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Mathematik: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
Freigegeben von matroid am Do. 10. April 2003 18:49:34
Verfasst von Martin_Infinite -   286707 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik


über Kegel, Pyramiden und Kugeln

schönes Bild, oder?



Hier sollen die allgemein bekannten Formeln für Oberfläche
und Volumen der genannten Körper hergeleitet werden






Klickt auf eine Formel um zu deren Herleitung zu gelangen:


FORMELN
Volumen
Mantel
Oberfläche
M
M+G
 
M+A+B
 
 
 
  
 
 
 
 
 
Die Oberfläche besteht aus dem Mantel und den Grundkreisen




1) Pyramide    

Das Volumen einer Pyramide erhält man, indem man sie mit
einem Treppenkörper annähert; sie somit mit Prismen 'füllt'
und deren Anzahl gegen unendlich laufen lässt. Das
Volumen
soll hier von unten angenähert werden, d.h. dass das Volumen
des Treppenkörpers mit endlich vielen Prismen
stets kleiner als
das der Pyramide ist. Man kann mit dem gleichen Prinzip auch
das Volumen von oben annähern, was auf dasselbe Ergebnis
hinauslaufen wird. Die Grundfläche wird nun mit G und die
Höhe mit h bezeichnet, die Anzahl der Prismen ist (n-1).
In der Abblidung ist n=5 :

Querschnitt durch die Pyramide

Also erhält man für das Volumen V von (n-1) Prismen:
 
Nun muss man die Reihe wohl anders darstellen, damit man
n leichter gegen unendlich laufen lassen kann. Man kann erst
einmal die ersten Partialsummen aufschreiben und davon aus-
gehen, dass es sich um ein Polynom dritten Grades handelt.
 
Nun hat man schon drei Gleichungen mit drei Variablen,
also kann man die gesuchten Variablen berechnen:

Nun beweist man das noch mit der vollständigen Induktion:

Setzt man die Formel in V ein, so ergibt sich:
 
Nun kann man n und somit die Anzahl der
Prismen gegen unendlich laufen lassen:

Und da steht sie, die Formel! Und das wurde für Pyramiden mit
beliebiger Grundfläche bewiesen. Nun kann die Abbildung auch
für einen Kreiskegel stehen, der mit Zylindern gefüllt wird. Also
kann man auch sofort das Volumen eines Kreiskegels berechnen.
Habe dieser den Radius r und die Höhe h, so ist die Grundfläche

und somit das Volumen
.
Man kann das Volumen eines Kreiskegels auch mit der Integral-
rechnung
herleiten, wobei man zwar mit Kanonen auf Spatzen
schießt, aber im Grunde genommen geometrisch dasselbe tut.




Ein Pyramidenstumpf ist eine eine Pyramide von der die Spitze
abgeschnitten wurde. Siehe Abbildung für Bezeichnungen:

Man versucht nun, die Höhen der Pyramide und der
Spitze ohne t darzustellen.
Für den Vergrößerungsfaktor
k von B zu A bezüglich deren Pyramidenhöhen gilt:


2) Kreiskegel   


Mit der Höhe h und dem Radius r erhält man einen
Kreiskegel, wenn man den Graphen einer linearen
Funktion s(x) um die Höhe rotieren lässt.




Koordinatensystem mit dem Graphen von s(x)
Dabei ist der Graph von s(x) eine Ursprungsgerade, von der man
die Steigung direkt ablesen kann. Sie ist r/h und somit lautet die
Funktionvorschrift s(x)=(r/h)*x. Allgemein gilt, dass das Volumen
des Körpers, der bei der Rotation vom Graphen von s(x) um die
x-Achse im Intervall [a;b] entsteht, das Volumen
V hat mit
 
Die beiden Wege, Treppenkörper sowie Integralrechnung,
führen zum gleichen Ergebnis. Bei der Herleitung speziell für
den Kreiskegel würde ich die Integralrechnung bevorzugen,
sofern sie vorausgesetzt ist, weil man schneller und filigraner
zum Ziel kommt. Aber allgemein wird die 'Arbeit' nur vereinfacht,
wenn man vorher 'Arbeit
' reingesteckt hat. Man kann mit der
Integralrechnung auch das Volumen eines Kreiskegelstumpfes
bestimmen. Seien a der Radius der Grundfläche, b der der
Deckfläche und h die Höhe eines Kreiskegelstumpfes:

Dann erhält man das Volumen mit dem Rotationskörper
des Graphens einer linearen Funktion t(x) um die
x-Achse im Intervall [0;h] :








