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Mathematik: Ein paar Integrale...
Freigegeben von matroid am Mi. 18. Juni 2003 15:54:55
Verfasst von pendragon302 -   152513 x gelesen [Gliederung] [Statistik] Druckbare Version Druckerfreundliche Version
Mathematik



Ein paar Integrale...




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[Sehr umfangreicher Artikel mit vielen Formeln, darum bitte Geduld beim Laden.]

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Eine Übersicht weiterer Integrale



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__________________________________________________________________________

Leider gibt es Integrale, wo man keine geschlossene Stammfunktion angeben kann, wie z.b.
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In diesem Thread hat uns Spock gezeigt, wie man, obwohl man die Stammfunktion nicht kennt, ein bestimmtes Integral löst.
Es gibt eine Menge Funktionen, deren Stammfunktion man nicht angeben kann, oft hilft dabei nur, die Funktion in eine Reihe zu entwickeln und diese Reihe dann zu integrieren. Wenn man bei einem Bruch im Nenner ein höhergradiges Polynom hat, muss man Glück haben, dass man davon die reellen Nullstellen bestimmen kann, denn eine PBZ mit komplexen Nullstellen ist sehr rechenaufwendig. N-Man hat uns hier gezeigt, wann man bei welchen Nullstellen welchen Ansatz für die Partialbruchzerlegung machen muss und Rodion hat hier ebenfalls etwas über die PBZ geschrieben.

Bei den meisten Integralen hilft nur ein gezielter Blick, um eine gute Substitution zu finden und somit eine Stammfunktion zu finden. Man muss sich auch mit den Beziehungen der Winkelfunktionen auskennen, denn oft helfen diese, das Integral zu lösen. "Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus" war mein erster Artikel, der darüber handelte. Ich hoffe, ich konnte denjenigen, die sich mit der Integralrechnung nicht so gut auskennen, ein bisschen weiterhelfen und konnte euch einigermaßen verständlich den Weg zur Lösung der Integrale zeigen.

Ein bekannter Spruch lautet
"Differenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst".
Mit diesem Worten wünsch ich den Bewohnern und Besuchern
des Matheplaneten einen schönen Sommer.

Mit freundlichen Grüßen

Artur Koehler
(alias pendragon302)


Trennlinie
Artikel von pendragon302 zur Differential- und Integralrechnung:
  • Ganz genau: Potenzreihenentwicklung nach Taylor
  • Ganz genau: Gelöste Differentialgleichungen
  • Ganz genau: Krümmungskreise
  • Ganz genau: Das Problem der Traktrix
  • Ganz genau: Gelöste Standardintegrale
  • Ganz genau: Die Beziehungen vom Sinus und Cosinus


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    Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
    : Schüler aufwärts :: Analysis :: Leicht verständlich :: Mathematik :: Integration :: Standardintegrale :
    Gelöste Standardintegrale [von pendragon302]  
    Pendragons Artikel zu den Standardintegralen und den Strategien zu ihrer Lösung
    [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

     
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    " Mathematik: Ein paar Integrale..." | 51 Kommentare
     
    Für den Inhalt der Kommentare sind die Verfasser verantwortlich.

    Re: Ein paar Integrale...
    von Siah am Mi. 18. Juni 2003 17:26:21


    *applaudier* Sehr fein!!! Dieser Artikel wird wahrscheinlich recht oft im Forum verlinkt werden smile

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 18. Juni 2003 17:33:31


    ***** ÄHMMM ********
    wenn ich meine Kinnlade wieder finde fallen mir vielleicht bessere Wort ein, aber das ist ja wohl brutalst cool !!!
    ** gleich mal sichern ... **

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am Mi. 18. Juni 2003 17:34:49


    Danke Siah! Möchte mich bei dir nochmal für die letzten Tipps bedanken!! smile

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von InWi am Mi. 18. Juni 2003 17:42:22


    Hey pen,

    sau cooler Artikel der auch noch rechtzeitig für die Matheklausur im September kommt - **Papier in den Drucker leg** wink

    ABer da wird eine Fed-Formel nicht angezeigt - das solltest du oder Matro mal überprüfen.

    bis dann

             florian


     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am Mi. 18. Juni 2003 17:47:48


    Danke InWi und Anonymus!!

