. März 2003 13:35:15


@Ende: Auch das, und auf der Titelseite ist es unten.

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Re: Determinante: Korrekturen
von matroid am So. 23. März 2003 14:34:21


Drei Korrekturen vorgenommen.



Gruß

Matroid

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Re: Determinante: Was ist das?!
von Ende am So. 23. März 2003 17:42:58


Ach daaaaaa!



Das habe ich bis jetzt noch nie gesehen. ;-)



Faszinierend, dass es noch immer Teile des MP gibt, die ich noch nicht erforscht habe.



Gruss, E. wink

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Re: Determinante: Drucken
von elsa am So. 23. März 2003 22:17:03


@matroid:

nun habe ich es mit dem Symbol versucht:

druckbare Version -

wird aber ebenso rechts abgeschnitten!



Gruß von elsa

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Re: Determinante: Drucken
von matroid am Mo. 24. März 2003 13:10:45


Explorer 6.0



Ich rufe zuerst die Druckversion auf, dann wähle ich im Explorer-Menue: Datei - Druckvorschau.

Da wähle ich: Seite einrichten - Querformat.



Explorer 5.0



Ich rufe die Druckversion auf, dann wähle ich im Explorer-Menue: Datei - Seite einrichten - Querformat.



Bei mir wird dann nichts abgeschnitten.



Gruß

Matroid

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Re: Determinante: Was ist das?!
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 08. November 2003 05:07:30


hi!
auch wenn ich's noch nicht GAAANZ blicke, die erklaerungen finde ich gut! auch ein lob von mir, damit kapier sicher sogar ich das irgendwann mal. Ich brauch fuer sowas immer ein bisschen laenger smile

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Re: Determinante: Was ist das?!
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 06. Januar 2004 17:09:12


Danke, danke danke-... besser gehts nicht.. jetzt hab uch ich es endlich verstanden.. Juhuuuuu
:o))

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Re: Determinante: Was ist das?!
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 13. Januar 2004 01:28:14


Hey ich bin ein Erstie und ohne Deine Page hier wär ich wohl aufgeschmissen. Obs was bringt werd ich demnächst in meiner ersten Prüfung sehen. Aber bin wenigstens zuversichtlicher!

Großes Danke!
Der Lars aus Dresden

PS: hast gar keine Werbung hier, wie finanzierst die Seite? Würde sich lohnen!

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Re: Determinante: Was ist das?!
von Yves am Sa. 17. Januar 2004 17:07:26


Hallo Lars

Wenn du dir die gesamte Seite anguckst wirst du feststellen, dass sie mit großem Engagement, Sorgfalt und Ideenreichtum gestaltet wurde. Du wirst weiter feststellen, dass es sehr viele Leute gibt, die versuchen anderen freiwillig zu helfen. Du wirst feststellen, dass es die Freude an der Mathematik ist, die alle hier auf dem Matheplaneten hält.

Man sollte nicht immer in erster Linie an Geld denken.

Gruß Yves

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Re: Determinante: Was ist das?! - Entwicklungsformel:
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 03. Februar 2004 13:27:37


Hey Yo!
habe da ne Frage zum Entwicklungssatz für 4x4-Matrizen:

Woher kommen die Vorzeichen bei den Unterdeterminanten:

det A = +1x ... -4x ... +2x ... -3x...

???

MfG + 4L

Outsider

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Re: Determinante: Was ist das?!
von Martin_Infinite am Di. 03. Februar 2004 13:58:45


Hi!

Der Entwicklungssatz wird fast in allen LA-Büchern vorbewiesen, und da sind die Vorzeichen halt alternierend.

Gruß
Martin

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Das Druckproblem
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 14. Februar 2004 14:08:57


Hallo! Zuerstmal danke für die Serie. So wirklich klar ist sie mir zwar nicht, aber ich hab ja auch noch bis Anfang März Zeit zum Lernen...

Das Druckproblem ist mir -- als Informatiker -- ganz klar. Die Grafik zwischen "Dann fangen wir mal an:" und "Die Determinanten der 3x3 Matrix..." ist zu breit! Der Internetexplorer nimmt, anders als zB LaTeX, das breiteste, unteilbare Element und sieht es als minimale (gesamt-) Seitenbreite.

Wenn man die weglässt (zuerst obere Markierung ausdrucken, dann untere) passt der Zeilenumbruch.

In anderen Worten: Wenn man die Grafik in zwei Teile teilt (zB bei der zweiten Multiplikation) passt alles. // René

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Re: Determinante: Was ist das?!
von matroid am Sa. 14. Februar 2004 14:26:47


Hi Anonymous,

Du hast recht. das war einfach, es zu verbessern.
Danke.

Gruß
Matroid

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Re: Determinante: Was ist das?!
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 22. Juni 2006 16:19:25



Die Determinante der Matrix A’ , also det A’, ist nun det A mit sämtlichen Umformungen:

    3*4*(-6)*det A = det A’ <=> -72*det A= det A’.

Da die Determinante einer Dreiecksmatrix das Produkt aller Hauptdiagonalenelemente ist, ist

    det A’ = 1*12*(-27)*36 = -11664.

Jetzt kann man nach det A umstellen:

    -72*det A= det A’ <=> det A = 162.




Wie kommst du denn auf diese Zeile:
       3*4*(-6)*det A = det A’ <=> -72*det A= det A’
Woher haste denn 3*4*(-6)?

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Re: Determinante: Was ist das?!
von Hans-im-Pech am Do. 22. Juni 2006 18:32:36


Zitat Siah in dem Artikel:


Jetzt multiplizieren wir die zweite Zeile mit 3, die dritte Zeile mit 4 und die letzte Zeile mit (-6). Diese drei Schritte müssen wir uns notieren



Anders als beim Addieren und Subtrahieren von Zeilen zu anderen, ändert die Multiplikation einzelner Zeilen (natürlich auch der ganzen Matrix) mit Skalaren den Wert der Determinante. Schau mal im Artikel ein paar Zeilen weiterhoch. smile


Viele Grüße,
HiP

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Re: Determinante: Was ist das?!
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 25. Juli 2006 16:58:13


Matheklausur morgen kann kommen! smile

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Re: Determinante: Was ist das?!
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 16. Februar 2008 01:35:27


Der Artikel ist top. Hat mir sehr geholfen.

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