Man hat genug Informationen, um t(x) zu bestimmen:

Wie oben kann man mit der Formel das Volumen berechnen:

Man könnte aber auch einfach die Grundfläche und die Deck-
fläche, die ja bei dem Kreiskegel Kreise sind, in die Formel
für das Volumen
eines Pyramidenstumpfes einsetzen,
um das Volumen eines Kreiskegelstumpfes herzuleiten:

Eine weitere Variante, das Volumen eines Kreiskegel-
stumpfes herzuleiten besteht darin, von dem Volumen
eines Kreiskegels das Volumen der Spitze abzuziehen.
Dazu braucht man einen Strahlensatz:





Weil man ja das Volumen des Stumpfes mit gegebenen
a,b und h berechnen will, isoliert man im Strahlensatz das x:

Es gilt ja
 
Also bietet die Integralrechnung zwar eine schnelle Standalone-
Herleitung, aber die andere Methode ist elementarer und nutzt
optimal die gegebenen geometrischen Umstände aus, ohne
Grundlagen abstrakter Rechenoperationen vorrauszusetzen.

Nun soll es um die Mantelfläche eines Kreiskegels
mit dem Radius r und der Mantellinie s gehen.
So sieht es aus, wenn man sie ausbreitet:

Der abgerollte Mantel ist ein Kreissektor. Allgemein ist klar,
dass sich eine Kreissegmentsfläche vervielfacht, wenn sich
der Bogen im gleichen Maße vervielfacht. Also sind diese
Größen proportional zuein
ander, somit sind die Verhältnisse
analoger Größen gleich. Deswegen ist hier das Verhältnis
des Kreiskegelmantels M zur grauen Kreisfläche genauso
groß wie das Verhältnis vom Bogen des Kreissegments
zum Umfang des grauen Kreises:

Man kommt auf das gleiche Ergebnis, wenn man den Umfang
der Grundfläche in n gleich lange Stücke teilt, die mit vielen
Unterteilungen, also für große n, Grundseiten gleichschenkliger
Dreiecke bilden, deren Höhen m dann die Mantellinie s sind:





Die Fläche des gelben Dreiecks ist dann

Eine dritte Möglichkeit, die Formel herzuleiten,
ist wieder das Füllen des Kreiskegels mit Zylindern:


Der Abstand eines Zylinders zum Rand des unteren
Zylinders ist r/n, weil im gesamten Kreiskegel
nach dem Satz von Pythagoras gilt:

...was der Satz von Pythagoras in den grünen Räumen ist.
Weil r/n für große n sehr klein und im Grenzfall, d.h. bei
unendlich vielen Zylindern sogar 0 ist, ist s/n eine gute
Näherung für die Höhen der Zylinder. Die Mantelfläche M
des Kreiskegels ist die Summe der Zylindermantelflächen,
wobei deren Anzahl gegen unendlich läuft:

Die Oberfläche eines Kreiskegels setzt sich aus
der Grundfläche und dem Mantel zusammen. Also gilt:

Man kann die Mantelfläche eines Kreiskegelstumpfes
genauso wie dessen Volumen herleiten:


Ein Strahlensatz besagt hier:




Genug zum Kegel. Um den Artikel abrundend
abzuschließen, geht es nun ausgiebig um die


3) Kugel


Die Oberfläche der Kugel kann man herleiten,
indem man die Kugel mit Pyramiden 'füllt',
deren Höhen der Radius r
der Kugel sind und deren
Grundflächen zusammen die Oberfläche ergeben:

Dann ist das Volumen V der Kugel:




Das Volumen der Kugel erhält man wieder durch
Treppenkörper. Man nähert zunächst eine Halbkugel
mit Zylindern an, deren Anzahl dann gegen unendlich läuft.

Hier soll nun das Volumen von unten angenähert werden.
Das gleiche Ergebnis würde die Annäherung von oben
liefern. Sei r der Radius einer Kugel, die
mit n Zylindern
der Höhe r/n und des Radius' z angenähert wird.


Da die grünen Linien stets der Radius sind,
gilt mehrmals der Satz des Pythagoras:

Ein Zylinder hat also hier das Volumen

Das Ganze geht auch viel schneller mit der Integralrechnung,
indem man einen Halbkreis um seinen Durchmesser rotieren
lässt. Dieser kann durch diese Funktion dargestellt werden:
 
Damit kann man die Formel für Rotationskörper anwenden:


Doch auf die verblüffenste und genialiste Herleitung
kam schon Archimedes (287 v.Chr. - 212 v. Chr.).