    @inwi Leider kann ich die fed-Formeln nicht mehr beeinflussen, dass muss Matroid machen ;-).


    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von SchuBi am Mi. 18. Juni 2003 19:54:43


    Das ist ja erste Sahne.
    Einfach gut!

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von scorp am Mi. 18. Juni 2003 21:27:09


    Hey penny,
    wie du sicher weisst...nicht mein Fall dieses Thema (dazu haben wir doch die Rechenknechte ins Leben gerufen...). Aber du hast deinen Artikel einmal mehr gut gegliedert und ein 1A-Nachschlagewerk geschaffen fuer alle Hilfesuchenden.
    ...und zu dieser Gruppe werde ich in wenigen Monate auch zaehlen wink

    Jetzt weiss ich auch endgueltig auch wer meine Hausaufgaben auf dem Gebiet machen darf/wird. =P

    Viele Gruesse,
    /Alex

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am Do. 19. Juni 2003 10:37:25


    Danke Schubi und Alex

    @scorp
    LOL

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von Cousinchen am Do. 19. Juni 2003 19:39:30


    Ähm ja...
    Ist bestimmt toll.
    ABER: Wenn man von Integralen (so wie ich) noch garnix weiß, ist der Artikel - sagen wir - sehr schwer bis überhaupt nicht verständlich.

    @Pendra Aber nachdem dich alle anderen so loben:
    Sieht echt schön aus, mit den ganzen schönen Fed-Einbauten.

    MfG,
    Sinchen

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von Ex_Mitglied_40174 am So. 22. Juni 2003 02:27:19


    Da gab's doch einmal so ein
    Nachschlagswerk voller handgeschriebener
    Inegrale. Oft aufgelegt, aber nie gesetzt, wegen der potentiellen Druckfeher........

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von Martin_Infinite am Fr. 27. Juni 2003 11:30:16


    Ich konnte deinen Artikel jetzt erst lesen.
    Wow! Sag ich da nur! Er ist sehr schön und ver-
    ständlich geschrieben, das kann man so durchlesen,
    und einem fliegen die sonst so anscheinend schwer
    integrierbaren Integrale nur so weg!
    Sehr schön!

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von Spock am So. 29. Juni 2003 17:33:05


    Hallo Artur,

    auch von mir ein ganz dickes Lob, und ein klein wenig seh ich es Dir nach, daß Du (zum Glück ohne Konsequenzen) die Physik etwas vernachlässigt hast in dieser Zeit, smile



    @Anonymous, den mit "handgeschriebener Inegrale": wär schön Deinen Namen zu kennen. Meinen wir beide das gleiche zweibändige Werk, Erstauflage 1949? Meines Wissens gibt es selbst von dem Original-Nachdruck von 1960 nur noch sehr wenige Exemplare. Und wer das Werk kennt und verstanden hat, der weiss auch, daß "gesetzte Kopien" scheitern müssen, u.a. wegen der "Kunst des Integrierens"...

    @pen: Du hast das Zeug für die Kunst, mach weiter!



    Gruß

    Juergen

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am So. 29. Juni 2003 21:10:24


    Danke euch

    @Cousinchen

    Noch verstehst du sie nich aber in einem Jahr oder sogar noch früher wirst du sie sicher verstehen wink

    @Anonymus
    Leider kenne ich diese Sammlung nicht.

    @Martin_inf
    Das freut mich zu hören.