Einem Zylinder der Höhe und des Radius' r wird ein
Kreiskegel eingeschrieben und herausgeschnitten.
Eine Ebene schneidet diesen Restkörper und eine
Kugel des Radius' r in der gleichen Höhe h.
Nun
werden die Schnittflächen beider Körper berechnet.




Restkörper:
Nach einem Strahlensatz gilt:

Die Schnittfläche A ist ein
Kreisring, also gilt:



Halbkugel:
Der Satz des Pythagoras
besagt hier:

Die Schnittfläche F ist ein
Kreis ist, also gilt:
A = F

Da beide Körper bei beliebiger Höhe die gleiche
Schnittfläche haben, haben sie nach dem Prinzip
von Cavilieri das gleiche Volumen. Das Volumen
des Restkörpers ist das Volumen eines Kreiskegels
der Höhe und des Radius r' von einem Zylinder der
Höhe und des Radius r' abgezogen:

Mit diesem Ansatz kann man auch das Volumen eines
Kugelabschnitts
(eine Ebene teilt eine Kugel in 2 Kugel-
abschnitte) berechnen, wobei r der Radius der Kugel
und h die Höhe des Kugelabschnitts ist.

In der Abbildung sind die grünen Strecken stets r
und die roten Volumina sind gleich groß.
Deshalb gilt:

Die Integralrechnung kann da wieder alternativ behilflich sein:

Der Ansatz über Rotationskörper liefert:

Man kann diese Formel auch statt in Abhängigkeit vom
Kugelradius r in Abhängigkeit des Radius' t des
Kugelabschnitt-Grundkreises darstellen
.
Es gilt doch der Satz des Pythagoras:

(Diese Beziehung wird nun oft wiederverwendet)
Löst man nach r auf, so ergibt sich:


Das setzt man in die Formel des Kugelabschnittvolumens ein:


So sieht ein Kugelausschnitt aus:

Er besteht aus einem Kreiskegel der Höhe r und des
Radius' t mit aufgesetztem Kugelabschnitt der Höhe h
und des Radius' r. Doch ein Kugelausschnitt ist schon
eindeutig definiert durch den Radius r und der Höhe h.
Man kann also t durch den Term wie oben ersetzen.


Damit kann man auch den Mantel eines Kugelabschnitts
berechnen, der auch mit Kugelkappe bezeichnet wird.

Dazu füllt man einen Kugelausschnitt mit Pyramiden,
deren Grundflächen summiert die Kugelkappe ergeben.


Dabei lässt sich diese Formel auch statt mit dem Radius
der Kugel mit dem Radius des Grundkreises t des Kugel-
abschnitts darstellen.
Das Dreieck in der Abbildung ist
rechtwinnklig, weil die längere Seite der Durchmesser eines
Kreises ist, auf dem der gegenüberliegende Eckpunkt liegt.


Der Kathetensatz besagt dann hier:

Für die Oberfläche eines Kugelabschnitts muss man
noch die Grundfläche addieren. Die Grundfläche ist ein
Kreis des Radius' t, den man wieder ersetzt:

Aber auch hier ist die andere Darstellung mit dem
Radius t des Grundkreises möglich:

Beim Kugelausschnitt kann man zwischen Oberfläche
und Mantel
nicht unterscheiden. Er besteht aus einem Kreis-
kegelmantel und einer Kugelkappe. Auch hier ersetzt man t:


Zwei parallele Ebenen teilen eine Kugel in zwei Kugelabschnitte
(im Bild blau) und in eine Kugelschicht (im Bild rot).



Die Kugelschicht ist also eine Kugel von der zwei Kugelab-
schnitte abgeschnitten worden sind. Deshalb ist auch der
Mantel einer Kugelschicht
, der auch Kugelzone genannt
wird, zwei Kugelkappen von der Kugeloberfläche abgezogen.

Also gilt für den Mantel einer Kugelschicht:

Sowohl s als auch t heben sich auf. Also ist es egal, wo
sich diese Kugelschicht in einer Kugel mit festem Radius
befindet. Nur die Höhe ist entscheidend.
Das komplizierteste Problem ist wohl, das Volumen einer
Kugelschicht
herzuleiten. Die Höhe h dieser und der Radius
r der Kugel reichen nicht aus, um das Volumen eindeutig zu
bestimmen. Also braucht man die beiden Radien a und b
der Grundkreise. Zunächst fasst man alles zusammen,
was man 'hat'. Allgemein gilt ja




Es ist offensichtlich, dass h = t - s gilt. Außerdem gilt,
weil die Dreiecke ABC und ABD bei C bzw. D einen
rechten Winkel haben (->siehe hier) , der Höhensatz:

Nun ist das Volumen die Differenz von zwei
Kugelabschnitten, deren Höhen t bzw. s sind:





Ich möchte noch einmal deutlich sagen, dass komplexere
Rechenoperationen vieles vereinfachen, aber man sich dieses
Wissen erst einmal aneignen muss. Das Ziel der Mathematik
besteht auch darin, neue höhere Basen zu schaffen, auf denen
man bildlich gesehen einen neuen Ausblick hat, aber nicht un-
bedingt einen größeren! Deshalb ist es egal, von wo man einen
Beweis in Angriff nimmt, sofern man die freie Auswahl hat.




Ich habe sicher nicht alle möglichen Herleitungen aufgegriffen
und dabei versucht, wenig Wissen vorrauszusetzen. Für die
Variablen gelten die Bezeichnungen und Definitionsbereiche
wie in den Abbildungen. Da Recherche nur bei der Kugelschicht
nötig war, können Fehler nicht ausgeschlossen werden...
In diesem Fall könnt ihr mir per Mail den Fehler nennen.
Ich bedanke mich besonders bei Matroid für den Formeleditor,
der hier mal wieder sein Können bewiesen hat.




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Über Kegel, Pyramiden und Kugeln [von Martin_Infinite]  
Hier sollen die allgemein bekannten Formeln für Oberfläche und Volumen der genannten Körper hergeleitet werden.
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2016.06 (23x)http://google.lu/search?q=kreissegment berechnen formel
2015.10 (22x)http://www.bing.com/search?q=volumen kreisringhttp://google.de/
2012-2015 (22x)http://dimensionen.wikispaces.com/Die dritte Dimension
2016.01 (21x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=17&rct=j&q=kugel aus pyramiden
2015.11 (19x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=9&rct=j&q=wie berechnet man den volum...
201201-10 (14x)http://www.lebendige-mathematik.at/Klasse4/PDF_K4/LM4_D21.pdf
2015.08 (13x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=herleitung kugelzone
2016-2017 (8x)http://www.wahrexakten.at/showthread.php?t=17251
2012-2014 (7x)http://www.cosmiq.de/qa/show/2770995/formel-erklaerung-volumen-eines-kegels-1...
2012-2015 (5x)http://hydra.geht.net/tino/todo/math/
2016.08 (4x)http://google.de/search
201305-12 (4x)http://de.search.yahoo.com/search;_ylt=AqLI73oObCfBZNzLw4WVeX8qrK5_;_ylc=X1MD...
2013.04 (4x)http://de.images.search.yahoo.com/search/images;_ylt=A0PDoStjYGRRvDsAZbI1CQx....
2013-2014 (4x)http://de.search.yahoo.com/search?p=mantelfläche kugelkappe&ei=UTF-8&fr=moz3...
2013.07 (4x)http://www2.delta-search.com/?q=volumen abgeschnittener kugel&affID=119777&tt...
2013.01 (4x)http://www.bing.com/images/search?q=komplizierte mathematik&view=detail&id=EC...
2013.06 (4x)http://suche.web.de/pic/detail?q=gleichungen eines volumens von prismen&fsize...
201202-03 (4x)http://www.buzzdock.com/Pages/Search.aspx?a=1

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" Mathematik: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln" | 43 Kommentare
 
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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von matroid am Do. 10. April 2003 19:02:41



Hi Martin,

ich bin begeistert. Ehrlich begeistert. Ein Meisterwerk von Dir.
Zum genauen Lesen hatte ich noch keine Zeit, aber schon der optische
Eindruck ist toll, und Du hast Dich mit sehr vielen Körpern genau
auseinandergesetzt. Es lädt zum Lesen ein - das finde ich immer
besonders wichtig, Die sorgfältig gestalteten Graphiken und die
Übersichtstabelle am Anfang zeigen, wie gut Du ein großes Thema
gliedern und erarbeiten kannst. Und ich bin mir fast sicher, daß
auch die Rechnungen alle richtig sein werden.

Du hast Dir sehr viel Arbeit gemacht, und es ist etwas ganz besonderes
dabei herausgekommen.

Respekt und großes Lob.