    @Juergen
    Eigentlich habe ich diesen Artikel noch dem Physik Abi geschrieben *g*

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von Abakus am Mo. 30. Juni 2003 12:18:31


    hallo..ich versuche die rechnung (integral über (zähler= 2x^4-3x^3-7x^2+13x-3) / nenner= x^3-3x^2+4)) nachzuvollziehen und scheiter schon an der polynomdivision..wie machst du dass ? ich würde als divisor (x+1) nehmen da ich durch ausprobieren weiss das -1 eine nullstelle ist ... jetzt teile ich den zähler durch (x+1) und bekomme halt was mit rest raus ... du aber schreibst direkt x^2 in den zähler und davor aber 2 summanden ... hab ich in der schule was verpasst wink ...

    wie geht denn dass ? die nullstellen nennst du erst später ... deswegen weiss ich nicht wie du deine polynomdivision ansetzt ...

    mfg abakus

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am Mo. 30. Juni 2003 22:41:56


    Hi

    Bei der Polynomdivision darf auch eine Rest rauskommen wink

    fed-Code einblenden

    Hoffe es war einigermaßen verständlich.
    Es ist schwer eine Polynomdivisdion zu erklären

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von FriedrichLaher am Di. 05. August 2003 15:18:29


    @pen:
    ich vermute, daß, was
    hier vorgeführt wird, nicht Gymnasialstoff ist und daher in Deiner Auflistung fehlt.
    Mich verblüffte es jedenfalls, daß sich für

    1 + x4

    tatsächlich eine reelle Faktorisierung angeben läßt

    und machte mir das ersteinmal durch eine andere
    Teilproduktbildung aus den 4 Komplexen Linearfaktoren klar,
    bis
    mir aufging, daß

    1 + x4 = (x²+1)²-2x²
    was
    schließlich zu [(x + a)²+b][(x - a)²+b] wird

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am Di. 05. August 2003 21:17:59


    @friedrich

    Ich hab diese Art nicht benutzt weil sie mir nie aufgefallen ist und ich so ein Integral noch nie vor mir sah smile

    Du meinst sicher
    [(x + a)²+b][(x + a)²-b]
    oder?

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am Di. 05. August 2003 21:19:32


    Ach jetzt sehe ich was du meinst, dachte in der Klammer wär ein x². Sorry! Ja hast recht wink

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von Ex_Mitglied_40174 am Do. 07. August 2003 11:48:43


    Echt starker Text
    Aber ich hab bei Integralen noch net den Richtigen Durchblick aber ich bin sicher , dass mich dein Text weiter bringt!!!

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am Do. 07. August 2003 22:42:50


    Danke dir Anonymus!

    Falls du irgendwo Schwierigkeiten hast, frag ruhig nach wink

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 18. August 2003 16:37:11


    Ist ein absolut klasse Artikel!
    Aber beim Drucken hab ich Probleme: weil einige Grafiken deutlich zu groß sind, wird nur die 1. Seite gedruckt, dann nix mehr!

    Kann mir hier jemand helfen? Oder diesen Text in PDF konvertieren???

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am Mo. 18. August 2003 22:15:24


    Danke Anonymus!

    Leider kann ich dir nicht helfen, da musst du Matroid fragen.

    In PDF kann ich es auch nicht konvertieren, weiß nicht wie frown

    Hast du über die Druckversion versucht zu drucken?

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 20. August 2003 16:39:54


    @pendragon302

    Hab ich gerade ebend versucht, hat aber leider auch kein Erfolg gebracht ;-(

    Was mir einfällt, wäre folgendes: jede zu große Grafik zerteilen. ABER der Aufwand dafür ist ja riesig!

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am Mi. 20. August 2003 18:20:05


    Habs leider auch noch nihct versucht zu drucken.
    Jedes einezlne Bild zu teilen wär ne Menge Arbeit.

    Vielleicht fällt mir noch ein Weg ein.

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am Mi. 20. August 2003 18:38:23


    Hast Word oder ein ähnliches Programm?

    Dann versuch mal den Artikel zu markieren und dann per copy&paste in Word oder so einzufügen. Hab OpenOffice und da wurden alle Bilder auf DINA4 Größe gepackt. Versuch mal diesen Weg!

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von matroid am Mi. 20. August 2003 23:45:26


    Tja, ans Drucken hat wohl keiner gedacht.
    Wenn ein Klick auf das Druckersymbol nicht funktioniert, dann ... geht es jetzt leider nicht.

    Mal schauen, was man da machen kann.