Vielen Dank und viele Grüße
Matroid

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Martin_Infinite am Do. 10. April 2003 19:18:24


Vielen Dank Matroid!
Hast du super integriert!
Ich habe noch 2 Anliegen:
Zwischen der Formelsammlung und dem
Anfang des Pyramidenkapitels müsste
noch ein Absatz sein(der Schönheit wegen).
Und es wäre gut, wenn man auf der Startseite
des MP noch nicht die Formelsammlung sehen
kann. Das Bild alleine wirkt doch noch
geheimnisvoller razz
smile

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Hans-Juergen am Do. 10. April 2003 19:19:37


Hallo Martin,

von Deiner ausführlichen, detailreichen und sorgfältigen Arbeit, die auch optisch überaus ansprechend ist, bin ich sehr beeindruckt. Sie gehört zu den besten Seiten im Internet. Daß Du dabei systematisch den Formeleditor des Matheplaneten eingesetzt hast, ist ein weiteres großes Plus.

Ich grüße Dich voll Bewunderung.
Hans-Jürgen

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von InWi am Do. 10. April 2003 19:23:19


Wow ich werde dich abjetzt MultiMediaMartin nennen oder kurz Tippel-M :-). Das ist mit Abstand dein bester Artikel.

mfg florian

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Martin_Infinite am Do. 10. April 2003 19:29:56


Danke - Ihr könnt den Artikel übrigens
auch HIER<a/> lesen.

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von murmelbaerchen am Do. 10. April 2003 20:11:26


Also mich hat es auch in meiner Murmelbärchenhöhle
umgehauen.Klasse Martin!! Auch grosses Lob von
mir.Hast Dich selbst übertroffen.
Wenn mir noch die dumme Frage erlaubt sei, wie lange Du daran gesessen hast, und womit Du die
Grafiken gemacht hast?

*inehrfurchterstarrtes*
Murmelbärchen

P.S. Stimmt! Cooles Bild wink

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Martin_Infinite am Do. 10. April 2003 20:26:28


Das Titelbild habe ich mit Bryce 5 gemacht,
die Skizzen mit Ulead Photoimpact 8 und
die Formeln habe ich vom fed(v.2).
Ich saß da ungefähr 3 Wochen dran.
Die meiste Zeit habe ich damit verbracht,
die Formeln für mich zu beweisen.
Ich bin fast im Papierkram erstickt ;).
Und bitte entlasse die Ehrfurcht wieder
aus der Murmelbärchenhöhle. wink

Gruß
Martin

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Friedel am Fr. 11. April 2003 01:09:43


Mit Abstand die beste Erklärung, die ich bisher zu diesem Thema gesehen habe. Bei einigen Bereichen wußte ioch bisher gar nicht, dass es so einfach ist.

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von scorp am Fr. 11. April 2003 10:33:22


Dann will ich mich auch mal bei meiner neu angepflanzten *staun*-Plantage bedienen:

Sehr präzise und (so weit gelesen) auch verständliche aber vorallem übersichtliche und vollständige Abhandlung des Themas. Zwar interessiert mich Geometrie kaum, aber das liegt ja nicht an deinen Ausarbeitungen.

Weiter so und großes Lob für das Durchhaltevermögen!
Gruß,
/Alex

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Klasse, Martin!
von SchuBi am Fr. 11. April 2003 14:11:51


Du hast das toll dargestellt. Auch die Herleitungen haben es in sich. Der einzige Nachteil ist, daß Schüler aus dr Klasse 10 manche Herleitung nicht nachvollziehen können, da sie noch keine Analysiskenntnisse besitzen.

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von DaMenge am Fr. 11. April 2003 14:23:24


Hey Martin_I,
auch von mir ein riesen großes Lob !!

Ich werde das wahrscheinlich nicht aus Interesse lesen, aber bin mir dennoch sicher, dass es einigen Leuten sehr viel Arbeit erspart und noch wesentlich mehr Leuten viel Erkenntnis bringen wird.

Also : Mach weiter so !!
MfG
DaMenge

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Martin_Infinite am Fr. 11. April 2003 16:17:49


@Schubi:
Wir haben jetzt in der 10. Klasse ja auch
irgendwie das Volumen einer Pyramide herleiten
müssen. Was haben wir gemacht im Unterricht?
Wir haben die Volumina für 2 Unterteilungen,
3,4 usw aufgeschrieben und haben eine Verallge-
meinerung gemacht. Dann stand da die Summe aller
Quadratzahlen bis n und das durch n^3.
Wir haben mit dem Taschenrechner, bishin zu
Excel das n sehr groß werden lassen.
Das Doofe war, dass die Konvergenz da war,
aber zu langsam und nicht bewiesen wurde.
Mit den anderen Körpern war es genauso.
Nun, da dachte ich mir wegen dieser
induktiven Vorgehensweise schon sowas wie
hier zu schreiben... Aber das kam dann erst später.
Zum Glück sagte mein Lehrer noch, dass
wir absolut gar nichts darüber aussagen können,
ob das wirklich konvergiert. Später könne
man mit einem Werkzeug das gerade biegen.
Damit meinte er wohl die ganze epsilontik.

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Anwendungen!
von Martin_Infinite am So. 13. April 2003 13:46:42


Hier noch was zum Thema Anwendungen:
Eben beim Mittagessen hatte ich ein Déjà-Vue.
Ich dachte mir "Hä? Das kennst du doch irgendwo
her! Was war das nochmal?"
Bild

Hehe! Es ist ein , sage wir mal fast, ein
Kugelausschnitt!!!
*LOL*

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am So. 13. April 2003 19:37:35


Hi Martin,

Ich hätte da mal ein paar Fragen an dich:

1.)Was möchtest du mit diesem Beitrag echen?
Eine Zusammenfassung möglicher Herleitungen für Volumen-, Mantelflächen- und Oberflächenformen?
2.) Welche Zeilgruppe willst du mit diesen Beitrag erreichen?

Gruß N.

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Martin_Infinite am So. 13. April 2003 20:33:43


Wer bist du denn, N. ?
1)Es hat viel Spaß gemacht sich mal damit
zu beschäftigen. Und das was du vermutest ist
auch richtig.
2)Es soll alle Schüler von Klasse 9-13
erreichen, denen eventuell Formeln nur
eingehämmert werden oder nur in den Formel-
sammlungen als bekannt vorrausgesetzt werden,
,ohne dass diese bewiesen werden, wobei Schüler
bis Klasse 11 mir manches leider
'abkaufen' müssen :(. So war es nämlich
auch in meinem Unterricht.... Das regte mich auf,
das war ein weiterer Beweggrund, dies hier
zu schreiben.

 [Bearbeiten]

Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am So. 13. April 2003 22:43:32


Hi Martin,

Wenn das so ist, könnte ich deine kleine Beweissammlung zu diesem Thema auffüllen.
Wenn du daran interessiert bist kann ich dir beispielsweise einen weiteren Elementaren Beweis für das Volumen der Kugelzone (Kugelschicht)
beisteuern.Da kann man auch wieder Archimedes ausschlachten:-)
Außerdem gäbe es noch die Möglichkeit Das Kugelvolumen als Rotationsvolumen bzw. Doppel und Dreifachintegral aufzufassen.

Wenn du willst kann ich dir per Mail Einzelheiten nennen und du kannst sie in deine Sammlung "einbetten".

Gruß N.


 [Bearbeiten]

Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Martin_Infinite am So. 13. April 2003 23:08:57


Am besten du zeigst deinen Beweis hier direkt
in den Kommentaren. Warum soll ich das noch wieder
"unter meinem Namen" (ohne es zu meinen) veröffentlichen??
Das ist nicht fair und kompliziert oder?
Doppel- bzw. Dreifachintegrale kenne ich noch nicht.
Ich würde mich trotzdem freuen, wenn du
den/die Beweis,e hier postest.
Für Formeln benutze den Fed<a/>.
Nimm dir Zeit, eventuell die Lektionen durchzugehen.

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 14. April 2003 09:23:33


Hi Martin,

das Problem was ich habe ist

a) Ich komme nicht mit den "Fed" klar
b) Ich habe nicht so ein gutes Programm, mit dem ich vergleichbare tolle Grafiken für den Beweis herstellen könnte wie du.

Daher würde ich gerne dir die Unterlagen zukommen lassen und den Beweis erklären und du könntest das dann grafisch aufbereiten und oben vieleicht sogar einfügen.
Du könntest mich dann ja auch in einen Nebensatz namentlich erwähnen; Es ist sowiso nicht mein Beweis, so das ich irgendwelche Urheberansprüche stellen könnte und wollte.
Wann das dann hier auch publiziert werden würde wäre dir überlassen.
Ich stelle da keine Forderungen. Meine Bitte an dich ist aus rein "technischen Gründen" gerichtet; Ich bin wie gesagt neu hier auf dem "Planeten".

Was sagst du dazu?

Gruß N.  