    Gruß
    Matroid

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am Mo. 25. August 2003 11:00:06


    @Anonymus

    Schau mal hier

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von Ex_Mitglied_40174 am Mo. 15. September 2003 00:33:21


    Ach du heilige Sch......
    war grad auf der suche nach Polynomdivision in google weil ich in der 9ten Klasse Gymie bin und durch Zufall (huh es gibt ja ne andere Methode als die Binomischen Formeln um das Zeugs auszurechnen mal sehen..... und da bin ich)auf die Seite gelandet bin. Und jetzt die Frage:
    Muss man das können o.O
    2Frage:
    Darf man das können? Ist ja unmenschlich....

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am Mo. 15. September 2003 22:58:24


    Nun ja wenn man irgendwann einen Mathe LK hat oder Mathe studiert, sollte man das können wink

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von Spok am Mo. 15. September 2003 23:27:32


    Lob, Lob und nochmal Lob. Du hast einem super Artikel geschrieben.
    Ich hab mich da immer an dem Bronstein gehalten.
    da stehen ja auch einige Integrale drin.
    Dein methoden sind auber einfacher. supi !!!

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am Di. 16. September 2003 09:30:10


    Danke schön Spok!!!

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am Mi. 17. September 2003 08:20:15


    Hi

    Was haltet ihr von der Idee, die bereits im Forum behandelten Integrale in einer Tabelle sammeln und immer ins Forum zu verlinken? Dabei könnte man die Tabelle ordnen  nach z.B. trigonometrischen Ausdrücken, logarithmische Ausdrücke usw.

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am Fr. 19. September 2003 10:24:24


    Wohl nichts biggrin

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von chrissy am Fr. 19. September 2003 14:29:40


    Ich find die idee gut weil man an den aufgaben dann noch üben kann, und das viel weniger zeit beansprucht als wenn sich jeder selbst auf die suche macht.

    mfg
    chrissy

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von pendragon302 am Fr. 19. September 2003 20:17:44


    Dann werd ich mal am Wochenende das Forum nach Integralen durchforsten.

    Dann hätte ich nohc eine Frage an matroid. Wenn ich solche Tabelle anfertige und einen Artikel darüber mache, wär es möglich, dass ich die Tabellen erweitern kann?

    Gruß

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von DaFakka am Fr. 28. Mai 2004 20:18:10


    Ich meine soetwas wie arcsinh x , arccosh x gibt es nicht.
    Das heisst doch AreaSinusHyperbolicus von x bzw.
    AreaCosinusHyperbolicus von x.
    arsinh x
    arcosh x

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von Ex_Mitglied_40174 am Sa. 14. August 2004 12:55:04


    Hätte mal noch ne Frage zur Faktorregel:
    Für welche Funktionen  f  und für welche
    Zahlen a,b,c ist den diese Regel gültig.
    Regel heißt ja es gibt Ausnahmen  wink

    Habs gleich mal mit  f(x)=sin(1/x)/x^2
    und  a=0 , b=1 , c=0  probiert

    Das erste Integral war Null weil
    0 integriert über [0,1] eben Null ist.
    Und das zweite Integral war nicht
    definiert weil Null mal etwas nicht
    definiertes eben nicht definiert ist.

    Gruß Anonymous

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von FlorianM am Do. 06. Oktober 2005 20:46:23


    Die Artikel aus der Reihe "Ganz Genau" sind der Wahnsinn!

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von Ex_Mitglied_40174 am Mi. 15. Februar 2006 17:05:19


    sehr schön das alles! verstehs auch eigentlich ... nur in der klausur wird problematisch mir das alles auf die hand zu schreiben  hehe^^

    "ich kann das nicht"   ne   quatsch, aber die nächsten 2 - 3 stunden werd ich wohl auf dieser seite bleiben...
     

    mfg nWoLimp

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von da_bounce am Mi. 14. März 2007 15:01:20


    wow wow kann ich nur sagen...den werde ich mir ausdrucken und alles selber durchrechnen.

    Super Artikel

    lg George

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von thorbjoern am Di. 27. November 2007 09:20:35


    ich habe gestern ein paar integrale nachgerechnet, ziemlich hilfreich der artikel. ich wollte fragen ob bei der integration von 1 durch (3x^2+6x-24), müsste da nicht 1/18 statt 1/24 stehen?