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Martin_Infinite am Mo. 14. April 2003 10:59:05


Hmm - mag sein....

E-Mail: martin2408 'at' freenet 'dot' de

Vielen Dank schon mal.

 [Bearbeiten]

Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Martin_Infinite am Sa. 10. Mai 2003 09:50:39


Ich habe bisher noch keine E-Mail bekommen.
Adresse ist martin2408@freenet.de

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 23. Juli 2003 12:50:35


Hallo,
Du hast mir sehr geholfen. Die Kugelschichtformel hat mir noch gefehlt, zur Auslegung von bestimmten Werkzeugen im Schraubenbereich. Das mal dazu, weil einige fragen, wozu diese Seite gut sein soll!!!!
Danke

 [Bearbeiten]

Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Martin_Infinite am So. 26. Oktober 2003 14:17:57


Die kannst du aber auch in jeder Formelsammlung
finden. Hier ging es primär um die Herleitungen.

 [Bearbeiten]

Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 25. November 2003 17:12:00


muss sageb dass hier ist sehr gelungen! ein großes lob! ich bin momentan in der 10ten klasse und schreibe bald ne mathearbeit und dass hier hat mir sehr geholfen! habs auch gleich meinen klassenkameraden empfohlen wink

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Martin_Infinite am Mo. 22. Dezember 2003 12:01:42


Freut mich, dass der Artikel vielen so nützlich ist smile
Hätte ich echt nicht erwartet!

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 19. Februar 2004 16:32:13


Super Arbeit!



Ich hätte da eine Frage:


Wie berechne ich die Oberfläche einer "Kugelkappe", die aber 2 unterschiedliche Radien hat?
Diese "Kugelkappe" soll aussehen wie eine normale 60cm Offset-Satellitenantenne. D.h. diese ist oval !!! => der horizontale Radius ist kleiner als der vertikale Radius.

Mit der Formel Akappe = PI * (r2 + h2) geht das nicht wegen den 2 verschiedenen Radien.



Wer kann mir BITTE helfen?



Bitte E-Mail an chris777 (at) gmx.net

...Adresse wegen Spammer verunstaltet, aber ihr wisst wie es zu lesen ist. ;-)


Vielen Dank!


Chris

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Martin_Infinite am Do. 19. Februar 2004 17:09:38


Hi!

Meine Idee wäre : Betrachte den Körper als Rotationskörper eines Elipsenabschnittes und wende die Mantelflächenformel mit dem Integral an.

Gruß
Martin

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 19. Februar 2004 17:24:56


Hallo Martin,

so gut mit Integralen bin ich auch nicht mehr. Ist schon eine Weile her als ich Integrale auf der FH hatte. frown

Andere "Standard"-Lösung vielleicht?

Gruss,
Chris

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 28. Juli 2005 12:35:37


@ anonymous

ich hab mal in einem mathe buch geguckt.
da steht u der kugelkappe das gleiche was oben steht.

A=2*pi*r*h       wobei h die höhe des zugehörigen abschnitts ist.
wie du auf die formel da kommst, versteh ich aber nicht ganz.

 [Bearbeiten]

Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 07. Oktober 2005 08:57:03


Hallo

hab noch einen kleinen Fehler entdeckt.
Unterhalb des Textes zu Kapitel 1. Pyramide:
>Nun hat man schon drei Gleichungen mit drei Variablen,
>also kann man die gesuchten Variablen berechnen:

sollten folgende Gleichungen stehen:

I:1 = a+b+c
III:14 = 27a+9b+3c

Ansonsten topp.

Gruss
Frank

 [Bearbeiten]

Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Martin_Infinite am So. 09. Oktober 2005 19:16:24


Hi Frank,
 
danke für den Kommentar. Die Korrektur wurde vorgenommen.
 
 Gruß
Martin

 [Bearbeiten]

Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 17. November 2005 14:10:52


Lieber Martin,
mit dieser wunderbaren Erklärung hast du mir bei einer meiner Matheübungen wirklich weiter geholfen.
Doch solltest du ein paar Klammern setzen!!! Schließlich geht Punktrechnung immer noch vor Strichrechung und das verwirrt einen in diesem Abschnitt:
 Nun hat man schon drei Gleichungen mit drei Variablen,
also kann man die gesuchten Variablen berechnen:
schon sehr!!!!
Ich danke dir trotzallem ..
Lob und liebe Grüße Katha

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 07. Juni 2006 20:44:18


Hey, ich bin durch Zufall auf diese Seite gestoßen, weil ich morgen eine Mathearbeit schreibe und den einen Beweis noch gesucht habe. Ist echt super erklärt! Dankeschön!

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am Do. 07. Dezember 2006 11:46:58


ich fänd eure seite echt top aber in der 8.klasse hauptschule da versteh ich wirklich nich alles was ihr da schreibt

 [Bearbeiten]

Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von huepfer am Do. 07. Dezember 2006 12:01:36


@Anonymous,

das ist ja auch kein Problem. Wenn Du irgendwas nicht verstehst, dann frage halt einfach im Forum nach und dann wird sich sicher jemand finden, der Dir weiter hilft. Dafuer ist die Seite ja auch da.
Und wenn Du alles hier verstehen wuerdest, waere das zumindest doch sehr verwunderlich, schliesslich sind hier auch jede Menge Leute, die mit ihrem Studium fertig oder fast fertig sind. Dass das dann ueber Schulniveau ist, verwundert nicht, oder? wink

Gruss,
   Felix

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 17. März 2007 19:34:13


Halooo!!!!
Das is echt super!!!! Halte über die Kugel ein Referat und hab jetzt alles erkannt!!! Finde die Zeichnugen super, besser als die die unser Lehrer aufgezeichnet hat!!! wink Die Darstellung und Übersicht ist irgendwie besser als in unserem Mathebuch! Außerdem ist es viel ausführlicher!!! Danke für diesen super Eintrag, damit hab ich wirklich alles verstanden!!!   cool Macht weiter so!! Wenn ich wieder mal Hilfe brauche weiß ich ja jetzt wo es sie gibt! razz
Also by by!!!

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 19. März 2007 16:26:58


super seite für meine morgige Prfg!!!!!!!!!! smile

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am Di. 17. April 2007 10:41:11


hey deine seite ist toll aber irgendwie komplisiert

du solltest vieleicht etwas mehr platz zwischen den einzellnen sachen lassen weil man sonst durcheinander kommt

ansonsten voll gut

 [Bearbeiten]

Über Kegel
von Ex_Mitglied_40174 am So. 06. Mai 2007 17:26:32


Ja, echt super Seite, allerdings besteht unsere Lehrerin leider drauf, dass wir die Formel für das Volumen des Kegels nicht mit Integralrechnung oder all den andren Möglichkeiten, die hier aufgelistet wurden, erarbeiten...
Gibt es da noch irgend eine Möglichkeit???
grüße
Lisa, 10. klasse confused

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Jancsi am Fr. 15. Juni 2007 13:19:38


Hallo Lisa,

in Klasse 10 würde ich das Kegelvolumen mit der Treppenkörpermethode für die Pyramide herleiten, wobei für G einfach die Kreisfläche angenommen wird. Die hochabstrakten Summenzeichen, die einen Zehntklässler eher abschrecken, kann man durch einfache Versprachlichungen wie z.B. "wenn man alle ... aufsummiert, so erhält man ..." ersetzen. Vor allem wenn man das Ganze MitschülerInnen erklären soll, die vielleicht nicht so die Mathegenies sind, sollte man versuchen, einfache Formulierungen zu verwenden.

Gruß,

Jancsi

P.S.: Ach ja, beinahe hätte ich's vergessen: Klasse Artikel!

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 30. Juni 2007 11:58:42


aha jetzt versteh ich danke:-) hast recht
  nur des mit deinem essen lol

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am Fr. 07. März 2008 19:23:05


eek am Anfang scheint alles klar zu sein, mad aber es fehlt der  mad Zylinder und seine Formel.... da bin ich sauer geworten...

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von lula am Fr. 21. März 2008 16:06:05


Hallo
Ich find es immer schade, wenn was mit Grenzwerten berechnet wird, was schon die alten Griechen ohne diesen Begriff konnten!
Das Prinzip von Cavalieri ist leicht zu erklären und anschaulich zu machen. Danach hat man alle spitzen Körper, dadurch, dass man fesstellt, dass in einen Quader 3 "schiefe" Pyramiden mit gleicher Grundfläche und Höhe passen.
bis dann lula

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Re: Über Kegel, Pyramiden und Kugeln
von Ex_Mitglied_40174 am So. 27. November 2011 13:23:18


Ich schreibe morgen eine Mathe Arbeit, finde die seite doch kompliziert. Ich schreibe über Satz des Pytragoras,dann wie kegel und pyramiden. Das zu rechenn, versteh ich nicht. und hier verstehe ich es auch nicht, könnt ihr mir helfen? :/

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