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von Gockel am Di. 27. November 2007 18:36:26


    Ja, da liegst du richtig. Eine entsprechende Änderungsanfrage wurde gestellt, das sollte in Kürze behoben sein.

    mfg Gockel.

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von Ex_Mitglied_40174 am Do. 31. Januar 2008 16:56:17


    Eine völlig verzweifelte Lebensmittelchemiestudentin sagt DANKESCHÖN!!!!
    So besteht endlich wieder eine Chance, dass ich meine Matheprüfung bestehe. biggrin
    Also noch mal vielen Dank und LG von Liliana

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von GrandPa am Sa. 08. März 2008 18:19:56


    Hallo,

    ich habe eine Frage zur Aufgabe
    f(x) = 2x³+3x²+x+4/3x²+5x+4

    Warum steht in der zweiten Zeile nach dem Satz "Die Polynomdivision liefert uns" plötzlich 2x³+3x²+x+4/3x²+6x+1  ??

    Ist das ein "Druckfehler" oder wie komme ich auf diese Umwandlung  confused

    Danke für ein Antwort!



     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von huepfer am So. 09. März 2008 13:51:43


    Hallo GrandPa,

    Ich denke, dass Du die erste Zeile einfach vergessen kannst. Ich habe die Stelle nur ganz kurz überflogen, aber es macht den Eindruck als wäre einfach mit dem zweiten Term gerechnet worden.
    Ich habe schon eine Nachricht an den Autor geschrieben, er wird das vermutlich demnächst entsprechend ändern.

    Gruß,
       Felix

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von GrandPa am So. 09. März 2008 18:59:32


    Hallo huepfer,

    ok, das würde es erklären :)! Habe mir schon fast die Zähne daran ausgebissen. wink
    Danke !

    Gruss Uwe

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von natalile am Mo. 29. Juni 2009 11:01:13


    Hallo Pendragon,

    wirklich ein super Artikel! Hat mir schon unendlich viel geholfen!

    Aber ich habe eine Frage zu dem Integral

    fed-Code einblenden

    und zwar hast du als Lösung
    fed-Code einblenden
    angegeben.

    Aber müsste es nicht eigentlich heißen:
    fed-Code einblenden
    (also plus und minus vertauscht)

    und damit

    fed-Code einblenden
    ?

    Oder verstehe ich da irgendwas falsch?
    Wäre super wenn du (oder jemand anderes) mir kurz eine Antwort geben könnte.

    vg

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von fru am Mo. 29. Juni 2009 14:41:29


    Hi natalile!

    Du hast Recht, da sind die Vorzeichen etwas durcheinander gekommen.
    Die Änderung habe ich schon in die Wege geleitet wurde bereits durchgeführt.

    Liebe Grüße, Franz

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von quark am Mi. 23. Juni 2010 16:20:08


    Hey, echt genial der Artikel!
    Vielen Dank.

    hier hat es ein Verschreiber: beim Beispiel f(x)=5x^2.... statt 6x^2

     [Bearbeiten]

    Re: Tippfehler
    von SchuBi am Do. 24. Juni 2010 05:18:28


    Hallo, quark!
    Ich habe einen Änderungsantrag gestellt und den Tippfehler korrigiert. Er sollte also spätestens heute abend nicht mehr zu finden  sein

     [Bearbeiten]

    Re: Ein paar Integrale...
    von skmnthsm am Fr. 07. August 2015 14:54:36


    Hey,
    danke erstmal für diese tolle Übersicht. Insbesondere die Verwendung der Partialbruchzerlegung und der Polynomdivision haben mir geholfen; gebrochenrationale Terme waren für mich bis gerade nicht integrierbar.

    Auch, wenn es pingelig ist, es hat sich wohl ein Fehler eingeschlichen bei dem ersten Beispiel für Integrale der Form (ax+b)/(cx^2+dx+e). Die in rot angegebene Stammfunktion müsste lauten: ln((x+2)*(x-3)^3) statt ln((x+2)/(x-3)^3)

     [Bearbeiten]

     
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